4-1 随机化完全集区设计
(The Randomized Complete Block Design)
在任何实验中，扰动因子(Nuisance Factor)引起的变异对其结果会有影响。扰动因子之定义： 一设计因子，其对反应有效果而实验者却对此效果无兴趣。未知且无法控制(Unknown and Uncontrolled)的扰动因子：不知其存在及实验进行时可能改变水准。随机化是一种设计技巧用来防范此『潜伏』的扰动因子。然而，已知但不可控制(Known but Uncontrollable)的扰动因子，倘于每次实验时会观测到此的扰动因子之值，则于ANOVA时其会被补偿。如扰动变异来源是已知且可控制(Known and Controllable)时，集区划分(Blocking)之设计将可系统化地消除其对处理间统计比较的影响。
兹欲研究硬度机性能测试实验，共有4种尖锐物和4块可供测试的金属物品。每1种尖锐物在每块金属物品上测试一次，另期望实验误差是愈小愈好，因此从实验误差中将金属物品间的变异给隔离开来，成为一随机化完全集区设计(Randomized Complete Block Design (RCBD))。”完全”即是每个集区(金属物品)包含了所有的处理(尖锐物种类)。经由此设计，集区(金属物品)形成一同构型更高的实验单位来比较尖锐物，同时在任一集区内，4种尖锐物测试的顺序是随机，则此策略亦很有效地改善尖锐物间比较之准确性。
尖锐物种类
金属物品(集区)
1
2
3
4
1
2
3
4
(Rockwell C尺度之硬度值) - 40
随机化完全集区设计使用非常广泛，如测试仪器、机器设备、原料的批次、人、与时间，这些经常是实验中扰动变异的来源(Known and Controllable)，可用集区划分的方式加以系统化地控制。
随机化完全集区设计之统计分析
(Statistical Analysis of the RCBD)
假设有a种处理要比较及b个集区，在每个集区里每种处理各有一观测值，同时每个集区中各处理进行的顺序是随机决定的，因为单一的处理的随机化是在集区里，故通称集区是一受限制之随机化(Restricted Randomization)。
Block 1
Block 2
….
Block b
y11
y12
…
y1b
y21
y22
…
y2b
y31
y23
….
y3b
.
.
…
.
ya1
ya2
…
yab
此设计之统计模式是
yij = ( + (i + (j + (ij , i = 1, 2,…, a；j =1 , 2,…, b
(4-1)
式中，(是总平均、是(i第i种处理的效果、是(j第j个集区的效果、与随机误差项(ij ~ NID(0, (2)。处理与集区暂时考虑为固定效果因子，另处理与集区效果均定义为从总平均的离差(Deviation)，所以，
(i=1 a (i
= 0
and
(j=1 b (j = 0
另亦可用”均值模式”表示，
yij = (ij + (ij , i = 1, 2,…, a；j =1 , 2,…, b
式中，(ij = ( + (i + (j ，欲研究处理平均是否相等，检定假设为
H0：(1 = (2 = … = (a
H1：至少一个(i ( (j
因为第i种处理平均值 (i = (1/b) (j=1 b ( ( + (i + (j) = ( + (i，如此检定假设另一种表示为
H0：(1 = (2 = … = (a
H1：至少一个(i ( 0
若yi(为第i种处理下之所有观测值总和、y(j为第j个集区下之所有观测值的总和、y((为所有观测值总和、及N = ab
为所有观测值的数目，则
yi(= (j=1 b (yij)
i = 1, 2, …,a
(4-2)
y(j= (i=1 a (yij)
j = 1, 2, …,b
(4-3)
y((= (i=1 a (j=1 b (yij)=(i=1 a ( yi( )=(j=1 b ( y(j )
(4-4)
同理，
为第i种处理下之所有观测值的平均值、
为第j个集区下之所有观测值的平均值、
为所有观测值的平均值，则
= yi(/b；
= y(j /a；
= y((/N
(4-5)
总(校正)平方和(Total Corrected Sum of Squares)
(4-6)
=
(4-7)
此表示对总平方和的一种分割，故(4-7)式可表示成，
SST= SSTreatments + SSBlocks + SSE
(4-8)
变异来源
平方和SS
自由度df
处理(组间)
SSTreatments
a-1
集区
SSBlocks
b-1
误差(组内)
SSE
(a-1)(b-1)
总和
SST
N-1
(4-8)式左右两边之自由度相等，因此，如假设误差项为常态，则可引用Cochran定理证明SSTreatments/ (2，SSBlocks /(2，与SSE/(2均为独立分配的卡方随机变量。另每个平方和除以本身之自由度即为个别的均方，这些均方的期望值，当处理和集区为固定时，则
E[MSTreatments]= (2 + b(i=1 a ((i2)/(a-1)
E[MSBlocks]= (2 + a(j=1 b ((j2)/(b-1)
E[MSE]= (2
所以，若欲检定处理平均值相等与否，其检定统计式为，
F0= MSTreatments /MSE
，当F0＞F(, (a-1), (a-1)(b-1) ，拒绝H0。
另亦可对集区平均值做比较，倘这些平均值无太大差异，则未来实验时可无须集区划分。
变异来源
平方和SS
自由度df
均方MS
F0
处理(组间)
SSTreatments
a-1
SSTreatments / a-1
SSTreatments/ MSE
集区
