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基于随机微分博弈的最优投资组合*
罗琰 1,2，杨招军 1
1 湖南大学经济与贸易学院，湖南 长沙 410079
2 南京审计学院数学与统计学院，江苏 南京 210075
摘要：本文研究了基于投资者与自然之间二人-零和随机微分博弈的最优投资问题。假设投
资者具有指数效用，自然是博弈的“虚拟”对手，通过求解最优控制问题对应的 HJBI方程，
在完备市场及存在随机收益流的非完备市场模型下，都得到了投资者最优投资策略以及最优
值函数的闭式解。结果显示，在完备市场条件下，投资者的最优风险投资额为零，在非完备
市场条件下最优风险投资额为 / 。
关键词：微分博弈；投资组合；指数效用；鞅测度
中图分类号：F830 文献标识码：A
1. 引 言
连续时间最优消费/投资问题起源于Merton的开创性工作[1][2]，众多学者从不同的视角对
Merton问题进行了拓展研究，如考虑交易费用[3]、随机收入[4]、借贷约束[5]、存贷利差[6]等
条件下的最优消费/投资策略，进一步完善了经典Merton问题。但是，上述关于连续时间最
优消费/投资问题的研究中，都忽视了模型的不确定性。很久以前就有学者指出模型的不确
性与风险是两个不同的概念，只不过不确定性被冠以“模糊性、Knightian不确定性”等不同
的名字。“不确定性”从数学的角度说是指投资者对随机过程(如股票价格过程)所服从的概
率分布不知道或者说是模糊的，而“风险”是指虽然投资者对随机过程将会出现哪种结果是
未知的，但是对随机过程所服从的概率分布是唯一确定的。显然，不同的投资者对资产价格
过程所服从的概率测度有不同的信念，当然市场就会存在多个主观概率测度，因而风险资产
的真实回报率也是不确定的。因此，可以把模型不确定性归结为真实概率测度的不确定性。
国内外学者对模型不确定性情形下的投资及定价问题做了许多研究，如Maenhout(2004)[7]在
鲁棒(robust)方法基础上，研究了连续时间模型不确定性下最优投资消费问题，李仲飞,高金
窑(2008)[8]运用相对熵控制模型的不确定性程度研究了模型不确定下均值-方差最优资产配
置问题，并得出了鲁棒-资产配置策略。
本文试图用随机微分博弈的思想来研究考虑模型不确定情形时，投资者在“最差情境”
(worst case scenario)中的最优投资问题。微分博弈可以追溯到20世纪40年代末期Rufus Isaacs
的研究工作，但各种原因使得他的工作直到1965年才以《微分博弈》[9]书籍形式发表。之后，
微分博弈不仅仅成为数学也成为经济管理学科重要的研究主题。Yeung and Petrosyan [10] 在
2006年出版的书中全面介绍了合作随机微分博弈理论及其应用。最近， Mataramvura and
Øksendal
[11]在跳-扩散金融市场中，利用随机微分博弈论研究了风险最小化的投资组合策略
问题；Siu[12]也利用随机微分博弈论研究了Markov调制模型下的期权估值问题；Zhang and
Siu
[13]利用随机微分博弈论研究了不存在无风险资产情形下保险公司最优投资及再保险问
题。Browne [14] 研究了两个具有相关但不同投资机会的投资者之间基于随机微分博弈的最优
投资问题。
本文借鉴文献[11]中微分博弈思想，考虑自然与投资者之间的二人-零和随机微分博弈，
这里自然是博弈中“虚拟”的对手。具体来说，一方面投资者选择一种投资组合策略最大化
其终止时刻财富期望效用，而期望是在概率测度 { }Q 下取得的，{ }Q 代表了可供自然
选择的经济“环境”。另一方面，自然通过选择概率测度所代表的“环境”，最小化投资者的
*本课题得到国家自然科学基金（项目编号：70971037）的资助。.
