第9卷第2期
2006年4月
管 理 科 学 学 报
JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
Vo1．9 No．2
Apr．2006
语言多属性决策的目标规划模型①
徐泽水
(1．清华大学经济管理学院，北京 100087；2．中国人民解放军理工大学理学院，南京210007)
摘要：研究了只有部分属性权重信息、属性值以语言变量或不确定语言变量形式给出且决蓑
者对方案有偏好信息的语言多属性决策问题．给出了语言变量和不确定语言变量的运算法
则，以及不确定语言变量之间比较的可能度公式，定义了语言变量的偏 离度概念．在属性值
以1)语言变量和2)不确定语言变量，这两种形式给出的情形下，分别建立了一个基于偏离
度的目标规划模型，并通过求解这两种模型分别获得相应的属性权重．然后对于情形 1)，利
用语言加权平均(LWA)算子，对语言决策信息进行加权集成，继而对方案进行排序和择优；
对于情形2)，利用不确定语言加权平均(ULWA)算子，对不确定语言决策信息进行加权集成，
并利用可能度公式构造可能度矩阵(互补判断矩阵)，继而利用互补判断矩阵排序公式对决策
方案进行排序和择优．最后进行了实例分析．
关键词：语言多属性决策；语言变量；不确定语言变量；可能度；集成
中图分类号：C934 文献标识码：A 文章编号：1007—9807(2006)02一OOO9—09
0 引 言
多属性决策是利用一定的方式对有限个决策
方案在有限个属性下的属性值进行集成，进而对
方案进行排序和择优的过程．由于客观事物的复
杂性、不确定性以及决策者的积极参与，对于研
究决策者对方案有偏好，且属性权重不能完全确
知的多属性决策问题已引起人们的关注【1 ．
文献[1～3]分别研究了属性值和决策者的偏好值
为实数、区间数以及模糊数这三种形式的多属性
决策问题．文献[4～6]分别研究了属性值为实
数，但决策者的偏好分别以互补判断矩阵和互反
判断矩阵形式给出的多属性决策问题．文献[7—
11]对交互式多属性决策方法进行了探讨．然而，
人们在对诸如人的思想品德、汽车的性能等问题
进行评估时往往会直接给出定性的评估信息(如：
优，良，差等语言形式)【挖 驯．因此，对属性值
以语言变量或不确定语言变量形式给出，且决策
① 收稿 日期：2004—10—09；修订日期：2005—02—24．
基金项目：中国博士后科学基金资助项目(2003034366)．
作者简介：徐泽水(1968一)，男，安徽南陵人，博士，教授
者对方案有语言偏好信息的多屙I生决策问题的研
究有着重要的理论意义和实际应用价值，目前尚
没有相关的研究成果报道．本文尝试对此类问题
进行探讨，给出了语言变量和不确定语言变量的
运算法则，以及不确定语言变量之间比较的可能
度公式，定义了语言变量的偏离度概念．对于属
性值以语言变量和不确定语言变量这两种形式给
出的情形，分别建立了一个基于偏离度的目标规
划模型，继而提出了相应的多属性决策方法．最
后通过实例对方法的可行性和实用性进行了
说明．
1 预备知识
考虑到决策者在进行定性测度时，一般需要
适当的语言评估标度．为此，可事先设定语言评
估标度 5={ l =一￡，⋯，￡}，其中s 表示语
言变量，特别地，s 和s 分别表示决策者实际使
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一 10 一 管 理 科 学 学 报 2o06年4月
用的语言变量的下限和上限．s满足下列条
件[20]：
1)若 >卢，则 s > ；
2)存在负算子neg( )=s～。．
例如，s可取
S= {s一4=极差，s一3=很差，s一2=差，
s — I = 稍差，so=一般，sI=稍好，
s2=好，s3=很好，s4=极好}．
在决策信息集成过程中，集成结果往往与语
言评估标度 s中的元素不相匹配．为了便于计算
和避免丢失决策信息，文献[20]在原有标度 s=
{s。l =一t，⋯，t}的基础上定义一个拓展标度
S={s l ∈[一q，qll}，其中，q(q>t)是一
个充分大的自然数，且若s。E S，则称s。为本原
术语，否则，称 s 为拓展术语(或称虚拟术语)．
拓展后的标度仍满足条件1)和2)．
注：一般，决策者运用本原术语评估决策方
案，而拓展术语只在语言计算和决策方案排序过
程中出现．
为了对语言变量进行计算，下面定义语言评
估标度的运算法则．
定义 1 设 s。， 口E S， E [0，1]，则
1)ps =s ；
2)s 0 =Sa+p；
