单
单单位根检验以及
非平稳时间序列建模
目录
一、DF统计量及DF检验………………………………………………3
二、ADF检验………………………………………………………………5
三、例题……………………………………………………………………6
由于虚假回归问题的存在，所以在进行回归模型拟合时，必须先检验各序列的平稳性。
单位根检验（由Dickey-Fuller 1979年提出）是指检验序列中是否存在单位根。单位根检验方法有多种，这里主要介绍 DF和 ADF检验。介绍这种检验方法之前，先讨论DF统计量的分布特征。
一、DF统计量及DF检验
1、DF统计量
以1阶自回归序列为例：
该序列的特征方程为：
当特征根在单位圆内时，该序列平稳，反之，该序列为非平稳序列。所以可以通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆外（或上），来检验序列的平稳性，这种检验就称为单位根检验。
由于现实生活中绝大多数序列都是非平稳序列，所以单位跟检验的原假设定位：
原假设：序列非平稳；备择假设：序列平稳
检验统计量为t统计量：,其中，为参数的最小二乘估计，
，
当=0时，的极限分布为标准正态分布；
当时，的渐进分布为标准正态分布，但当时，的渐进分布不再是正态分布。
记该统计量称为DF检验统计量，它的极限分布为，其中为自由度为的维纳过程。所谓维纳过程具有如下性质：
（1）
（2）
（3）
DF检验为单边检验，当显著性水平取为时，记为DF检验的分位点，则
当时，拒绝原假设，认为序列显著平稳，否则，接受原假设，认为序列非平稳。
在实际检验中，若H0不能被拒绝，说明序列是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。接下来应该继续检验多阶差分之后的序列的平稳性直至结论为平稳为止。
2、DF检验的等价表达
在等式两边同时减去得到。
DF检验等价为如下检验：
相应的DF检验统计量为：，其中为参数的样本标准差。
3、DF检验的三种类型
第一种：无常数均值、无趋势的1阶自回归过程：
第二种：有常数均值、无趋势的1阶自回归过程：
此种情况下，可以通过最小二乘法可以得到两个未知参数的估计值，通过检验特征根的性质，可以考察中心化序列的平稳性。
假设检验如下：
原假设：序列非平稳即；
备择假设：序列平稳即；
第三种：有常数均值、有线性趋势的1阶自回归过程：
此种情况下，可以通过最小二乘法可以得到三个未知参数的估计值，通过检验特征根的性质，可以考察中心化序列的平稳性。
假设检验如下：
原假设：序列非平稳即；
备择假设：序列平稳即；
二、ADF检验
DF检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验，为了使DF检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，需要对DF检验进行一定的修正，得到增广DF检验（augmented Dickey—Fuller），简记为ADF。
1、ADF检验的原理
对于AR(p)过程，如果其特征方程的所有特征根都在单位圆内，则序列平稳，如果有一个特征根存在且为1，则序列非平稳，且自回归系数之和恰好等于1。证明如下：
因此，对于AR(p)过程我们可以通过检验自回归系数之和是否等于1来检验序列的平稳性。作如下假设检验：
ADF检验统计量：，其中为参数的样本标准差。
2、ADF检验的三种类型
第一种：无常数均值、无趋势的p阶自回归过程：
第二种：有常数均值、无趋势的p阶自回归过程：
第三种：有常数均值、有线性趋势的p阶自回归过程：
三、例题
用来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列
年份
纱产量
年份
纱产量
1964
97
1982
1965
130
1983
327
1966
1984
1967
1985
1968
1986
1969
1987
1970
1988
1971
190
1989
1972
1990
1973
1991
1974
1992
1975
1993
1976
196
1994
1977
223
1995
1978
1996
1979
1997
1980
1998
542
1981
317
1999
567
1、建立时间序列文件。
在eviews中建立工作文件，选择file—new—workfile，输入1到40。
点击file—import，导入excel文件，并取名为sha。
2、检验原时间序列的平稳性。
平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列。
绘制序列sha的时间序列图：选中sha序列，并点击主菜单Quick—Graph选择其中的折线图（Line graph）就可作图，如下图3-1：
3— 1
从图可以看出，纱产量呈现波动中上升的趋势，显然不平稳，所以不是一个平稳序列。
这一结论，还可以通过单位根检验（ADF检验）进一步说明。
点击quick—series statistics—unit root test，输入sha点击ok，结果如下表3-2：
3— 2
从表中看出t统计量为，其P—值比显著性水平大，所以要接受原假设，认为序列sha是非平稳序列。
3、对原时间序列进行平稳化处理。
从折线图可以看出原序列可能存在线性增长趋势，所以在eviews中输入命令：series sha1=d（sha，1）,生成一阶差分序列sha1，并绘制该序列的折线图，如下图3-3：
3— 3
sha1序列的时间序列图始终围绕一个常数值波动，因此可以认为该序列是平稳序列。同样的，用单位根检验法进行检验得到表3-4，原假设是序列非平稳，该结果显示P—值为，比显著性水平小，所以要拒绝原假设，认为sha1序列是平稳的。
3— 4
继续在eviews中输入命令：series sha2=d（sha，2）,即生成二阶差分生序列sha2，按照同样的方法绘制该序列的折线图并做单位根检验，得到下图3-5和表3-6：
3— 5
3— 6
sha2的时间序列图也是始终围绕一个常数值波动，而从单位根检验法进行检验的结果，可以看到P—值比显著性水平小，仍然拒绝原假设，认为sha2序列是也平稳的，并且比sha1序列更加平稳。因此用序列sha2建模更好。
4、绘制序列sha2的ACF、PACF序列，初步定阶。
点击quick—series statistics—correlogram，输入sha2，点击ok，结果如表3-7：
3— 7
可以看出ACF和PACF都是拖尾的，所以考虑用Pandit-Wu方法分别建立ARMA（2,1）, ARMA（4,3）模型，从中选出最优的一个。
5、初步建模并估计参数。
点击quick—estiminate equation输入：sha1 ar（1）ar（2）ma（1）得到下表3-8:
3— 8
输入sha1 ar(1) ar(2) ar(3)ar(4)ma(1)ma(2)ma(3)得到下表3-7：
3— 9
6、模型适应性检验
即检验剩余序列是否为白噪声序列。原假设是剩余序列是相互独立的白噪声序列。分别在上述两个结果窗口中点击view—residual correlation LM test…，得到以下结果
3- 10
3- 11
结果显示F统计量分别为和，相应的P-值分别为和，均大于显著性水平，所以要接受原假设，认为剩余序列是白噪声序列，两个模型都通过了检验。
但根据AIC准则，由表3-8和3-9知ARMA(2,1)的AIC=，ARMA(4,3)的AIC=，所以我们选择ARMA(2,1)模型对sha2序列进行建模。
最终对序列sha2建立的模型为：
还原到原序列sha的序列的模型为：
7、预测
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