-1-
双交通模式随机用户平衡问题的一种求解方法
度巍 1，黄崇超 2，王先甲 1
1 武汉大学系统工程研究所，武汉（430072）
2武汉大学数学与统计学院，武汉（430072）
摘 要：通过对原交通网络中的次交通模式上的路段赋予虚拟路阻函数，将原网络上的双交
通模式随机用户平衡问题转化为传统的单模式固定需求随机用户问题，从而利用单模式固定
需求随机用户问题对应的数学规划来求解，最后利用仿射尺度内点算法对一个小型路网进行
了数值实验。
关键词：交通分配，双交通模式，随机用户平衡，虚拟路阻函数
中图分类号： 文献标识码：A
1. 引言1
交通分配是交通规划理论的基础，自上
世纪五十年代 wardrop[1]提出著名的平衡交
通分配两原则以来，国内外众多学者对于交
通分配进行了大量研究。在 Wardrop 的用
户平衡配流原则中，总是假设出行者精确地
了解每条路径的出行时间，从而始终能做出
绝对正确的路径选择。而事实上，由于信息
掌握得不充分，出行者只能对路径出行成本
作出大致估计，对同一路径，不同的出行者
会有不同的估计值。Dagazno 和 Sheffi[2]将出
行者对路段出行成本的理解值与实际值之
差视为随机变量，给出了随机用户平衡
（SUE）概念，此后许多学者对于随机用户
平衡问题进行了深入研究[3]。文献[4]首次将
交通分配问题从以往的单交通模式扩展到
更符合实际的双交通模式，其中一种为主交
通模式（通常为轿车，出租车），另外一种
为次交通模式（通常为轨道交通），次交通
模式上的行走阻抗为固定值。文献同时构造
了在模式分离情形下，一种求解双交通模式
确定性用户平衡问题的方法。然而当主要交
通模式采用随机用户平衡分配时，尚无有效
的求解方法，本文通过在次交通模式路径上
定义虚拟路阻函数，将双交通模式的交通分
1本课题得到国家自然科学基金项目（60574071）的
资助。
配问题转化成为通常的单交通模式下的固
定需求随机用户平衡问题求解，最后给出了
一个算例。
2. 基本网络描述
定义交通网络 ( , , )G N A M= , 其中 N
是节点集合，A表示有向路段的集合，M 为
交通模式数，本文将考虑 2M = 时的情况。
a表示G 中主交通模式的任意一条路段，
ax 为路段 a上的主交通模式流量， ( )a ac x
为路段a的路阻函数，为单调递增函数；W
是G中的 O-D 对集合，w表示W 中的任一
O-D 对； wP 表示主交通模式中 O-D 对w间
的所有路径集合； wD 表示 O-D 对w间的交
通需求， wD 表示 O-D 对w间主交通模式的
交通需求；k 表示主交通模式中属于 wP 的任
意一条路径，
w
kf 表示 O-D 对w间路径 k 上
的主交通模式流量；
w
akδ 表示若路段 a在连
接 O-D 对w的路径 k 上，则为 1，否则为 0；
w
kC 为 O-D 对w中，主交通模式出行者对路
径 k 的估计阻抗，
w
kc 为w中主交通模式路
径 k 的实际阻抗。
由于次交通模式在各个 O-D 对w的每条
-2-
路径上，其行走阻抗为定值，所以可以认为
次交通模式在各个 O-D 上仅有一条路径，该
路径只含一条路段直接连接各个 O-D 对，定
义该路段为 wa ，其运行阻抗为定值 wc ，其
路径上的流量为
wf ，图 1 是一个 4 O-D 对
的双交通模式路网图
图 1 双交通模式网络图
Figure1 traffic network with two modes
图 1 中 4 个 O-D 对分别为：1-8，1-9，2-8，
2-9，其中直接连接各个 O-D 对的路径为次
交通模式的路径，在双交通模式下有以下条
件成立：
, /{ }
w
w w
a ak k
w Ww W k P
x f a A aδ
∈∈ ∈
= ∀ ∈∑ ∑ U
(1)
w
w
k w
k P
f D
∈
=∑
(2)
w
w wD f D+ = w W∀ ∈
(3)
0wkf ≥ ， 0wD ≥ ， 0wD ≥ ， 0wf ≥
0ax ≥ ， , ,k w a∀
(4)
当双交通模式下的交通分配达到随机用户
平衡时，对主交通模式，各个 O-D 对路径交
通流应满足如下 Logit 分配方式：
1
1
w
k
w
k
w
c
w
k c
k P
ep
e
θ
θ ′
−