3) (s 0 sz)=ps。0 psp；
4)s口0 sp= 口0 s ．
为了衡量语言变量之间的偏离程度，下面给
出语言变量之间的偏离度概念．
定义 2 设 s。，s口E S，则称
d(s ， 口)=l卢一 l (1)
为语言变量 s 和 的偏离度．
为了方便起见，下面给出不确定语言变量的
概念及其运算法则．
定义3 设 =[s。， ]，其中s。，勋E—S，s。
和s口分别为 的下限和上限，则称j为不确定语
言变量．
设 S为所有不确定语言变量的集合．
定义 4 设 j= [s ， ]， 1= [
．
，
．
]，
32=[s ， 凤]E专， E[0，1]，贝4
1) 1 0 z=[SaI， 91]0 ， ]= 0
s。
，
，sz．0 J；
2)31 0 32= 2 0 1；
3) ；= [s。， 口]=[ s ，ps ]；
4)p( 1 0 2)= 1 0 j2．
对于具有不确定语言决策信息的多属性决
策，在选择决策方案过程中，一般需要对不确定
语言变量进行比较和排序+为此，下面给出一个
简洁的度量公式．
定义5 设 =[s。。， 。]， 2=[s。 ， ]E ，
且 len(X1)= 1一 1，len(~2)=卢2一 2，贝0 1≥ 2
的可能度定义如下
P( 1≥j2)
= len(3 le n(]2 (2) )
+ )
特别地，1)若 1和 2中有一个退化为语言变量，
如 退化为语言变量，即len(~1)=0，此时 1=
，则定义 ≥ 2的可能度为
)=
(3)
2)若j1和 2都退化为语言变量，即len(31)+
len(~2)=0，则定义 1> 2的可能度为
p(3I> 2)一I
可能度公式(2)给出了两个不确定语言变量
之间大小关系的一种度量方法，体现了事件j1≥
2发生的可能性程度(或概率)．
可能度有下列优良性质．
定理 1 设 1=[s。 ， ]，32=[s。 ，鸭]，
3= ，s ]E 雪，则
1)0≤ P( l≥ 2)≤ 1；
2)p(jI≥ 2)=1当且仅当 ≤ I；
3)p( 1≥ 2)=0当且仅当 1≤ 2；
4)p(j1≥32)+p( 2≥ 1)=1．特另0地，
p( 1≥ 1)=1／2；
5)p( 1≥ 2)≥1／2当且仅当 1+ I≥ 2+
叶
2 2 2
～S ～ ～S
> lI <
～S ～ ～S
● 一2
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第2期 徐泽水：语言多属性决策的目标规划模型
卢2．特别地，p(≥1≥ 2)=1／2当且仅当O／1+ 1：
0／2+52；
6)p(善1≥ 2)≥1／2且P( 2≥ 3)≥1／2，则
P( 1≥ 3)≥1／2．
证明
1)由于
mx{O，len(~j)+len(~2)一m~x(fl2一口1，0)}≥0
(5)
因此，由式 (2)得 p( 1≥ j2)≥ 0．叉因为
max(fl2一口1，0)≥0，则
len(~1)+1en( 2)一max(fl~一 1，0)≤
len(~1)+len(~2) (6)
2)≤ 1．
2)若卢2≤口1，则mnx(fl2一口1，O)：0
． 因此，
由式(2)可知 p(jl≥ 2)：1．反之也成立
．
3)若 卢1≤口2，则
一 口l≥ 一口l一( 2一 1)
而
2一口1一(口2～fl1)：( 1一口1)+( 一Ot2)
= len( 1)+len(~2)(7)
即
len(~1)+len(~2)一max(fl2一口1，O)≤0
(8)
因此，由式(2)可知p( 1≥ 2)：0．反之也成立
．
由式(2)即知p( 1≥j2)≤1，从而有O≤p( 1≥ 4)由于
p(sl≥ 2)+p( 2≥ 1)= f0，l ± 二 二 ! 2
len(~1)+len(~2)
{ ! ± 竺 2二 二 !Q2
len(~1)+len(~2)
+
2二 ! 二 )± 22二 !垒 =
len( 1)+len(~2)
则
(i)若 l≤a2，则p(善1≥j2)=OR p(≥2≥
1)=1．因此 p( 1≥ 2)+p( 2≥ 1)：1．
(ii)若f12≤口1，则p(善2≥善1)=O且p( 1≥
2)=1．因此 P( l≥ 2)+Jp( 2≥ J)：1．
(iii)若口1≤ 2<卢1≤卢2，贝0卢1一口2>OK
一 口1>0，因此
len('~1)+len( 2)一mQx(卢2一口l，0)
=fll—O／1+f12一a2一卢2+口1
= 卢1一口2 (1O)
且
len(~1)+len( 2)一mQx( l一口2，0)
= fll一口1+f12一a2一卢1+ 2
