数学建模论文
题目：最优个人收入分配方案
目录
一 摘要……………………………………………………………1
二 问题的提出……………………………………………………1
三 问题的分析……………………………………………………4
四 建模过程………………………………………………………4
1）问题一……………………
1.模型假设………………………………………………4
2．定义符号说明…………………………………………5
3. 模型建立………………………………………………5
4．模型求解………………………………………………6
5，模型的改进……………………………………………7
2）问题二…………………………………………………………7.
1．模型假设
２．模型建立
３．模型求解
４．建立个人收入合理分配表格
五．模型的评价与改进
六．参考文献
一 摘要
本文主要分析了假设在已知个人全年总收入的前提下, 同时为了
达到使个人纳税符合国家政策规定税额, 又满足个人缴纳的税款最少
的目标, 采用线性规划方法, 提出了一种优化纳税模型。在此基础上
设计了求解算法, 通过 excel 2003 软件来实现并且完成了程序设计和
实际应用的数据分析计算。最后，给出了题目中的具体算例的最优路
径。
关键词:个人所得税; 纳税优化;规划求解。
二．问题的提出
个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间
在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的
总称。凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的
个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居
住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，
均为个人所得税的纳税人。2005 年 10 月 27 日，第十届全国人大常
委会第十八次会议再次审议《个人所得税法修正案草案》，会议表决
通过全国人大常委会关于修改个人所得税法的决定，起征点 1600 元
于 2006 年 1 月 1 日起施行。 2007 年 6 月 29 日，第十届全国人民代
表大会常务委员会第二十八次会议通过了《关于修改〈中华人民共和
国个人所得税法〉的决定》，对个人所得税法进行了第四次修正。2007
年 12 月 29 日，十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了关于
修改个人所得税法的决定。个人所得税起征点自 2008 年 3 月 1 日起
由 1600 元提高到 2000 元。 即工资、薪金，奖金所得，以每个月收
入额（已按规定扣除“四金”）减除费用 2000 元后的余额，为应纳税
所得额。（“四金”是指：养老保险金、 医疗保险金、失业保险金、
住房公积金）。
其具体征税方案如下：
一、每月工资应纳税计算方案：
月应纳税所得额=月工薪收入（已按规定扣除“四金”）-费用扣除标
准（2000 元）
超额累进税率
级数 月应纳税所得额 税率（％） 速算扣除数
1 不超过 500 元部分 5 0
2
超过 500 元至 2000
元的部分 10 25
3
超过 2000 元至 5000
元的部分 15 125
4
超过 5000 元至
20000 元的部分 20 375
5
超过 20000 元至
4000 元的部分 25 1375
6
超过 40000 元至
60000 元的部 30
3375
7
超过 60000 元至
80000 元的部分 35
6375
8
超过 80000 元至
100000 元的部分 40
10375
9 超过 100000 元部分 45 15375
如果一年收入 10 万元计算时，就存在月薪跟年终奖金的分
配问题，所以需要找出之间的一种关系，找出一种最合理的分配方案，
使实际收入最大化。同样，在制定某公司的职员年度收入最优分配方
案表时用同样的方法即可得到。
三 问题的分析
由题意可知，目的就是为了建立一种模型，解决个人月工资和年
终奖金最优的分配，使得在合法范围内纳税最少。问题一中，是假定
年收入十万元时，分别用分段函数解决个人月工资与年终奖金应纳的
税额。建立一个目标函数，利用线性规划的方法，使得总纳税额最少。
问题二中，
四 建模过程
1) 问题一
模型假设
1 的年总收入仅分为：月收入和年终奖金的收入。
2 个人工资月收入不低于 2000 元。
3 每月的月工资一样多。
模型符号说明：
X——月工资
Y——年终奖金
W——每月工资缴纳的税额
L——年终奖金所缴纳的税额
P——全年总缴纳税额
模型的建立
月工资缴纳的税额与月工资之间的关系
W1=5%（X-2000） （2000 X 2500）
W2=10%（X-2000）-25 (2500<X 4000)
W3=15%（X-2000）-125 (4000<X 7000)
W4=20%(X-2000)-375 (7000<X 22000)
W5=25%(X-2000)-1375 (22000<X 42000)
W6=30%(X-2000)-3375 (42000<X 62000)
W7=35%(X-2000)-6375 (62000<X 82000)
W8=40%(X-2000)-10375 (82000<X 102000)
年终奖金纳税额与年终奖金之间的关系：
L1=5%Y (0<Y 6000)
L2=10%Y-25 (6000<Y 24000)
L3=15%Y-125 (24000<Y 60000)
L4=20%Y-375 (60000<Y 240000)
建立如下模型：
P=12w+L （1）
其中约束条件：12*X+Y=100000;(X>0,Y>0) （2）
W=12*[（%5X-10*M1+(%10X-25)*M2+……+(%40x-10375)*M8
+%5Y*H1+(%10Y-25)*H2+(%15Y-125)*H3+(%20Y-375)*H4 （3）
MI=0 或 1 I=1,2 ,3,4,5,6,7,8
HJ=0 或 1 J=1,2,3,4
算法设计
采用隐枚举法[2](Implicit Enumeration)求解。令
M1=1,M2=M3=……=M8=0，此时 X 落在[a1，b1]，求出 y 的一个范
围。依次将 Y 的表达式代入，对于每个 Y 又有一个更小的范围，利
用公式(6)求出 x 的新范围[e1，f1]，取[a1，b1]∩[e1，f1]为 X 的范围，
求出 Y－12X，并代入目标函数，求出最小值 P1。再令
M2=1,M1=M3=……=M8＝0，用同样的方法求出最小值 P2，依次循
环，直至 M8=1,M1=M2=……M7，分别求出 P3,P4……，最后在 PI(I
＝1，2，…，8)中取最小值，随后得出 X,Y 的值或范围。
具体实现的算法步骤如下：
初始化条件：I=1
(1) 令 M1＝1，则 M2=M3＝……M8 求出 X 落在[ai，bi]。
