第六章
因素模型与套利定价理论
因素模型
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定义1：因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回
报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的
影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差
的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。
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作为一种回报率产生过程，因子模型具有以
下几个特点。
第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经
济因素。
第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关
——一起运动——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导
致的。
第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所
独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子
的运动无关。
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因子模型在证券组合管理中的应用
在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量
刻画证券组合对因子的敏感度
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单因素模型(单指数模型）的提出
●在确定有效组合时估算中计算量最大的部分是协方差的计算
●经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，因为相同的经济因素影
响着许多公司的命运，可将公司外部的因素看成是一个经济周期的变化、
市场利率水平的波动、通货膨胀的影响、影响全局的技术创新（计算机
技术、通信技术是最典型的例子）、生产成本和劳动力价格的变化等这
些带有全局性或宏观性的因素会对几乎所有的公司都产生影响，而且影
响的方向是一样的，尽管程度不完全一样，因此，夏普考虑，既然这些
因素的影响差不多，是否可以将存在于公司外部的影响公司股价的因素
都看成是一个因素，
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微观因素
除此之外，影响公司股价的就都是公司内部特有因素，
譬如公司的战略、公司的市场营销策略、公司的内部
管理等因素。由于这些因素对每个公司的影响是不确
定的，即有的公司出现这样的问题时其他公司不一定
会出现一样的问题。因此，从总体上说，这类因素对
公司股价的影响的期望值是零。
●内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即
随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。
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单因素模型
夏普提出单因素模型：ri =E(ri) +mi +eI
可将宏观因素定义为F，将股票i对宏观经济事件的敏感
度为I，有：
ri =E(ri) +i F +eI
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单指数模型的提出
●宏观因素不确定，且各宏观因素的权重无法确定
●夏普用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素，有单指
数模型：股票收益公式为
Ri =αi +i RM +eI
●Ri=ri-rf是股票超过无风险收益的超额收益，αI是当市场超额收益
率为零时的期望收益，I是股票i对宏观因素的敏感程度，RM=rM–
rf是市场收益超过无风险收益的超额部分，iRM合在一起的含义是
影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；eI是影响股票
超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。
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单指数模型的提出
●αI是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也
很稳定，一定时期可以看成是一个常量。
● eI是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确
定的，其期望值为零。
● 真正影响股票期望收益的是iRM，要估计的只有股票收益对市场收
益敏感程度I。
● 由于Ri是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与
无风险收益的水平有关。
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单指数模型的意义
●减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：
σ2I=2iσ2M （RM ）+σ2(ei)
●非系统风险独立于系统风险，因此RM和ei的协方差为0。ei是每个公司特有
的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率Ri与Rj的协方差，都与市场
因素RM有关，所以，Ri与Rj的协方差为
Cov(RI，Rj)=Cov(iRM，jRM) =ijσ2M
●现在需要的估算量为：n个期望超额收益E(RI)的估计，n个公司i的估计，
n个公司特有方差2(ei)的估计和1个宏观经济因素的方差2M的估计。现
在的估算量是3n+1。
●再看上海、深圳1400种股票的例子，现在只需要估算4201种（原来是多少）
。
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单指数模型的几何表达
单指数模型可以表达为一条截距为αi，斜率为I的斜线。坐标系
的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条
斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。
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单指数模型和风险分散
●单指数模型可证明：随着资产组合中股票数量的增加，非系统风险逐步
下降，而系统风险并不变化。
●假定一个等权重的资产组合有n只股票，每只股票的超额收益为：Ri =αi
+iRM +ei
●整个资产组合的超额收益为：RP=αP+PRM+eP
●等权重资产组合的超额收益可以表示为
RP =∑wiRi =1/n∑Ri=1/n∑(αi +iRM +eI)
=1/n∑αi+(1/n∑i)RM +1/n∑ei
●由于P=1/n∑I；αP=1/n∑αi，是一个常数；eP =1/n∑eI，因此资产
组合的方差为
σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)
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等权重资产组合方差的分解
●定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资产组合的贝塔值和市
场风险水平，不会随资产组合中的股票数量的增加而变化。
●定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是独立的，都具有零
期望值，所以随着资产组合中的股票数量越来越多，非系统风险
越来越小。
●这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合的方差将接近于系
统方差。
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等权重资产组合方差的分解（2）
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单指数模型与CAPM模型的关系
