第三章 零息债券与附息债券Ⅱ
第一节 关于到期收益曲线 的理论阐释
第二节 债券合成
第三节 寻找套利机会
第四节 时间效应
第五节 再投资收益率风险分析
第一节 关于到期收益曲线 的理论阐释
理论可以解释:
到期收益曲线在某一时点的形状
到期收益曲线的变化
未来怎样
传统理论
市场分割理论/偏好理论
无偏预期理论
流动偏好理论
现代理论
市场分割理论
某些投资者/借款人喜欢长期投资/借款（例如，寿险公司与退休基金）
其他投资者喜欢短期投资/借款（例如，商业银行）
市场中供给与需求的力量决定了各自的市场利率
偏好理论
是指投资者对投资期限有一定的偏好，但如果预期收益之间的差别特别大，他们也会改变偏好
通常情况下，市场分割理论/偏好理论在解释到期收益曲线时没有预期理论或者流动偏好理论来得重要。
无偏预期理论
投资者在选择投资组合时，决策标准是预期收益最大。因此，在一定的持有期间内，供求的力量会使得投资任何证券都获得相同的收益，不管期限怎样。
无偏预期理论
例 3-1: 某投资者投资期有两年，以下投资都给他带来相同的期望收益：
1) 购买1年期证券，到期后再投资于另一个1年期证券；
2）直接购买一个2年期证券
3）购买一个5年期证券，2年后卖掉。
无偏预期理论
该理论的含义: 由到期收益曲线所暗含的远期利率等于未来在该短时间上的即期利率，与此同时，该理论也说明长期证券收益率等于当期短期利率以及预期短期利率的几何平均。
无偏预期理论
应用: “无套利”总收益 思路: 利用到期收益曲线所暗含的远期利率来估计总收益.
无偏预期理论
例 3-2: 投资于 3年期，票面利率7%（半年付息）的债券，价格为 $ ($1,000面值) 。该债券的到期收益率为 % (.). 投资者打算2年后卖掉该债券，问期望无套利的总收益是多少? t 即期收益曲线 单期远期利率（t-1)
(1 period = 6 个月; 收益率是6个月有效收益率) 1 % % 2 % % 3 % % 4 % % 5 % % 6 % %
例 3-2
1. 求2年后债券的出卖价格:
所以投资者预期资本利得为: $ - $ = $
2. 求累积利息: $35()()() + $35()() +35() + $35 = $
3. 总预期收益金额 =$ + $ = $
例 3-2
平均收益率 (on a .) =
比 % 的到期收益率少很多，为什么?
预期理论与经济周期分析
观察
在经济扩张一开始，到期收益曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益曲线斜率趋于降低
需求方
在扩张期投资大，货币需求的期望增大，促使真实利率抬高
如果预期经济走向低谷，预期远期利率下降，因为投资需求将趋缓。
供给方
人们更愿意均衡消费。如果预期经济衰退，人们将更不愿意花钱，这也促使利率走低。
主要发现
“The Term Structure and World Economic Growth”, Campbell R. Harvey
主要发现: 长短期利率之差，在很多国家都是GNP增长率的好的预测指标
Model:
TS = 90天国库券收益率与5年期以上债券收益率之差
在美国和加拿大这一回归方程可以解释几乎50%的GNP增长。
多个强假设
1) 投资者目标是最大期望收益，而不考虑风险
2) 预期绝对能够实现
3）没有交易成本
4）不同期限的证券间完全可以相互替代
尽管有以上强的假定，大多数学者都认为期望理论在解释到期收益曲线问题上前进了一大步。
流动偏好理论
流动偏好理论是说，投资者购买长期证券要索取风险溢价。这就要修正对暗含远期理论的理解。
流动偏好理论
第二节 债券合成
附息债券是零息债券的合成物
零息债券是附息债券的合成物
附息债券是零息债券与年金证券的合成物
附息债券是零息债券的合成物
纯粹附息债券（Straight coupon bond）
任何现金流量都可以说是零息债券的合成物
零息债券是附息债券的合成物
例 3-3: 有三个附息债券
Time A B C
0
1 5 10 15
2 5 10 115
3 105 110 0
零息债券是附息债券的合成物
问题：如何构建一个零息债券：面值100,1年期限，如何投资?