= f12一口1 (11)
因此，由式(9)一(11)可得
p( l≥ 2)+P( 2≥ 1)
卢1一a2+卢2一口1
len(21)+len(X2)
(fll一口1)+(卢2一。2)
len(~1)+len(22)
(9)
=
len le n(~ = ( 1)+ ，)一
(iv)若 口1<口2≤卢2<卢1，贝4(1O)——(I2)
成立．
(V)若 口2<口1≤卢1<卢2，贝0(1O)——(12)
成立．
(Vi)若 口2≤ 口1<卢2≤卢l，贝0(1O)——(12)
成立．
综合(i)一(vi)可知 p( 1≥ 2)+p( 2≥
1)=1成立．特别地，若 1= 2，即s。
．
=s。 且
Sb
．
=Sb ，贝0 p( 1≥ 1)+p( 1≥≥1)=1．因此
|p( 1≥ 1)=1／2
5)若 f12>口1，则由p( l≥ 2)≥l／2知
曼 !兰 2 len(~2)一max(fl2一口1，0) 1
len(~1)+len( 2) 2 ～ 一 ⋯ ⋯一一
(13)
由式(1O)得
导 ≥一1al 2 ( 4) (卢1一 )+(卢2一口2) H
化简得 口1+ 1≥ 2+卢2．若 卢2≤口1，则 ，J( 1≥
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2)：1，因此满足条件 P( 1≥ 2)≥ 1／2，此时
pl≥al≥ ≥a2，所以也有 OtI+卢l≥Or2+ ．
反之，若 al+卢l≥a2+ ，则(13)和(14)两式
成立。因此|p( l≥ 2)≥ 1／2．类似可证：p( l≥
2)=1／2当且仅当dl+卢l=a2+ +
6)由于 p( 1≥ 2)≥ 1／2且 |p( 2≥ 3)≥
1／2，贝0 l+卢l≥ a2+卢2且 Ot2+ ≥Or3+ ．
因此 al+卢1≥ 3+卢3，从而 p( l≥ 3)≥1／2．
2 决策方法
2．1 属性值为语言变量的情形
对于某一语言多属性决策问题，设 ={ l，
2，⋯， }为方案集，u={ul，u2，⋯，“ }为属性
集， =( l' 2，⋯， )T∈ 为属性的权重向
m
量，W ≥0，i=1，2，⋯，m，∑W 1，H为已知的
部分权重信息所确定的属性可能权重集合，其中
属性权重信息可表示为以下几种形式[n mj：
1)弱序：{伽f≥wj}；
2)严格序：{ f一 f≥af}；
3)倍序：t ≥df
4)区间序：{a ≤ f≤a +e }；
5)差J字：{ 一 ，≥ 一 f}， ≠后≠Z，
其中t a }和{e }为非负常数．
设A =( ) 为语言决策矩阵，其中，
口 f∈s为决策者(评估者)对方案xi∈ 按属性
“ ∈U进行测度所得到的属性值．另外，设决策
者对方案 xj．∈ 有偏好，且偏好值为 ∈S．
基于语言决策矩阵A=(a ) ，方案xi的
综合属性值可表示为
zi( = Wl口lJ 0 W2a2j 0 ⋯ 0
= 1，2，⋯，n (15)
显然，方案 的综合属性值zj( )越大，则方案xi
越优．
若属性权重完全确知，则可直接利用式(15)
对方案进行排序．然而，本文所考虑的决策问题
中只有部分权重信息．因此，首先需要确定属性
的权重向量．
一 般情况下，方案 xi的综合属性值 ( )与
决策者对方案 xj的偏好值 往往存在一定的偏
差．为此，引入偏差函数
( )=d( ( )， =1，2，⋯， (16)
为了方便起见，令弓( )=s
，
( )， =s ，，则
式(16)转化为
( )=d(s
，
( ) S)=l ( )一 I
．
= 1，2，⋯，n (17)
显然，为了得到合理的属性权重向量 ’．，，上
述偏差函数值总是越小越好．为此，可建立下列
优化模型(M一1)
rain ( )=l ( )一 l，．『=1，2，⋯，
s．t． ∈ H
f≥0， =1，2，⋯，m，22,Wi=1
=1
为了求解模型(M一1)，并考虑到所有的目标
函数是公平竞争的，且每个目标函数 d ( )希望
达到的期望值为0．因此，可将模型(M．1)转化为
下列目标规划模型(M．2)
rain J=∑(占 e +占 e )
= 1
s．t． ( )一 —e +e =0
= 1，2，⋯ ，n
e ≥0，e7≥0， =1，2，⋯，凡
e e = 0， = 1，2，⋯ ，
∈ H
Wi≥ 0，i= 1，2，⋯ ，m ， Wi 1
= 1
其中，e 是访( )一q高于期望值0的上偏差变
量，e7是 ( )一q低于期望值0的下偏差变量，
和占 分别是e 和e 的权系数．
利用目标单纯形法求解模型(M．2)，可得属