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最大化终止时刻期望财富效用。这显然与Browne的随机微分博弈问题不同，也与Maenhout
的鲁棒控制有别。本文分别在完备市场以及引入随机收益流的非完备市场条件下研究了投资
者基于随机微分博弈的最优投资策略。在投资者具有指数效用偏好的假设下，得到了投资者
的最优投资策略及最优值函数的闭式解。
余下内容安排如下：第2节给出完备市场模型下的最优投资模型，第3节给出给出非完备
市场模型下的最优投资模型，最后一节是全文总结。
2. 完备市场模型下的最优投资组合
本节在经典的 Black-Scholes 完备市场经济条件下考虑基于随机微分博弈的最优投资问
题。假设市场中仅存在一种风险资产及一种无风险资产，风险资产价格 ( )S t 服从几何布朗运
动：
( ) ( ) ( ) ( ), (0) .dS t S t dt S t dW t S s （1）
无风险资产价格 0( )S t 服从如下方程：
0 0 0( ) ( ) , (0) t rS t dt S （2）
其中 , , 0r 为常量， 为风险资产的回报率， 为风险资产价格波动率， r 为无风险资
产收益率且有 0 r ；{ ( ) : 0}W t t 为定义在概率空间 ( , , )P 上 t 适应的标准 Brown
运动，这里 t 是自然 域 { ( );0 }
W
t W s s t 关于P的完备化，P 表示一个参考概
率测度。
设投资者具有初始财富 x，采用自融资(Self-Financing)交易策略，即在整个时间段(0,T]
即不追加投资,也不抽出资金作为他用。设 ( )t 为 t 时刻投资在风险资产上的财富，
( ) ( )X t t 为 t时刻投资在无风险资产上的财富。若{ ( ), 0}t t 是 t 循序可测的，并几乎
处处满足可积条件 2
0
T
t dt ，则 ( )t 是可行策略，记为所有可行策略集。投资者在
时刻 t的财富过程 ( )X t 满足如下受控扩散过程：
( ) [ ( ) ( )( )] ( ) ( ), (0) .dX t rX t t r dt t dW t X x （3）
投资者的目标是最大化其终止时刻财富水平 ( )X T 的期望效用。
需要强调的是：上述“期望”是在具体的概率测度下取得的，即使同一随机变量，不同
的概率测度对应不同的期望值。所以投资者终止时刻财富期望效用的大小受具体概率测度的
控制。于是，自然可以通过选择概率测度，最小化投资者期望效用。
下面引入自然控制的概率测度集。假设 t 可测的随机过程 { ( ) | 0}t t ，对任意
T ，满足 Novikov 条件 2
0
1
[exp( ( ) )]
2
T
E t dt ，记为所有满足这样条件的随机过程
所组成的集合。对任意 ，在概率空间 ( , , )P 上定义 t 适应过程 { ( ), 0}Z t t ：
2
0 0
1
( ) exp[ ( ) ( ) ( ) ]
2
t t
Z t s dW s s ds （4）
由 ˆIto公式立即可得 ( )Z t 满足如下动态方程：
( ) ( )[ ( ) ( )], (0) 1dZ t Z t t dW t Z （5）
易知 ( )Z t 是鞅过程，满足 [ ( )] 1E Z T 。所以，对任意 ，可以定义 t 上关于概率测度
P绝对连续的新概率测度Q ：
( ) ( ) ( )dQ w Z T dP w （6）
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这样，代表自然可控制集，选择不同的 就选择了不同的概率测度，也就是选择不同
的投资“环境”。定义过程 { ( ) | 0}W t t ：
0
( ) ( ) ( )
t
W t W t s ds （7）
由式(7)可得 ( ) ( ) ( )dW t dW t t dt （8）
易知 { ( ) | 0}W t t 在概率测度Q 下也是标准 Brown运动， 则风险资产及财富过程在Q
测度下的动态过程满足：
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ), (0) .dS t t S t dt S t dW t S s （9）
( ) [ ( ) ( )( ( ) )] ( ) ( ), (0) .dX t rX t t t r dt t dW t X x （10）
所以，由式(9)、(10)可知：自然选择不同的 ，风险资产回报率在不同投资“环境”中也
随之变化，投资者的财富过程也发生相应变化。
现在可以在自然和投资者之间考虑如下随机微分博弈：给定由测度Q 表示的自然选定
的投资“环境”，投资者选择最优投资组合策略最大化其终止时刻财富Q -期望效用。自然
对投资者的选择做出反应，通过选择由测度Q 表示的“环境”，最小化投资者的最大化期望
效用。这就把最优化问题刻画为自然与投资者之间的二人-零和随机微分博弈。为方便叙述，
