统 计
1.抽样方法：(1)简单随机抽样（抽签法、随机
数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是
从总体中逐个抽取；（2）系统抽样也叫等距离抽
样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均
衡成若干部分，每部分只取一个；（3）分层抽样，
主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有
明显差异，它们的共同点：每个个体被抽到的概
率都相等 ，体现了抽样的客观性和平等性。
如（1）某社区有 500 个家庭，其中高收入家
庭 125 户，中等收入家庭 280 户，低收入家庭 95。
为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一
个容量为 100 户的样本，把这种抽样记为 A；某中
学高中一年级有 12 名女排运动员，要从中选取 3
人调查学习负担的情况，把这种抽样记为 B，那么
完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A 为
_______，B 为_____。（答：分层抽样，简单随机
抽样）；
（3）某中学有高一学生 400 人，高二学生 300
人，高三学生 300 人，现通过分层抽样抽取一个
容量为 n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为
，则 n= _______（答：200）；
（4）容量为 100 的样本拆分成 10 组，前 7 组
的频率之和为 ，而剩下的三组的频数组成等
比数列，且其公比不为 1，则剩下的三组中频数最
大的一组的频率是______（答：）；
（5）用简单随机抽样的方法从含有 10 个个
体的总体中，抽取一个容量为 2 的样本，则某一
个体 “第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，
第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到
的 概 率 ” 分 别 是 ______________ （ 答 ：
）；
2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究
统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数
估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总
体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差
和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特
征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体
的波动越小，即越稳定）。一般地，样本容量越大，
这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)“表”(频
率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。
频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据
分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内
容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息
就被抹掉了。
频率直方图的作法：
（1）算数据极差
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率
除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大
小，小矩形的面积表示频率。组数的决定方法是：
设数据总数目为 n， 时，分为 组；
时，分为 组.
如（1）一个容量为 20 的样本数据，分组后组
距与频数如下： (10,20],2；(20,30],3；(30,40],4；
(40,50],5 ；(50,60],4 ；(60,70],2 ；则样本在区间
上的频率为
A．5% B．25% C．50% D．70%（答：
D）；
（2）已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12
11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 ，
那么频率为 的范围是
A．～ B．～
C．～ D．～ （答：B）；
（3）观察新生儿的体重，其频率分布直方图
如图所示，则新生儿的体重在[2700，3000]的频率
为_______（答：）；
（4 ）如图, 是一次数学考试成绩的样本频率分
布直方图（样本容量 n=200），若成绩不低于 60 分
为及格，则样本中的及格人数是_____ （答：
120）；
(5) 有同一型号的汽车 100 辆,为了解这种汽
车每蚝油 1L 所行路程的情况,现从中随即抽出 10
辆在同一条件下进行蚝油 1L 所行路程实验,得到
如下样本数据（单位:km）:,,,,
n
N
a
1 1 1
, ,
10 10 5
；minmax xx
50n 8~5
10050 n 12~8
]50,50(
O 2400 2700 360033003000 3900 体重(g)
组距
频率
分数
频率/组距
0 20 40 60 80 100
,,,,,，其分组如下:
（1）完成上面频率分布表；
（2）根据上表,在给定坐标系中画出频率分布
直线图,并根据样本估计总体数据落在[,）
中的概率；
（3）根据样本,对总体的期望值进行估计
解：（1）频率分布表：
分组 频数 频率
[,） 2
[,） 3
[,） 4
[,） 1
合计 10
（ 2 ） 频 率 分 布 直 方 图 ：
估计总体数据落在[,）中的概率为
（3）
＝
因此，总体的期望值进行估计约为 .
(6)为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分
学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理
后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各
小长方形面积之比为 2：4：17：15：9：3，第二
小组频数为 12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在 110 以上（含 110 次）为达标，试估
计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪
个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等
于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，
各组频数之和等于样本容量，频率之和等于 1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式
反映了数据落在各小组内的频率大小，
因 此 第 二 小 组 的 频 率 为 ：
又 因 为 频 率 =
,
所 以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为 6，12，51，
45，27，9，所以前三组的频数之和为 69，前
四组的频数之和为 114，所以跳绳次数的中位
数落在第四小组内。
分组 频数 频率
[,）
[,）
[,）
[,）
合计 10
( ) ( )
13
10
x
Q
4
0 .0 8
2 4 1 7 1 5 9 3
第 二 小 组 频 数
样 本 容 量
1 2
1 5 0
0 .0 8
第 二 小 组 频 数
样 本 容 量
第 二 小 组 频 率
1 7 1 5 9 3
1 0 0 % 8 8 %
2 4 1 7 1 5 9 3
90 10
0
11
0
12
0
13
0
14
0
15
0
次数o
4
8
2
6
0
4
8
频率/组距
2
6
3、样本平均数：
。
如有一组数据：x1,x2,…,xn(x1≤x2≤…≤xn)，它们
的算术平均值为 20，若去掉其中的 xn，余下数据
的算术平均值为 18，则 xn 关于 n 的表达式为
（答： ）。
4、样本方差：
；
样 本 标 准 差 ：
。
如（1）甲、乙两名射击运动员参加某大型运
动会的预选赛，他们分别射击了 5 次，成绩如下表
(单位：环)
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的应是
（答：甲）；
（2）已知实数 的期望值
为 ，方差为 ， ，若
，则一定有
A． B． C．
D． 与 无法比较大小（答：B）；
（3）某班 40 人随机平均分成两组，两组学生一次
考试的成绩情况如下表：
则全班的平均分为_______，方差为______（答：
85,51）
提醒：若 的平均数为 ，方差为
，则 的平均数
为 ，方差为 。
如已知数据 的平均数 ，方差
，则数据 的
平均数和标准差分别为
A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36
（答：B）
5.茎叶图
(1) 茎叶图的画法：
①将每个数据分为茎（高位）与叶（低位）两
部分，①将最大茎和最小茎之间的数按大小顺序排
成一列，①将各数据的叶依先后次序写在其茎的左
（右）两侧.