SSBlocks
b-1
SSBlocks /b-1
误差(组内)
SSE
(a-1)(b-1)
SSE/
(a-1)(b-1)
总和
SST
N-1
(4-6)~(4-8)式亦可修改以利用手算，如
SST = (i=1 a (j=1 b yij 2 - y((2 /N
(4-9)
SSTreatments = ((i=1 a yi( 2 )/b - y((2 /N
(4-10)
SSBlocks = ((i=1 b y(j 2 )/a - y((2 /N
(4-11)
SSE = SST - SSTreatments - SSBlocks
(4-12)
************
例题4-1
欲研究硬度实验。共有4种尖锐物和4块可供测试的金属物品。每1种尖锐物在每块金属物品上测试一次，成为一个集区随机设计。
尖锐物种类
金属物品(集区)
1
2
3
4
1
2
3
4
SOL:
变异来源
平方和
自由度
均方
F
P-Value
处理(尖锐物种类)
3
集区(金属物品)
3
误差
9
总和
15
F(=)值大于临界值(=)，且P-值为小于显著水准
Reject H0 (( (尖锐物种类的确会影响平均硬度读值。
(倘无考虑集区)
变异来源
平方和SS
自由度df
均方MS
F
处理(尖锐物种类)
3
误差
12
总和
15
F(=)值小于临界值(=)。
Accept H0 (( (尖锐物种类的平均硬度读值相等。
*************
另残差之计算，
eij = yij -
,
其中配适值为，
所以
eij = yij -
= yij
(4-13)
下节再将用残差进行”模式适当性检验”。
多重比较(Multiple Comparisons)
倘随机化集区设计中之处理是固定的，且分析出处理平均值间有显著差异，则用多重比较检视何者平均值不同，上一章(第节)多重比较的方法均可使用。
模式适当性检本(Model Adequacy Checking)
前一章已述，检查假设的模式之适当性是非常重要，一般而言，检查项目包括常态假设、处理或集区的不相等误差变异、与集区-处理的交互作用等潜在问题。如完全随机设计一样，残差分析是此种诊断检查的主要工具。
图4-4 例题4-1残差之常态机率图
由图4-4残差之常态机率图视出，未有严重的”非常态”迹象，与无任何可能的离群值。
倘某尖锐物的残差相当离散，即表示此种尖锐物所产生的硬度读值相当不稳定。又如某金属样本的残差相当离散，即表示此种金属样本本身硬度的均匀性不佳。
(a) 残差与处理图
(b) 残差与集区图
图4-5 例题4-1残差与处理、集区图
由图4-5示，例题4-1看不出以处理或以集区有任何变异不相等的迹象。
图4-6 例题4-1残差与配适值图
检视图4-6，残差大小与配适值无任何关系，没有不寻常的讯息。有时残差与配适值呈曲线的形状，此意味着处理与集区的交互作用(Interaction)，如确有此形态发生，则利用转换以尽可能消除或极小化该交互作用，有关这部分问题将于第5章详述。
随机化完全集区设计之其它方面
(Some Other Aspects of the Randomized Complete Block Design)
随机化集区模式之可加性(Additivity of the Randomized Block Model)
随机化集区设计的线性模式，
yij = ( + (i + (j + (ij ,
是具有完全地可加性，此表示
E[(1] = 5，
E[(1] = 2，
则
E[y11 ] = ( + (1 + (1 = ( + 5 + 2 = ( +7
此简单的加法模式是很有用的，但亦有不适用的情况，如处理与集区发生交互作用。同理，用不当的尺度量测反应时会造成处理与集区发生交互作用，假设原尺度是乘法关系，
E[yij ] = ( (i (j
在对数尺度将是一线性或可加性的关系，如
lnE[yij ] =ln(+ln (i +ln (j
残差分析及一些诊断手法有助于检视非可加性。一但出现交互作用，其严重甚至可能造成ANOVA无效，其会膨胀误差均方及可能影响处理间的比较，如有此况，则用”因子设计(Factorial Design)”，此部份5-9章详述。
随机处理与集区(Random Treatments and Block)
上述已说明处理与集区为固定因子时之检定程序，同样步骤可以用在当处理或集区(或两者)是随机时，然所对应结果的解释上须有所改变，如希望处理间的比较对于实验随机选出的集区来自整个集区母体(Population of Blocks)是一样的。对于均方期望值亦有对应改变，如集区具有相同变异数的独立随机变量，则
E[MSBlocks ] = (2 + (2(
其中(2(为集区效果的变异数，无论如何，E[MSTreatments ]永远不包含任何集区效果，而处理间比较的检定统计量永远是
F0 = MSTreatments /MSE
当集区是随机时，倘处理与集区有交互作用，则处理平均值间之比较不受交互作用的影响，理由是处理及误差的均方期望值均包含交互作用之效应，所以，处理平均值间差异之检定同前，亦即比较处理均方与误差均方，但不提供任何交互作用的讯息。
样本大小之选择(Choice of Sample Size)
选择样本大小、或集区数目，是随机化集区设计中的一重要决策，
样本大小之选择(Choice of Sample Size)
选择样本大小、或集区数目，是随机化集区设计中的一重要决策
估计模式参数与一般性回归显著检定
(Estimating Model Parameters and the General Regression Significance Test)
如处理与集区是固定的，用最小平方法来估计随机化完全集区模式中的参数，此线性统计模式是