参照文献[11],定义：
,
0 1 2( ) ( ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ))dV t dV t dV t dV t dt dX t dZ t
， 1 2(0) ( , , )V v s v v （11）
最优化问题即可表述为寻找价值函数 1 2( , , )s v v 及策略
， 使得：
1 2( ) ( , , ) inf(sup [ ( ( ))]) [ ( ( ))]Q Qv s v v E U X T E U X T
（12）
不难验证 , ( )V t 是 Markov 过程，对任意三元连续函数 1,2,2 3( )h C R ，都具有无穷小生成元
, [ ( )]h v ：
1 1 1 1 2 2 2
, 2 2 2 2
1 2 2
1 1
[ ( )] [ ( )]
2 2s v v v v v v v
h v h rv r h h v h v h （13）
由此，类似文献[11]，不难得到如下确认(verification)定理：
引理 1 设 : (0, ) (0, ) (0, )T ，表示的闭包，假定存在函数 2( ) ( )f C C
及 Markov 控制 ( ( ), ( ))y y 满足如下条件：
1. , ( )[ ( )] 0vA f v
，对所有 R 及v ；
2. ( ), [ ( )] 0vA f v
，对所有 v 及 R ；
3. ( ), ( )[ ( )] 0v vA f v
，对所有 v ；
4. , , ,2 1lim ( ( )) ( ) ( ( ))t T f V t V T U V T
；
5.记为所有满足 { }T 的停时集，则 ,{ ( ( ))}f V 是一致可积的。
则有 ( ) ( )f v v ， ( , ) 是最优 Markov 控制。
引理的条件 1~3 即是 HJBI(Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs)方程所具备的特征，条件 4 为
终止时刻价值函数的特征，条件 5 是为证明条件 1 及 2 的技术要求。
为得到最优控制策略以及最优值函数的显示解，假设投资者效用函数为双曲绝对风险厌
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恶(HARA)指数函数 ( ) / , 0xU x e ，于是可以把最优化问题刻画为如下 HJBI 方程
的紧凑形式：
1
,
1 2
1 2 2
inf(sup [ ( , , )]) 0,
( , , ) / .v
A f s v v
f T v v v e
（14）
下面求解由式(14)所刻画的最优投资问题。由引理 1 中条件 4 及文献[4]中定理 5,猜想
值函数具有如下形式 ( )1 2 2 1( , , ) exp{ ( )} /
r T sf s v v v v e g s ，其中 ( )g s 为确定性函数且
( ) 0g T 。很容易得到 f 关于自变量的偏导数：
( )
1[ ]
r T s
s sf f rv e g
,
1
( )[ ]r T svf f e
,
1 1
2 2 ( )[ ]r T sv vf f e
,
1 2
( )
2[ / ]
r T s
v vf f e v
,
2 2
/vf f v , 2 2 0v vf （15）
将式(15)代入式(13)可得：
, ( ) 2 2 ( )
1 2[ ( , , )] { [ ( ) / 2]}
r T s r T s
sf s v v f g e r e
（16）
先固定 ，由一阶条件可得投资者最优投资策略：
( ) 2( ) [( ) ] /r T sr e （17）
将式(17) 代入式(16) ，由一阶条件可得自然最优策略：
( ) /r （18）
再将式(18)代入式(17)，从而得到投资者最优投资策略：
( ) 0 （19）
将式(18)、(19) 代入式(16)，又由引理 1 的条件 3 立即得：
( ) 2 2 ( )[ ( ) / 2] 0r T s r T ssg e r e
（20）
所以由边界条件 ( ) 0g T 即可得：
( ) 0g s （21）
即最优值函数为：
( )
1 2 2 1( , , ) exp{ } /
r T sf s v v v v e （22）
由上述分析立即可得如下定理：
定理 2 在完备市场中，基于随机微分博弈的最优策略为： ( ) /r ， ( ) 0 ，
最优值函数为： ( )1 2 1 2 2 1( , , ) ( , , ) exp{ } /
r T ss v v f s v v v v e 。
由定理 2 可以发现，在完备市场中投资者的最优风险资产投资额为零，即把所有财富
投到无风险资产中。事实上，在博弈的均衡状态 ( , ) 中，自然将初始参考概率测度P 转
