《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造
第一节 生命表函数
一、生存函数
1、 定义：
2、 概率意义：新生儿能活到 的概率
3、 与分布函数的关系：
4、 与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：已经活到 x 岁的人（简记 ），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作 T(x)。
2、剩余寿命的分布函数
5、 ： ，
它的概率意义为： 将在未来的 年内去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数： ，
它的概率意义为： 能活过 岁的概率，简记
特别：
（1）
（2）
（3）
（4） ： 将在 岁与 岁之间去世的概率
4、 整值剩余寿命
（1）定义： 未来存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义： 的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记 为剩余寿命 的分布函数， 为 的密度函数，则
第二节 生命表的构造
一、有关寿命分布的参数模型
1、de Moivre 模型（1729）
2、Gompertz 模型（1825）
3、Makeham 模型（1860）
4、Weibull 模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差
（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源
（1）生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
（2）生命表的发展历史
1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表
的最早起源。
1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用
了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。
（3）生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）
三、生命表的构造
1、原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
2、常用符号
（1）新生生命组个体数：
（2）年龄：
（3）极限年龄：
（4） 个新生生命能生存到年龄 的期望个数：
（5） 个新生生命中在年龄 与 之间死亡的期望个数：
特别，当 时，记作
（6） 个新生生命在年龄 与 区间共存活年数：
（7） 个新生生命中能活到年龄 的个体的剩余寿命总数：
四、选择与终极生命表
1、选择-终极生命构造的原因
（1）需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。
（2）需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失
2、选择-终极生命表的使用
第三节 有关分数年龄的假设
一、使用背景
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个
整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况
二、基本原理
插值法
三、常用假定
1、均匀分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)
2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（几何插值）
3、Balducci 假定（调和插值）
四、三个假定下的生命表函数
函数 均匀分布假定 恒定死亡效力假定 Balducci 假定