(2) 利用公式(1)（2）求出 Y 的范围[ci，di]。
(3) 判断范围[ci，di]内 L 可能会是哪几种表达式。
(4) 依次选 L 的表达式，对于确定的表达式，对应有个 Y 的范
围[c’i，d’i]。
(5)反过来根据 y 的范围[c’i，d’i]用公式(6)求出 x 的范围[ei，fi]。
(6)求出[ai，bi]∩[ei，fi]，并判断 P 的最小值 PI。
(7)若 I≤8,I=I+1，转(1)；
(8)比较 PI(I＝1，2，…，8)的值，取最小，并记录下 X ,Y 值。
最终得出的最优解：
最佳情况中的总税值为： 8675 元
最佳情况月工资为： 元
最佳情况每月税额为： 元
最佳情况年终奖为： 元
最佳情况年终奖应缴税额为： 元
模型改进
以上讨论的是月收入大于 2000 元的分配情况，而当月收入低于
2000 元时，根据推理可知，月收入为 2000 时所需缴纳税额要比低于
2000 元时少，而当月收入为 2000 元时，所需缴纳税额为：14825 元
比 10575 元要大，因此月收入低于 2000 元时得不到最佳分配方案。
问题二： 请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年
收入从 3 万元以 1000 元为间隔到 15 万元
在该题中，我们从 3 万元开始，以 1000 元为间隔计算从 3 万元
到 15 万元的最佳收入分配方案，利用问题一的模型和方法，通过
excel 2003 软件计算，可得出如下最佳分配方案列表：
表一：职员年度收入最优分配方案表
年
收入
月工
资
月税
额
年终奖 年终奖
税额
全年总
税额
30
000
2
7
30
031
000
2
2
5
35
032
000
3
7
0
40
033
000
8
7
1
45
034
000
8
3
7
50
0 35
000
0
3
8
55
0
36
000
1
1
4
60
037
000
4
3
1
70
038
000
7
7
0
80
039
000
5
0
0
90
040
000
3
3
5
10
0041
000
42
000
9
0
0
.
12
00
43
000
44
000
45
000
8
100.
00
0
15
0046
000
47
000
48
000
49
000
50
000
51
000
52
000
53
000
54
000
55
000
4083.
34
187.
35
0
00
25
5056
000
57
000
58
000
59
000
60
000
3188.
39
4
4
2148.
34
32
7561
000
62
000
63
000
64
000
65
000
3692.
91
144.
30
2043.
42
37
75
66
000
67
000
68
000
69
000
70
000
3937.
91
168.
72
2250.
40
42
7571
000
72
000
73
000
74
000
75
000
5757.
00
437.
50
0
00
55
5576
000
77
000
78
000
79
000
80
000
6166.
67
500.
00
0
630
0 81
000
82
000
83
000
84
000
85
000
6583.
35
562.
50
0
70
5086
000
87
000
88
000
89
000
90
000
5500.
00
400.
00
2375.
00
71
7591
000
92
000
93
000
94
000
95
000
5916.
67
462.
54
2375.
00
79
2596
000
97
000
98
000
99
000
10
0000
3
525.
00
2375.
00
86
7510
1000
10
2000
10
3000
10
4000
10
5000
6750.
00
587.
50
2375.
00
94
2510
6000
10
7000
10
8000
10
9000
11
0000
7166.
67
658.
33
2375.
000
1027
5
11
1000
11
2000
11
3000
11
4000
11
5000
7583.
33
741.
66
0
2375.
00
1127
511
6000
11
7000
11
8000
11
9000
12
0000
8000.
00
825.
00
2375.
00
1227
512
1000
12
2000
12
3000
12
4000
12
5000
8416.
69
908.
34
2375.
00
1327
512
6000
12
7000
12
8000
12
9000
13
0000
6998.
14
624.
72
6778.
25
1427
513
1000
13
2000
13
3000
13
4000
13
5000
6896.
25
609.
44
7711.
25
1502
513
6000
13
7000
13
8000
13
9000
14
0000
6801.
055
595.
16
8633.
11
1577
514
1000
6955.
29
618.
29
8528.
48
1592
514
2000
6995.
25
624.
29
8582.
56
1607
514
3000
6924.
00
613.
60
8861.
79
1622
514
4000
7000.
000
625.
00
8874.
99
1637
514
5000
7083.
34
641.
17
8874.
99
1657
514
6000
7166.
69
658.
34
8874.
97
1677
5
14
7000
7250.
60
675.
00
8875.
65
1697
514
8000
73333
.03
691.
67
8874.
99
1717
514
9000
7
708.
33
8874.
99
1737
515
0000
1
725.
020
0677
8874.
81
1757
5
年收入与年纳税总额的关系图像：
模型的评价和改进：
模型是利用线性规划的方法，通过 excle 计算得到许多不同年收
入时，在合理范围内纳税额度最少的数据值，在运用 MALTAB 得到
比较直观的收入与年收入的曲线图像。由图可知，此图具有很好的拟
合精度，在此基础上对图像分析，可以得到可靠而实用的信息，所的
结论也与客观事实很好的吻合，从而进一步说明模型是合理的。不足
之处就是所选的点不是足够多，图像合理范围内存在一定误差，模型
建立在每月工资不变的情况下，可能由于种种原因，可能工资不一样，
还有在求解的过程中忽略了其他因素对其影响。改进之处：可以考察
一下具体情况在原有的基础上在做一部分处理，使其更接近于实际。
这是可以继续改进的地方。
参考文献
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