性的权重向量 ’．，，并由式(4)求得各方案的综合
属性值 ( )(J=1，2，⋯， )，便可依此对方案
进行排序和择优．
2．2 属性值为不确定语言变量的情形
由于客观事物的复杂性和不确定性，以及人
类思维的模糊性，当决策者(评估者)受一些主、
客观因素所制约时，如 时问紧迫、专业知识结构
和水平、对某些评估不感兴趣、或者对某些比较
敏感的问题不想发表意见，他们所给出的语言评
估信息往往是不确定的．即决策矩阵中的元素以
及决策者的偏好是以不确定语言变量形式给出．
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第2期 徐泽水：语言多属性决策的目标规划模型 一 13 一
另外，在把个人语言决策信息集成为群体决策信
息时，其结果有时也往往用不确定语言变量
表示．
设 ：( ，) 为不确定语言决策矩阵，其
中，在 ∈ 为决策者(评估者)对方案 f∈x按属
性 “ ∈U进行测度所得到的属性值．设决策者
对方案 E X的偏好值为 ∈雪．
基于不确定语言决策矩阵 ：( ) ，方
案 的综合属性值可表示为
(W)=wl aU 0 w2 a2j 0 ⋯ 0 W
．
= 1，2，⋯，n (18)
显然，方案 的综合属性值2 (W)越大，则方案
越优．
考虑到等 (W)和 f均为不确定语言变量，不
妨令
( )=[ zj一( )，≥ ( )]， vj=[ vj一，荀 ]
(19)
其中 (W)， (W)，～vj， ∈S．
若属性权重完全确知，则可利用式(15)对方
案进行排序．具体步骤如下：
步骤1 利用式(2)对jf(W)(．『=1，2，⋯，n)
进行两两比较，并构造可能度矩阵(或称之为互
补判断矩阵_2r)P=(PO') ，其中
PO'=P( zi(W)≥ (W))，
p ≥ 0，p + = 1，
肌 =吉 ．『=1'2'⋯，n
步骤2 利用文献[22]中给出的一个简洁
公式
= (毒 号一 )
= 1，2，⋯，n (20)
求得互补判断矩阵P的排序向量∞ =( 1， 2，
⋯
， ) ．
步骤3 利用 i(i=1，2，⋯，n)对 ≥f(W)
( ：1，2，⋯，n)按降序进行排列．
步骤4 利用 zj(W)( =1，2，⋯，n)的排序
对方案进行相应的排序并择优．
然而，本文中所考虑的决策问题中只有部分
权重信息．因此，首先需要确定属性的权重向
量．总是希望方案 f的综合属性值≥ (W)能与决
策者对方案 的偏好值v j一致，即
≥ (W)=亩 =1，2，⋯，n (21)
由式(19)，有
≥ (W)= vj一，等，(W)= vy
= 1，2，⋯，n (22)
然而，一般情况下，方案 的综合属性值
童f(W)与决策者对方案 f的偏好值 f往往存在一
定的偏差．为此，引入偏差函数
d (W)=d(≥ (W)， vj一)， ．
d (W)=d( (W)，荀 )
= 1，2，⋯，n (23)
为了方便起见，令
( )=[s ，s ]， =[s ，s (24)
则式(23)转化为
d ( )=d( ( )，s。
．
)=l 5。 ( )一D。l，
= 1，2，⋯，n (25a)
( )=d(5 ( )， )=l 5。，( )一岛l，
= 1，2，⋯，n (25b)
显然，为了得到合理的属性权重向量 ’．，，上
述偏差函数值总是越小越好．为此，可建立下列
优化模型(M．3)
mindf(W)：l 5。 (W)一 l， =1，2，⋯，n
rain (W)：l 5。 (W)一 l，’『=1，2，⋯，n
s．t．W E H
Wi≥0，i：1，2，⋯，m，∑Wi：1
为了求解模型(M．3)，并考虑到所有的目标
函数是公平竞争的，且所有 目标 函数 d (W)，
d (W)， =1，2，⋯，n希望达到的期望值为0．因
此，可将模型(M．3)转化为下列目标规划模型
(M．4)
min．，：∑[( + )+
j=l
( 扣南+ 而)]
s．t． ( )一q—e +el—j：o， =1,2，⋯，n
5。J ( )一辟一e毒+e面=o， =1,2，⋯，n
e ≥ 0，e ≥ 0， = 1，2，⋯ ，n
e寿≥0，e面≥0， =1,2，⋯，n
哮 =0，e专e亏=0， =1,2，⋯，n
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- - - — — 14 ---—— 管 蝉 科 学 学 报 2006年4月
W C- H
、
≥0， =1，2，⋯，m，∑ =1
i 】
其中，e 和e去分别是 ( )一 和 ( )一岛高
于期望值 0的上偏差变量， _『和 P西分别是
