利率期限
结构：
静态模型
厦门大学金融系
陈蓉
2011/9/29
>>
利率期限结构：静态模型
利率期限结构概述
利率期限结构变动的因子分析
传统的利率期限结构理论
利率期限结构的
拟合
>>
利率期限结构概述
利率期限结构的定义与类型
利率期限结构的基本特征
>>
利率期限结构概述
利率期限结构的定义与类型
利率期限结构的基本特征
利率期限结构的定义
不同
期限的利率水平之间的
关系
“利率期限结构”
（
interest rate term structure
）
，
有时
也
称为“收益率曲线”（
yield curve
）
利率期限结构的类型
利率的种类
不同
到期收益率曲线
互换
利率期限
结构
即
期利率期限
结构
平价
到期
收益率曲线
远期
利率期限
结构
瞬时
远期利率期限
结构
信用等级不同
我国
银行
间即
期利率期限结构
>>
利率期限结构概述
利率期限结构的定义与类型
利率期限结构的基本特征
利率的典型特征
名义
利率的非负
性
（不能假设利率服从正态分布）
均值回归
利率
变动非完全
相关
短期
利率比长期利率更具
波动性
（利率波动往往还与利率水平有关）
均值回归
利率变动非完全正相关
法国不同期限利率的相关系数表（
1995-2000
）
利率
期限结构的
不同形状
：
上升
利率期限结构
的
不同形状：接近水平
利率期限结构
的
不同形状：下降
利率期限结构的
不同形状
：先降后升
利率期限结构的
不同形状
：先升后降
即期
利率、平价到期收益率和远期利率
利率期限结构
的动态变化
>>
利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份
分析
利率期限结构变动
的
因子
分析
>>
利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份
分析
利率期限结构变动
的
因子
分析
为何需要采用主成分分析？
利率变动非完全相关意味着
受到共同因素的影响但影响程度有差异
特定期限利率有特定影响因素
高度相关意味着数据信息高度重合（信息冗余），我们希望找到数量较少的独立因子，来描述利率变动
主成
分
分析
（
principal component analysis,
PCA
）
一
种将给定的一组
高度相关
的变量（如不同剩余期限的利率的变动
）通过
线性变换
转化为另一组不相关变量的数学方法
。
在
变换中，保持
总方差不变
（意味着信息没有丢失），新的变量按
方差依次递减
的
顺序排列
，解释了主要方差的前几个成分被称为“主成分”。
F
i
和
X
i
的关系
主成分求解
主成
分
分析
的一般步骤
采集
不同期限即期利率
变动
Δ
R(
t,t
i
)
的
历史数据并将其
标准化
计算不同
期限
Δ
R*(
t,t
i
)
之间
的方差－
协方差阵
∑
计算
∑
的
特征值及其对应的特征向量，把特征向量进行正交化并单位化，计算出互
不相关的
成分
因子
，并按特征值大小
排序
计算
不同
成分
的
方差贡献率和累计方差贡献率，并确定
主
成分
主成分个数的确定
特征值准则
特征值大于等于
1
的成分
碎石检验准则
曲线开始变平前的一个点
主成分分析的部分研究结果
只需
要三个主成份就可以解释全球许多市场利率期限结构
90%
左右的
变动
Barber
and Copper (1996)
：
1985-1991
年美国市场上前三个主成份对利率期限结构的解释能力达到
%
Lardic
,
Priaulet
and
Priaulet
(2003)
：
在
德国市场、意大利市场和英国市场上，
1998
至
2000
年期间前三个主成份的解释能力分别为
90%
、
90%
和
93
%
唐革榕
和朱峰
(
2003)
：
2001
年
8
月
30
日至
2002
年
12
月
13
日上海交易所国债利率变动的
%
也可用前三个主成份来解释
>>
利率期限结构变动的因子分析
利率期限结构变动的主成份
分析
利率期限结构变动
的
因子
分析
因子分析（
factor analysis
）
因子分析主要可用于提取主成分的经济含义
绘出各因子
F
*
j
对应的系数
l
jt
图，有助于揭示各主成分的经济含义
利率期限结构主成分因子载荷示例
利率期限结构变动的因子分析
l
1
水平因子：
当
第一个因子变动时，不同期限的利率将发生同样幅度的变动
。它
常常可以解释利率曲线变化的
60%
－
80%
。
l
2