也就是如何决定附息债券的购买数量，使得组合的现金流量满足以下要求:
零息债券是附息债券的合成物
解方程
零息债券是附息债券的合成物
A B C
价格
数量 -1
总价值
零息债券价值
零息债券是附息债券的合成物
问题1：如果计算出来的价格与折现因子不一致,怎么办?
问题2: 合成需要卖空,这是否现实?
问题3: 计算结果有小数点,怎么办?
合成债券的一般方法
附息债券是年金证券
与零息债券的合成物
例 3-4.有三个债券A,B,C, 偿还期都是3年,付息日相同,面值都是100.票面利率与价格如下:
bond 票面利率 价格 到期收益率
A 8 8
B 6
C 4
应该投资哪个证券?
附息债券是年金证券
与零息债券的合成物
基于到期收益率?
基于总收益分析?
债券 票面利率 再投资收益率
4% 6% 8%
A 8% % % %
B 6% % % %
C 4% % % %
附息债券是年金证券
与零息债券的合成物
附息债券可以被分解为两个部分:年金证券和零息债券
附息债券是年金证券
与零息债券的合成物
而债券B的价格为，相对于A、C而言，价格过高。
第三节 寻找套利机会
什么是套利？
如何套利？
例3-5
在时点0, t有无风险债券A和B.债券 A 在时点1,2,3各支付$1. A的价格为 $。债券 B 在时点1和3支付 $1 ，在时点2支付$0。B的价格为$.
问题
1) 计算2年期零息债券的到期收益率
2）如果存在债券C，在时点2支付 $1 ，价格为$. 如何获得$2的无风险收益。A,B,C都可以卖空。
例3-5
1）债券 A,B 和A-B的现金流量
time 0 time 1 time 2 time 3 A 1 1 1 B 1 0 1 A-B 0 1 0
例3-5
2）如果卖空债券 C，买入 A-B，具体而言买入 A，卖空 B，卖空 C，你可以得到$. 你一点风险没有承担。你可以放大交易20倍，就可以获得$2的无风险收益。
例 3-6
2、三种无风险证券A、B、C的价格和现金流量分别为 0 1 2 A 90 100 0 B 75 0 100 C 155 100 100 假定不允许卖空，那么 1）是否有一组折现因子，与上述债券价格相对应？ 2）张三想构建一个组合，该组合在1时点产生200的现金流量，在2时点产生100的现金流量，他如何选择，被选中的组合的成本是多少？ 3）张三为了让组合在1时点多产生100的现金流量，那么该额外增加的100的利率（年复利）是多少？如果额外现金流量发生在2时点，情况又怎样？ 4）李四想构建一个组合，该组合在1时点产生100的现金流量，在2时点产生200的现金流量，他如何选择，被选中的组合的成本是多少？ 5）李四为了让组合在1时点多产生100的现金流量，那么该额外增加的100的利率（年复利）是多少？如果额外现金流量发生在2时点，情况又怎样？
6）二人收益率差别的主要原因是什么？
例 3-6
答： 1）如果存在一组折现因子，那么应该有下面联立方程
很显然，不存在与上述债券价格相匹配的一组折现因子。 2）张三有两个选择，一是持有1个单位的A和1个单位的C，二是持有2个单位的A和1个单位的B。第一种选择成本是245，而第二种选择的成本是255。因此，张三应该选择持有1个单位的A和1个单位的C。
例 3-6
3）张三应该持有另外1个单位的A，价格是90。年收益率为%。 为了在2时点上产生额外100的现金流量，张三可以直接购买B（价格75），也可以出售A，然后购买C（价格65=155-90）。因此张三应该出售A，然后购买C。收益率为
r=%
4）李四的组合在1时点产生100的现金流量，在2时点产生200的现金流量，他应该持有1个单位的B和1个单位的C，成本为230。另一个选择是一个单位A，两个单位B，但成本为240，因此舍弃。
例 3-6
5）为了在1时点增加100的现金流量，李四可以额外持有1个单位的A，成本为90。李四的另一个做法是卖掉组合中的B，然后购买C。这样成本为80（155-75）。当然，李四应该选择后一种做法。收益率为
r=25% 为了在2时点增加100的现金流量，李四可以额外持有1个单位的B，成本为75。收益率为 r=% 6）张三和李四的收益率曲线差别大主要是由于C证券的低定价。当将C证券放入一个组合中，由于C的低定价，就会使得新组合的收益率增大。但只能用A、B来构成组合时，收益率就偏低。由于张三和李四的组合不同，利用C证券的方式也不同，因此其收益率曲线不同。
例3-7
假定到期收益曲线向下倾斜，有效年收益率如下：
Y1 = % Y2 = % Y3 = % 到期收益率是根据3个到期时间分别为1年、2年、3年的零息债券的价格计算出来的。已知票面利率11%期限3年的债券的价格为 $102 .