yij = ( + (i + (j + (ij , i = 1, 2,…, a；j =1 , 2,…, b
(4-17)
常态方程式(Normal Eq.)，则
…
(4-18)
….
第2到第(a+1)个方程式加总即为第1个常态方程式，而最后b个方程式加总亦为第1个常态方程式，因此，2个线性相依在(4-18)式中，意味着需要有2个限制式来解，其限制式为
(4-19)
利用限制式，常态方程式简化为
(4-20)
而其解则为
(4-21)
利用(4-21)式中常态方程式的解，则yij的估计值或配适值，
一般性回归显著检定可用来发展随机化集区设计的ANOVA，利用(4-21)式的常态方程式的解，为配适完整模式，其简化(Reduction)平方和为
且有(a+b-1)个自由度，与误差平方和为，
且有(a-1)(b-1)个自由度，此式与(4-7)式的SSE比较。
为检定H0 : (i = 0之假设，则”简化的模式”
yij = ( + (i + (ij ,
而此正是1因子ANOVA，依照类似(3-5)式的做法，则配适这”简化的模式”之简化(Reduction)平方和为，
而有a个自由度。所以，在配适 ( 和{ (i }之后的{ (i }的平方和为，
R((|(, () = R((, (, () - R((, () = R(Full Model)- R(Reduced Model)
而正是处理平方和及有a-1个自由度，如(4-10)式。
透过配适”简化的模式”可得到集区平方和
yij = ( + (i + (ij ,
而此亦是1因子ANOVA，则配适这”简化的模式”之简化(Reduction)平方和为，
而有a个自由度。所以，在配适 ( 和{ (i }之后的{ (i }的平方和为，
R((|(,() = R((, (, () - R((,()
有b-1个自由度，如(4-11)式。
上述利用一般性回归显著检定来发展完全集区设计的处理、集区及误差的平方和，此程序对更一般的随机化集区设计，很有用处。
遗漏值问题的精确分析(Exact Analysis of the Missing Value Problem)
在节中呈现一个近似方法来处理随机化集区设计的遗漏值问题，此近似分析是估计遗漏值使误差平方极小，
隨機化集區，拉丁方陣，與相關設計
Chap 4. Randomized Blocks, Latin Squares, and Related Design
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
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2
Chart1
0
Residual
Fitted Value
Residual
Residual vs Fitted Value
硬度測試ANOVA
金屬物品3 金屬物品4
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
雙因子變異數分析：無重複試驗
摘要 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
金屬物品1 4
金屬物品2 4
金屬物品3 4
金屬物品4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
列 3
欄 3
錯誤 9
總和 15
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
單因子變異數分析
摘要
組 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
組間 3
組內 12
總和 15
Model Adequacy Checking
金屬物品3 金屬物品4 Average
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
Average
Total Average
Observation Observed Value Predicted Value Residual Pk
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13
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Observation Residual Pk
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9 0
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16
Model Adequacy Checking
殘差
常態機率
殘差 vs 常態機率
Sheet3
Residual
Fitted Value
Residual
Residual vs Fitted Value
Chart1
0
Residual
Type of Tip
Residual
Residual vs Treatment
硬度測試ANOVA
金屬物品3 金屬物品4
尖銳物 1 10
尖銳物 2
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尖銳物 4 10
雙因子變異數分析：無重複試驗
摘要 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
金屬物品1 4
金屬物品2 4
金屬物品3 4