( )一 和 ( )一 低于期望值0的下偏差
变量，艿 ，艿 ，艿去和艿习分别是e ，e—ij，e 和e2一j的
权系数．
利用目标单纯形法求解模 (M一4)，可得属
性的权重向量’．，，并由式(18)求得各方案的综合
属性值j (w)(． =l，2，⋯，n)，再利用算法I对
案进77-1：11~序和择优．
3 实例分析
考核、选拔干部是一个多属性的决策问题，
决策者一方面要把德才兼优的人才选拔到领导岗
位；另一方面，也希望在条件相当的情况下任用
自己所偏爱的人才⋯．某单位在对于部进行考核
选拔时，首先制定了 6项考核指标(属性)：思想
品德(u )、工作态度(u2)、工作作风(u3)、文化水
平和知识结构(u )、领导能力(u5)、开拓能力
(u6)．然后由群众推荐、评议，对各候选人按上
述6项指标利用语言标度
S={S一4=极差，S 3=很差，S一2=差，
S
一 】 = 稍差，S0=一般 ，S】=稍好，
S ： 好，S，：很好，S =极好}
进行评估，再进行统计处理，并从中确定了5位
候选人 =l，2，⋯，5)．假设每位候选人在各
指标下的属性值如表 l所示．
表 1 语言决策矩阵A
Table 1 Linguistic decision matrix A
1 2 3 d 5
“ l S3 4 3 d 2
l‘2 S】 S2 S S4
一 1 S0 2 d ,14
Md S4 2 ^I 2 S3
115 2 d 4 0^ 0
¨6 d 1 SO S3 2
已知各项指标的权重信息为
日 ={0．18≤W1≤0．22，0．11≤W2≤0．20，
0．15≤ W3≤ 0．19，0．10≤ W4≤ 0．14，
0．16≤ W5≤0．25，0．20≤ w6≤0．23}
假设决策者对5位候选人 xj(j=1，2，⋯，5)的偏
好值分别为
l S2，V2 S2，V3 S3，1)4 S4’U5 S3
用文中给出的方法对5位候选人进行排序，
具体步骤如下．
首先基于已知的决策信息，利用模型(M一2)
建立下列目标规划模型(假设 f} =『} =1， =
1，2，⋯，5)
5
min I，：∑( +e )
J=I
s．t．3w1+w2一W3+ +2w5+ 一2一e +e =0
4 1+2 2+2 4+ 5+W6—2一e +e三=0
3 l+4 2+2 3+W4+4w5—3一e +ei=0
4 1+2 2+4M +2 4+3w6—4一ej+el=0
2 1+4 2+4 3+3 4+2w6—3一e；+ i=0
e ≥ 0，e ≥ 0， ： 1，2，⋯ ，5
e e = 0， = l，2，⋯ ，5
0．18≤ Wl≤ 0．22，0．11≤ W2≤ 0．20
0．15≤ W3≤ 0．19，0．10 ≤ W4≤ 0．14
0．16≤ W5≤ 0．25，0．20≤ W6≤ 0．23
W1+ 2+ 3+ 4+ W5= 1
解此模型，求得属性的权重向量为
’．，= (0．22，0．11，0．19，0．10，0．16，0．22)
且
e =0．18，el-=0，e =0．16，ef=0，e；=0，
e 0．78，e彳=0，e =1．28，e =0，e彳=O．62
然后利用式(15)求得方案xj(j=1，2，⋯，5)的综
合属性值 f( )( =1，2，⋯，5)
l(W)=S2．18， 2(W)=S2 16， 3(W)=S2．22，
4( )=S2 72， 5(W)=S2．38
再根据 弓( )( =1，2，⋯，5)值对方案xs(j=l，
2，⋯，5)进行排序
X4 > X5 > X3 > 1 > X2
因此，最佳候选人为 ．
若经过统计处理后，每位候选人在各指标下
的属性值如表2所示．
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第2期 徐泽水：语言多属性决策的目标规划模型 一 l5 一
表 2 语言决策矩阵 A
Table 2 Linguistic decision matrix A
1 X2 X3 X4 Jr5
UI [ 3] 【 ] [ 2， 3] [ s4] [ 2， 3]
I1 2 [ ，s1] [ s2] [ 4] ， ] [ 3， 4]
H3 [ ， 0] [ s J] [ 3] [ 4] [ 2，s4]
t| a [ 2，s4] [ 3] [ 2] [s2． 4] [s2， 3]
115 [ 2] [ s4] [ s4] [‰ s2] [ 1]
IZ6 ， ] [ s2] [s0． 1] [s3，s4] [‰ s3]
并且假设决策者对5位候选人 ( =1，2，⋯，5)