●按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为
Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM)
=iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =iσ2M
●上式所以成立，是因为由于αI是常数，它与所有变量的斜方差都
是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此
Cov(ei，RM)=0。可推导出
I= Cov(Ri，RM)/σ2M
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单指数模型与CAPM模型的关系（2）
●在推导CAPM模型中，也有i= Cov(Ri，RM)/σ2M成立，
即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。
●因此， CAPM模型是单指数模型的一个特例，对Ri=αi+iRM+ei两
边取期望，有
E(ri)–rf=αi+i[E(M)–rf]。
与CAPM模型相比较，可见，CAPM模型是所有股票阿尔法的期望值为
零的取期望的单指数模型。
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单指数模型举例——清华同方（1）
假定有反映中国股市整体情况的中证300指数，有无风险利率存在。估算
期为1年，计算出每月同方公司的平均收益水平和中国股市月平均收益水
平（虚拟数据），结果如下。
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单指数模型举例——清华同方（2）
同方股票的超额收益与市场超额收益的关系有下式：
RTFt=αTF+TFRMt+eTFt
将这12组数据带入上式进行回归，得到结果如下：
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单指数模型举例——清华同方（3）
截距为%，斜率为，残值的方差反映了同方公司特有因素
对同方股票收益的影响程度，表中的R2表示的是rI与rM之间的相
关性的平方，它是总方差上的系统方差，它告诉我们公司股价小
量波动是由市场波动造成的。
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单指数模型的局限性
●这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险
与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源
是有距离的。
●它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多
公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。
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多因素模型
（1）多因素模型的提出
●系统风险包括多种因素
●不同的因素对不同的股票的影响力是不同的
（2）两因素分析模型
假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。单
指数模型扩展成了两因素模型：
Rt =α+GDPGDPt+IRIRt +et
（3）例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供
应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率很
敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素模型
才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。
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一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普
遍的影响。
1．GDP的增长率
2．短期国库券的利率水平
3． 长短期国债的收益率之差
4. 公司债与国债的收益率之差
5. 通货膨胀率
6. 石油价格
7. 技术进步
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多因素模型
●实际上影响股票收益的因素还不止两个。
●法马与弗伦奇的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公
司的规模、帐面价值/市值比和股票指数：
Rit =αi+iMRMt+iSMBSMBt+iHMLHMLt+eit
●陈、罗尔和罗斯的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为
行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨
胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG和长期
政府债券对短期国库券的超额收益GB：
Rit=αi+iIPIPt+iEIEIt+iUIUIt+iCGCGt+iGBGBt+eit
第一简单，第二，选择最重要的因素。
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套利定价理论
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最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提出，这一理
论的结论与CAPM模型一样，也表明证券的风险与收益
之间存在着线性关系，证券的风险最大，其收益则越高。
但是，套利定价理论的假定与推导过程与CAPM模型很
不同，罗斯并没有假定投资者都是厌恶风险的，也没有
假定投资者是根据均值-方差的原则行事的。他认为，
期望收益与风险之所以存在正比例关系，是因为在市场
中已没有套利的机会。
传统理论是所有人调整，这里是少数人调整。
一、套利定价理论
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①股票的收益率取决于系统因素和非系统因素；
②市场中存在大量的不同资产，是完全竞争的；
③市场中允许卖空，卖空所得款项归卖空者所有；
④投资者偏向获利较多的投资策略。
罗斯的分析是从单因素模型开始的，即有：
r=E(ri)+biF+eI ()
我们假定，系统因素测度的是与宏观经济有关的新信息，它具有零期
望值。非系统因素eI也具有零期望值。
二、套利定价理论的假定前提
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资产组合充分分散，非系统风险会完全分散掉。
假定有一由n种股票按权重组成的资产组合，每一股票的权重为wi，
因此有Σwi =1，则该资产组合的收益率为
rP=E(rP)+bPF+eP ()
这里，式中的bP是n种股票的bi的加权平均值，
有bP=Σ wibI；式中的eP是n种股票与F无关的ei的加权平均值，有eP
=ΣwIei。这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两部分，有
2P = b2P2F+2(eP) ()
rp=E( rp)+ bpF ()
三、充分分散化的资产组合
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Stock 现价$ 预期收益%标准差%
A 10
B 10
C 10
D 10
套利举例
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中值 标准差 相关性
Portfolio
A,B,C
D
可以看出,由A,B,C三种证券(等权重)构成的组合在所有环境下都比D的表
现好.所以,任何投资者,无论是否厌恶风险,只需对D做空头,然后再购买
等权重的组合,就可以从中获得好处.
假如卖空D300万美元,然后用于购买A,B,C各100万股,结果如下:
套利组合
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Stock 美元投资(万元) 收益(万元)
A 100
B 100
C 100
D -300
___________________________________
资产组合 0 10
结果是:D价格下跌的同时A,B,C的价格上涨,或者只有D的价格下跌或只有
A,B,C的价格上涨,这样套利机会就被消除了.
