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【金融·保险】
金融市场的分形特征分析
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田 军 [副教授 西南交通大学经济管理学院 成都 610031 ]
胡 伟 [博士 西南交通大学经济管理学院 成都 610031 ]
[内容摘要 ] 本文阐述了传统金融系统的 EMH 理论 , 在 EMH 假设条件下 , 认为市场是均衡的、服从正态
分布的。但实际上 , 市场收益率分布明显偏离高斯分布 , 呈现一种“胖尾特性”。通过分形理论分析及
Hurst 指数刻划 , 论证了金融市场的分数布朗运动特征。
[关键词 ] 金融市场 分形 Hurst 指数 分数布朗运动
[中图分类号 ] F830133 [文献标识码 ] A [文章编号 ] 1000 - 8306 (2000) 05 - 0037 - 03
金
融体系是现代市场经济的
核心。从历史演进过程来
看 , 市场经济的每一步发展 , 都
要求信用交易相对应地发展。因
此 , 社会经济的发展 , 必然伴随
着金融体制的深化 , 在现代发达
的市场经济中 , 生产社会化程度
的提高使得大规模的集资越发必
要 , 资讯技术的发展也极大地方
便了资本在国际范围内的流动 ,
金融市场成为整个市场体系的重
要组成部分。所以 , 斯蒂格利兹
形象地把金融体系比作现代市场
经济的大脑。
长期以来 , 金融经济学一直
为一个线形范式所主宰 , 即认为
相对于每一个作用都有一个与之
成比例的反作用 , 也就是认为市
场是静态的、均衡的、有效的。
这一理论体系自建立以来就一直
受到来自各方面的挑战。随着社
会经济的发展 , 越来越多的现象
已无法在这一理论框架下得到合
理的解释 , 因此必须重新探讨市
场特性 , 从而不必依赖于独立、
正态或方差有限的假设 , 这样 ,
研究方法就必须推广到混沌、分
形、非线性动力学等方向上来 ,
以便解决诸如股票收益分布出现
胖尾、市场异常波动、市场泡沫、
非线性等复杂性问题。
一、传统经济理论的特点
两个多世纪来 , 经济理论的
发展都是建立在以均衡为基础的
静态理论体系上的。然而自然界
中更常见的是瞬息万变的动态非
均衡复杂过程。比如 , 海岸线的
测量问题、股票市场的异常波动
性问题、生物形态的复杂性问题
等等 , 都是常见的复杂性例子。
在投资金融学中 , 人们起初
都对有效市场假说 ( EMH) 充满
了信任感。EMH 假定投资者是理
性的、有秩序的、有条理的。有
效市场假说是一个把数学的约化
到简单线性微分方程的有关投资
行为的模型。在一个“有效市场”
中 , 市场行为者的买卖信息都反
映在市场的价格之中 , 资产是按
照可获得的信息公平定价的 , 无
论买主还是卖主都不能获得任何
便宜 , 只有不可预见的事件才会
影响股票的价格变化。在有效市场
※本文得到国家自然科学基金
(79770055) 资助
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第5期
《财经科学》
FINANCE &ECONOMICS
Fifth Issue
Spt./
[收稿日期 ] 2000 - 07 - 05
[责任编辑 ] 单丽莎
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假设条件下 , 资产价格的变化仅
由今天的市场决定 , 今天的收益
率与昨天的收益率无关 , 收益率
是相互独立的 , 它们是遵循随机
游动的随机变量、概率分布是正
态的且方差有限。在这样的假设
条件下 , 夏普 ( Sharpe , 1964 ) 、
利特 纳 ( Litner , 1965 ) 、莫 辛
(Mo ssion , 1966) 将 EMH 与马柯
维兹的资产组合理论加以发展 ,
建立了一个以一般均衡框架中的
理性预期为基础的投资者行为模
型。
资本资产定价模型 ( Capital
Asset Pricing Model , CAPM) 假定
我们生活在一个没有交易费用、
没有佣金和没有税的世界中 , 将
投资者行为从社会施加的约束中
分离出来 , 这当然与实际情形相
差甚远。著名的布莱克、斯科尔
兹 (Black F、Schole s M) (1973)
的期权定价模型 ( Option Pricing
Model) 和罗斯 (Ro ss A) (1976)
的套利定价理论 (Arbitrage Pric2
ing Theory , APT) 也是在投资者