是否存在套利机会，如何得到这一机会？
例 3-7
债券价格 $102明显低估!
例3-7
如何获利?
购买这一低估债券，出卖一组零息债券，该组零息债券的现金流量与所购买债券的现金流量相吻合：卖面值 $11 的1年期零息债券，卖面值$11 2年期零息债券，卖面值$111的3年期零息债券，这样你今天就可以得到$。与此同时，你用$102购买价值被低估的债券。今天你得到 $ 。 未来的现金流入与现金流出完全吻合，这$就是无风险收益。
第四节 零息债券价格的时间效应——θ值
θ值的定义
θ值反映的是到期收益率曲线不发生变化，零息债券价格变化的时间效应。这一时间效应可以理解为持有期无穷小时，零息债券的升值水平。θ值相当于折现函数在某一时期上的斜率，即
θ值的近似求法
由于零息债券价值的瞬间变化难以计量，因此可以用近似的办法
如果能够得到间隔很短的到期收益率曲线，那么可以计算在那样短的时间内零息债券价格的时间效应，计算公式为
θ值的近似求法
举例：一个零息债券将在年后支付1元，利用前面的折现函数，求该年的零息债券的θ值。
θ近似值的意义
价格风险可以量化，但时间效应的量化很难找到合适的公式。
期限 到期收益率 折现因子 θ值
1/365 %
%
1 %
%
2 %
%
3 %
4 %
5 %
6 %
7 %
8 %
9 %
10 %
11 %
12 %
13 %
14 %
15 %
期限 到期收益率 折现因子 θ值
16 %
17 %
18 %
19 %
20 %
21 %
22 %
23 %
24 %
25 %
26 %
27 %
28 %
29 %
30 %
几何图形
固定收益证券组合时间效应
——θ值的计算
组合的时间效应就是其所含零息债券时间效应的加权总和，权数是单个零息债券的数量。即
组合的时间效应
举例：一个固定收益证券组合由下列零息债券构成：10个单位的2年期零息债券，5个单位的9年期零息债券，3个单位的30年期零息债券。组合中包括单一种类的负债，是7个单位的20年期零息债券。利率期限结构如前所示。 该组合的权益价值为： 10×+5×+3×-7× = 资产的θ值为 10×+5×+3× = 负债是θ值为7×= 权益的θ值为资产的θ值减去负债的θ值，即=
零息债券价格与利息率的关系
（20-25）
第五节 再投资收益率风险分析
在理论上，再投资收益率风险相当复杂。本文以零息债券为例，并利用前面给出的到期收益曲线来分析再投资收益率风险。
再投资收益率风险分析
第一，在到期收益曲线向右上方倾斜时，如果再投资收益率不上升，即按照现在收益曲线所对应的收益率获得收益，那么，投资于长期零息债券更为有利。
例如，投资者的投资期为2年，该投资者有多种投资选择，其一是连续投资两个1年期两个零息债券，其二是直接购买2年期零息债券，其三是购买3年或3年以上的零息债券，在第二年年年底出售。在2年后，第一种投资选择给投资者带来的总收益是
（ ）；第二种选择给投资者带来的收益是
（ ）；第三种选择机会有很多，结果也各不相同。以选择5年期债券，2年后出售为例，投资者的收益为
（ ） 。这说明，在到期收益率曲线向右上方倾斜而又不发生变化的情况下，投资长期债券会获得更多的利益。
再投资收益率风险分析
第二，在到期收益曲线向右上方倾斜时，即使未来再投资收益率上升，但只要不超过一定的幅度，投资于长期证券还是相对有利。例如，2年后，到期收益率曲线平行上升，只要不上升幅度不超过%，选择5年期债券依然有利。因为即使利率平行上升%，选择5年期债券2年后出售的收益也还是
（ ）。而选择2年期零息债券的收益为.