斜率因子：
通常
会在
2
－
8
年之间穿过
横轴。
这
个
因子变动时，长短期利率的变动是不同
的
。它
可用
来衡量长短期利率的期限差异（
term premium
)
，
通常
可以解释利率曲线变化的
5%
－
30%
。
l
3
曲度因子：
通常
呈现蝶
形
，
说明
第三个因子对利率期限结构上的短、中和长期利率具有不同的
影响。它
一般解释了收益率曲线变化的
0%
－
10%
。
>>
传统的利率期限结构理论
纯预期理论
流动性偏好理论
市场分割理论
期限
偏好理论
纯预期理论（
Pure Expectation Theory
）
当前
的利率期限
结构
仅
代表
了市场对未来即期利率变化的
预期
纯预期理论有三个版本
纯预期理论的
3
个版本
远期利率
是
市场
对未来即期利率的预期
短期零息票债券滚动投资
n
年的预期收益率应该等于
n
年期零息票债券一次性投资的收益率
1
年期零息票债券与
n
年期零息票债券投资
1
年的预期收益率应该是相等的
纯预期
理论的错误之处
核心缺陷：忽略利率中的风险溢酬
版本
1
：
陈
蓉和郑振龙（
2007
）
：
远期
利率并不等于未来即期利率的期望值，两者之间还相差利率风险溢
酬
版本
2
：
虽然考虑了利率的风险，但没有考虑人们的风险厌恶
系数
版本
3
：根据
Jensen
不等式，版本
2
与版本
3
之间不等价。
流动性偏好理论
(liquidity preference theory)
从
长期利率中提炼出来的远期利率同时反映了市场对未来的预期和流动性风险溢酬，剩余期限越长，该风险溢酬越大
。
优点：同时考虑了预期和流动性风险溢酬的影响
缺陷
风险溢
酬并不必然随时间递增
投资者特定的资产状况使得他们偏好某些期限债券
市场分割理论
(market segmentation theory
）
投资者
有各自的投资期限偏好，并且偏好不变
。利率
曲线的形状由短、中和长期市场的各自供求关系决定
。
缺陷：
市场
分割理论也可以解读为投资者对投资其他期限所要求的风险溢酬无穷大，从而使得他们不可能改变投资偏好
。
期限偏好
理论（
preferred habitat theory
）
流动性偏好理论和市场分割理论的结合
不同资产负债状况的投资者通常有着特定偏好的投资期限，但这些偏好并非是完全不变的。当不同期限债券的供求发生变化，一些期限的债券供求不再平衡，从而使得相应期限的风险溢酬变化到足以抵消利率风险或再投资风险时，一些投资者的偏好就会发生转移。
利率期限结构理论评析
流动性偏好和期限偏好理论
都认为长期利率反映了市场对未来的预期和风险溢酬
，
都被称为“有偏期望理论”（
biased expectation theory
）。
相对于流动性偏好理论，期限偏好理论引入了投资者的期限偏好，并认为风险溢酬并非简单随期限递增；相对于市场分割理论，期限偏好理论则加入了市场预期和风险溢酬的思想。
>>
利率期限结构的拟合
拟合利率期限结构的准备工作
无风险即期利率期限结构的
拟合
信用价差
期限
结构的拟合
市场曲线与隐含曲线
市场曲线：
YTM
和互换利率曲线
隐含曲线：
即期利率、平价到期收益率、远期利率和瞬时远期利率曲线
拟合利率期限结构的准备工作
构建可靠的数据库
被
用于估计同一条收益率曲线的债券必须具有相同的信用等级和税收待遇等条件，以保证这些债券的惟一差异就是剩余
期限
剔除
含权
证券
剔除
明显定价不合理、流动性差异很大（包括与其他样本相比，流动性过差或流动性过好）的
证券
所
选证券的剩余期限应尽可能覆盖要估计时间长度的各个区间（短期、中期和长期），且各个分段区间内的样本数要足够多，以保证结果的可靠性。
>>
利率期限结构的拟合
拟合利率期限结构的准备工作
无风险即期利率期限结构的
拟合
信用价差
期限
结构的拟合
无风险即期利率期限结构的
拟合
方法
方法分类
直接法与间接法
评价
利率
期限结构拟合
方法
的标准
准确性
平滑性
稳定性
灵活性
直接法
I
：
求解债券定价方程
假设
有
4
只付息日相同的债券（一年支付一次利息
）
由债券定价公式有：
可
解出相应
1
至
4
年期即期利率分别为
%
、
%
、
%
和
%
求解债券定价方程
：一般思路
只要
F
可逆，则
进而
现实
中缺乏可操作性。
直接法
II
：
Carleton and Cooper
估计
解决债券数量大于付息日数量的过度识别问题
现实
市场中，更常出现的情形是付息日数量大于可得的债券数量，也就是说