套利行为与收益:计算
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如果资产组合不是等权重的，结论仍然成立。
假定有一由1000只股票构成的资产组合。我们令第一只股票的头寸为
w%，令第二只股票的头寸为2w%，第三只为3w%，……，第一
千只股票的头寸为1000w%。
有w+2w+…+1000w=1，求解w，有500500w=1，w=%。
那么，1000w=%。
这就是说，在这个非等权重的资产组合中权重最大的一只股票的头寸
只占全部资产的%，即占全部资产的1%的。我们的结论是，
只要资产组合是充分分散化的，无论是不是等权重的，非系统风
险都会被分散掉。
充分分散化的资产组合（2）
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图中的实线显示在不同的系统风险下，一个bA=1 的充分分散化资产组合A的
收益情况。资产组合A的期望收益是10%，系统风险为0，
由于bA=1，因此资产组合的收益为
E(rA)+bAF=10%+×F ()
如果系统因素F为3%，那么，资产
组合的收益就为10%+3%=13%；
如果系统因素F为-3%，那么，资产
组合的收益就为10%-3%=7%。
四、充分分散化的几何表达
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图上还有一条虚线，它代表另一充分分散化资产组合B的收益。我们
假定其收益的期望值为8%，且bB也等于1。
那么，A和B是否可以在图中的条件下共存呢？
显然不行。因为不论系统因素为多大，A大于B都会导致套利机会的出
现。所有的投资者都会愿意买入资产组合A，同时卖空资产组合B
，无论系统因素为多大，都可以获得2%的套利毛利润。
如果投资者的套利规模为1000万，套利的毛利润就是20万，还没有风
险。在套利活动的作用下，两个资产组合的收益差会逐渐消失，相
同贝塔值的充分分散化的资产组合的均衡收益是唯一的。一旦不再
唯一，就有套利的机会，而套利会使收益差消除。
充分分散化的几何表达（2）
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首先，所有充分分散化资
产组合的期望收益都是在
无风险收益的基础上系统
因素的线性函数，如果无
风险收益为4%，系统风险
为6%。当贝塔值为时，
期望收益为7%；当贝塔值
为1时，期望收益为10%；
任何贝塔值为的组合期望收益都是斜线上同一点，如果不是，就存在套利
机会，套利活动会使具有相同贝塔值，充分分散化资产组合的期望收益趋
于相同。而所有贝塔值不同的资产组合的期望收益都会在同一条斜线上，
一旦出现不在一条线的情况，实际就等于有相同的贝塔值，但期望收益不
同，这当然会导致套利。
五、不同贝塔值的风险溢价与贝塔成比例
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假定市场资产组合是一个充分分散化的资产组合，其贝塔值为1，由
于风险溢价与贝塔值成比例，所以，其期望收益等于无风险收益
加上其风险溢价水平。其一般形式为
E(rp)=rf+[E(rM)-rf]bP
这就是CAPM模型的一个表达式。这就是说，在套利机制充分作用下，
当市场无套利机会时，即便没有CAPM的严格假设，风险溢价与贝
塔值的关系和CAPM模型中的关系是基本一致的。显然，套利定价
理论为利用指数模型提供了理论上的依据。
六、套利定价与CAPM理论
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大大简化了CAPM的假设条件.与CAPM一样,APT假定:拥有相同
预期的投资者都是风险厌恶者,市场不存在交易成本.但是,APT的限制
条件不像CAPM那样严格,其最基本的假设是证券收益率受某些经济因
素的共同影响,但是没有限定这些因素的个数及内容.
2.理论依据不同.APT建立在无风险套利原理上,认为市场在不存在套利
机会时达到均衡,证券价格正是因为投资者不断进行套利活动而实现均
衡.CAPM以均值-方差模型为基础,考虑当所有投资者以相同方式选择
投资组合时,如何确定证券价格.
APT 与 CAPM比较[1]
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APT 与 CAPM比较[2]
3.市场均衡的形成原由不同.CAPM中,投资者具有相同的预期,当证券定价
不合理时,所有投资者都会改变投资策略,调整资产组合.CAPM假定在
投资者共同行为的影响下,市场重新回到均衡状态.按照APT,不需要所
有投资者都对不合理的证券价格产生反应,即使只有几个投资者的套利
行为也会使市场尽快回到均衡状态.
4.联系.两者都是均衡模型:CAPM强调证券市场上所有证券的供需达到均
衡,APT要求市场处于均衡状态从而使证券价格不存在套利机会.
从某种意义上说,CAPM是APT的一个特例.
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THE END
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Spot Exchange Transaction
I 、直接套汇：指利用同一时间两个外汇市场之间出
现的差异，进行贱买贵卖获取利差。
例：纽约外汇市场100美元=马克
法兰克福市场1美元=马克
如果你有100万美元，怎么套汇？获利多少？
如果你有100万马克，怎么套汇？
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纽约外汇市场：100美元=马克
法兰克福市场：1美元=马克
100万马克
100/万美元
100×
纽约卖出
法兰克福卖出
获利马克
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Spot Exchange Transaction
II 间接套汇Three-point Arbitrage ：利用三个或多个
不同地点的外汇市场中多种货币之间的汇率差异，
同时在这三个或多个外汇市场上进行外汇买卖，以
赚取汇率差额收益的一种外汇交易
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Spot Exchange Transaction
伦敦市场： EUR1 =GBP ~
纽约市场： EUR1 =USD ~
新加坡市场：GBP1 =USD ~
如何判断有汇率差价？
伦敦买欧元，纽约卖欧元：
GBP1＝~ 比较
判断：伦敦市场英镑贵；新加坡市场英镑便宜。
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新加坡 伦敦
纽约
客户卖美元买英镑客户卖美元买英镑
11＄＝＄＝1/
客户卖英镑买欧元客户卖英镑买欧元
1/
客户卖欧元换美元客户卖欧元换美元
×=×=＄＄
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谢 谢
四月-
2106:33:4006:3306
:33四月-21四月-
2106:33
06:3306:33:4
0四月-21四月
-2106:33:40
2021/4/17 6:33:40