化为等价鞅测度Q ，由式(9)可得此时风险资产价格过程满足：
( ) ( ) ( ) ( ), (0) .dS t rS t dt S t dW t S s （23）
即在Q 概率测度下，风险资产只获得了与无风险资产相同的回报率 r ，当然风险厌恶的投
资者不会在只能获得回报率 r 时还把财富投入到风险资产中去。由式(23)可知，概率测度Q
恰好就是无套利期权定价中的风险中性测度。另外，由式(13)可知，若 0 ，即自然选择
的就是初始参考概率测度 P，与投资者主观概率测度一致，则最优投资策略为即为经典
Merton 问题的最优投资策略： ( ) 2( ) /r T sr e ，可见经典 Merton 问题只是本文的
一种特殊情形。
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3. 非完备市场模型下的最优投资组合
本节假设投资者具有外生的随机收益流，面临不完全可对冲的风险，市场是不完备的。
同样，考虑基于自然与投资者之间随机微分博弈情形下的最优投资问题。假设收入流 ( )Y t 在
任意时刻 t的动态方程为如下算术布朗运动
( ) ( ), (0)dY t dt dB t Y y （24）
其中 , 0 为常量，表示预期收益率， 表示收益波动率， { ( ) : 0}B t t 为定义在概率
空间 ( , , )P 上 t 适应的另一标准 Brown 运动，此时设定 t 是自然域 t
,{ }W Bt 关于概
率测度P的完备化。设过程 { ( ) : 0}B t t 及 { ( ) : 0}W t t 相关，相关系数为 ( 1) ，即
[ ( ) ( )]E B tW t t ，因此市场是不完备的.
此时，投资者的财富过程满足如下受控扩散过程：
( ) [ ( ) ( )( ) ] ( ) ( ) ( ), (0) .dX t rX t t r dt t dW t dB t X x （25）
为引入自然控制的概率测度集，假设 t 可测的随机过程 { ( ) | 0}t t ，对任意T ，满
足 Novikov 条件 2
0
1
[exp( ( ) )]
2
T
E t dt ，记 为所有满足这样条件的随机过程 所组成
的集合。对每个 ，在概率空间 ( , , )P 上定义 t 适应过程 { ( ), 0}Z t t ：
2
0 0 0
( ) exp[ ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ]
t t t
Z t s dW s s dB s s ds （26）
显然式(26)中的 ( )Z t 与完备市场情形式(4)中的 ( )Z t 表达式不同。
由 ˆIto公式立即可得 ( )Z t 满足如下动态方程：
( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]dZ t Z t t dW t t dB t （27）
由 ( )Z t ，同样可以定义 t 上关于概率测度P绝对连续的新概率测度Q ：
( ) ( ) ( )dQ w Z T dP w （28）
为方便叙述，定义
, 0 1 2( ) ( ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ))dV t dV t dV t dV t dt dX t dZ t
, 1 2(0) ( , , )V v s v v
（29）
所以，基于随机微分博弈的最优投资问题可刻画为寻找价值函数 1 2( , , )s v v 及
，
使得：
1 2( ) ( , , ) inf (sup [ ( ( ))]) [ ( ( ))]Q Qv s v v E U X T E U X T
（30）
不难验证 , ( )V t 是 Markov 过程，对任意三元连续函数 1,2,2 3( )h C R ，都具有无穷小生
成元 , ( )v ：
1 1 1
1 2 2 2
, 2 2 2
1
2 2
2 2
[ ( )] [ ( ) ] [ 2 ] / 2
(1 ) ( ) (1 )
s v v v
v v v v
h v h rv r h h
v h v h
（31）
为得到最优控制策略以及最优值函数的显示解，同样可设投资者具有指数效用，把最优
化问题刻画为如下 HJBI 方程的紧凑形式：
1
,
1 2
1 2 2
inf (sup [ ( , , )]) 0,
( , , ) / .v
A f s v v
f T v v v e
（32）
下面求解由式(32)所刻画的最优投资问题。由引理 1 中条件 4 及文献[4]中定理 5 猜测
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值函数具有如下形式:
( )
1 2 2 1( , , ) exp{ ( )} /
r T sf s v v v v e g s ，其中 ( )g s 为确定性函数且 ( ) 0g T .
