第一篇：利息理论
第一章：利息的基本概念
t
t
0
n
t0
'( )
=
( )
( )
( ) ( 0)
1
) (
dr
a t
a t
a t e
A n dt A n A
、有关利息力 :
( ) ( )
1 1(1 ) 1 (1 ) (1 )2
m p
m pi di v d e
m p
、
=
13
1
t
t
i
it
d
id
、
但贴
单利率下的利息力
：
：
现下的利息力
4
严格单利法（英国法）
投资期的确定 常规单利法（欧洲大陆法）
银行家规则（欧洲货币法）
、
1
1
n
k k
k
n
k
k
s t
t
s
5、等时间法：
第二章 年金
3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式
4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同
（2）各付款所依据的利率不同
5、付款频率与计息频率不同的年金
（1）付款频率低于计息频率的年金
.. ..
1
.. ..
1
+i 1
1
+i 1
n nn n
n nn n
a a a a
s s s s
（1 ）
、
（1 ）
.. .. ..2
m
n m n m
m
n m n m
v a a a
v a a a
、
:
1
.......
1
........
n
k
n k
k
n
k
n k
k
a
s
s is
s
a
a
s ia
a
现值
期末付年金： 永续年金现值：
终值：
现值：
期初付年金： 永续年金现值：
终值:
（2）付款频率高于计息频率的年金
（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）
( )
( )
( )
( )
( )
( )..
( )
( )( )..
( )
1
:
1
.......
(1 ) 1
1
1
........
(1 ) 1
n
m
mn
mn
m
mn
m n
n m
mm n
n m
v
a
i
ii
i
v
a
d
di
s
i
现值
期末付年金： 永续年金现值：
终值：s
现值：
期初付年金： 永续年金现值：
终值:
0
0
1
(1 ) 1
(1 )
nn t
n
nn n t
n
v
a v dt
i
s i dt
6、基本年金变化
（1）各年付款额为等差数列
（2）各年付款额为等比数列
7、更一般变化的年金：
（1）在 的基础上，付款频率小于计息频率的形式
（2）在 的基础上，付款频率大于计息频率的形式
0
..
0 -1
0 1
( )
( )
( )
= ( ) + ( )
= ( ) + ( )
n
n
n
n
n n
n n
n
n n
n n
n
n n n n
n
n n n n
a n v
V p a Q
i
a n a n v
Ia a
i i
a n v n a
D a n a
i i
V Ia v D a a a
V Ia v D a a a
现 值
期 末 付 虹 式 年 金 ：
期 末 付 平 顶 虹 式 年 金 :
0
0 0
0
:1
1 ( )
1 :
1
:
n
i k Vk
niV i k V
i k i
i k V
不 存 在
不 存 在
存 在
( )
n
Ia
0 =
nn
k
k
a n
v
a k
V
is
( )
n
Ia
（3）连续变化年金：
○1：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 t,其现值为
○2：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 ,其现值为
第三章收益率
1、收益率（内部收益率） 由 可求出
2、收益率的唯一性：
（1）若在 0~n 期间内存在一时刻 t，t 之后的期间里现金流向是一
致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方
向相反，则收益率唯一。
( )
( )
..
( )
( )
( )
( )
n
m n
mn
n
nm
mn
a nv
Ia
i
a nv
I a
i
（m）
每个计息期内的m次付款额保持不变
每个计息期内的m次付款额保持不变
( )
n
n
n
a nv
I a
( )f t
0
(0) ( )
n tV f t v dt
0
(0) 0
n
t
t
t
V v R
（2）若在 0~n-1 内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，
总称投资）的积累额大于 0，则该现金流唯一。
3、再投资收益率：
（1）情形一：在时刻 0 投资 1 单位，t 时刻的积累值:
（ 2 ） 情 形 二 ： 在 标 准 金 中 , t 时 刻 的 积 累 值 ：
4、基金收益率：A：期初基金的资本量 B：期末基金的本息
和
I：投资期内基金所得收入 ：t 时刻的现金流（ ）
C：在此期间的现金流之和 ，
（1）
（2） （现金流在 0-1 期间内均匀分布）
（3） （其中 ）
注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率
5、时间加权收益率
6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后
根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益
投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间
1
n
is
1
( ) n
n
s n
n i Is n i
j
tC 0 1t
t
t
C C
(1 )t
t
I
i
A C t
2I
i
A B I
(1 ) (1 )
I
i
kA k B k I
( / )t
t
k t C C
1 2(1 )(1 ) ( ) 1mi i i i i L
相 联 系 的 利 率 ， 积 累 值 为 ：
（m 为投资年法的年数，
即若投资时间未满 m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投
资组合法计算收益率。在 y 年投资第 t 年收益率记为 ）
7、股息贴现模型
（1）每期末支付股息 ，假定该股票的收益率为 r,则它的理论价格
为：
（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益
率为 r,-1<g<r,则它的理论价格为：
1 2
1
1 2
(1+ )(1 ) (1 )......
