运营管理
第八章
生产作业计划与控制
作业计划
作业计划(Scheduling）是安排零部件（作业、活动）的出产数量、设备及人工使用、投入时间及出产时间。
生产作业计划是生产计划的具体执行计划。
在空间上把生产任务细分到车间、工段、班组、机台和个人。
在时间上把年、季较长计划期的任务细分到月、旬、周、日、轮班和小时
在计划单位上把产品细分到零件和工序
特点
计划期较短：月、旬、日、轮班、小时。
内容更具体：把生产任务分解到各车间、工段、班组、机台和个人。
计划单位更小：部件、零件。
作业计划与控制的关系
作业计划：给生产活动制定详细时间表
生产控制：以生产计划和作业计划为依据，检查、落实计划执行情况，发现偏差即采取纠正措施，保证实现各项各项计划目标。
第一节 期量标准
期量标准的概念
期量标准，又称作业计划标准或日历标准，就是为加工对象（产品、部件、零件）在生产期限和生产数量方面所规定的标准。
“期”是指时间。
“量”是指数量。
期量标准是生产作业计划的重要依据。
制定期量标准就是规定各生产环节在数量和期限上的联系。
不同的生产类型和生产组织方式期量标准不同
一、批量和生产间隔期
概念
批量: 消耗一次准备结束时间所生产的同种产品或零件的数量，以n记之（即相同产品或零件一次投入和出产的数量）
生产间隔期: 相邻两批相同产品（零件）投入（或产出）的时间间隔，以R记之
批量和生产间隔期关系
批量与生产间隔期的确定方法
以量定期法—先确定批量，再确定生产间隔期
最小批量法 经济批量法
以期定量法——先确定生产间隔期，再确定批量
n：批量
R：生产间隔期
g：平均日产量
某产品年计划产量为7650件,年工作时间为306天,若生产间隔期为8天,那么投产批量=（7650/306）*8=200件
最小批量法
a：调整时间损失系数
例：某零件经三道工序加工，其加工数据资料如表，设α=，
求最小批量
序号 工序名称 单件时间（分） 设备调整时间（分） t调/ti
1 车 15 30 2
2 铣 20 120 6
3 磨 30 90 3
解： ①计算t调/ti ③
②选择第二道工序计算
n最小 ：最小批量
t准备 ：一批产品准备结束时间
a ： 调整时间损失系数
t单件 ： 单件工时
以零件生产费用最低为原则确定批量的方法
例：某产品年总产量为20000件，每批产品的设备调整费用为100元，每件产品年平均保管费用为1元，求经济批量。
解：
经济批量法
费用
批量
n0
E=E1+E2
E1=（n/2）C
E2=（N/n）A
n：批量
N：年产量
n0：经济批量
A：设备调整一次费用
C：单件年平均库存费用
以期定量法
1 选择采用的生产间隔期标准
2 将产品和零件分类，归入不同批类
3 计算批量
批 类
生产间隔期
批 量
每月批次
日批
三日批
周批
旬批
半月批
月批
季批
半年批
1天
3天
6天
8天
12天
24天
72天
144天
1/24月产量
1/8月产量
1/4月产量
1/3月产量
1/2月产量
1月产量
3月产量
6月产量
24
8
4
3
2
1
一季一次
半年一次
二、生产周期
产品的生产周期：是指产品从原材料投入生产起，一直到成品出产为止的全部日历时间（或工作日数）。
铸锻毛坯生产周期
保险期
毛 坯 周 期
机械加工生产周期
部件装配生产周期
总装、油漆、包装生产周期
保险期
保险期
保险期
加 工 周 期
部 装 周 期
总 装 周 期
产 品 生 产 周 期
机械产品生产周期示意图
1.零件工序生产周期：指一批零件在i工序上的作业时间
Topi：一批零件在i工序的工序生产周期；
Q：批量；
ti：零件在第i 道工序的单件工时定额；
Fe：每日有效工作时间；
Si：执行第i道工序的工作中心数；
Kt：工时定额完成系数；
Tse：准备结束时间。
2.零件加工的生产周期﹝工艺阶段生产周期﹞
To：一批零件加工的生产周期；
m：车间内部零件加工的工序数；
Topi：一批零件在i道工序的工序生产周期；
td：平均每道工序的间断时间；
λi：平行系数
m
To = ∑Topi·λi+ (m－1) · td
i=1
零件加工的生产周期
作业日程准基
工序
1
切割
停放时间
2
切削
准备
时间
3
铣
4
打眼
5