代入式(31)可得：
, ( )
1 2
2 2 2 ( )
[ ( , , )] { [ ( ) (1 ) ( )
( 2 ) / 2]}
r T s
s
r T s
f s v v f g e r
e
（33）
先固定 ，由一阶条件可得投资者最优投资策略：
( ) 2( ) [( ) (1 ) ] / /r T sr e （34）
将式(34)代入式(33)，由一阶条件可得自然最优策略：
( ) / ( )r （35）
再将式(35)代入式(34)，从而得到投资者最优投资策略：
( ) / （36）
将式(35)、(36) 代入式(33)，注意 ( ), ( )[ ( )] 0v v f v
，立即得：
( ) 2 2 2 ( )[ ( ) (1 ) ( ) ( 2 ) / 2]r T s r T ssg e r e
( ) 2 2 ( )[ ( ) / (1 ) / 2]r T s r T se r e （37）
又由边界条件 ( ) 0g T 得：
( ) 2 ( )( ) (1 ) / (1 ) / 2r T s r T sg s A e r B e r （38）
其中： [ ( ) / ]A r ， 2 2 2(1 ) / 2B
由上述分析立即可得如下定理：
定理 3 在非完备市场中，基于随机微分博弈最优策略为： ( ) / ( )r ，
( ) / ，最优值函数为： ( )1 2 1 2 2 1( , , ) ( , , ) exp{ ( )} /
r T ss v v f s v v v v e g s 。
由定理 3 可知，在不完备市场条件下，投资者在风险资产中的最优投资额只与相关系数
及收益流与风险资产的波动率之比 / 有关，且为定值 / 。若 0 ，即收益流与
风险资产正相关，则卖空风险资产，若 0 ，即收益流与风险资产负相关，则买入风险资
产。而由式（34）可知，其第一项为零对应着完备市场中风险资产最优投资额为零，第二项
/ 正是投资者为减少随机收益流所带来的风险而进行的对冲交易。
4. 结 语
本文研究了基于随机微分博弈理论的最优投资问题。假设自然是“虚拟”的博弈对手，
在投资者与自然之间构建了一个二人-零和随机微分博弈模型，投资者选择一个投资组合策
略最大化其终止时刻财富期望效用，而自然选择一个概率测度代表的经济“环境”最小化投
资者的最大效用。在完备市场和具有随机收益流的非完备市场条件下，通过求解模型相应的
HJBI 方程，都获得了自然及投资者的最优策略及最优值函数的闭式解。本文得到的结果表
明：在完备市场中投资者的最优投资策略为将全部财富购买无风险资产，而风险资产投资额
为零，因为投资者与自然处于均衡状态时，自然选择的是一个等价鞅测度或者说是无风险测
度Q ，投资者处于一个风险中性世界；而在非完备市场中投资者的最优投资策略为常量
/ ，是为了利用风险资产对冲随机收益的不确定性所进行的投资。本文得到的结论对
投资者面临最不利经济环境时的最优投资组合策略提供了一个有益的参考。
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参考文献
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Optimal Portfolio Selection Based on Stochastic
Differential Game
Luo, Yan 1,2 Yang, Zhaojun 1
1. School of Economics and Trade, Hunan University, Changsha 410079
2. School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Audit, Nanjing 210075
Abstract: In this paper, we study the problems of optimal portfolio selection based on the two-player
zero-sum stochastic differential game between the nature and investor. Suppose that the investor has
exponential utility, and that natural is a “fictitious” player of game, we derive the closed-form
expressions of optimal strategies of the investor and the optimal value function under the complete
market and incomplete market with stochastic income respectively. The results indicate that the amount
of optimal investment on risky asset is zero in complete market，but the amount of optimal investment
on risky asset is / in incomplete market.
Keywords: Differential Game; Portfolio selection; Exponential Utility; Martingale Measure
作者简介：罗琰（1979-），男，湖南郴州人，湖南大学经济与贸易学院博士研究生，南京
审计学院数学与统计学院讲师，研究方向为金融数学、金融工程。杨招军（1964-），男，
湖南邵阳人，博士、教授，湖南大学经济与贸易学院数量经济学专业博士生导师，研究方向
为金融数学、金融工程。
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