(1+ )(1 ) (1 )(1 ).....(1+ ).....
y y y
k
y y y y m y k
m
C i i i k m
C i i i i i k m
L
L
y
ti
tD
1 (1 )
n
n
n
D
p
r
1Dp
r g
第四章 债务偿还
1、分期偿还表（标准年金，贷款额 ，年利率 i，每期末还款额为
1）
第 k 期偿还款中的利息部分记为 ；本金部分为
2、连续偿还的分期偿还表
时刻
t
每次还款额
Rt
每次还款中所包
含的自增利息 It
每次还款中所
包含的本金 Pt
未偿还贷款余额
Bt
0 na
1 1 i na =1- v
n 1- i
n
a =vn
n
a - vn =
1n
a
2 1 1- vn-1 vn-1 2na
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
t 1 1- vn-t+1 vn-t+1 n ta
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
n-1 1 1- v2 v2 1a
n 1 1- v v 0
总计 n nn a na
n
a
kI kp
+11 n kkI v
1= n kkp v
B
(1 )
p
t n t
r t
nt t
a
t
B a i S
时 刻 的 余 额
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
时刻
s
还款
额 Rs
还款额中的利息部分
Is
还款额中的本
金部分 Ps
贷款余额
Bs
0 /n ka s
k 1 [(1+i)
k- 1] /
n k
a s =1- vn Rk- Ik=vn B0- Pk= /n k ka s
2k 1 1- vn-k vn-k 2 /n k ka s
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
tk 1 1- vn-(t-1)k vn-(t-1)k /n tk ka s
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
n-k 1 1- v2k v2k /k ka s
n 1 1- vk vk 0
总计 n/k n/k- /n ka s /n ka s
1 1
t
t t
I B
t
p I B
时刻偿还的本金利息
（2）若每计息期偿还嗲款 m 次（偿还频率大于计息频率）
表（4-4） ( )m
n
a 的分期偿还表
时刻
s
还款额
Rs
还款额中的利息部
分 Is
还款额中的本金
部分 Ps
贷款余额
Bs
0
( )m
n
a
1/m 1/m
( )
0
1
(1 )
m
ni B v
m m
R1/m– I1/m = nv
m
1 ( )
0 1/ 1/
m
m n m
B P a
2/m 1/m
11
(1 )
n
mv
m
m
n
v
m
11 ( )
2 /
m
n m
a
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
t/m 1/m
11
(1 )
t
n
mv
m
11 tn mv
m
( )
/
m
n t m
a
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
n- 1/m 1/m
21
(1 )mv
m
mv
m
21 ( )
1/
m
m
a
n 1/m
11
(1 )mv
m
mv
m
11
0
总计 n n-
( )m
n
a ( )m
n
a
4、偿债基金表
第五章 债券及其定价理论
1、债券价格
（1）所得税后的债券价格：
时刻
每次总支
出额
Li+D
利息
支付
Li
基金
存款
D
基金利息收入
SFIt
偿债基金
余额
SFBt
净贷款
余额 NBt
0 L=D n js
1 Li+D Li D 0 D 1 js L- D 1 js
2 Li+D Li D j D 1 js = D[(1+j)- 1] D 2 js L- D 2 js
3 Li+D Li D D[(1+j)2- 1] D 3 js L- D 3 js
┋ ┋ ┋ ┋ ┋ ┋ ┋
t Li+D Li D D[(1+j)t-1- 1] D t js L- D t js
┋ ┋ ┋ ┋ ┋ ┋ ┋
n Li+D Li D D[(1+j)n-1- 1] D n js =L L- D n js =0
总计 n(Li+D) nLi nD D ( )
n j
s n =L- nD
1
: C
Nr g g
i : n
: G=Nr /
n
p
G i
t
债券的价格 N: 债券的面值 ：债券的赎回值
r : 票利率 ：票息额 : 修正票息率 =Nr / C( N=C时，g=r )
收益率 : 票息到期支付次数 K=Cv
基础金额
：所得税率
（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：
（3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（ ）
2、溢价与折价
本金调整：溢价摊销或折价积累
期次 票息 利息收入 本金调整 账面值
0 g
