奶制品的生产与销售
一、 问题提出
问题一：
加工厂用牛奶生产 A1、A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在设备甲上用 12
小时加工成 3 公斤 A1，或者在设备乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市
场需求，生产的 A1、A2 能全部售出，且每公斤 A1 获利 24 元，每公斤 A2
获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的
劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1，设备乙的
加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进
一步讨论以下 3 个附加问题：
1）若用 35 元可以购买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天
最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是
每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤 A1 的获利增加到 30 元，应否改变生产
计划？
问题二：
问题 1 给出的 A1,A2 两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限
制全都不变。为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用 2 小时和 3 元
加工费，可将 1 公斤 A1 加工成 公斤高级奶制品 B1,也可以将 1 公斤 A2 加工
成 公斤高级奶制品 B2，每公斤 B1 能获利 44 元，每公斤 B2 能获利 32 元。
试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题
（1） 若投资 30 元可以增加供应一桶牛奶，投资 3 元可以增加 1 小时劳动时间，
应否做这些投资？若每天投资 150 元，可赚回多少？
（2） 每公斤高级奶制品 B1,B2 的获利经常有 10%的波动，对制定的生产销售计
划有无影响？若每公斤 B1 获利下降 10%，计划应该变化吗？
二、模型假设和符号说明
模型假设
（1）假设 A1,A2 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶
牛奶加工出 A1,A2 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；
（2）假设 A1,A2 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工
出 A1,A2 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
（3）假设加工 A1,A2 的牛奶的桶数可以是任意常数。
符号说明
A1,A2:牛奶的两种类型
X1:每天用于生产 A1 的牛奶的桶数
X2:每天用于生产 A2 的牛奶的桶数
三、 问题分析与模型建立
问题一：
数学模型 设每天用 x1 桶牛奶生产 A1 ，用 x2 桶牛奶生产 A2
目标函数 设每天获利为 z 元。 x1 桶牛奶可生产 3x1 公斤 A1，获利
24*3x1，x2 桶牛奶可生产 4x2 公斤 A2，获利 16*4x2，故 z=72x1+64x2
约束条件
原料供应 生产 A1、A2 的原料（牛奶）总量不超过每天的供应 50 桶，即
x1+x2≤50
劳动时间 生产 A1、A2 的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间 480
小时，即 12x1+8x2≤480
设备能力 A1 的产量不得超过设备甲每天的加工能力 100 小时，即
3x1≤100
非负约束 x1、x2 均不能为负值，即 x1≥0，x2≥0
综上所述可得
Max z=72x1+64x2 (1)
. x1+x2≤50 (2)
12x1+8x2≤480 (3)
3x1≤100 (4)
x1≥0，x2≥0 (5)
问题二：
数学模型：设每天销售 X1 公斤 A1,X2 公斤 A2,X3 公斤 B1,X4 公斤 B2,用 X5 公
斤 A1 加工 B1,X6 公斤 A2 加工 B2（增设 X5,X6 可使模型简单）。
目标函数：设每天净利润为 z，容易写出目标函数：
z=24X1+16X2+44X3+32X4-3X5-3X6
约束条件：
原料供应：A1 每天生产 X1+X5 公斤，用牛奶（X1+X5）/3 桶，A2 每天生产
X2+X6 公斤，用牛奶(X2+X6)/4 桶，二者之和不得超过每天的供应量 50 桶。
即（X1+X5）/3+(X2+X6)/4≦50
劳动时间：
每天生产 A1,A2 的时间分别为 4（X1+X5）和 2(X2+X6)，加工 B1,B2 的时间分
别为 2X5 和 2X6，两者之和不得超过总的劳动时间 480 小时。
设备能力：
A1 的产量 X1+X5 不能超过甲类设备每天的加工能力 100 公斤。
非负约束：
X1,X2…X6 均为负。
附加约束：
1 公斤 A1 加工成 公斤 B1,故 X3=,类似的 X4=
综上所述有：
Max z=24 +16 +44 +32 -3 -3 (6)
. (x1+x5)/3+(x2+x6)/4≤50 (7)
4(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6≤480 (8)
x1+x5≤100 (9)
x3= (10)
x4= (11)
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0 (12)
四、 模型求解
问题一：
用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示
如下：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
X2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
1x 2x 3x 4x 5x 6x
2)
3)
4)
NO. ITERATIONS= 2
计算结果分析：
“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得
到最优解。
“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) ”表示最优目标值为
（LINDO 中将目标函数自动看作第 1 行，从第二行开始才是真正的约束条件）。
“VALUE”给出最优解中各变量（VARIABLE）的值：
x1=，x2=。
“REDUCED COST”的含义是（对 MAX 型问题）：基变量的 REDUCED
COST 值为 0，对于非基变量，相应的 REDUCED COST 值表示当非基变量增加
一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。本例中两个变量都是
基变量。
“SLACK OR SURPLUS”给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等
式约束；第 2、第 3 行松弛变量均为 0，说明对于最优解而言，两个约束均取等
式约束；第 4 行松弛变量为 ，说明对于最优解而言，这个约束取不等
式约束。
“DUAL PRICES”给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第 2、第
3、第 4 行（约束）对应的影子价格分别 ，，。
敏感性分析：
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF INCREASE
DECREASE
X1
X2
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS INCREASE
DECREASE
2
3
4 INFINITY
“GURRENT COEF“（敏感性分析）的“ALLOWABLE INCREASE”(允许的增加量)
和“ALLOWABLE DECREASE”(允许的减少量)给出了最优解不变条件下目标函
数系数的允许变化范围：
X1 的系数为（72-8，72+24）即（64，96）。并且，x1 系数的允许范围需要 x2
的系数保持 64 不变。
X2 的系数为（64-16，64+8）即（48，72）。同理，x2 系数的允许范围需要 x1
的系数保持 72 不变。
“CURRENT RHS”则是对“影子价格”的进一步约束。
牛奶的需求量满足（50-6，50+10）即（44，60）。并且，牛奶的允许范围需要劳
动时间保持 480 小时不变。
劳动时间的需求量满足（480-80，480+53）即(400,533)。同理，劳动时间的允许
范围需要牛奶的用量保持 50 桶不变。
对附加问题的回答：
（1） 因为一桶牛奶的影子价格为 48，35<48，所以应该进行这个投资。另外，
在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多购买 10 桶牛
奶。
（2） 因为一个小时的劳动时间的影子价格为 2，所以付给临时工人的工资最多
是每小时 2。另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每
天最多增加劳动时间 53 小时。
（3） 若每公斤 A1 的获利增加到三十元，则 X1 系数变为 90，根据计算结果分
析，X1 的允许范围为（64，96）在允许范围内，所以不应该改变生产计
划
问题二：
用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示
如下：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
X2
X3
X4
X5
X6
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
3)
4)
5)
6)
NO. ITERATIONS= 2
附件 1 模型源代码
max 72x1+64x2
st
2)x1+x2<50
3)12x1+8x2<480
4)3x1<100
附件 2.模型答案
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
X2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
3)
4)
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1
X2
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2
3
4 INFINITY
