算法案例
（第三课时）
复习引入:
1、秦九韶算法的方法和步骤？
2、举例说明日常生活中的进位制。
一、进位制
1、什么是进位制？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位
置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基
数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
新课讲解：
比如：
满二进一，就是二进制；
满十进一，就是十进制；
满十二进一，就是十二进制；
满六十进一，就是六十进制
“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
基数：
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪
些常见的进位制？请举例说明．
• 最常见的进位制应该是我们数学中的十进
制,比如一般的数值计算，但是并不是生活
中的每一种数字都是十进制的.
• 古人有半斤八两之说，就是十六进制与十
进制的转换.
• 比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算
“一打”数值时是12进制的。
• 电子计算机用的是二进制 。
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在
个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢
十进一的。
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值
部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6
，7，8，9来表示的。
十进制：
例如，它可用一个多项式来表示：
=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一
记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的
记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进
制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
其它进制：
二进制、七进制、八进制、十二进制、
六十进制……
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字
十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，
十进制一般不标注基数.
例如十进制的，写成(10)
七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k
为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起
的形式：
A
3、十进制的构成
十进制由两个部分构成
例如：3721
其它进位制的数又是如何的呢？
第一、它有0～9十个数字；
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、
百位、千位等等。
(用10个数字来记数，称基数为10)
表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3
个千即3个10的立方
十进制：“满十进一”
探究：P43
其它进制数化成十进制数公式
二、 二进制
二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001
二进制的表示方法
区分的写法：11001（2）或者(11001)2
八进制呢？如7342(8)
k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。
解：根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51．
其它进制数化成十进制数公式
1、将下面的二进制数化为十进制数？
（1）11 （2）110
练习
2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？
例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制数b。
(1)算法步骤:
第一步，输入a,k和n的值；
第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；
第三步，b=b+ai*ki-1, i=i+1
第四步，判断i>n是否成立.若是,则执行第五步,否则,
返回第三步；
第五步，输出b的值.
(2)程序框图:
开始
输入a,k,n
b=0
i=1
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t*ki-1
i=i+1
i>n?
否
是
输出b
结束
(3)程序： INPUT “a,k,n=”;a,k,n
b=0
i=1
t=a MOD 10
DO
b=b+t*k^(i-1)
a=a\10
t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i>n
PRINT b
END
**上面的程序如采用get函数,可简化为：
INPUT a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=t*k^(i-1)+b
i=i+1
WEND
PRINT b
END
备注:GET函数用于取出a的右数第i位数
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。
例、 把89化为二进制数
解：根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
＝ 2× (2×22＋0)+1
＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
5＝ 2× 2＋1
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
2、十进制转换为二进制
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：
89=1011001（2）
另解（除2取余法的另一直观写法）：
5
2
2
2
1
2
0
1
0
余数
11
22
44
89
2
2
2
2
0
1
1
0
1
练习 将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10 （2）20
例1：把89化为五进制数。
3、十进制转换为其它进制
解：根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）
895
175
35
0
4
2
3
余数
例2、设计一个程序，实现“除k取余法”。
(1)、 算法步骤：
第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k；
第二步，求出a 除以k 所得的商q ,余数r；
第三步，若q 0, 则a=q, 返回第二步；否则，执
行第四步；
第四步，将依次得到的余数从右到左排列，得到k
进制数。
（2）程序框图： 开始
输入a,k
求a除以k的商q
求a除以k的余数r
q=0?
是
否
a=q
将依次输出的r从右到左排列
结束
输出r
(3)程序： INPUT “a，k=”；a,k
b=0
i=0
DO
q=a\k
r=a MOD k
b=b+r*10^i
i=i+1
a=q
LOOP UNTIL q=0
PRINT b
END
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （10）；
（2）235（7）= （10）；
（3）137（10）= （6）；
（4）1231（5）= （7）；
（5）213（4）= （3）；
（6）1010111（2）= （4）。
• 1．进位制是一种记数方式，用有限的数
字在不同的位置表示不同的数值。可使
用数字符号的个数称为基数，基数为k，
即可称k进位制，简称k进制。k进制需要
使用k个数字；
• 2．十进制与二进制之间转换的方法；
• 先把这个k进制数写成用各位上的数字
与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进
制数的运算规则计算出结果。
小结
• 3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k
取余法）
用k连续去除该十进制数或所得的商，直到
商为零为止，然后把每次所得的余数倒着
排成一个数，就是相应的k进制数。
