统计与决策 2009年第 18期（总第 294期）
复合期权的保险精算定价
摘 要： 文章引入 Mogens Bladt 和 Tina Hviid Rydberg 在无市场假设下关于期权定价的保险
精算方法。 基于此法，利用公平保费原则和价格过程的实际概率测度，建立了复合期权的定价模型，
并推导出其定价公式。 且当投资者对原生资产期望回报率为无风险利率时，该定价为风险中性价格。
关键词： 复合期权；保险精算定价；公平保费；概率测度
中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2009）18-0059-02
钱丽丽 1a，柴 俊 2，邓桂丰 1b
（1.上海立信会计学院，a.高职学院；b.数学与信息学院，上海 200235；2.华东师范大学 数学系，上海 200062）
0 引言
随着金融衍生市场的不断发展， 出现了各类新型期权，
如亚式期权、复合期权、障碍期权、回望期权等。 其中复合期
权是基于期权的期权，即以某个期权作为标的资产。 主要有
四种类型：基于某个看涨期权的看涨期权，基于某个看涨期
权的看跌期权，基于某个看跌期权的看涨期权，基于某个看
跌期权的看跌期权。复合期权具有两个执行价格和两个到期
日。
在文献[4]中，利用 Black-Scholes 定价公式，通过解偏微
分方程求出了复合期权的定价公式。此方法是利用传统的期
权定价思路，基于无套利、均衡、完备的市场假设，利用复制
的思想得到。 复制的思想是 Black-Scholes 公式的基本假设：
任何未定权益的价值均可由包含基础证券（股票）和无风险
证券（债券）组成的投资组合精确复制。 换句话说，购买或出
售一个期权的风险可完全被投资组合的收益所对冲。因此在
无套利、完备的市场假设下期权的市场价值可由债券和股票
的市场价值确定。 但当市场是有套利、非均衡、不完备时，传
统的期权定价方法将无法使用。
1998 年，Mogens Bladt 和 Tina Hviid Rydberg[2]首次提
出期权定价的保险精算法，利用公平保费原理，将期权定价
问题转化为保险问题。 其基本思想是：买入一份期权，对方
（此时的期权出售者） 在期权有效期内就会承担一定的潜在
风险，若要为这一风险加上保险，其保费就是这一期权的价
格，也就是用对方所承受风险的大小来衡量其期权价值的大
小。 由于保险精算没有对金融市场和价格过程作任何限制，
计算期权价格时，只利用了价格过程在期末时的实际概率分
布和公平保费原理，克服了鞅方法定价中寻找等价鞅测度的
困难。 所以保险精算方法相比 Black－Scholes 方法市场适用
面更广。 本文将运用保险精算方法对复合期权建立定价模
型，并推导出定价公式。
1 模型的描述
考虑基于看涨期权的欧式看涨期权， 第一个执行日为
T1，相应的执行价格为 X1；第二个执行日为 T2，相应的执行价
格为 X2。记当前时刻为 0 时刻，股票当前价格为 S0，T1时刻价
格为 ST1，T2时刻价格为 ST2 。
记复合期权在 t(0≤t≤T1)时刻价格为 CC(t)，作为该复合
期权的标的资产的看涨期权在 t(0≤t≤T1)时刻价格记为 C(t)。
在 T1时，当 C(T1)>X1时，复合期权将被执行，此时持有者
将支付 X1并获得[T1,T2]上的欧式看涨期权，该期权给予持有
者在 T2以 X2购买标的股票的权利。 由于欧式看涨期权 C(t)
是标的资产 S 的增函数， 所以可假设存在 S*， 使得当 ST1 =S
*
时，这时的 C(T1)恰等于 X1。所以当有 ST1>S
*时，有 C(T1)>X，此
时可执行复合期权，而标的期权才得以存在。
在 T2时，只有当 ST2>X2时，且 ST1>S
*时（保证标的期权得
以存在），才会执行标的期权。
2 复合期权的保险精算定价公式
Mogens Bladt 和 Tina Hviid Rydberg[2]提出的期权定价
的保险精算法，其基本思路是：无风险资产（确定的）按无风
险利率折现，风险资产（随机的）按期望收益率折现，欧式期
权的价值等于在期权执行时股票期末价值按期望收益率折
现的现值与执行价按无风险利率折现的现值之差在股票价
格实际概率测度下的数学期望。
定义 1 股票价格过程{St:t≥0}在[0，T]上产生的期望收
益率 μ0定义为 e
μ0 T =EST/S0
定理 1 设有基于看涨期权的欧式看涨期权，情况如上
文中所述。 且股价 St服从几何布朗运动， 即 dSt=μStdt+σSt-
dWt，dWt为标准布朗运动。 则：
（1）标的期权在 T1时的价格为：
C(T1)=E[(e
μ(T2-T1)ST2-e
r(T2-T1)X2)·I{e
μ(T2-T1)ST2>e
-r(T2-T1)X2|I{e