精加工
5 4 3 2 1 0
产品的生产周期
零件
名称
零件编号
批量
标准作业日程
零件
a
03--5
60
零件
b
03--4
40
零件
c
03--3
20
部件
x
02--3
20
零件
d
04--2
60
零件
e
04--1
40
部件
w
03--2
20
零件
f
03--1
40
部件
y
02--3
20
零件
g
02--2
40
零件
h
02--1
40
产品
z
01--1
20
50 40 30 20 10 0
4.制定产品生产周期标准，应注意以下问题：
首先找出时间最长的加工顺序路线（可能不止一条），即
关键路线，它决定了产品生产周期的最大长度。
其余零部件的工艺加工阶段，与关键路线上的零部件加工
平行进行，安排方法是从最后工序开始，逆向反推零件的加工
顺序，这样安排，可使总停放时间最少。
考虑各设备的最大负荷限制，错开某些零件的加工时间，
使设备负荷尽量均衡。
为了防止生产脱节，在前后衔接的工艺阶段之间，应有必
要的安全时间。
三、生产提前期
指产品在各生产环节出产或投入的时间与成品出产时间相比所要提前的时间。
有投入提前期和出产提前期两种。
装配投入提前期
机加工出产提前期
机加工投入提前期
毛坯出产提前期
毛坯投入提前期
毛坯周期
机加工周期
装配周期
保险期
保险期
前后车间批量相等：
某车间的投入提前期 = 该车间的出产提前期 + 该车间的生产周期
某车间的出产提前期 = 后车间的投入提前期 + 保险期
前后车间批量不相等：
某车间的投入提前期 = 该车间的出产提前期 + 该车间的生产周期
某车间的出产提前期 = 后车间的投入提前期 + 保险期+前后车间生产间隔之差
车 间
批 量
生产周期
间 隔 期
毛 坯
机加工
装 配
240
120
40
20
50
30
60
30
10
装配投入提前期
机加工出产提前期
机加工投入提前期
毛坯出产提前期
毛坯投入提前期
毛坯周期
保险期
机加工周期
保险期
装配周期
1～240
1～120
121～240
1～40
41～80
81～120
121～160
201～240
四、在制品定额
在一定的技术组织条件下，各生产环节上为了保证生产衔接所必需的最低限度的在制品的标准储备量。
1.大量流水生产条件下，在制品定额的确定
[流水线内部]
工艺在制品：流水线的各个工作地上正在进行加工和检验的在制品。
运输在制品：处于连续流水线的运输过程中或放置在运输装置上的在制品。
周转在制品：在间断流水线上由于相邻两工序的生产率不同而形成的在制品。
保险在制品：当流水线上某一工序发生意外时，为保证整个流水线仍能正常工作而设置的在制品。
[流水线之间] 当供应流水线和需求流水线的节拍相等时，存在运输在制品和保险在制品；节拍不等时，还存在周转在制品。
2.成批生产条件下，在制品定额的确定
[车间内部] 取决于产品生产的计划期末停留在车间内的产品的批数和批量。
[车间之间] 即库存半成品
件号
全月任务
批量
工 作 日
期末
在制品
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2
1
100
50
50（1批）
2
100
50
0
3
100
25
25（1批）
4
100
20
60（3批）
第二节 生产作业计划
一、生产作业计划的编制
厂级生产作业计划 车间生产作业计划 日常生产派工
1、在制品定额法
通过在制品定额和实际结存量的差异来决定投入和产出的数量，以消除这种差异，从而得出生产作业计划的方法。适用于大量大批生产的企业。
在制品定额法是按照反工艺顺序，从最后一个车间开始，向前推算。
某车间的出产量 = 后车间投入量 + 该车间外销量
+（库存半成品定额－期初库存半成品结存量）
某车间的投入量 = 该车间出产量 + 该车间预计废品量
+（车间在制品定额－期初在制品预计结存量）
注意：
最后车间出产量就是成品出产量，它与车间的半成品外销量都是根据生产计划任务确定的。
期初库存半成品和在制品结存量一般由计划时实际结存量加上计划时到期末的预计发生量确定。
一般步骤：
①计算各车间投入和出产量（表1）
②编制各车间月度计划（表2）
③把月计划按月分配（表3）
表1：各车间某月份投入量与出产量计算