再投资收益率风险分析
第三，如果到期收益曲线为水平状，那么该曲线在未来向上移动，即再投资收益率上升，投资于长期证券的收益将低于短期证券。此时各种期限上的远期利率或者说是均衡利率都相等，等于各种证券的到期收益率。由于远期利率是两种零息债券到期收益率的加权平均，既然各期零息债券的收益率都相等，其加权平均值也必然等于这一收益率。如果到期收益率曲线是水平的，那么收益率向上移动，就会使得长期债券的收益低于短期债券。相反，到期收益率曲线向下移动会导致长期债券的收益率高于短期债券。
再投资收益率风险分析
第四，如果到期收益率曲线向下倾斜，要使长期债券获得与短期债券相同的收益，市场利率必须下降。例如，1年、2年、3年期零息债券的到期收益率为8%、7%、6%。如果投资期为1年，那么持有1年期零息债券至偿还期的收益率为8%。持有3年期零息债券共1年时间的收益率，取决于1年后该债券的出售价格为如果到期收益率曲线不变，那么2年期债券的收益率为7%，该3年期债券在1年后的出售价格为（ ）。而在0时点购买3年期零息债券的价格为 ，投资收益率为%，远远低于直接购买1年期零息债券的收益。为了让购买3年期债券与购买1年期债券获得相同的收益，必须有
此时，2年期零息债券的收益率降为%。
再投资收益率风险分析
如果到期收益曲线不是单调上升或下降，即使长期证券的到期收益率低于短期证券，长期证券的持有收益率也可能超过短期证券。例如，1年、2年、3年期零息债券到期收益率分别为%、%、8%。1年后2年期债券的均衡收益率为 。
这说明，在1年后，2年期的远期利率为%时，那么在0时点购买1年期债券和3年期债券的收益率相等。而如果到期收益率曲线不变，即1年后2年期零息债券到期收益率还是%，那么3年期债券价格会更高一些，投资者的收益率会高于%。
再投资收益率风险分析
第六，只要利率期限结构不是水平的，尽管该曲线不发生变动，投资者在偿还期前出售债券，他的持有收益率也不会等于到期收益率。
再投资收益率风险分析
第七，到期收益曲线的斜率越大，而且持有期间到期收益曲线不发生变化，长期证券的持有收益率就越大。这是因为在上述情况下，长期债券在出售时的价格会更高一些。
再投资收益率风险分析
第八，即使到期收益曲线向上倾斜，并且不发生变化，最高到期收益率的证券不一定实现最高的持有收益率。例如，根据给定的到期收益率：
假定利率期限结构在1年内不发生变化，那么，持有17年期债券在1年内的收益率为%，即
再投资收益率风险分析
持有24年期债券在1年内的收益率为%，即
在本例中，24年期债券的到期收益率高于17年债券的到期收益率，但如果到期收益率曲线不变，17年期债券的持有收益率更高一些。
再投资收益率风险分析
第九，在到期收益率曲线不发生变化时，对于局部上升的到期收益率曲线而言，持有收益率要大于到期收益率；而对于局部下降的到期收益率曲线，持有收益率会小于到期收益率。