是理性的、市场是有效的、收益
率遵循随机游动的条件下建立起
来的。
然而 , 早在有效市场假说
(EMH) 完全形成之前 , 人们就已
经发现了市场收益率不符合正态
分布的假定 , 收益率之间也非独
立。经济学家们在大量的实证研
究中发现 , 股票的收益率分布明
显偏离高斯分布 , 呈现一种“胖
尾特性”, 即处于高收益区域和高
亏损区域的概率大于高斯分布决
定的概率。也就是说 , 市场投资
主体相互独立或弱相关的假设站
不住脚 , 投资主体之间的联动性
是市场结构本身具有的特性之一 ,
证券市场存在着所谓的“羊群效
应”, 正是这种“羊群效应”导致
了股票收益分布的“胖尾”特性。
同样 , 期权定价模型的重要假设
条件是基础资产价格的变化呈现
随机游动特征 (Random Walker) 、
其收益的概率分布为近似正态分
布或对数正态分布 , 而这些都是
有效市场 ( Efficient Market) 和均
衡市场 ( Equilibratory Market ) 所
必须要求的。但就在 1998 年 , 以
著名的 Black - Schole s 期权定价
模型为基础而进行投资的长期资
本管理公司 (LTCM) (它的合伙
人是获得 1997 年诺贝尔经济学奖
的 Schole s 和Merton) 却遭致了巨
大亏损的厄运 , 其根本原因就在
LTCM公司所采用的风险投资策略
仍以“线形”和“连续”的资产
价格模型为出发点 , 定价公式的
基本假设条件与现实市场的偏差
太大 , 它缺乏对不连续的突发事
件的考虑。
自然界大部分是处于无序的、
不稳定的、非平衡和随机的状态
之中。在现实的资本市场中 , 股
票运动完全可以不服从正态分布 ,
其方差也可以是无穷大而不象假
定的那样为有限的。金融市场比
自然界或其它技术领域要复杂得
多 , 金融市场的突发事件不仅具
有多因数性、非线性性而且还具
有不确定性。一些研究表明 , 在
金融市场中 , 人们对于信息的消
化与确认是不均等的 , 它往往导
致股票价格的有偏随机游动 , 或
称之为分数布朗运动。这样一来 ,
我们就没有充分的理由相信市场
一定是均衡的、有效的。金融市
场完全会出现分形结构 ( Fractal
Structure) 甚至混沌 ( Chao s) 现
象 (通过大量的实证研究表明 :
许多自然现象和时间序列都可以
有效地通过分形来刻划 , 金融市
场也是如此) 。
二、分形理论简介
“分形几何学”是 20 世纪下
半叶最伟大的科学成就之一。“分
形”这个名词是由美国 IBM (Inter2
national Busine ss Machine) 公司研
究中心物理部研究员暨哈佛大学
数学系教授曼德勃罗特 (Benoti
B. Mandelbrot) 在 1975 年首次提
出的 , 其原义是“不规则的、分
数的、支离破碎的”物质。这个
名词是参考了拉丁文 fractus (弄
碎的) 后造出来的 , 它既是英文
又是法文 , 既是名词又是形容词。
1977 年 , 曼德勃罗特出版了第一
本著作《分形 : 形态 , 偶然性和
维数》 ( Fractal : Form , Chance
and Dimension) , 标志着分形理论
的正式诞生。1982 年 , 他出版了
著名的专著《自然界的分形几何
学》 ( The Fractal Geometry of Na2
ture) , 至此 , 分形理论初步形成。
目前 , 分形是非线性科学中的一
个前沿课题。在不同的文献中 ,
分形被赋予不同的名称 , 如“分
数维集合”、 “豪斯道夫测度集
合”、“S 集合”、“非规整集合”
以及“具有精细结构集合”等等。
一般地可把分形看作大小碎片聚
集的状态 , 是没有特征长度的图
形和构造以及现象的总称。
分形的数学定义为 :
定义 1 : 如果一个集合在欧
氏空间中的 Hausdorff 维数 DU 恒
大于其拓扑维数 DT , 即 DU > DT ,
则称该集合为分形集 , 简称为分
形。
定义 2 : 组成部分以某种方
式与整体相似的形体叫做分形。
分形有两种类型 : 确定的和
随机的。确定的分形一般是对称
的 ; 随机的分形不一定有看上去
象整体的部分。
人们常将 Hausdorff 维数是分
数的物体称为分形 , 把此时的 DU
值称为分形的分形维数 , 简称分
维 , 也有人把该维数称之为分数
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维数。进一步地 , 分数维一定大
于拓扑维而小于它所占领的空间
维。如 Cantor 集具有维数 In2/ In3