，
待估参数
个数
大于数据量。在这样的情况下，必须找到降维的方法，减少待估参数的个数，才能估计出利率期限结构。
直接法
III
：靴襻法
(the Bootstrapping Method)
基本思路：不断重复的两步法
第一
步用
息票剥离的方法，用债券市场价格的数据直接估计出一些期限的即期利率，得到利率期限结构上的一些离散的
点
第二
步用插值法（
interpolation
）估计出各
点间
的
曲线
对
不同期限不断重复这两步
假设
有
6
只债券如下，
其中
的
附息债每
半年支付一次利息
首先利用息票剥离法解出部分离散的即期利率点
3
个月期即期利率由债券
1
直接求得为
同样的方法计算出
6
个月和
1
年期即期利率分别为
%
和
%
。
进一步
可以得到
年期的即期利率为
%
。
2
年期的即期利率为
%
债券
6
？
用线性插值提取债券
6
的信息
年利率
被认为
位于
半年
利率
和
1
期利率中点
类似地，
可以认为
年期利率等于
%
，
年利率为
%
由于
年利率可以用
年利率表示为
将其代入债券
6
的定价方程，
R(0, 2)
已知，
可解出方程中惟一的未知数
R(0, )
为
%
，并得
R(0, )
不同的插值技术
线性插值
分段三次多项式插值
分段三次多项式插值：一个例子
对前例使用
三次多项式
插值
节点
年、
1
年、
年和
2
年的即期利率都应
满足
由此可解得四个参数，并计算
0~2
年间任意期限的利率
如果要拟合
2
年以上到期期限的即期利率，需找到对应期限的
4
个即期利率，再用另一个三次多项式
刻画。以此类推
。
不同插值方法比较
与
线性插值法相比
，分段
三次多项式插值法拟合得到的利率期限结构相对平滑。
但在
每段之间的衔接点处可能并不
平滑
三
次函数图像的
S
形性质使得三次多项式插值法下会出现某些时段的曲线是凹的而另外一些时段的曲线是凸的现象。
间接法的基本思路
首先设定贴现函数
B(0,s)
或即期利率函数
R(0,s)
为剩余期限
s
的函数
第二步，
在
B(0,0) =1
（
立刻到期的零息票债券价格为
1
）的约束条件下，令定价误差的平方和最小估计出参数
向量
β
1
或
β
2
第三步，写出贴现函数或即期利率函数的最终形式，得到利率期限结构
可分为贴现函数法和即期利率法
贴现函数的形式设定
贴现函数通常被设定为样条函数
（
spline
functions
）
样条函数是指由一些相对简单的分段多项式连接而成，保证分段内光滑、在各段连接处也具有一定光滑性的函数，其目的是用这些分段函数尽可能地逼近一定的曲线。
根据
Weierstrass
第一逼近定理，任何连续函数都可以被一个多项式函数任意接近地逼近，这为样条函数的运用提供了基本依据。
在贴现函数的设定中，常用的样条函数包括三次多项式样条、三次基样条（
B-
Spline
）和三次指数样条。
三次样条函数
假设
我们根据市场经验，以
5
年和
15
年作为分界点，将利率期限结构划分为短、中、长期，并构造三次样条函数
约束条件为
与三次多项式插值不同，要保证分段点的连续性
这里
i
=0,1,2
。
B
1
(0,0
) =
1
将这两组约束代入，有
将待估参数由
12
个降低到
5
个
三次基样条
是
6
个三次基样条函数的加权平均
，
待
估
参数
为
为
截断的三次函数，只取正数
t
i
则可理解为时间轴上已知的不同时点
由于
i
是从
-3
到
6
的整数，时间轴上共有
10
个节点。如果到期期限最长
30
年，并以
5
年和
15
年作为短、中、长期的分界，则
三次基样条方法评析
三
次基样条函数是三次样条空间中最基本的基函数，相应区间上的任意三次多项式样条都可以由
三次
基样条特定的线性组合构造
出来
三
次基样条函数实际上是用逐渐推移的多个基础三次函数的组合来构造出复杂的分段三次函数，与普通的三次多项式样条相比，其精确性大大
提高
该函数
形式
看似复杂，但实际上只有
6
个待估参数
，稳定
的参数估计比较容易
实现
三次指数样条
三次指数样条函数
约束条件
三次指数样条的简化形式
共有
7
个待估参数
（
Shea
，
1985
）待估参数
u
是未来无限远时的瞬时远期
利率
贴现函数设定中的一些问题
阶
数（
degree
）的
选择
：精确度与复杂性的权衡
三
次最常见，可以保证函数连续和二阶可导
样条数量的
选择
样条数量越多，拟合越好，但缺点在于曲线的平滑性较差，此外也较容易受到奇异点的
影响
节点位置的