的偏好值分别为
茄l=[ 2， 3]，苗2=[ 1， 3]，fi=；3=[s2， 3]
4 = [~S3， 4]，菌5=[,S2， 4]
则基于已知的决策信息，利用模型(M．4)建立下
列目标规划模型 (假设 = = 玉= =1，
= l，2，⋯，5)
e~-j)+(P南+e而)]
S．t．
2wl—W3+2w4+ 5+3w6—2一e +eli= 0
3 l+ 2+4 4+2w5+4w6—3一e刍+e五=0
3 l+2w4+3 5+ 6— 1一 e + ei?=0
4 1+2w2+ 3+3w4+4w5+2w6—3一
e壶+e五=0
2 1—2 2+ 3+ 4+3w5—2一e南+e五=0
3wl+4w2+3w3+2w4+4w5+ 6—3一
e刍+P云=0
3 l+ 2+ 3+2w4+3w6—3一P十4+el4=0
4wl+3 2+4w3+4 4十2ws+4w6—4一
e壶+e五=0
2 1+3 2+2w3+2w4十2w6—2一 e + e =0
3 l+4w2+4w3+3 4+ 5+3w6—4一
e击+e毒=0
e+J≥0，el—j≥0， =1，2，⋯，5
e南≥0，ez—j≥0， =1，2，⋯，5
e母1j=0，e~e2-j=0，J．=l，2，⋯，5
0．18≤ l≤ 0．22，0．11≤ 2≤ 0．20
0．15≤ W3≤ 0．19，0．10≤ 4≤ 0．14
0．16≤ W5≤ 0．25，0．20≤ 6≤ 0．23
1+ 2+ 3+ 4+ gO5= l
解此模型，求得属性的权重向量为
W=(0．22，0．11，0．15，0．13，0．16，0．23)T
且
eh：0，eft=0．6，翰 =0，P =0．47
e+2=0．63，e-2=0，e玉=0，e壶=0．26
e =0，e =0．58，e玉=0，e，j=0．32
e+4：0，P =0．83，e玉=0，e五=0．43
畦 ：0，e-5=0．21，畦 =0，e5=1．o6
利用式(18)求得方案 f( =1，2，⋯，5)的综合属
性值≥ ( )( =1，2，⋯，5)
≥l( )=[51．4o， 2．53]， 2( )：[ 1
．
63，s2
． 74]，
≥3( )=[51．42， 2 67]，≥4( )=[ 2 17， 3．57]，
≥5( )=[s1．79， 2．94]
根据式(2)对 ( )( =1，2，⋯，5)进行两两比
较，构造可能度矩阵
P =
0．5 0．40l 8 0．464 4 0．142 3 0．324 6
0．598 2 0．5 0．5570 0． l 0．锄 4
0．535 6 0．443 0 0，5 0．191 7 0．369 3
0． 7 0．772 9 0．808 3 0．5 0．698 0
0．6754 0．579 6 0．630 7 0．勉 0 0．5
由式(2o)求得互补判断矩阵 P的排序向量
∞ = (0．166 7，0．190 1，0．177 0，0．256 8，
0．209 4)T
并利用山 (i=l，2，⋯，5)对 ( )( =l，2，⋯，5)
按降序进行排列，得
j4( )>≥5( )>≥2( )>≥3( )> 1( )
依此对方案 =1，2，⋯，5)进行排序，得
4> 5> 3> 1> 2
因此，最佳候选人为 ．
4 结束语
本文对只有部分属性权重信息、属性值以语
言变量或不确定语言变量形式给出、且决策者对
方案有偏好信息的语言多属性决策问题进行了研
究．给出了语言变量和不确定语言变量的运算法
则，分别建立了确定属性权重的目标规划模型．
对于属性值以语言变量和不确定语言变量这两种
形式给出的情形，分别提出了相应的语言多属性
决策方法．它们不仅直观、简洁、易于计算，而月．
不会丢失任何决策信息．目前，虽然有关基于语
+
+
e
／
∑
ll
『J
n
m
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一 16 一 管 理 科 学 学 报 2006年 4月
言变量的多属性决策方法研究已取得了一定的进
展，但是，对于基于不确定语言变量的多属性决
参 考 文 献：
策方法的研究还只是有益的尝试，在理论、方法
及应用等方面值得人们进一步探索．
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Goal programming models for multiple attribute decision making under
linguistic setting
xU Ze—shut
