§离散型随机变量及其概率分布
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限
个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量
描述X 的概率特性常用概率分布或分布律
X
P
或
离散随机变量及分布律
即
§
12
分布律的性质
非负性
规范性
X ~ 或
13
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取
值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间
断点,在间断点处有跃度 pk .
离散随机变量及分布函数
其中 .
14
解
例1 设汽车在开往甲地途中需经
过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地
以概率 p 允许汽车通过.
出发地 甲地
首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概
率分布与 p = 时的分布函数.
令 X 表示
例1
15
•
0
•
1
•
2
•
3
•
4 xx
] ]]• ]••
k
pk
0 1 2 3 4
当
16
•
0
•
1
•
2
•
3
•
4 x
F( x)
o
• o
•1
• o•
o• o
17
用分布律或分布函数来计算事件的概率
例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计
算下述事件的概率：
例2
解
或
18
或
此式应理解为极限
19
例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目
标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
第 k 次击中目标)
例3
帕斯卡
分 布
20
注
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
当
21
归纳地
令
22
作业 P82 习题二
2 4
习题
5 6
23
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1 0
Pk p 1 - p
0 < p < 1
注 其分布律可写成
常见的离散型随机变量的分布
凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合
0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
24
(2) 二项分布
n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试
验中发生的次数 , P (A) = p ,若
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
25
二项分布的取值情况设
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
•
由图表可见 , 当 时，
分布取得最大值
此时的 称为最可能成功次数
x
P
•
0
•
1
•
2
•
3
•
4
•
5
•
6
•
7
•
8
26
27
设
.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20
• • x
P
• • •••
1
•
3
•
5
•
7
•
9
• • ••
0
•
2
•
4
•
6
•
8
•
10
•
20
由图表可见 , 当 时，
分布取得最大值 •
28
29
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
则称 为最可能出现的次数
30
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p
与
( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不
对称分布
固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布
趋于对称
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
31
例4 独立射击5000次, 每次命中率为,
例4
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)] =5
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于1 次的概率.
32
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,)
小概率事件虽不易发生，但重
复次数多了，就成大概率事件.
本例
启示
33
由此可见日常生活中“提高警惕, 防火
由于时间无限, 自然界发生地震、海
啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的
同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝
症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常
现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而
防盗”的重要性.
事，不用奇怪，不用惊慌 .
跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.
启示
34
, 则对固定的 k设
Possion定理
Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大，
p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式
问题 如何计算 ？
35
证 记
36
类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中
不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的
概率为
当 时，
对每个 n 有
结 论
超几何分布的极限分布是二项分布
二项分布的极限分布是 Poisson 分布
37
解 令X 表示命中次数, 则
令
此结果也可直接查 附表2 泊松
分布表得到，它与用二项分布算得的结果
仅相差万分之一.
利用Poisson定理再求例4 (2)
X ~ B( 5000, )
38
例5 某厂产品不合格率为, 现将产品
装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱
中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装
解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不
合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , )
由题意
3(100+n)=3+ 取 = 3
多少个产品？
例5
39
查Poisson分布表, =3
得 n +1 = 6 , n = 5
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
应用Poisson定理
40
在实际计算中,当 n 20, p 时, 可用上
述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时,
精度更好
0
1
2
3
4
按二项分布 按Possion
公式
k n=10
p=
n=20
p=
n=40
p=
n=100
p=
=np=1
41
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, )
自学（详解见教材 例6 )
设有同类型设备90台，每台工作相互独立，
每台设备发生故障的概率都是 . 在通常
情况下，一台设备发生故障可由一个人独立
维修，每人同时也只能维修一台设备.
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设
(2) 备发生故障时不能及时维修的概率小于?
(3)(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负
(4) 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
例6
例6
42
令
则
查附表2得 N = 4
43
(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能
(3) 及时维修的概率为
44
设30台设备中发生故障的台数为 Y ~ B ( 30,)
设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件
故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！
45
在Poisson 定理中，
由此产生了一种离散型随机变量的概率分布
— Poisson 分布
46
(3) Poisson 分布
若
其中 是常数，则称 X 服从参数为
的Poisson 分布. 或记作
47
在某个时段内：
大卖场的顾客数；
某地区拨错号的电话呼唤次数；
市级医院急诊病人数；
某地区发生的交通事故的次数.
①
②
③
④
⑤
一个容器中的细菌数；
一本书一页中的印刷错误数；
一匹布上的疵点个数；⑥
⑦
⑧
应
用
场
合
放射性物质发出的 粒子数；
48
都可以看作是源源不断出现的随机
质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为
Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( t )
49
例7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X ,
例7
设各个虫卵是否能发育成幼虫是
相互独立的.
已知X ~ P()，且每个虫卵发育
成幼虫的概率为 p.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫
数 Y 的概率分布.
50
解 昆虫 X 个虫卵 Y 个幼虫
已知
由全概率公式
51
故
52
作业 P82 习题二
8 (1)
12
14
15
习题
53
每周一题5
已知运载火箭在飞行中进入其仪
器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊
松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落
到仪器重要部位的概率为 ， 求有
3 个粒子落到仪器重要部位的概率 .
第五周
问
题
54
Blaise Pascal
1623-1662
帕斯卡
法国数学家
物理学家
思想家
帕斯卡
55
帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养
下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成
《圆锥曲线论》,由此定理导出400余条
推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆
锥曲线论的最大进步.
帕斯卡简介
1642年发明世界上第一台机械加法
计算机——帕斯卡计算器.
56
他应用此方法解决了摆线问题.
1654年研究二项系数性质,写出
《论算术三角形》一文,还深入讨论
不可分原理,这实际上相当于已知道
1647年他发现了流体静力学的
帕斯卡原理.
57
三十岁时他曾研究过赌博问题,
对早期概率论的发展颇有影响.
1658年完成了《摆线论》,这给
.莱布尼茨以很大启发,促使了微
积分的建立.
在离散型随机变量的分布中有个
以帕斯卡名字命名的分布，它应用于
重复独立试验中，事件发生 次的场
58
帕斯卡还写过不少文学著作.
1654年他进入修道院,献身于哲学
合.而有名的几何分布正是其 时
的特例.
和宗教.
59
思考题
自动生产线调整以后出
现废品的概率为 p, 当生产
过程中出现废品时立即重新
进行调整, 问两次调整之间
的合格品数服从什么分布？
思考题 附录
60