选择
节点最好使得每段区间具有一定的经济
含义
，且样本数量要较为接近
贴现函数法：参数校准
参数校准
在线性回归中，回归系数的最小二乘估计就是使得回归方程残差平方和最小的系数值。因此，只要对贴现函数形式的设定使得理论价值
能表达为参数
的线性形式，式的估计过程就等价于对回归方程
的估计
无论
样条函数
形式
看起来多么复杂
，
这些
贴现
函数实际上都是
参数的
线性函数
，
从而
相应
的债券价格也将是
参数的
线性函数
。
例如，
三次多项式样条函数形式下，
一
个剩余期限为
2
年的零息票
债券的
理论价格就可表达
为
附息债又是零息债的线性组合，从而不含权债券的价格总是可以表达为参数的线性函数。
参数校准中的
问题：异方差
直接
假设方差大小与债券剩余期限的平方成
比例
债券
定价误差的方差大小与该债券对利率变动敏感性的平方
成正比
（
Vasicek
and Fong
，
1982
）
参数校准中的
问题：约束条件
基本约束条件：
例如，在三次基样条函数形式下，
从而可以表达为
约束条件
下的
GLS
估计量为
比较
Carleton and Cooper
估计
贴现函数法
比较
直接法下的插值方法
贴现函数法
即期利率函数法
贴现函数法的缺陷之一在于参数经济含义不明确
大多数即期利率函数都是从利率期限结构动态模型推导而
来。
最常见的是
Nelson-Siegel
（
NS
）
模型和
Nelson-Siegel -
Svensson
(NSS)
模型
。
即期利率函数法：
NS
模型
指数
形式的瞬时远期利率
对应
的即期利率函数
NS
参数的经济含义
β
0
水平因子：载荷为
1
，
1
是不衰减的常数，
对所有期限利率影响
一致
长期
因子：期限
无穷大时利率收敛于
β
0
β
1
短期因子：其载荷是一个开始于
1
，并很快衰减至
0
的函数，
对短期利率影响
大
斜率因子：
当期限趋于
0
时
，
，
因此
也可以看作是长短期利率之差（
spread
）
β
2
其载荷开始于
0
先
增加后
衰减为
0
，
对中期利率影响
大，
主要影响收益率曲线的弯曲度
,
通常被称为“中期因子”或“曲度因子”
m
决定了
β
1
和
β
2
的
衰减速度。
如果
m
较小
，
收敛
的速率比较快，能较好地拟合较长到期期限的曲线
。
m
较大
时，
收敛
的速度较慢，能比较好地拟合较短到期期限的收益率曲线。
NS
模型的优缺点
其
参数富有经济
含义
，
三
个参数分别对应着利率期限结构的水平变化、斜率变化以及曲度变化，这
与主
成份分析的结果
之间存在
着自然的联系
。
短期
利率
由
β
0
和
β
1
决定
，而长期利率只
由
β
0
决定
，因此在
NS
模型下，短期利率的波动性一般比长期利率的波动性大，这
一点与
现实相符的
。
NS
模型的缺陷在于：虽然
NS
模型可以拟合出上升、下降、水平、先下降后上升的利率曲线，但却无法生成更丰富形状的曲线。
即期利率函数法：
NSS
模型
NSS
模型：解决
NS
模型刻画曲线种类受限的问题
即
期利率函数
改进
增加中期项
增加新的曲度参数
β
3
和调整参数
m
2
中短期部分的形状更加灵活多样，从而能够刻画出各种形状的利率期限结构。
即期利率函数法：参数校准
无法使用最小二乘法，而只能使用非线性最优化技术
同样
需要考虑异方差和约束问题
异
方差
调整通过
赋予短期债券较大的权重来体现
利率期限结构拟合方法评价
直接
方法中的靴襻法应用方便，但对数据量要求较高，且得到的曲线平滑度可能不是
很好
间接
方法能拟合出更为精确和平滑的利率期限
结构
即
期利率法的经济
含义明确
，而且由于用一个函数拟合整条利率期限结构，曲线平滑性也
较好
贴现函数法也有其优越之处。由于用多个连接的分段函数去逼近整条利率期限结构，精确性
较高
这些
模型
本身无法无法
推断出未来的参数变化与今天的参数是如何相关的。这
是这些
方法被统称为“静态”模型的原因。
信用价差期限结构的拟合：分离估计
分别
估计国债和特定信用级别的即期利率期限结构，将两条利率曲线上同样期限的两种利率
相减
直观，但得到的结果对方法敏感度较大，容易不平滑
信用价差期限结构的拟合：联合估计
同时设定无风险利率和信用价差期限结构，利用特定信用级别的债券价格将两条曲线一次性估计出来
思路
1
：
将特定信用级别的贴现函数设定为无风险贴现函数和信用价差函数之和
思路
2
：
直接将特定信用级别的即期利率设定为无风险利率和信用价差之和