1 g
2 g
1
1
1 1
1
(1 )
[ (1 ) ]
(1 )
Makeham ( )
n
n
n
n
p Nr t a Cv
p c Nr t Ci a
g t
C K
i
基本公式：
溢价、折价公式：
基础金额公式：p=G( 1- t ) +[ C- G( 1- t ) ] v
公式：p=K+
' ' ' 2 1
2
2
(1 ) (1 )( / )( )
( )
1 /
n t K t g i C Kp p t c p v p
t K C
tp
1 1(1 ) (1 ) (1 )w w n w
Nr Nr Nr C
tp
i i i
L
1 1 ( )
n i
p g i a
[1 ( ) ]
n i
i g i a ( ) ng i v 11 ( ) n ig i a
1
[1 ( ) ]
n i
i g i a
1( ) ng i v 21 ( ) n ig i a
t g
n-1 g
n g 1
合计 ng ng-p
3、票息支付周期内债券的估价
债券的平价： 扣除应计票息后的买价称为市价：
公式： 或
M M M M M
1
[1 ( ) ]
n t i
i g i a
1( ) n tg i v 1 ( ) n t ig i a
M M M M M
2
[1 ( ) ]
i
i g i a 2( )g i v 11 ( ) ig i a
1
[1 ( ) ]
i
i g i a 1( )g i v
( )
n i
g i a p
f
t kB
m
t kB
+f mt k t k kB B Nr = -
m f
t k t k kB B Nr
= (1 )
(1 ) 1
1
(1 ) 1
(1 )
f k
t k t
k
k
k
m k
t k t
B B i
i
Nr Nr
i
i
B B i Nr
i
（ ）理论法：
= (1 )
2
(1 )
f
t k t
k
m
t k t
B B ki
Nr kNr
B B ki kNr
（ ）实务法：
= (1 )
3
(1 )
f k
t k t
k
m k
t k t
B B i
Nr kNr
B B i kNr
（ ）混合法：
4、收益率的确定
由 可导出
或 ( =1/2)
5、系列债券：
其中：
第二篇 利率期限结构
第六章：利率期限结构理论
( )
n
p C C g i a
P C
k
C
1
1
2
k
g
ni
n
k
n
1
1
2
k
g
ni
k
1
2
n
n
( )
4
( )
i g
i g
溢价发行 ：赎回日尽可能早
、可赎回债券计算收益率时：
折价发行 : 赎回日尽可能晚
t 1 t 1 t 1 t 1
( )
m m m m
t t t t
g
p K C K
i
系列债券的价格
t 1
t 1
g /
:
m
t
m
t
Nr C
K
C
所有现金流现值之和
：所有现金流之和
,
(1 )
(1 )
(1 )
i j
i j
i j
i
y
f
y
1、远期利率：
第七章 随机利率模型
1
mod
1
2 Macaulay
D
D D / (1 )
:
(1 )
=1
N
mac i ti
i
mac
ti
ti ti
N
ti
i
t w
y
F
w i
p y
w
、 久期与修正久期：
久期
修正久期
其中 第 次现金流的现值在现金流总和中所占的比例
m o d
m o d 2
1
M a c a u la y
C
(1 )1
C
(1+ y )
m a c
N
i i t i
t i
i
D
y
t t C
p
3 、 凸 度 与 修 正 凸 度 ：
凸 度
修 正 凸 度
+ -
E
0
+ - 0
2
0
0 + -
D =
2
4
2
( )E
p p
p
p p p
p
p p p
有效久期：
、
有效凸度：C
其中 、 、 表示债券期初价格、收益率在
初始收益率基础上增加和减少 时对应的价格
0
0
( )
( )
1
2
t
s
t
s
r ds
t
r ds
t e
D t e
、 时刻银行账户的价值
、随机折现因子 （ , T）=
( )
( )
3
1R t T t
-R t T t
B t t
R t
e B t
B t e
（ , T）
（ , T）
、连续复利收益率
（ , T）: T时刻到期的零息债券1单位面值在 时刻的价格
（ , T）：连续复利收益率
（ , T）
（ , T）
4 l eF F、远期单利 ( t , T, S) 与远期复利 ( t , T, S) , t 时刻期限为[ T, S]
1 ( , )
( 1)
( , )
1 ( , )
ln
( , )
l
e
B t T
F
S T B t S
B t T
F
S T B t S
( t , T, S) =
( t , T, S) =
,
ln ( , )
5 ,
1
,
T
t
- f t u du
T
t
B t T
f t T
T
B t e
R t f t u du
T t
、远期瞬时利率
零息债券价格：（ , T）
连续复利收益率: （ , T）=
1
6
( )t t
Ho-Lee
r r a t t t
u + d -
、 模型的应用
短期利率满足：
随机变量 在 出现时取 1，在 出现时取 1
7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程
