第四章
第二节
泊松分布
二、泊松定理
三、泊松分布的数学期望
与方差
一、泊松分布
一、泊松分布
设随机变量 X 的分布律为
称 X 服从参数为 的泊松分布,
记为
显然满足:
（1）非负性:
（2）规范性:
泊松分布是概率论中又一重要的概率分布：
一方面，很多随机现象都近似服从泊松分布,
如电话交换站一定时间间隔内的呼唤次数；
公共汽车站来到的乘客数；
炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数;
落在显微镜上某种细菌个数；
另一方面，泊松分布可看为二项分布的极限分布.
二、泊松定理
定理:
设随机变量
服从二项分布
并且满足
其中概率 与 n 有关,
则
在应用中,
当 且 n 很大 ，
时,
p 很小
有下面的泊松近似公式(其中 )
由于泊松分布有着广泛的应用,
都已造成表（见书末附表1及附表2），计算时可查表.
例1 在1875年-1955年间的某63年间，上海的夏季
（5-9月）共发生暴雨180次，求一个夏季发生 k 次
暴雨的概率。
解:
每年夏季共有
n =31+30+31+31+30=153天,
若每次暴雨以一天计,
则每天发生暴雨的概率为
一个夏季发生 k 次暴雨记为
作为初步近似,
可利用伯努利概型,
由于p 很小，而 n 较大，
则
例2 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人
（工人配备多了就浪费，配备少了又要影响 生产），
现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发
生故障的概率都是。在通常情况下一台设备的故
障可由一个人来处理（我们也只考虑这种情况），问
至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不
能及时维修的概率小于？
解:
设需配备 N 人,
记同一时刻发生故障的设备台数
为 X ,
那么
所需解决的问题是确定
最小的 N ,
使得
由泊松定理
即
查表知满足上式最小的 N 是8,
即需至少配备8名工人。
例3.
设儿童在注射“非典”疫苗产生不良反应的概率为
，试确定2000个儿童中有3个以及2个以上产生不
良反应的概率.
解:
设X表示在此2000个注射疫苗的儿童中产生不良
反应的个数,则
由于n=2000很大, p=很小.
所以可进行近似计算
即:
故:
三、泊松分布的数学期望与方差
其分布律为
设 ，
则
四、泊松分布的应用
①泊松分布常作为大量重复试验中稀有事件(不幸事件,
意外事故,非常见病,自然灾害等）发生概率的数学模型.
②服务领域: 电话接到的呼叫次数;公共车站来到的乘
客数.
物理领域: 热电子辐射数等.
（1）保险公司亏本的概率是多少?
（2）保险公司赢利不少于100000元的概率是多少?
例4.
有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率
为，今有2500人参加这项保险，每个参保的人员
在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从
公司领取20000元保险金,试问：
设某保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已
分析:
每年1月1日,保险公司的收入 元,
若一年中死亡 x 人,
则保险公司这一年应付出20000x 元,
因此“公司亏本”意味着20000x >300000 即 x >15人,
这样“公司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”
的事件，
从而转求“一年中多于15人死亡”的概率，
“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试
若把
验,
则问题可用
的伯努利试验来近似.
由泊松定理,
经查表可得：
(1)
（2）赢利不少于100000元，则意味着
则
设 X 为一年中这些参保人员里死亡的人数.
则
解:
