第四章 风险状态优劣评价标准
风险管理的一个基本问题是：如何评价不同风险状态的优劣。
为简单起见，在理论分析中，一般分析财富指标（或其变动量）, 收入表现为财富的增加,损失表现为财富的减少。评价不同风险状态优劣的问题简化为：设风险主体面临两个风险指标（随机财富变量）X与Y，已知X与Y的风险状态，问如何评价X与Y的优劣。这就是所谓的风险测度问题（可以定义为广义随机占优）。
评价标准最少应具备完备性（Completeness）、传递性（transitivity）。
所谓完备性是说，对于任意两个财富风险状态X、Y，评价标准都应给出优劣的评判；所谓传递性是说，对于财富变量X、Y、Z，如果X优于Y，Y优于Z，则必有X优于Z。
到目前为止，并无公认评价标准。已有的标准大致分为两类。
客观标准：评价标准中基本不应用有关风险主体的其它信息。即风险状态评价标准基本依赖风险状态本身。但不同标准的应用者需具备一定的特征（实际上是，标准是客观的、选用时则要结合主观特征）。
客观标准包括：期望价值标准；均值——方差标准；随机占优标准、VAR标准、ES标准等。
非客观标准：评价标准中要运用风险主体的其它信息。如：风险主体的经历、财富水平、心理状态等。
非客观标准中广泛应用的、最基本的标准是期望效用标准。近年来，以期望效用标准为基础发展出了一系列的更复杂也更具体的标准。
以下我们有选择地介绍若干风险状态优劣评估标准（风险测度）。
第一节 风险状态优劣客观标准
所谓风险状态优劣客观标准是指，对于任意风险状态X，我们有一个函数或函数向量F，我们用F（X）的值来评价X的优劣。
期望价值标准
设风险主体面临随机财富指标X、Y，若E(X)>E(Y), 则认为X比Y优。例4-1设汽车车主当前的财富水平为W0，现在面临要否购买汽车保险的问题。若购买汽车保险，保费支出为2500元；若不购买汽车保险，相应于可保损失的支出是一个随机变量Z。Z的概率分布函数为：
损失额（Z）
0
10，000
30，000
损失概率
90%
5%
5%
显然，若车主选择购买保险，其财富期望为
E（X）=E（W0 – 2500）= W0 – 2500
若车主选择不购买保险，其财富期望为
E（Y）=E（W0 – Z）= W0 – 2000
可以看出，采用期望价值标准，车主将选择不购买保险。
对期望价值标准，很早就有人提出质疑。其中最有名的例子也许是圣彼得堡悖论(St. Bertersburg paradox)。
1713年代，瑞士数学家尼古拉斯.伯努利(Nicholas Bernoulli)提出一个谜题：
乙支付一笔钱给甲后，乙抛硬币，若出现正面，甲给乙21美元，游戏结束；若出现反面，乙继续抛硬币，若出现正面，甲给乙22美元，游戏结束；若出现反面，乙继续抛硬币，若出现正面，甲给乙23美元，游戏结束；若出现反面，乙继续抛硬币，若出现正面，甲给乙24美元，游戏结束；若出现反面，乙继续、、、
在这个游戏中，乙收入的数学期望为：
（1/2）1×21+（1/2）2×22 +（1/2）3×23 +、、、
== 1+1+1+、、、
== ∞
这就是说，理论上，乙无论付出多少钱玩这个游戏都是可行的。贝努利发现，很少有人愿意支付10美元来玩这个游戏
问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？
这个问题最早发表在一个叫圣彼得堡的杂志上, 所以后来就叫圣彼得堡悖论(St. Bertersburg paradox)
现实中, 很多人也不接受期望价值标准。比如，所有赌博公司与客户间的赌博游戏，客户的期望收入总是小于赌注，但嗜赌者大有人在。所有彩票的期望收入也无一例外大大小于投注额，但彩票购买者也大有人在。
二 均值—方差标准
均值—方差标准：风险主体通过比较X与Y的均值和方差（不再仅是数学期望）来判断X与Y的优劣。
现实中运用均值—方差标准时，一般假设风险主体是风险厌恶型的，即：当两个随机财富状态的均值相等时，方差小的随机财富状态优；方差相等时，均值大的优。
显然均值—方差标准不能运用于所有情况（不具备完备性，或者说均值—方差标准是一个有局限性的标准、在理论上有缺陷的标准）。例如，设X和Y是两个随机财富状态，如果E(X)>E(Y)，同时D(X) >D(Y)；或相反， E(X) <E(Y)，同时DE(X) < D(Y)。这时单凭均值—方差我们是无法判定X与Y的优劣的。
但这不排除在特定领域均值—方差标准有其完美性。比如在证券投资领域，1952年，马克威茨提出了“证券投资组合理论”，运用均值—方差，马克威茨完美地解决了投资组合选择问题。
三 随机占优标准
随机占优 stochastic dominance
随机占优为风险状态排序提供了一个简单的工具（Whitmore和Findlay，1978）。我们用一个简单的例子解释随机占优关系：假设风险主体想在两个财富风险状态X和Y之间做一个选择，如果在未来任何情况下X总是超过Y，只要风险主体是永远不会满足的，那么风险主体不会持有Y，因为持有X得到的结果一般会更好。因此，运用这种方法，不需要对风险主体的效用函数、风险主体需要规避的风险因子以及风险财富收益的分布做任何假设，我们就可以对风险状态进行排序。
上述例子仅仅是一阶随机占优（first-order stochastic dominance，FSD）的一个特例。更一般地，如果对任意x，资产Y小于或等于x的概率大于资产X，那么资产X对资产Y是一阶随机占优的。只要投资者的目标是财富最大化，而且永远不会满足，那么投资者就不会选择Y。
随机占优关系主要有三种：一阶随机占优（FSD）；二阶随机占优（SSD）和三阶随机占优（TSD）。
随机占优的严格定义是：假设X和Y的累积概率函数（CDF）分别为F1和G1，X对Y是一阶随机占优的，当且仅当对任意的x有
因此如果X 的累积概率函数在Y 的累积概率函数的右边，那么X 对Y 是一阶随机占优的。
一阶随机占优的条件很强，因此有了二阶随机占优和三阶随机占优。定义F2 和G2 分别为F1和G1 与横轴以及x＝a（a 为任意实数）所围区域的面积，那么X 对Y 是二阶随机占优的，当且仅当对任意的x 有
二阶随机占优允许X 和Y 的累积概率函数有交叉的可能。最后，定义F3 和G3 分别为F2 和G2 与横轴以及x＝a（a 为任意实数）所围区域的面积，uX和uY 分别为X 和Y 的期望收益。那么X 对Y 是三阶随机占优的，当且仅当对任意的x 有
三种占优关系之间的联系是
即存在一阶随机占优时，就存在二阶随机占优，存在二阶随机占优时，就存在三阶随机占优。
如果存在随机占优，投资者持有占优资产预期收益总是更高的，因此理性投资者不会持有不占优的资产。
随机占优的成立只需对投资者的效用函数做以下假设：一阶随机占优要求投资者的目标是效用最大化，而且永远不会满足；二阶随机占优要求投资者不但是不会满足的，而且是风险厌恶的；三阶随机占优要求投资者不但是不会满足和风险厌恶的，而且绝对风险厌恶系数是递减的（风险厌恶、绝对风险厌恶系数的概念我们在下面介绍）。
四、VAR标准
同样置信水平下，在险值小者为优。
20世纪90年代, JP摩根银行首席执行官Dennis Weather Stone 向其雇员提出了一个要求：能否在每天下午４：１５时提出一个数字，使其能够准确的了解银行的风险状况。
这实际上是一个风险测度的问题：风险状态的客观标准问题。
即：已知财富随机变量Ｘ，求一个F , F =F (X )，用其能度量Ｘ的优劣。
显然，σ、Ｅ、n阶距等均可纳入考虑范围。但显然，Dennis对这些指标不满意，因为：这些指标①不能用于公司多风险因素的情况，②这些指标一般不涉及风险规模，③这些指标无法指导风险控制措施（一般认为）。JP. Morgan 的雇员提出了一个指标：在险值VaR ( Value at risk)。
1994年， JP. Morgan 成立了一间公司，名为Riskmetrics , 专门计算VaR。
五、ES标准
ES（ Expected Shortfall）指期望损失，有时也叫条件在险值（CVAR）、平均在险值（AVAR）、期望尾损。
计算ES时，要先确定最坏水平q（分位点），比如，我们关心最坏的10%的情况。
如对于任意0‹α‹1，都可以算出VAR，则ES用如下公式计算：
ESq = [ ∫0q VARɑ dɑ ]/q
如财富变动量是离散分布的，则以最坏情况内各个离散概率占最坏水平的比重为权重，财富变动量的加权平均值为ES。
例4-2 设初期财富量为100。期末财富量为
probability
ending value
of event
of the portfolio
10%
0
30%
80
40%
100
20%
150
则财富变动量及其概率分布为
probability
of event
profit
10%
−100
30%
−20
40%
0
20%
50
我们可以计算若干分位点的ESq:
q
expected shortfall ESq
5%
−100
10%
−100
20%
−60
40%
−40
100%
−6
的计算:
ES1.的计算
一般：ESq 是q的增函数；
ESq 总是比VARq糟糕（最多一样）。
附：一致性风险测度公理
Artzner等（1999）提出了一致性风险测度（Coherent Risk Measure）概念。他们认为一种良好定义的风险测度应该满足单调性、一次齐次性、平移不变性和次可加性四条公理，并将满足这些公理的风险测度叫做一致性风险测度。
1、 单调性：X1≥X2→ρ(X1)≤ρ(X2) 如果投资组合X1在任意情况下的价值都比投资组合X2的价值大，则一致性风险测度度量的X1的风险至少不应该比X2的风险大。也就是说，优质资产的风险应该比劣质资产的风险小。
2、 一次齐次性：
3、平移不变性：
即意味着：ρ(X + ρ(X)) = ρ(X) − ρ(X) = 0
上式意味着，如果用数量为ρ(X)的资本或保证金加入到投资组合X之中，则恰好可以抵消投资组合X的风险。因此，平移不变性公理要求风险测度在数值上就是为抵消投资组合的风险而需要提供的资本或保证金的数量。
4、 次可加性：
次可加性公理意味着，用一致性风险测度度量出来的所有被监管对象的总体风险A，不能比各单个被监管对象的风险之和B大。否则，即使各个被监管对象都设置了足够的资本或保证金A，也不能保证所有监管对象总的资本或保证金ρ(Xi)足以抵消整体风险B，因此监管措施就可能失效。可见，次可加性公理主要是从保证风险监管有效性的角度提出的，为监管目的而设计的风险测度应该满足次可加性公理。
风险测度理论至今为止仍然是一个有待进一步开发和完善的领域，有许多值得深入研究的课题。由于现有各种风险测度指标均存在一定的局限性，新的风险测度理论和建立在其之上的新的风险测度指标（性能优良、便于计算、合理检验）是今后值得深入研究的重点和方向。总之，风险测度在投资组合优化中的应用对风险管理实践有较强的指导意义。
第二节 期望效用理论
在非客观标准中，最重要是期望效用标准。
对于圣彼得堡悖论，尼古拉斯.伯努利的侄子数学家、物理学家丹尼尔.贝努利(Daniel Bernoulli)1738进行了解答。
丹尼尔·伯努利的解答里，提出了效用的概念，并提出两条重要原理：
边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。
可惜丹尼尔.贝努利的这一伟大经济学发现根本不为经济学家们所知，而是在经历了漫长的斯密、李嘉图的古典经济学时代后，才被效用论者重新提起。在大约２００年后才得以继续发展。为什么会出现这一现象, 一个蹩脚的解释是：Daniel Bernoulli的解答是用拉丁文所写的数学论文。尔后的２００年中，经济学家先是懂拉丁文但并不懂数学，尔后当他们懂数学时却早已不懂拉丁文。所以经济学文献中，一般认为期望效用理论由冯.诺伊曼与摩根斯特恩正式提出（1944年）。
一 效用
效用：金钱财富对人们带来的满足程度。是人们对财富的心里评估。
关于效用的基本假设1：财富多比财富少好。
用函数表示效用时，效用函数是单调上升的即：U´(w)>0 。
关于效用的基本假设2：边际效用递减。
对同一个人（或机构），在不同财富总水平上，增减等量的财富额度，满足程度的增减量不一定是相等的（不同的人（或机构）在相同财富总水平上，增减等量的财富额度，满足程度的增减量也不一定是相等的）。例如雪中送碳和锦上添花，都表示财富的增加，但一般认为同等额度的财富增加，雪中送碳给人们带来的满足程度的增加要多于锦上添花给人们带来的满足程度的增加。
用函数表示效用时，效用函数的二阶导数是非正的。即：U’’(w)<0 。
图4-1中曲线1）代表这种情况。
二、 期望效用标准
当面临财富风险状态X与Y的选择时，若E(u(x)) >E(u(y))，则认为X优于Y，这就是期望效用标准。
例4-3 车主保险问题
例4-1中，设车主的效用函数U（W）为（风险厌恶型）：
W
W0
W0-2000
W0-2500
W0-10000
W0-30000
u
0
×2000
-1×2500
×10000
×30000
若车主选择购买保险，则其期望效用为
E(u(W0－2500))
＝－2500
若车主选择不购买保险，则其期望效用为
E(u(w))＝90％×0－5％××10000－5％××30000
＝－2950
所以，按期望效用标准，车主应该选择保险。
三、效用函数基本类型
三种典型的效用函数
图4-1是三种典型的效用函数。
1）、风险厌恶型的效用曲线 2）、风险中性型的效用曲线 3）、风险偏好型的效用曲线
图4-1 三种典型的效用曲线
三种曲线的凸向如下。
风险态度
效用曲线凸向
厌恶型
u’’<0
中性型
u’’=0
趋险型
u’’>0
凯尼曼（Kahneman）的效用函数
凯尼曼认为人们的风险态度与当前的财富水平有关。
凯尼曼还认为，对于损失，人们表现为冒险型，对于收益，人们表现为保守型（风险规避型）。
图4-2凯尼曼（Kahneman）的效用函数
风险标准与效用函数
关于风险标准和效用函数作者有如下观点，供参考。
所有风险主体有不同的效用函数。
人们一般表现为风险规避型。
但环境决定的风险标准足以使人们在不同的财富水平上表现出冒险或避险的巨大差异（效用的突变）。
四、效用函数如何确定
效用函数是用来描述人对财富的态度，是一种主观的东西（受客观制约）所以很难确定。
理论上，可以用实验法试探风险主体的效用曲线上的若干点，并通过连接这些点， 得到效用曲线。
例.设财富为0时，u(0)＝0，财富为100万时，u(100)=100，现在问财富主体愿用多少财富进行如下投硬币游戏？
硬币出现正面，财富主体得到100万；
硬币出现反面，财富主体得到0。
若回答是40万，表明u(40)=1/2u(0)+1/2u(100)=50
接下来针对[0,40]区间、[40,100]区间分别提出类似问题。
如对[0,40]区间现在问财富主体愿用多少财富进行如下投硬币游戏？
硬币出现正面，财富主体得到40万；
硬币出现反面，财富主体得到0。
若回答是15万，表明u(15)=1/2u(0)+1/2u(40)=25
对[40,100]区间现在问财富主体愿用多少财富进行如下投硬币游戏？
硬币出现正面，财富主体得到100万；
硬币出现反面，财富主体得到40万。
若回答是60万，表明u(60)=1/2u(40)+1/2u(100)=75。
这样我们可以得到一个基本的效用函数表：
W
0
15
40
60
100
u
0
25
50
75
100
用同样的方法可以得到更多的财富值与对应效用函数值，将这些点连接起来可以得到近似的效用曲线。
五、风险主体风险规避态度的度量
由于财富边际效用递减是普遍现象，所以大多数风险主体在一般情况下均表现为分风险规避主体。不过不同的风险主体对待风险的态度是有差异的。如何度量风险主体规避风险的态度在理论上和现实中都有重要意义。下面介绍理论上如何度量风险主体风险规避态度。
风险规避态度的Markowitz度量（风险价格）
设风险主体的效用函数为U（W），对财富随机变量X，若存在确定财富量D，使
U（D）= E（U（X））
则P =E（X）- D 称为风险主体关于该风险的Markowitz风险价格。
D为X的等效财富量。
对于风险厌恶风险主体，有E(u(X))<u(E(X))， 所以风险价格是一个正数。
图4-3风险规避态度的Markowitz度量
对于风险厌恶型风险主体而言，风险财富的期望值虽大于D，但风险主体愿意以D之上的任何水平的确定财富量将风险财富X交换于他人。
风险价格越高，表示风险主体规避风险的态度越强烈。
例、设风险主体的财富效用函数为U（W）=Ln (W)；风险主体面临的风险财富变量为X为：
P（X=30）=
P（X=5）=
则:E(X)=×30+×5=10
而U（E（X））=Ln10=
又E（U（X））=（30）+（5）=
令Ln（D）=
解得D=。
得到风险价格P==
风险规避态度的Pratt-Arrow度量
风险规避态度的Markowitz度量，与具体风险有关。人们希望对风险主体风险规避态度本身度量（不涉及具体风险）。这样就发展了风险规避态度的Pratt-Arrow度量。
绝对风险规避度
设风险主体的效用函数为U（W）。风险主体当前的财富水平为W0 。未来财富变动量为△W，E（△W）=0，D（△W）=σ2 ，则风险主体未来财富变量为W= W0+△W.
根据风险价格定义，风险价格P（W0，△W）为：
.P= E（W）- D
即：D= E（W）- P，有
U（D） = U[E（W）- P] 4-1
因U（D）= E（U（W））
E（W）=E（W0）=W0
4-1变为：
E（U（W0+△W.））=U[W0-P ] 4-2
将U（W0+△W.）在W0泰勒展开，有：
U（W0+△W.）= U（W0）+ U/（W0）△W.+ +O（△）
两边求期望值，4-2式等号前一部份变为：
E（U（W0+△W.））=U(W0)+σ2 U’’ (W0) +O（σ2）
4-2式等号后一部份的泰勒展开为：
U[W0-P ]=U（W0）-P U’ (W0)+ O（P2）
所以，有：
P=σ2 [- U’’ (W0) / U’ (W0)]
对于具体的风险，σ2 是确定的量，则P完全由 [- U’’ (W0) / U’ (W0)]确定。
定义：
ARA= - U’’ (W0) / U’ (W0)
是风险主体的绝对风险规避度。
因U’’ (W0)<0，U’ (W0)>0，所以ARA为正数。
ARA越大，风险价格越高，表明风险主体风险规避态度越强烈。
实证研究认为风险规避型风险主体绝对风险规避度递减。即： <0.
相对风险规避度
对于风险规避型效用函数，ARA是财富水平W的递减函数。
在财富水平大幅上升后，它将变得很小，不足以显示风险主体的风险态度。如一个赌注为万元人民币的掷币赌局，一个下岗工人将持相当规避的态度，但一个亿万富翁将持非常无所谓的态度。
为显示财富水平为W时风险主体的风险规避态度，人们又定义了所谓的相对风险规避度。
定义：
RRA= - W U’’ (W0) / U’ (W0)
为风险主体的相对风险规避度。
对于一个风险主体而言，一般设其相对风险规避度不变（一项实证研究证实RRA应为2-----1975Friend and Blume）。
这就是说，风险主体在财富水平万元时赌注为千元的掷币赌局，和财富水平亿元时赌注为千万元的掷币赌局会持同样的风险态度。
风险主体的效用函数和风险主体风险规避态度的度量
风险态度
效用曲线凸向
期望效用关系
Pratt-Arrow度量
厌恶型
u’’<0
E(u(w))<u(E(w))
ARA>0，RRA>0
中性型
u’’=0
E(u(w))=u(E(w))
ARA=0，RRA=0
趋险型
u’’>0
E(u(w))>u(E(w))
ARA<0，RRA<0
作为风险规避型风险主体，效用函数U必须满足：
U/>0，U//<0；
最好：
d(ARA)/dw<0, RRA=2.
二次型、对数型、负幂型函数做为风险厌恶型风险主体的效用函数的可行性
二次型
U（W）=aW-bW2
(W≤a/2b)
结论：不合适?
2)对数型
U（W）=Ln（W）
可行
3）负幂型
U（W）= - W-1
正好。
客观标准应用者的风险规避态度
1）期望价值标准：中性，Markowitz价格=0
ARA=c
RRA=
2）均值-方差标准：风险厌恶，Markowitz价格>0
ARA
RRA
3）随机占优
一阶：期望效用最大者可采用此标准；
二阶：风险厌恶者可采用此标准；
三阶：绝对风险规避度递减者可采用此标准。
关于风险规避态度的讨论
面对风险，我们有采取风险态度的本能，这种本能由过往的经历造就；但面对风险，我们应采取什么风险态度，却是一件科学的工作----我们应尽可能不让本能控制我们的行为。风险主体对待风险的态度，不应由过去决定，而应由风险主体面对的现在和未来决定，这就是说风险主体应研究其面对的风险环境，寻找其准确的效用曲线。
六、前景理论(展望理论、主观期望效用理论)介绍
1、阿莱斯悖论
上世纪50年代，法国经济学家阿莱斯（Ｍ．Ａｌｌａｉｓ）通过一系列可控实验，提出了著名的“阿莱斯悖论”，对期望效用理论构成了挑战。
举例说来，若有两个投资机会Ａ与Ｂ：
Ａ会稳赢3000元；
Ｂ会以80％概率获4000元，20％概率得零。
大多数人会选Ａ。
再考虑投资机会Ｃ与Ｄ：
Ｃ会以20％的概率获4000元，80％的概率得零，
Ｄ会以25％的概率得3000元，75％的概率得零。
这时，上述在Ａ与Ｂ中偏好Ａ的大多数人又会选Ｃ。
其实，机会Ｄ只是0．25×Ａ，而机会Ｃ也只是0．25×Ｂ。
显然，人们在Ａ、Ｂ之间的选择与在Ｃ、Ｄ之间的选择了发生了不一致。这就叫阿莱斯悖论。（偏好逆转、偏好不一致性）。
阿莱斯由于提出这一悖论以及与该悖论相关的对人类选择行为的一系列研究，而获得了1988年的诺贝尔经济学奖。
然而，经济学家们，包括阿莱斯本人，并没有对这个悖论给出合理的令人信服的解释
另一个例子。
琳达31岁，单身，性格外向，哲学毕业。在学校其间关心歧视和社会公正问题，参加过反核武器抗议示威活动。那么，她可能是？选项有以下两个：
1． 她既是银行职员又是个女权主义者。
2． 她是个银行职员。
向被试询问琳达更有可能是哪一种人？
结果表明，绝大部分人认为她更像1。虽然选项1出现的概率要比选项2出现的概率小得多。不过人们似乎认为1是对琳达更自然的描述，更像她的代表性特征
2、行为金融学要点
1979年，Daniel Kahneman和 Amos Tversky在顶级经济学刊物《Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ》发表论文才对此作出了崭新的解释。他俩的解释是基于一个革命性的行为理论——前景理论（ｐｒｏｓｐｅｃｔ ｔｈｅｏｒｙ）。
前景理论认为，大多数投资者都是行为投资者，他们的行为并非总是理性的，而是有限理性的。由于人们的精力、能力和信息等方面的局限，不可能对投资选择方案进行全面、详尽的计算和评估，从而做出的决策通常是基于启发式思维、思维捷径甚至是错误的选择。同时，投资者也并非总是规避风险。
1）风险偏好Daniel Kahneman和 Amos Tversky
当在获取中进行选择时，人们不愿意冒险；当在受损中进行选择时，人们会找机会尝试冒一下险，且人们对损失比对获得更敏感。在这两种情况下，他们都有可能做出错误判断。
Daniel Kahneman和 Amos Tversky访问一群受试者，看他喜欢哪一种选择：
稳定拿到手的八十美元；
或者百分之八十五的机会拿一百美元，当然，这表示有百分之十五的可能是什么也拿不到，大部分人愿意拿八十美元。
Daniel Kahneman和 Amos Tversky做出结论，人们一般『不愿冒风险』：他们情愿拿到确定的东西，即使另一个风险值得孤注一掷。
Daniel Kahneman和Amos Tversky问另一群人说，看他喜欢哪一种选择：
肯定赔出八十时美元，
或是百分之八十五的可能赔一百美元，这当然表示有百分之十五的可能是一分钱也不赔。
这次，大部分人宁愿赌一赌，而不愿照赔，尽管一般而言，这场赌局的代价更大。
这就解释了阿莱斯悖论人们为何选择A。
图4-4 当在获取中进行选择时，人们不愿意冒险；当在受损中进行选择时，人们会找机会尝试冒一下险，且人们对损失比对获得更敏感
2）锚定与框架
风险主体对待具体风险有锚定的预期结果，风险主体判断损益的标准来自于这个参考点,参考点取决于风险主体的主观感觉(心理价位),并且因人而异。风险主体的风险偏好，也锚定于这一参考点。
生存框架与死亡框架：
Daniel Kahneman和 Amos Tversky在一项测试中，让大学生在两种解决公共卫生问题的提案中做出选择。
假设美国正在准备防御一种罕见的亚洲疾病的迅速蔓延，他估计会使六百人丧失。有人提出了两种方案来对付该疾病。针对这些方案的后果进行的准确科学估计如下：
如果采纳A方案，则有可能会拯救200人;
如果采纳B方案，则有三分之一的可能性使600人全部获救，亦即有三分之二的可能这600人一个也就不了。
你喜欢那一种方案？
测试结果：百分之七十二的人选择方案A而不是方案B
Daniel Kahneman和Amos Tversky接著在另一项测试中，让另一批大学生在两种解决公共卫生问题的提案中做出选择。
假设美国正在准备防御一种罕见的亚洲疾病的迅速蔓延，他估计会使六百人丧失。有人提出了两种方案来对付该疾病。针对这些方案的后果进行的准确科学估计如下：
如果采纳C方案，400人会丧命。
如果采纳D方案，则有三分之一的可能性是没有人会死去。但有三分之二的可能是600人全部死去。
测试结果：百分之七十八的人（另一小组）选择方案D而不是方案C
实际上，这两种办法在数学上是相等的，只是措辞略有不同。
Daniel Kahneman和Amos Tversky的解释：在第一测试中，结果是以获取（拯救的生命）来描述的，在第二测试中结果是以损失（损失的生命）来描述的。受试者的判断受到偏见扭曲。
一个有意思的应用。
有一家公司面临两个投资决策，投资方案A肯定盈利200万，投资方案B有50%的可能性盈利300万，50%的可能盈利100万。这时候，如果公司的盈利目标定得比较低，比方说是100万，那么方案A看起来好像多赚了100万，而B则是要么刚好达到目标，要么多盈利200万。
A和B看起来都是获得，这时候员工大多不愿冒风险，倾向于选择方案A；而反之，如果公司的目标定得比较高，比如说300万，那么方案A就像是少赚了100万，而B要么刚好达到目标，要么少赚200万，这时候两个方案都是损失，所以员工反而会抱着冒冒风险说不定可以达到目标的心理，选择有风险的投资方案B。可见，老板完全可以通过改变盈利目标来改变员工对待风险的态度。
比如，预先定下中国乒乓球队在釜山亚运会上金牌指标为“保四争五”，这“保四争五”就是Ｗ0。最后只获三金，尽管三金本身数量并不少，但国人仍有意见，因它低于“参照点”，低于我们当前根据实力应达到的期盼水平。按（Ｗ－Ｗ0）来评估，这就形成了卡门与特维斯基的“价值函数”。
中国射击队在此届亚运会金牌得数大大超标，媒体与国人对其赞扬程度远不如国人对乒乓球队丢一两块金牌的批评程度，可见对“赢”与“输”评价程度并不对称。这种不对称意味着，人们的决策是遵从“损失规避”准则，而不是“风险规避”准则。而且，人们对于“赢”显示的是“风险规避”态度，而对于“输”，显示的则是“风险喜欢”态度。因此，在“参照点”上，效用函数有“拐点”或“折点”。
3）心理概率
传统的期望效用理论是对效用函数用概率加权，而前景理论则认为人们习惯对事件发生的概率（Ｐ）本身再指派一个“概率函数”π（Ｐ）。
π（p）是p的递增函数，且π（0）=0，π（1）=1，但π（p）不是概率，它不符合概率公理，也不应被解释为个人的主观概率。