2
2
2
( , ) ( , )
1
( , ) ( , ) ( , )
2
t t t t
t t t t
dr u t r dt t r dW
B B B B
dB u t r t r dt t r dW
t t r t
( , ) : ( , )t t t
t
u t r t r W
B=B t
其中 漂移项 ：波动项 ：标准布朗运动
（ , T）=B( t , T, , r )
第三篇 金融衍生工具定价理论
第八章金融衍生工具介绍
1 2
1 2
2
2
2
( , , ) ( , , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , )0
1 1
( , ) ( , ) ( , )
2
1
( , ) ( ,
t
t t
t
tt t
t t
=B t T r B t T r
m t T r
B t T r B t T r
v t T
r r
B B B
m t T = u t r t r
B t t r
B
v t T t
B t
8、利率风险市场价格( )
用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合
然后选择适当的头寸 使得 的风险为零
其中
)tr
( )
0 0
( ) ( )
2 2 2
2
2 2 3
9
( )
(1 )
( , )
1
, ( )
( ) ( )( ) ( ) (1 )
2 4
t
t t t
tt t t u
t u
a b r
t
Vasicek
dr u-r dt dW u
r r e u e e dW
B t T e
e
=T t b
a b u u e
L L
、 模型及其下的债券定价
模型： 、 、 为正的常数
模型的解为：
零息债券的价格：
其中：
9
( )
( , )
t t t t
t
t
dr u-r dt r dW u
r
t r
L L
、CI R模型及其下的债券定价
模型： 、 、 为正的常数
该模型下风险的市场价格为：
0
( )
0
0
1 ...........
( ) .......
rt
r q t
rt
F=S e
F S e q
F S I e I
、远期的定价 ：连续复利率
：离散红利
( )
0
( )
0
( ) ( )
0
2
( )
( )
:
r T t
t t
r T t rt
t t
r T t r q t
t t
t t T
f F F e
I f F e - S I e
q f F e -S e
、 时刻持有远期合约的价值：（0 ）
中间收入 ：
如果有中间收入
提供红利
4、远期利率协议
（1）结算时金额：
其中：S：目标利率；F：远期价格，T：远期期限
（2）远期价格
满足：
5、期货合约的盈亏：
期货合约保证金账户盈亏代数和为：
无论盈亏都只需交
6、利率期货
（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期 3 个
月）
○1 若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如
或 ），则一份合约的买方或卖方将支付 25 远。
对于本金 100 万而言，一个季度每个基点的价值为：
○2远期利率
○3套期保值原理(N：被保资产金额 D：保质期限 S 存款利率变动
*
*
*
3
:
:
( , )
( , ) 1
( )
1
( , ) 1
(
1
t t
t
t
i i =
S S
F t T
F t T iT
S i T
F t T iT
S i T
、远期利率平价公式
、 本币和外币的利率（假定借款利率 贷款利率）
外币的以本币标价的即期汇率（ 本币/ 外币）
外币远期的价格为
一般不超过一年故采用单利
若： 持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）
|S-F| T
=N
1 S T
,t t TF f
,(1 )(1 ) [1 ( )]t t t T t Tr t f T r t T
0 1=nN | |t tZ Z
0 0N | |tS Z
0 0N Z
1
100 % 25( )
4
万 美元
2 2 1 1
1 1 2 2
1
(1 )(1 ) (1 ) 4
1
r T rT
f rT f r T f
rT
足满
的基点 n：合约的份数）
(2)长期利率期货
○1国债期货：
点数价值：价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额
○2转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债
券的价格。如：若名义债券的票息率为半年 4%,某实际债券的票息率
为半年 3%，剩余期限为 2 年，则付息日的转换因子为：
（3）交割债券的选择（最廉价交割债券）
卖方在债券的现货市场上可以以 P+A 价格买到债券（P：债券净
价，A：应计利息）；在期货交割时卖方将收到买方现金
（Z：债券期货的价格），同时支付债券。显然 A 不影响卖方的成本，
卖方的净交割成本为：
（4）国债的定价类似于：
例题：假设某国债期货党的 CTD 债券的票息率为 12%；CF=.