某 产 品
10000台
零 件
A： 1 ：1
B： 1 ：4
C： 1 ：6
10000
40000
60000
装 配 车 间
1
出产量
10000
40000
60000
2
废 品
--------
--------
---------
3
在制品定额
1000
5000
4
期初在制品预计结存量
600
3500
5
投入量（1+2+3-4）
10400
41500
零 件 库
6
半成品外销量
--------
2000
7
半成品定额
800
6000
8
期初预计结存量
1000
7100
机
加
工
车
间
9
出产量（5+6+7-8）
10200
42400
10
废 品
100
1400
11
在制品定额
1800
4500
12
期初在制品预计结存量
600
340
13
投入量（9+10+11-12）
11500
44900
毛
坯
库
14
半成品外销量
500
6100
15
半成品定额
2000
10000
16
期初预计结存量
3000
10000
毛
坯
车
间
17
出产量（13+14+15-16）
11000
51000
18
废 品
800
--------
19
在制品定额
400
2500
20
期初在制品预计结存量
300
1500
21
投入量（17+18+19-20）
11900
52000
表2：某月份机加工车间投入与出产计划任务
序号
件号
名称
每台
件数
装配投入需 要 量
库存定
额差额
外销量
出产量
投入量
1
01-051轴
1
10400
-200
----
10200
11500
2
02-034齿轮
4
41500
-1100
2000
42400
44900
3
------------
------
------------
----------
----------
---------
----------
表3：某月份加工车间日历进度计划
零件件号及名称
计划出产量（件）
计划投入量（件）
项目
日 历 进 度
1
2
3
4
…
…
…
31
01- 051
轴
10200
11500
计划投入
460
460
60
460
…
…
…
460
计划产出
408
408
408
408
…
…
…
408
实际出产
累计出产
02-034
齿轮
42400
44900
计划投入
1796
1796
1796
1796
…
…
…
1796
计划产出
1696
1696
1696
1696
…
…
…
1696
实际出产
累计出产
其它
……
……
计划投入
计划产出
实际出产
累计出产
注：（1）按全月25个工作日安排。 （2）本例按日平均投入和出产。
2、提前期法（累计编号法）
多品种成批生产条件下，产品轮番生产，不可能有稳定的
在制品数量。但可以从产品完工期推算出各工艺阶段需要投入
和出产的日期，然后通过以期转化为量的方法，从期的衔接达
到量的衔接。
[累计编号] 指从年初或从开始生产这种产品起，以成品
出产的先后顺序，为每一件产品编上一个累计号码。
[提前量] 在同一时间上，产品在某一生产环节上的累计
编号，减去成品的出产累计号数，相差的数量。提前量的大小
与提前期成正比， 提前量 = 提前期×平均日产量
[提前期法] 根据预先制定的提前期，通过平均日产量转
化为提前量，从而得出同一时期产品在各生产环节上的提前量，
来保证各车间之间数量上的衔接的计划制定方法。
具体方法
计算产品在各车间计划期末应达到的累计出产和投入的号数
某车间出产累计号数 = 成品出产累计号数
+ 该车间出产提前期定额×成品的平均日产量
某车间投入累计号数 = 成品出产累计号数
+ 该车间投入提前期定额×成品平均日产量
计算各车间在计划期内应完成的出产量和投入量
计划期车间出产（投入）量= 计划期末出产（投入）
累计号数－计划期初已出产（投入）累计号数
按零件的批量进行修正，使其和批量相等或成整数倍数
[例] 某产品月计划任务250台，月工作日数25天，平均日产10台。要求在三月份的第5个工作日出产第一批50台。试确定三月末各车间出产（投入）累计号数。数据如下表：
三月末投入累计号数
三月末出产累计号数
投入提前期
出产提前期
20
10