金屬物品4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
列 3
欄 3
錯誤 9
總和 15
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
單因子變異數分析
摘要
組 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
組間 3
組內 12
總和 15
Model Adequacy Checking
金屬物品3 金屬物品4 Average
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
Average
Total Average
Observation Observed Value Predicted Value Residual Pk
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殘差
常態機率
殘差 vs 常態機率
Sheet3
Residual
Fitted Value
Residual
Residual vs Fitted Value
Residual
Type of Tip
Residual
Residual vs Treatment
Residual
Coupon(Block)
Residual
Residual vs Block
Chart2
0
Residual
Coupon(Block)
Residual
Residual vs Block
硬度測試ANOVA
金屬物品3 金屬物品4
尖銳物 1 10
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雙因子變異數分析：無重複試驗
摘要 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
金屬物品1 4
金屬物品2 4
金屬物品3 4
金屬物品4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
列 3
欄 3
錯誤 9
總和 15
尖銳物 1 10
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單因子變異數分析
摘要
組 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
組間 3
組內 12
總和 15
Model Adequacy Checking
金屬物品3 金屬物品4 Average
尖銳物 1 10
尖銳物 2
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Average
Total Average
Observation Observed Value Predicted Value Residual Pk
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Model Adequacy Checking
殘差
常態機率
殘差 vs 常態機率
Sheet3
Residual
Fitted Value
Residual
Residual vs Fitted Value
Residual
Type of Tip
Residual
Residual vs Treatment
Residual
Coupon(Block)
Residual
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Chart2
殘差
常態機率
殘差 vs 常態機率
硬度測試ANOVA
金屬物品3 金屬物品4
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
雙因子變異數分析：無重複試驗
摘要 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
金屬物品1 4
金屬物品2 4
金屬物品3 4
金屬物品4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
列 3
欄 3
錯誤 9
總和 15
尖銳物 1 10
尖銳物 2
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尖銳物 4 10
單因子變異數分析
摘要
組 個數 總和 平均 變異數
尖銳物 1 4
尖銳物 2 4
尖銳物 3 4
尖銳物 4 4
ANOVA
變源 SS 自由度 MS F P-值 臨界值
組間 3
組內 12
總和 15
Model Adequacy Checking
金屬物品3 金屬物品4 Average
尖銳物 1 10
尖銳物 2
尖銳物 3
尖銳物 4 10
Average
Total Average
Observation Observed Value Predicted Value Residual Pk
1
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Model Adequacy Checking
殘差
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殘差 vs 常態機率
Sheet3
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Fitted Value
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