μT1ST1 -e
rT1 S*|}]
（2）复合期权在 0 时刻的价格为：
CC(0)=E[e
-μT1C(T1)-e
rT1X1]·I{e
-μT1 ST1 >e
-μT1 ST1 }
证明：由于 dSt=μStdt+σStdWt,得 St=S0e
(μ- 1
2
σ
2
)t+σWt
又因为 WT~N（0，T）
则：EST=S0e
(μ- 1
2
σ
2
)T
E[e
σWT ]
=S0e
(μ- 1
2
σ
2
)T +∞
-∞乙 e
σx 1
2πT姨
e
x2
2T dx
=S0e
μT +∞
-∞乙 12π姨 e
z2
2 dx (z= x-Tσ
T姨
)
=S0e
μT
所以， EST
S0
=e
μT
可得 ，这里 μ0=μ
（1）根据第 1、2 部分分析可知，标的期权执行的充要条件
是 e
-μ(T2-T1)ST2>e
-r(T2-T1)X2，而标的期权得以存在的条件是 e
-μT1 ST1 >
e
rT1S*。 从标的期权发行人角度来讲，当持有者在 T2时执行期
权时， 发行人在 T1 时遭受的相应损失即为 e
-μ(T2-T1)ST2 -e
-r(T2-T1)
X2，那么发行人需要收取的公平保费就应该是这笔损失的期
望值，即该标的期权在 T1时的价格 C(T1)。
（2）据 2 中分析，在 T1时，只有 C(T1)>X1时，才可执行复
合期权，且 C(T1)>X1等价于 ST1 >S
*。 所以，复合期权执行的充
决 策 参 考
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要条件是 e
-μT1 ST1 >e
-rT1 S*，从复合期权发行人角度来讲，当执
行期权时，发行人遭受的相应损失为 e
-μT1 C(T1)-e
-μT1 C(T1)，仿
（1）中所述，即可证明。
3 定价公式的推导
定理 2 （基于看涨期权的欧式看涨期权的定价公式）:
期权情况如前所述，则此复合期权在现在时刻的价格为
CC (0)=S0M (a,b; T1/T2姨 )-X2e
-rT2 e
-(μ-r)T1M (a- T1姨 σ,b-
T2姨 σ; T1/T2姨 σ)-X1e
-rT1N(a- T1姨 σ)
这里 M(a,b;p)=
a
-∞乙 dx
b
-∞乙 f(X,Y)(x,y)dy，f(X,Y)(x,y)= 12π 1-p2姨
e
x2-2py+y2
2(1-p2)
a= -d1+T1σ
T1姨
，b= -d2+T2σ
T2姨
,N(x)=
x
-∞乙 12π姨 e
y2
2 dy
d1=
1n S
*
S0
-rT1+ 12 σ
2T1
σ
，d2=
1n X2S0
-rT2+rT1-μT1+ 12 σ
2T1
σ
证明：根据定理 1（1）可先求出 C(T1)的表达式。
由 dSt=μStdt+σStdWt得 St=S0e
(μ- 1
2
σ2)t+σwt
所以:e
-μ(T2-T1)ST2>e
-r(T2-T1)X2等价于 WT2>
1n S
*
S0
-rT1+ 12 σ
2T1
σ =d2
e
-uT1ST1 >e
-rT1ST1等价于 WT1>
1n S
*
S0
-rT1+ 12 σ
2T1
σ =d1
因为 WT1~N(0,T1)，WT2~N(0,T2)，且有:
概率密度函数 P(WT1 )=
1
2πT1姨
e
WT11 2
2T1 ，P(WT2 |WT1)=
1
2π(T2-T1)姨
e
(WT11 2-WT11 2)2
2(T2-T1)
E[(e
-μ(T2-T1)S0 -e
(U- 1
2
σ2)T2+σWT2
I{WT2>d2}|I{WT1>d1}]=S0 e
UT1- 12
σ2T2 +∞
d2
乙 eσWT2p
(WT2 |WT1 )dWT2
E[X2(e
-r(T2-T1)I{WT2>d2}|I{WT1>d1}]=X0e
-r(T2-T1) +∞
d2
乙 p(WT2 |WT1 )dWT2
所以，可得:
C(T1)=S0e
UT1- 12
σ2T2 +∞
d2
乙 eσWT2p(WT2 |WT1 )dWT2-X2e-r(T2-T1)
+∞
d2
乙 p(WT2 |WT1 )
dWT2
根据定理 1（2）有:
CC(0)=E[(e
-μT1C(T1)-e
-rT1X1)·I{WT1>d1}]
S0 e
1
2
σ2T2 +∞
d1
乙 +∞d2乙 e
σWT2p(WT2 |WT1 )p(WT1 )d(WT2)d(WT1 )-X2e
-uT1-r(T2-T1)
+∞
d1
乙 +∞d2乙 p (WT2 |WT1 )p (WT1 )dWT2dWT1 -X1e
-rT1 +∞
d1
乙 p(WT1 )d (WT2 )
=CC1-CC2-CC3
△
CC1=S0 e
1
2
σ2T2 +∞