5
生产间隔期
10
5
5
生产周期
200
100
50
批量
毛坯车间
机加工车间
装配车间
期量标准
0
0+5=5
5+10－5=10
10+5=15
15+20－10=25
25+10=35
250
300
350
400
500
600
[例] 装配车间五月份生产应到200号，平均日产量为4台，该产品在机械加工车间的生产提前期为50天，投入提前期为100天，机械加工车间的批量为120台，机械加工车间五月份生产应到：200+50*4=400号。五月份应投入到200+100*4=600号，根据机械加工车间的批量120台修正，机械加工车间五月份出产累计号：360号。投入累计号为600号。
二、车间内部作业的编制
标准计划法
定期排序法
日常分配法
第三节 作业排序与服务排队
一、工作中心
工作中心是生产经营中的一块区域，在这块区域中组织生产资源和完成任务。工作中心可以是一台机器、一组机器或者完成某种特定工作任务的区域。
无限负荷通常用在需要超时工作的工作中心。不需要直接考虑完成任务所需资源是否有充足的生产能力也不需要考虑工作中心中任务经过每种资源被完成的次序。
有限负荷方法依据每种作业顺序下的准备时间和运作时间详细计划每种资源。
一、 工作中心
前向排序是指系统选择一个作业顺序并且安排每项操作必须向前依次完成。前向排序的系统给出的是一道工序最早在什么时候可以完成。
后向排序是从未来的某一时间点出发（可能是到期日），依据后向排序操作。后向排序给出的是一项工序必须要什么时候开始才能保证在某特定时间完成任务。
机器有限工序中，设备是排序中最为关键的资源。
劳动力有限工序中，人是排序中最关键的资源。大多数实际情况中的工序要么是劳动力有限的，要么是机器有限的，很少是两者都有限。
二、作业排序系统
（一）职能
在作业排序和控制运作的过程中要有以下的几个职能：
将订单、设备和人员分配到工作中心；
决定订单执行的次序（也就是建立任务优先级）；
按照计划好的工作开始执行。通常被称为订单调度；
车间作业控制（生产活动控制），包括：
当订单执行过程中控制订单进程，不时检查状态。
督促加快滞后或者重要的订单。
二、作业排序系统
（二）工作中心计划的目标
工作中心计划的目标有：
按时交货
尽力缩短提前期
尽力缩短准备时间
尽力减小过程中在制库存
尽力提高劳动力或者机器的利用率
二、作业排序系统
（三）排序优先级
排序（优先级排序） 一些机器上或者一些工作中心的任务次序的决定。
用于衡量优先级规则效果的度量：
满足客户或者下游运作的到期日；
尽力缩短流程时间（一项任务在过程中花费的时间）；
尽力减小过程中的在制库存；
尽力减小机器和工人的空闲时间。
二、作业排序系统
作业排序的优先级规则 －1
FCFS（first-come, first-served,先到先服务）。订单按照他们到达生产部门的顺序执行
SOT（shortest operating time，最短作业时间）。先处理完成所需时间最短的任务，接着处理需要时间第2短的，以此类推。有时也被称作SPT（最短作业时间）。通常这个原则会和迟到原则（lateness rule）结合在一起防止耗时较长的任务被延迟太长时间
EDD（earliest due date firs最早交货期原则）先处理到期日最早的任务
STR（slack time remaining，剩余松弛时间）。剩余松弛时间是离到期日所剩余的时间减去剩余加工所需时间。先处理剩余松弛时间最短的订单。STR=距离到期日所剩时间－剩余加工所需时间
二、作业排序系统
作业排序的优先级规则 －2
STR/OP（slack time remaining per operation,每个作业的剩余松弛时间）。平均剩余松弛时间最短的订单先进行处理。STR/OP=STR/剩余作业个数
CR（critical ratio，关键比例）。关键比例等于距离到期日的时间除以剩余的工作日。关键比例最小的订单先进行处理。
LCFS（last-come，first-served）。通常这作为一种缺省值规则。当订单到达时，他们被放置在最上面。操作员通常就会拿上面的订单先进行处理。
Random，随机。主管或者操作员选择任何他们想要处理的订单先进行处理。
三、作业排序技术