假定在 270 天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以
过了 60 天，利息力为 r=;债券报价为 120；可按如下方法计算期货
的价格 Z：
解：（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每 100 元面值的利息）
D
90
N
n S
面值
2 3 4
3 3 3 100 3
[ ] /100
(1 4%) (1 4%) (1 4%) (1 4%)
CF
CF Z A
P CF Z
0( ) .
rtF S I e
60
120+ 6=
182
（2）计算期货的现金价格：
（3）计算以 CTD 债券为基础资产的期货价格：
（4）利用转换因子 CF 计算国债期货的价格：
（5）国债期货套期保值原理
基点价值 ：收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。
如：面值为 10 万美元、期限为 3 年，票利率为 %，若当
前市场利率为 10%，则该债券的 为：
7、看涨看跌期权平价公式
其中 ：t 时刻的看涨期权的价格 看涨期权的执行价格
：t 时刻的看跌期权的价格 ：t 时刻的基础资产价格
8、期权价值的影响因素
（1）基础资产价格 ：对看涨期权 越大，价格越高
对看跌期权 越大，价格越低
（2）执行价格 对看涨期权 越大，价格越高
对看跌期权 越大，价格越低
（3）到期期限 T：对美式而言，T 越长，价格越高
132 270
365 365(-6 e )
148
6
183
Z
bpv
bpv
3 3
3 3
1 1
10750 100000 10750 100000
( ) ( )
(1 10%) (1 10%) (1 %) (1 %)t tt t
bpv
( )r T t
t t tc Ke p S
tc K：
tp tS
tS tS
tS
K： K：
K：
对欧式而言，不一定
（4）无风险率 r：r 越高，价格越高
（5）基础资产价格波动率 ： 越大，期权价格越高。
9、期权价格的界
（1）欧式期权：
（2）美式期权：
10 、
s s
( )
( ) ( )
r T t
t t t
r T t r T t
t t
Ke c S
Ke p Ke
看 期
看跌期
涨 权: S
权: - S
( )r T t
t t t
t t
Ke c S
K p K
看 期
看跌期
涨 权: S
权: - S
11 、
第九章金融衍生工具定价理论
1、单期二叉树期权定价模型
设目前为 0 期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价
格为 S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价
格上升至 Su，或者股票价格下降至 Sd，而上升或下降的概率呈二次
分布状。在这里下标号 u 和 d 表示变量数值上升或下降为原数值的倍
数，即 u>1，d<1。与此相对，股票看涨期权的初始价值为 c，在下一
期（欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该期权合约
的价格也有两种可能，即要么上升至 cu，要么下降至 cd，作图。二
叉树、节点、路径
[例 8-1] 设股票的现价(S)为$100,3 月看涨期权的执行价格(K)为$110。
在 U= 和 d= 情况下，期权价值？
解 ：
资产目前成本与未来价值
$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定）
=
股票上涨：VT= $130× -$20=$45
股票下跌：VT=$=$45
根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能
赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的
价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为 10%，
而且按连续复利进行贴现，那么：
V0=$45xe-10%=$
=-c
C==$
2、N 期模型的通用公式
3、Black-Scholes 模型
4、希腊字母及其意义：
（1）、 为衍生品德价格
意义： 度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此
是对基础资产价格敏感性的度量。（基础资产本身的 =1）可以通
过资产组合达到 中立状态，即 =0.
（2）
意义： 度量了基础资产价格的变化对 影响，即度量了衍生品
!
[ (1 ) max( ,0)]
!( )!
!