d1
乙 +∞d2乙 e
σWr2p(WT2 |WT1 )p(WT1 )d(WT2 )d(WT1 )=S0 e
1
2
σ2T2 +∞
d1
乙 +∞d2乙 e
σWr2 e
(WT2-WT2)
2
2(T2-T1)
2π(T2-T1)姨
e
WT1
2
2(T2-T1)
2πT1姨
dWT2dWT1
= S0e
1
2
σ2T2
2π T1(T2-T1)姨
+∞
d1
乙 +∞d2乙 e
{σWr2
(WT2-WT2)
2
2(T2-T1)
- WT1
2
2T1 dWT2dWT1
由于：
σWT2-
(WT2-WT2)
2
2(T2-T1)
- WT1
2
2T1
=- (WT2-T1σ)
2
2T1
- [(WT2-T2σ)
2
2(T2-T1)
+ 12 T2σ
2
所以：CC1= S0e
1
2
σ2T2
2π T1(T2-T1)姨
+∞
d1
乙 +∞d2乙 e
-
(WT1-WT2)
2
2T1
- [(WT2-T2σ)-(WT2-T2σ)]
2
2(T2-T1) e
1
2
T2σ2
dWT2dWT1
令：h1=-
WT2-T1σ
T1姨
，h2=-
WT2-T2σ
T2姨
CC1= S0 T1T2姨
2π T1(T2-T1)姨
+∞
d1+T1σ
乙
T1姨
+∞
d2+T2σ乙
T2姨
e
1
2
h12 [-h2 T2姨 +-h1 T1姨 ]2(T2-T1) dh2dh1
S0
2π 1-T1/T2姨
+ d1+T1σ
T1姨
-∞乙
+ d2+T2σ
T2姨
-∞乙 e
h12-2h1h2 T1/T2姨 +h22]
2(1-T1/T2) dh2dh1
令：a= -d1-T1σ
T1姨
=
1n S0S* +(r+
σ2
2 )T1
σ T1姨
a= -d2-T2σ
T2姨
=
1n S0S* +(r+
σ2
2 )T1
σ T2姨
所以 CC1=S0M(a,b; T1/T2姨 )
同理可得 CC2=X2e
-rT2+(r-μ)T1M(a- T1姨 σ,b- T2姨 σ,b; T1/T2姨 )
CC3=X1e
-rT1N(a- T1姨 σ)
所以 CC(0)=CC1-CC2-CC3
=S0M(a,b; T1/T2姨 )-X2e
-rT2+(r-μ)T1 M(a- T1姨 σ,b- T2姨 σ,b;
T1/T2姨 )-X1e
-rT1N(a- T1姨 σ)
定理得证。
4 说明
当 μ=r 时，可得文献[4]（当不支付红利时）的结果。 即当
投资者对原生资产的期望回报率 μ 看法一致，认为是无风险
利率 r 时，基于看涨期权的欧式看涨期权的定价是一个风险
中性价格。
用同样的方法可计算出其它三种复合期权的定价公式，
这里只给出最后表达式，不再一一赘述。
基于看涨的欧式看跌期权价值：
-S0M(-a,b; T1/T2姨 )-X2e
-rT2+(r-μ)T1M(-a+ T1姨 σ,b- T2姨 σ-
T1/T2姨 )+X1e
-rT1N(-a+ T1姨 σ)
基于看跌的欧式看涨期权价值：
-S0M(-a,-b; T1/T2姨 )+X2e
-rT2+(r-μ)T1M(-a+ T1姨 σ,b- T2姨 σ-
T1/T2姨 )+X1e
-rT1N(-a+ T1姨 σ)
基于看跌的欧式看跌期权价值：
-S0M(-a,b; T1/T2姨 )-X2e
-rT2+(r-μ)T1M(-a- T1姨 σ,b+ T2姨 σ-
T1/T2姨 )+X1e
-rT1N(a- T1姨 σ)
同样，当 μ=r 时，这三类复合期权的定价也是风险中性
价格，是独立于每个投资人风险偏好的公平价格。
参考文献:
[1]Black F, Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Lia-
bilities[J]. Journal of , 81 (3).
[2]BladtM, Hviid RydbergT. An Actuarial Approach to Option pric-
ing under the Physical Measure and without Market Assumptions
[J]. Insurance: Mathematics and Economies 1998, 22(1).
[3]闫海峰，刘三阳，广义 Black-Scholes 模型期权定价新方法－保险
精算方法[J]. 应用数学和力学，2003，24（7）.
[4]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M]. 北京：高等教育出版社，
2003.
（责任编辑/亦 民）
决 策 参 考
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