（一）n项作业的单机排序（n/1）
一家印刷公司要为客户印刷各印刷一批包装材料。5位顾客在这周开始的时候下订单。计划见下表。
要求确定作业先后顺序
解：FCFS规则
将每项作业的流程时间和到期日进行比较，只有作业A可以准时完成。作业B、C、D和E分别延迟1、2、6、14天。平均一个作业会延迟（0+1+2+6+14）/5＝
SOT规则，这里把最高优先级给加工时间最短的订单。得到流程时间如下：
SOT得出的平均流程时间比FCFS得出的要短。E和C在到期日之间交货，A只延迟一天。作业平均延迟时间为（0+0+1+4+7）/5＝天
EDD规则
这种情况下作业B、C、D会延迟。平均每个作业延迟（0+0+2+3+7）/5＝天
几个排序方法的比较
（二）n项作业的双机排序
复杂性高一点的是n/2的流程车间的情况，在这种情况下，两个或两个以上的任务必须依照共同的工序在2台机器上进行加工。
这种方法的目标被称为约翰逊规则或者约翰逊方法（以其创始人的名字命名），这种法则是以尽力缩短从第一项任务开始到最后一项任务结束的流程时间为目标。约翰逊规则由以下步骤组成：
(1)列出两台机器上的每项任务的操作时间；
(2)选择最短操作时间；
(3)如果操作时间最短的任务是第一台机器能做出来的，那么就最先完成这项任务；如果操作时间最短的任务是第二台机器能做出来的，那么就最后再做这项任务。如果两台机器能达到同样的操作时间，那么就在第一台机器上完成这项任务；
(4)重复第2和第3个步骤直到任务完成为止。
例 两个机器上的n项作业
步骤1：列出操作时间
步骤2和3：选择最短的操作时间和指派。作业A是机器2上面操作时间最短的，首先被指派做最后被实施。（一旦被指派，任务A就不能再排序了）。
步骤4：重复步骤2和步骤3直到完成计划。
B
C
D
闲置，可用于其他作业
A
闲置
A
B
C
D
机器1
机器2
0 5 11 19 23 25
一些生产车间拥有足够的机器可以在同一时间开始所有的作业。这里要解决的不是先做哪项工作，而是特定的机器应该指派哪项特定的作业可以达到总体最优计划。在这些情况下，我们可以运用指派方法。
指派方法是线性规划中运输方法的一种特例。它适用于所有那些提供n项资源解决n项需求，并且目标是最大化或者最小化某些效率度量值的情况。在工作中心的作业分配、每项作业的人员分配等运用这种技术十分方便。指派原则被用于解决具有以下特征的问题：
(1)有n个事物要被分配到n个目的地；
(2)每个事物必须被分配给一个目的地，且仅被分配给一个目的地；
(3)仅能采用一个标准（例如，成本最小化，利润最大化，补给时间最小）。
（三）n项作业的n机排序(n／n)
例 指派方法
假设一个计划者有五项作业可以在五台机器上完成（n=5）。表中显示的是完成每个机器——作业组合所需的成本。计划者想要设计一种成本最小化的指派。一共存在5!也就是120种可能的指派方法。
解：
这个问题可以用指派方法来解决，一般这种方法由四个步骤组成：
1.每一行中的每一个数都减去该行中最小的一个数。（那么每一行都至少有一个零）；
2.每一列中的每一个数都减去该列中最小的一个数。（那么每一列都至少有一个零）；
3.判断覆盖所有零的直线是否恰好为n条，如果恰好为n，那么我们就找到了最优的解决方案，因为所有的任务一机器组合要安排在表格中零的位置，而这一检测方法下，这种结果是可行的。如果所需线条少于n条，那么跳至第4步；
4.画尽量少的直线令它们穿过所有的零（也许是和第3步中的线相同的线）。在还没被直线覆盖的数字中选出最小的数，所有没被直线覆盖的数都减去这个数，而直线的交汇点上加上这个数。重复步骤3。
步骤1：行减——对于一行的每个数减去其中最小的数。
步骤2：列减——对于一列的每个数字减去其中最小的数
第三节 作业排序技术
步骤3：用线检验——覆盖所有0所需直线的数量是4，我们要求直线的数量是5，所以跳至步骤4。
步骤4：未被覆盖的数子减去它们中最小的，并且在直线的交叉点加上这个最小值。采用步骤3中画的线条，未被覆盖的数子中最小的那个是1
第三节 作业排序技术
最优解决方案
最优指派和相应的成本
作业I指派给机器E 3
作业II指派给机器B 4
作业III指派给机器C 2
作业IV指派给机器D 5