[ (1 ) max( ,0)]
!( )!
n
rT j n j j n j
j o
n
rT j n j j n j
j o
n
c e q q su d k
j n j
n
p e q q k su d
j n j
re d
q
u d
( )
1 2
2
1
2 1
( , ) S ( ) ( )
1
log ( )( )
2
r T t
t t
t
f t S d Ke d
S
r T t
Kd
T t
d d T t
其 中 ：
t
f
f
S
L
2
2 =
t t
f
S S
价格与基础资产价格之间的凹凸性。若某个时刻基础资产处于 =0，
当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权 可能不为 0. 如果
<0，则资产价格的上升将使得资产组合的 <0，因此需要增加组合中
有正 值资产的头寸以重新达到 =0。
（3）
对于欧式看涨期权：
度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格影响。
（4）
对于欧式看涨期权：
度量了无风险利率的变化对衍生品价格的影响。
（5）
对于欧式看涨期权：
是衍生品时间价值变化的度量参数，它度量了时间的推移对衍生品
价格的影响。
总结五个希腊字母：
第四篇 投资组合理论
第十章 投资组合理论
1、度量风险的方法：变异系数=
s
f
1( )tS d
f
r
2( )
rKe d
f
t
2 1( ) ( )
2
r
trKe d S d
21
2 s
df ds ds d dr dt V
W
E W
收益率的方差和标准差
2、风险溢价一般解释：当前投资超出无风险投资收益的超额收益
3、财富效用函数（满足： ）
常见的几种形式：
线性效应函数
二次效应函数
指数效应函数
对数效应函数
幂函数效应函数
4、Jensen 不等式：如果 是一个凹函数， 是一个具有有限均值
的随机变量，则下式成立：
当 =0，则
5、投资效用函数
最常用的投资效用函数：
分别为期望收益与收益率的标准差，A>0：风险厌恶系数
6、风险厌恶的度量：
2 2 2
1 2[ ( )] (1 )[ ( )]R p r E R p r E r
' ''( ) 0; 0U w U
( )U w w
2( )=- , ( )U w w w
( ) , ( 0)wU w e
( ) log( ), ( )U w w w
( ) , ( 0,0 1)cU w w w c
( )U w
( ( ) [ ( ) ( )]E U w U w E
( )E ( ( ) ( )E U w U w
2( ) R R RU u u A
R Ru 、
( ( ) ( )
( ( ) ( )
( ( ) ( )
E U w U w
E U w U w
E U w U w
绝对风险厌恶系数：
相对风险厌恶系数：
7、两风险资产组合
8、一个风险资产 A 无风险资产
投资组合收益率
投资组合期望收益率：
投资组合标准差：
9、风险报酬率（Sharpe 比率）
10、最优资产组合的求解
投资在市场组合 M 上的比列：
考虑两个风险资产 A、B
则该风险组合的预期收益和方差分别为：
此时风险报酬率：
''
'
( )
A
( )w
U w
U w
''
'
( )
( )w
wU w
R
U w
( ) ( ) (1 ) ( )P A BE R wE R w E R
2 2 2( ) [(1 ) ] 2 (1 )R A B A B ABw w w w
(1 )P f AR w r wR
( ) (1 ) ( )p f AE R w r w E R
P Aw
( )A f
A
E R r
2
M
( )p M f
M
E R r
w
A
2 2 2 2 2
B
( ) ( ) (1 ) ( )
(1 ) 2 (1 )cov
p A A B
P A A B A B A
E R w E R w E R
w w w w
max
( )
max
A
p f
w
p
E R r
而
第十一章 CAPM 和ＡＰＴ
１、 风险市场价格：
２、 期望－贝塔关系：
３、 对任意风险资产组合Ｐ
４、
其斜率为市场组合的风险溢价
４、 ＣＡＰＭ的另一种常用形式：
2
B
2 2
[ ( ) ] [ ( ) ]cov
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) E( ) ]cov
A f B B f A
A
A f B B f A A f B f AB
E R r E R r
w
E R r E R r E R r R r
2
( )M f
M
E R r
2
( ) [ ( ) ]
cov( , )
i f i p f
i M
i
M
E R r E R r
R R
其中
p
N
1 1 2 2
1
( ) [ ( ) ]
w
f p p f
p N N i i
i
E R r E R r
w w w
L其中
( )p fE R r
５、 资产估值：
６、ＣＡＰＭ在业绩评估中的应用
（１）：Ｊｅｎｓｅｎ指数： （越大越好）
（２）Ｔｒｅｙｎｏｒ指数： （越大越好）
（３）Ｓｈａｒｐｅ指数： （越高越好）
７、套利定价模型（ＡＰＴ）
（１）单因素模型：
资产组合收益率：
（２）双因素模型：
８、套利组合：
2 2 2 2
( ) ( )
( )
i
i f i M f i
i i M
R r R r
可忽略
可忽略
1
0
1
0
( )
E(R )= 1
( )
1 ( )
i
i
E p D
P
E p D
p
E R
{ [ ( ) ]}p p f p A fJ r r E R r
p f
p
p
r r
T
p f
p
p
r r
S
i i i iR F
1 1 1
n n n
p i i i i M i i
i i i
R w w R w
2 2 2 2
1
2 2 2
1
( )
( ) ( ( ))
P p M p
n
p i i
i
n
p i i
i
w
w
1 1 2 2i i i i iR F F
1
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 F 2 F2 2 2 1 2
( ) ( ) ( )
+ +2 cov( , ) ( )
i i i i
i i i i i i
E R E F E F
F F
1 2
1 1
1 1
0............