= 01631 , Koch 曲线具有维数 In4/
In3 = 11262 , 箭头曲线具有维数
In3/ In2 = 115849 , Sierpinski (海
绵) 曲线具有维数 217268。
建立了分形理论之后 , 曼德
勃罗特 (1964) 指出资本市场收
益率那种在均值处具有高峰、尾
部较胖的分布是帕雷托 ( Pareto)
分布 , 或称之为“帕雷托 —莱维
(Pareto - Levy)”, 或“稳定帕雷
托 ( Stable - Paretian) 分布。稳
定的帕雷托分布现在也被称为分
形分布。利用分形分析 , 我们可
以区分胖尾的高斯分布和分形分
布。
三、金融市场的行为特征
自然界不是一个重复模式的
序列 , 它的特点是局部的随机性
和全局的秩序。每一个存在于实
际生活中的分形都是在细节上不
同而在整体概念上类似的。现实
世界中的分形与全局由统计结构
所控制 , 同时又保持局部的随机
性。
在有效市场假说 ( EMH) 理
论前提下 , 由于当下的价格已经
反映了所有可获得的或公开的信
息 , 未来的价格只能由新的信息
决定。EMH 认为市场遵循随机游
动 , 且人们在决策时立即对价格
作出反应 , 未来与过去或现在的
信息都不相关。而实际上 , 大多
数人在接到信息时并不马上做出
决策 , 他们会等着确认信息 , 且
不等到趋势已经十分明显就不做
出反应。这样 , 因证实一个趋势
所需的确认信息的时间不同 , 对
于学习的不均等的消化可能会导
致一个有偏的随机游动。曼德勃
罗特称这种随机游动为分数布朗
运动 , 或叫做分形时间序列。这
也就是说 , 金融市场服从分数布
朗运动 , EMH 所言仅仅是分形分
布的一种特殊情形。那么 , 是不
是所有的分形布朗运动都是一致
的呢 ? 回答是否定的。
赫斯特 (Hurst ) 利用重标极
差分析 ( Re scaled Range Analy2
sis , R/ S) 法刻划了有偏随机游
动的数字特征。
设 R/ S 表示重标极差 , N 表
示观察次数 , a 是固定常数 , H表
示赫斯特指数 , 在长达 40 多年的
研究中 , 通过大量的实证研究 ,
赫斯特建立了以下关系 :
R/ S = (aN) H (1)
通过对 ( 1 ) 式取对数 , 可
得 :
log (R/ S) = H(logN + loga) (2)
只要找出 R/ S 关于 N 的 log/
log 图的斜率 , 就可以来估计 H的
值。
赫斯特指数 H 可分为三个不
同的类型 :
(1) H = 015 , 此时 , 现在对
未来的相关度 C (t) = 2 (2H - I) - I
= 0。即现在不影响未来 , 市场是
随机游动的 , 事件是随机的或不
相关的。
(2) 0 ≤H < 015 , 此时 , 市场
是反持久性的或遍历性的时间序
列。即在某一 t 以前存在上升
(或下降) 趋势 , 在 t 时刻后总体
也存在着下降 (或上升) 的趋势。
它经常被称为“均值回复”的。
(3) 015 ≤H < 1 , 此时 , 时间
序列是分数布朗运动或有偏随机
游动。即在某一时刻 t 以前存在
上升 (或下降) 趋势 , 在 t 时刻
后 , 序列也存在着上升 (或下降)
趋势。
综上所述 , 可知金融市场不
是均衡的、线形的、有序的 , 而
是非均衡的、非线性的、无序的 ,
它是混沌的 , 且服从分形布朗运
动。金融市场时常会出现异常波
动 , 这将随时可能给投资者带来
巨大的风险。在进行投资时 , 一
定要以唯物辩证法的观点去看待
金融问题 , 正确区分金融市场的
稳定性、波动性与复杂性。我们
相信 , 随着现代科学技术的发展 ,
尤其是先进通讯手段及电子计算
机技术在金融业中的广泛应用 ,
加上混沌、分散、非线性动力学
等理论的进一步完善 , 人们定能
把握金融市场的运动特性。□
参考文献 :
① (美) 埃德加·E·彼得斯著 , 王小东
译 :《资本市场的混沌与秩序》, 经济科学出
版社 , 1999 年版。
②郝柏林 : 《复杂性的刻画与“复杂性
科学》, 1999 年第 3 期。
③朱少醒、吴冲锋 : 《有关复杂经济系
统的动态非均衡经济理论评述》, 《外国经济
与管理》, 2000 年第 1 期。
④黄登仕、李后强 : 《非线性经济学的
理论和方法》, 四川大学出版社 1993 年版。
⑤王东生、曹磊 : 《混沌、分形及其应
用》, 中国科学技术出版社 1995 年版。
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