作业V指派给机器A ＋ 3
总成本 17
四、服务业中的人员作业安排
（一）双休日人员安排
目标
根据每日人员计划需求，寻找五日工作两天连续休息的工人数最小的计划。
过程
首先统计出一周中每天需要的工人总数，通过每次加入一个工人的方法建立计划。这个过程分为两步：
步骤1：将第一个工人指派给所有需要员工的日子。
假定第一个工人将可能被指派到七天的每一天工作，接下来圈出连续的需求员工数最小的两天，这两天可以考虑作为休息日。所谓需求数最小的一组（连续两天）是指这连续的两天需求数中较大的那个需求数小于等于其他任意一组中的较大的需求数。这样保证那些需求数量较大的日子能指派到员工。（尽管周日和周一在序列的两端但它们也可以被看作一组）。如果较大的需求数相等，那么就选择相邻一天需求数较小的一组。这一天可以在这一组之前也可以在这一组之后。如果仍然存在相等的情况则选择前面的可行组。（不要再费力采用诸如次低相邻日等进一步打破平局的方法）
四、服务业中的人员作业安排
步骤2：对于第二个工人，将未圈出并且为正的需求数减1，填入第二行。这说明由于第1名工人被指派到这些日子工作，因而这些日子工人的需求数少10对第二名工人重复这两步工作，然后依次做第三名工人的计划，以此类推，直到不需要更多工人来满足计划。
计划休息日
解：
这个方案需要五名工人工作19个工作日，也许存在其他有细微差别的方案也能达到相同的效果。
工人1分配在周六周日休息。工人2周五周六休息。工人3周六周日休息。工人4周二周三休息，工人5只在周三工作因为其他日子不再需要工人。注意工人3和工人4在周四也休息。
（二）日工作制人员安排
基本上，日工作制人员安排管理工作希望满足以下要求的人员安排：
（1）完成每日工作负荷需要的工人数最小；
（2）实际输出和计划输出的差异最小。
P/H代表每小时生产率，Hstd代表所需时间
人员安排
（三）小时工作制人员安排
服务行业面对每个小时都不同的人员需求。在高峰时候需要更多工人，在其他时间需要的人工较少。管理工作要随时根据需求变化进行调整。这种人员安排可以运用一种简单的规则——“第1小时”原则。看下面的例子可以更好地理解这个过程。假设每个工人连续8小时轮班工作。第一小时原则是指，对于第一小时我们指派到该小时工作的员工人数与该时段需要的人数相等。对于接下来的时段，补充指派人员使人员数能恰好满足需求。在一个时段如果有一个或多个工人正好结束班次，那么根据该时段的需求补充更多工人。
一家24小时全天经营的餐馆的前12小时的人员需求：
人员需求分配
顾客源
顾客到达
服务台
离去
排队服务系统
（一）随机服务系统的基本组成部分
输入（顾客到达服务系统的规律）
排队规则（顾客按怎样的规则排队等待服务）
服务机构（服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间的分布等）
这是排队系统的三个基本组成部分。
五、服务排队
到达时间间隔
确定的
随机的
到达人数情况
单个到达
成批到达
顾客源总数
无限
有限
输入
排队规则
1。损失制：当顾客到达时，若所有服务设施均被占用，则自动离去。
2。等待制：顾客到达时，若所有服务设施均被占用，就留下来等待服务，一直到服务完毕才离去。
先到先服务（FCFS）
后到先服务（LCFS）
带优先权的服务（PR）
随机服务（SIRO）
队长有限：系统中等待的空间有限。
等待时间有限：顾客在系统中等待的时间不超过某一个给定的长度。
逗留时间:（等待时间与服务时间之和）有限。
3。混合制：损失制和等待制的结合，允许排队，但不允许队列无限长下去。
服务机构
服务设施的数量
连接方式
服务方式
单台
多台
串联
并联
混联
单个
成批
（二）几个常用的分布和最简单流
顾客到达时间间隔:
：第n个顾客到达的时刻；
设
：第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔；
令
服务时间:
（1）定长分布（D）：
（2）负指数分布（M）：
负指数分布是在排队理论使用的最多的一种分布，常用来表示各种寿命的分布，它具有无记忆性，即：无论现在多大年龄，剩余寿命的分布不受已有年龄的影响。
假定 是独立同分布，分布函数为 ，
排队论中常用的有两种：