0.............
( ) ( ) 0...
n
j n nj
n n
w w w
w w
w E R w E R
L
L
L
套利 合是零成本的
套利 合 有系
套利 合具有正的收益率
组
组 没 统风险
组
习题部分
资产组合理论：
1、假如有 A 和 B 两种股票，它们的收益是相互独立的。股票 A 的收
益为 15%的概率是 40%，而收益为 10%的概率是 60%，股票 B 的收
益为 35%的概率是 50%，而收益为-5%的概率也是 50%。
（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间
的协方差是多少？
（2）如果 50%的资金投资于股票 A，而 50%的资金投资于股票 B，
问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？
答案：（1）股票 A 的期望收益 股票 A
的标准差
。
股票 B 的期望收益 股票 B 的标准差
因为股票 A 和股票 B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协
方差为 0。
（2）该投资组合的期望收益
标 准 差
E(R ) 15% 10% 12%;A
2 2
A 15% 12% (10% 12%) （ ）
E(R ) 35% ( 5%) 15%;B
2 5% 15% ( 5% 15%) （3 ）
PE R E(R ) E(R ) 12% 15% %,A B （ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
P A （ ） （ ） （ ） （ ）
2、假设有两种基金：股票基金 A，债券基金 B，基金收益率之间相
关系数为 ，概率分布如下：A：期望收益 10% 标准差 20%
B：期望收益 5% 标准差 10%
计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？
（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？
答案：（1）设组合中 A 基金投资比例为 X，那么 B 基金投资比例为
1-X 。 组 合 的 方 差
是关于 X 的一元二次方程，其最小的条件是关于 X 的导数为 0。
对 X 求导，并使其等于 0，得：
，解得：X=,1-X=
所以最小方差组合中 A 基金的投资比例为 ，B 基金的投资比例
为 。
（2）最新方差组合的期望收益
标准差
2 2 2 2 2 2 2 2 2
P x (1 x) 2x(1 x) x (1 x) (1 x)A B A B
( )=xE( ) (1 x)E( ) 10% 5% %P A BE R R R
2 2 2 2
P
2 2 2 2
x (1 x) 2x(1 x)
(1 ) (1 )
A B A B
CAPM：
3、假设国库券利率是 4%，市场组合的期望收益率是 12%，根据
CAPM：
（1）画图说明期望收益和 之间的关系
（2）市场的风险溢价是多少？
（3）如果一个投资项目的 为 ，那么该投资的必要回报率是多少？
（4）如果一个 为 的投资项目可以获得 %的期望收益率，那
么是否应该投资该项目？
（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为 %，那么该股票的
是多少？
答案：（1）
（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%
（3）E（R）=4%+（12%-4%）*=16%
（4）该项目必要回报率 E（R）=4%+（12%-4%）*=%，而只
能获得 %的期望收益率，小于 %，所以不应该投资该项目。
（5）%=4%+（12%-4%）* ，解得： =。
4、假设无风险收益率为 6%，市场组合的预期收益率为 10%，某资
产组合的β系数等于 。根据 CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收
Beta
4%
E(R)=4%+（12%-4%）*Beta
0
E(R)
益率等于多少？(2)假设某股票现价为 20 元，其β=，预期该股票 1
年后股价为 23 元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多
还是应该看空该股票？
答案：（1）该资产组合的预期收益率 E（R）=6%+（10%-6%）
*=%
(2)该股票的期望收益率为 E(R)= 6%+（10%-6%）*=%，按照期