(2)茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是
从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据
信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数
据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数
据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以
上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录
那么直观，清晰。
6. 独立性检验
独立性检验是检定两个事件间是否独立的统
计方法，是卡方检验的一个应用.
卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体
分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作
的假设检验.即根据样本的频数分布来推断总体的
分布，卡方独立性检验的零假设是各事件之间相互
独立.卡方值永远大于零. χ2 的两个临界值分别是
，与 . ≤ 时，接受假设即两事件
无关.
相关系数是测定变量之间相关密切程度和相
关方向的代表性指标。相关系数用符号“r ”表示，
其特点表现在：参与相关分析的两个变量是对等
的，不分自变量和因变量，改变两变量的地位并不
影响相关系数的数值，因此相关系数只有一个；相
关系数有正负号反映相关系数的方向，正号反映正
相关，负号反映负相关；
回归和相关都是研究两个变量相互关系的分
析方法。相关分析研究两个变量之间相关的方向和
相关的密切程度。但是相关分析不能指出两变量相
互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推
测另一个变量的变化关系。回归方程则是通过一定
的数学方程来反映变量之间相互关系的具体形式，
以便从一个已知量来推测另一个未知量。为估算预
测提供一个重要的方法。
相关性检验的步骤是：(1)做统计假设：x 与 Y
不 具 备 线 性 相 关 关 系 .(2) 根 据 小 概 率 与
查出 r 的一个临界值.（3）根据样本相关系
数公式计算出 r 的值 .（4）作统计推断：如果
统
计量
组别
平均分 方差
第 1 组 80 16
第 2 组 90 36
1 2
1
1 1
( )
n
n i
i
x x x x x
n n
L
2 18nx n
2 2 2 2
1 2
1
[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn
L
2
1
1
( )
n
i
i
x x
n
2 2 2
1 2
1
[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn
L
)2(,,, 21 nxxx n
x 2S
n
i
i axn
m
1
2)(
1
xa
mS 2 mS 2 mS 2
2S m
1 2, , , nx x xL x
2s 1 2, , , nax b ax b ax b L
ax b 2 2a s
nxxx ,,, 21 5x
42 S 73,,73,73 21 nxxx
2x
2n
表明 95%的把握认为 x 与 Y 之间具备
线性相关关系，如果 接受假设.
提醒：A 与 B 有关并不意味着 A 的发生必然
导致 B 的发生.
7.回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个或两个以
上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一
个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另
一个未知量，为估计预测提供一个重要的方法。在
回归分析中，由 X 推算 Y 与由 Y 推算 X 的回归方
程是不同的，不可混淆:
.与相关分析相比，回归分析的特点是：两个变量
是不对等的，只能用自变量来估计因变量，而不允
许由因变量来推测自变量,必须区分自变量,一般
说，事物的原因作自变量 X.
回归分析和相关分析是互相补充、密切联系的。
相关分析需要回归分析来表明现象数量相关的具
体形式，而回归分析则应该建立在相关分析的基础
上。依靠相关分析表明现象的数量变化具有密切相
关，进行回归分析求其相关的具体形式才有意义。
如（1）在研究色盲与性别的关系调查中，调
查了男性 480 人，其中有 38 人患色盲，调查的 520
个女性中 6 人患色盲，
（1）根据以上的数据建立一个 2×2 的列联表；
（2）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概
率会是多少
解：（1）
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女 6 514 520
总计 44 956 1000
（2）假设 H ：“性别与患色盲没有关系”
先算出 K 的观测值：
则有
即是 H 成立的概率不超过 ,
若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概
率为
（2）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，
它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会
有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的
运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速 x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数 y
（件）
11 9 8 5
（1）画出散点图（2）如果 y 对 x 有线性相关关系，
求回归直线方程； （3）若实际生产中，允许每小
时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器
的运转速度应控制在什么范围内？
答案：（2）y=
（3）x 小于等于
,r r
,r r
2
( )( )
,
( )
i i
i
x x y y
b a y bx
x x
由x推y
2
( )( )
,
( )
i i
i
x x y y
b a x by
y y
由y推x
21000 (38 514 442 6)
480 520 44 956
k
＝
2( ) K