（1）定长分布（D）：顾客到达时间间隔为确定的。
顾客到达时间间隔分布:
（2）最简单流（即Poisson流）（M）：
顾客到达时间间隔 为独立的，服从同一负指数分布，多个顾客随机出现组成的序列称为排队中常用最简单流。
最简单流（即Poisson流）（M）特点：
在某个时段内，到达的顾客数量只和时间长度有关，而和时间的起点无关（平稳性）。
在某个时段内，到达的顾客数量和这个时间段之前到达的顾客数量无关（无后效性）。
在充分小的时间区间内，到达两个或者两个以上的顾客的概率是时间长度的高阶无穷小（普通性）。
一般地，大量的稀有事件流，如果每一事件流在总事件流中起的作用很小，而且相互独立，则总的合成流可以认为是最简单流。
1/λ ——顾客的平均到达时间间隔
λ—— 单位时间内平均到达的顾客数
服务时间分布:
设某服务台的服务时间为V，其密度函数为f(t)，
常见的分布有：
（1）定长分布（D）：每个顾客接受服务的时间
是一个确定的常数。
（2）负指数分布（M）：每个顾客接受服务时间
相互独立，具有相互独立的负指数分布：
其中 ，为一常数。
1/μ ——每个顾客的平均服务时间
μ——单位时间平均服务完成的顾客数
排队系统通常用下述符号形式表示：
？/？/？/？
其中：第一个符号表示顾客到达时间间隔的分布；
第二个符号表示服务时间分布；
第三个符号表示服务台数目；
第四个符号表示服务系统允许的最大顾客容量。
注：1971年，排队论的标准符号被规定为：
？/？/？/？ /？/？
第五个表示顾客源数目，第六个表示服务规则
（三）排队系统的符号表示（模型分类）
M/M/1/∞系统：
顾客到达为泊松分布和服务时间服从负指数分布；
服务台数目为1；
系统的顾客容量没有限制；
M/M/1/k系统：
顾客到达为泊松分布和服务时间服从负指数分布；
服务台数目为1；
系统的顾客容量为k；
（三）排队系统的符号表示（模型分类）
M/M/c/∞系统?
M/M/c/k系统?
已知: 顾客到达间隔时间分布, 服务时间分布.
求:
队长: L -- 系统中的顾客数.
排队长(队列长): Lq -- 队列中的顾客数.
L = Lq + 正在接受服务的顾客数
逗留时间: W-- 顾客在系统中的停留时间
等待时间: Wq -- 顾客在队列中的等待时间.
W= Wq + 服务时间
忙期, 损失率, 服务强度
（四）评价排队问题的指标
（五） 无限源的排队系统
M/M/1/∞系统
M/M/1/k系统
1 M/M/1/∞系统
顾客源
排队系统
排队结构
服务
台
排队规则
服务规则
接受服务
后离去
无限
输入过程服从
参数为 的
最简单流
单队
队长无限
先到先服务
服务时间服从
参数为 的
负指数分布
1 M/M/1/∞系统
:系统达到平稳后，系统有n个顾客的概率。
平衡方程：
，且当
时
关于 的几点说明：
顾客平均到达率
顾客平均服务率
顾客平均服务时间
顾客平均到达时间
——服务强度
系统中至少有一个顾客的概率；
服务台处于忙的状态的概率；
反映系统繁忙程度。
即顾客的平均到达率小于顾客平均服务率时，系统才能达到统计平稳。
1 M/M/1/∞系统
1 M/M/1/∞系统
计算有关指标
平均队长
1 M/M/1/∞系统
平均等待列长
1 M/M/1/∞系统
平均等待时间
平均逗留时间
Little公式（相互关系）
小结：
1 M/M/1/∞系统
例：某火车站的售票处设有一个窗口。若购票者是以最简单流到达，平均每分钟到达1人，假定售票时间服从负指数分布，平均每分钟可服务2人，试研究售票窗口前的排队情况。
1 M/M/1/∞系统
2 M/M/1/k系统
顾客源
排队系统
排队结构
服务
台
排队规则
服务规则
接受服务
后离去
无限
输入过程服从
参数为 的
最简单流
单队
队长有限
先到先服务
服务时间服从
参数为 的
负指数分布
2 M/M/1/k系统
:系统达到平稳后，系统有n个顾客的概率。
2 M/M/1/k系统
计算有关指标
平均队长
平均等待列长
2 M/M/1/k系统
平均等待时间
平均逗留时间
2 M/M/1/k系统
*
机加工车间出产提前期 = 装配车间的投入提前期 + 保险期+前后车间生产间隔之差
所以 10＝ 5 + 0 +（10 - 5）