望 收 益 率 将 一 年 后 股 价 贴 现 到 现 在 得 到 现 在 股 票 的 价
值:23/(1+%)=。而该股票的现价 20<，说明该股票被低
估了，所以投资者应该看多该股票。
APT：
5、考虑一个单因素 APT 模型，股票 A 和股票 B 的期望收益率分别
为 15%和 18%，无风险利率是 6%，股票 B 的 为 。如果不存在
套利机会，股票 A 的 应该是多少？
答案：根据 APT，对于股票 B：18%=6%+，解得：F=12%
对于股票 A：15%=6%+ F=6%+12% ，解得： =。
6、考虑一个多因素 APT 模型，股票 A 的期望收益率是 %，关于
因素 1 的 是 ，关于因素 2 的 是 。因素 1 的风险溢价是
%，无风险利率是 5%，如果不存在套利机会，那么因素 2 的风险
溢价是多少？
答案：根据 APT，有：%=5%+*%+*F2，解得：F2=%
因此，因素 2 的风险溢价是 %。
7、考虑一个多因素 APT 模型，假设有两个独立的经济因素 F1 和
F2，无风险利率是 6%，
两个充分分散化了的组合的信息如下：
组合
对应因素 1
的β
对应因素 2
的β
期望收益
A 19%
B 12%
如果不存在套利机会，那么因素 1 和因素 2 的的风险溢价分别是多
少？
答案：设因素 1 和因素 2 的风险溢价分别为 R1 和 R2，根据 APT，
有：
对于组合 A：19%=6%++
对于组合 B：12%=6%+
联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%
因此，因素 1 和因素 2 的风险溢价分别为 3%和 5%。
8、已知股票 A 和股票 B 分别满足下列单因素模型：
（1）分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。
（2）用股票 A 和 B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为 和
，求该组合的非系统性标准差。
答 案 ： （ 1 ） 股 票 A 的 标 准 差
股票 A 的标准差
股票 A 和股票 B 的协方差
（2）组合的收益率
组合的非系统性标准差
9 、 假 设 每 种 证 券 的 收 益 可 以 写 成 如 下 两 因 素 模 型 ：
，其中： 表示第 i 种证券在时间 t 的收
益， 和 表示市场因素，其数学期望等于 0，协方差等于 0。此外，
资本市场上有 2 种证券，每种证券的特征如下：
证券 E（Rit) βi1 βi2
( ) ( )
A M A
B M B
M A B
R R
R R
2 2 2 2 2 ( ) M A
2 2 2 2 2 ( ) M B
2 2
( , ) ( , ) ( , )
AB A B M A M B M M
M
COV R R COV R R COV R R
( ) ( )P A B M A M BR R R R R
2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) B
1 1 2 2( )it it i t i tR E R F F itR
1tF 2tF
1 10% 1
2 10%
（1）建立一个包括证券 1 和证券 2 的投资组合，但是其收益与市场
因素 无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数β2。
（2）设有一个无风险资产的期望收益等于 5%，β1=0，β2=0，是否
存在套利机会？
答案：(1)设组合中证券 1 的投资比例为 X，那么证券 2 的投资比例
为 1-X。
因为其收益与市场因素 无关，所以组合关于 的贝塔应该为 0，
即：
解得：X=3，1-X=-2，所以
所以其收益与市场因素 和 都无关。
（2） 因为（1）中投资组合收益与市场因素 和 都无关，所以
是无风险的投资组合，其收益为 10%，高于无风险资产 5%的期望收
益，所以应该借入期望收益为 5%的无风险资产，然后投资于（1）
中 10%的投资组合。
1tF
1 2
1 11 1 12 2 2 21 1 22 2
(1 )
[ ( ) ] (1 )[ ( ) ]
pt t t
t t t t t t
R XR X R
X E R F F X E R F F
1tF 1tF
11 21(1 ) 0
(1 ) 0
X X
X X
( ) 3(10%) 2(10%) 10%ptE R
2 12 22(1 )
3() 2()
0
p X X
1tF 2tF
1tF 2tF