同时，当概率p很小的时候，π（p）>p，这表示个人对于概率很小的事件过度重视；但是当概率p较大时，π（p）<p，这说明个人在过分重视小概率事件的同时，往往忽略例行发生的事。而且，在低概率区域，对任意0<r<1时，有π（rp）>rπ（p）。对于所有的0<p<1，有π（p）+π（1-p）<1。由此可看出决策权重函数是客观概率的非线性函数。
这就解释了阿莱斯悖论人们为何选择C。
4）、离散概率函数下的前景理论解释
用价值函数（value function）取代utility函数
用 (pi) V（Wi ）取代 U（Wi ）
3、关于前景理论的讨论。
前景理论揭示的是人们如何犯错误，对于金融集团和政治寡头而言有重要意义，它们得以寻找如何利用人们错误的策略。对普通大众而言，重要的也许是人们如何才能不犯错误。
第三节 期望效用标准与均值-方差标准等价的特例
二次效用函数的特定情形
设风险主体面临选择随机财富X、Y的问题。设X的概率密度分布函数为f（x）；Y的概率密度分布函数为g（x）；E（X）=E（Y）。设风险主体的效用函数为h（x）。
按期望效用标准，计算：
E（u（x）= f（x）d x （1）
E（u（y）= g（x）d x （2）
显然，若h（x）=ax+b
则有：
E（u（X）=ax+b）f（x）d x= aE（X）+b
E（u（Y）=ax+b）f（x）d x= aE（Y）+b
即：（1）=（2）
若h（x）=cx2+ax+b，c<0
则有：h（x）=c´[x-E（X）]2+a´x+b´，c´<0
此时：
E（u（X）= c´[x-E（X）]2+a´x+b´}f（x）d x= c´D（X）+a´E（X）+b´
E（u（Y）= c´[x-E（Y）]2+a´x+b´}g（x）d x= c´D（Y）+a´E（Y）+b´
显然，期望效用的比较变成了方差大小的比较；即当效用函数为二次函数且风险状态的均值相等时，方差小的风险状态优。此时期望效用标准与均值-方差标准等价。
指数效用函数的特定情形（指数效用函数原理）
现实中很少情况下用到二次效用函数。用得较多的一类特定效用函数是指数效用函数，即设风险主体的效用函数是：
u（x）=[1-e-αx]/α；其中，α>0 .
此函数，有u´（x）= e-αx >0；
u´´（x）=- αe-αx <0.
这就是说，指数效用函数描述的是风险厌恶型风险主体的效用形态（较之二次效用函数，其应用范围当然要广）。
现在设风险状态为正态分布，即设：
X∽N（μ，σ2），
可以证明E（U（X））
= dx
=
= -()
显然，期望效用的比较变成了方差大小的比较；即当效用函数为指数函数且风险状态为均值相等的正态分布时，方差小的风险状态优。此时期望效用标准与均值-方差标准等价。
第四章习题
1、证明：对于正态分布X、Y， 若E（Y）>E（X），且D（Y）=D（X），则按一阶随机占优标准Y优于X。
2、设某风险主体的财富效用函数为：-100/w + 100
已知：P（w=2）=
P（w=4）=
求：Markowitz风险价格。
3、设n个风险主体面临的风险状态分别为x1、x2、…、xn，x1、x2、…、xn服从相同的正态分布N（μ，σ）， x1、x2、…、xn非完全正相关．即存在i ,j 使cov(xi,xj)﹤σ2。若风险主体达成风险共担协议，则各自面临的风险状态变为：(Σxi)/n.
证明：按均值-方差标准，风险共担后，各风险主体的风险状态都得到了改善。
4、设x1、x2、…、xn服从相同的正态分布N（μ，σ）， x1、x2、…、xn且相互独立。证明：对任意置信水平（1-α﹥50%），xj的在险值大于(ΣXi)/n 的在险值，按在险值标准，(ΣXi)/n优于xj 。
5、证明：对于风险中性型风险主体而言，期望价值标准和期望效用标准是等价的。
思考题
1、为什么搏彩者愿意参与明显对其不利的博彩？
2、财富集中是必然趋势吗？你有何感想？
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