1．College of Economics and Management，Tsinghua University，Bering 100084，China；
2．Institute of Sciences，PIA University of Science and Technology，N卸jing 2 10007，China
Abstract：In this paper，we study the multiple attribute decision making problems，in which the information about
attribute weights is partly known and the attribute values take the form of linguistic variables or uncertain linguistic
variables，and the decision maker has preferences on alternatives．We introduce the operation laws of linguistic vari—
ables and uncertain linguistic variables and a formula of possibility degree for the comparison between uncertain lin-
guistic variab les，and then define the concept of deviation degree between lingu istic variables．We establish two goal
pmgramming models based on the concept of deviation degree under the situations where the attribute values aI1B lin—
guistic variables and uncertain linguistic variables respectively．By solving these two models，the attribute weights
can be obtained．After that，when the attribute Values are linguistic variables，we utilize the linguistic weighted av—
eraging(LWA)operator to aggregate the ven linguistic decision information，and then rank the alternatives and
select the most desirable one(s)；when the attribute Values are uncertain linguistic variables，we utilize the uncer．
tain linguistic weighted averaging(ULWA)Operator to aggregate the given uncertain linguistic decision information
and utilize the formula of possibility degree to construct a possibility degree matrix(or called complementary judge—
ment matrix)，and then utilize the priority formula of complementary judgement matrix to rank the altematives and to
select the most desirable one(s)．Finally，an illustrative example is also given．
Key words：multiple attribute decision making under linguistic setting；linguistic variable；uncertain linguistic
variable；possibility degree；aggregation
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