−
′∈
= ∑
(5)
1
1
w
k
w
k
w
c
w w
k w k w c
k P
ef D p D
e
θ
θ ′
−
−
′∈
= = ∑
(6)
其中
w
kp 表示O-D对w间的路径 k 被选择的
概率， 1θ 是主交通模式的比例参数，而 O-D
对w间路径的最小阻抗的期望为[3]：
1
1
1[min{ }] ln( )
w
k
w
w
cw w
kk P k P
S E C e θθ
′−′′∈ ′∈
= = − ∑
(7)
在主交通模式与次交通模式之间，若移植固
定需求下的双模式交通需求分配模式，达到
随机用户平衡时，应满足如下关系：
2 ( )
1
1
w ww w S c
D D
eθ −
= +
(8)
其中 2θ 是交通模式之间的比例参数。
3. 双模式随机用户平衡问题求
解
由于双模式随机用户平衡问题不仅要
在主交通模式内部，而且还要在交通模式之
间达到随机用户平衡，所以使得平衡交通流
的求解变得复杂，下面的定理 1 将说明，通
过对次交通模式路径赋以适当的虚拟路阻
函数，可以将双模式随机用户平衡问题转化
成为通常的单模式固定需求随机用户平衡
问题。
定理 1：在路网中，若对次交通模式的路径
（即直接连接 O-D 对w的路段）赋以如下
虚拟路阻函数：
2 1
1 1( ) ( ) ln( )
w
w w w
w
w
ft f c
D fθ θ= − +−
(9)
-3-
那么以 1θ 为 Logit 比例参数， wD 为交通需
求的单模式随机用户平衡(SUE)问题的平衡
路径流，与双模式随机用户平衡交通流相
同。
证明：令
wf
∗
为交通路网在单模式、固定需
求下达到随机用户平衡时，次交通模式的路
径流量，由(6)式，有：
1
1 1
( )
w
w w
k
w
t
w
w c t
k P
ef D
e e
θ
θ θ
∗
′
−
− −
′∈
= +∑
(10)
将(9)式代入(10)式得：
1
2 1
1
2 11
1 1(( ) ln( ) )
1 1(( )ln( ) )
w
w
w
w
w
w
w w
k w
w
f c
D f
w
w f c
c D f
k P
ef D
e e
θ θ θ
θ θ θθ
∗
∗
∗
∗
∗
′
− − +
−
− − +
− −
′∈
=
+∑
(11)
即
1
2 11
1 1(( ) ln( ) )
( )
w
w
w w
k w
w
f c
c D fw
k P
f e e
θ θ θθ
∗
∗∗ ′
− − +
− −
′∈
+∑
=
1
2 1
1 1(( ) ln( ) )
w
w
w
w
f c
D f
wD e
θ θ θ
∗
∗− − +−
(12)
化简得
1
w
k
w
cw
k P
f e θ
∗ ′−
′∈
∑
1
2 1
1( )( )
w
w
w
w w
w
cfD f e
D f
θ
θ θ
∗
∗
∗
− −= − −
（13）
进一步有
1 1
12 2 1( ) ( ) ( )
w
k
w
wcw w
w
k P
cD f e f e
θ θ
θ θθ θ∗ ∗′− −− −
′∈
− =∑
(14)
即
2
1
2
1( )
w
k
w
ww
w
w
c
k P
cD f e
f e
θ
θ
θ
θ
∗
∗
′
−−
′∈
− =
∑
(15)
最后得
1
1 2
2
1
2
1
( )
( )
w
k
w
w
k
w
w
c
k Pw
w
c
k P
c
e
f D
e e
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
′
∗
′
−−
′∈
−−
′∈
=
+
∑
∑
(16)
由(16)式，可得
1
2
1
1
2
1
1( )
1( )
ln( )
ln( )
1
wc wk
k Pw
wc wk
k Pw
e
w
w
e
c
c
ef D
e
θ
θ
θ θ
θ θ
− ′
′∈∗
− ′
′∈
− −
− −
∑
= ∑+
(17)
由(3)与(17)式，可得：
1
2
1
1( )ln( )
1
1
wc wk
k Pw
w w
e c
D D
e
θθ θ
− ′
′∈
− −
= ∑+
(18)
(18)式正好是双模式弹性随机用户平衡时，
两模式之间的分配关系式（8）。
对于原主交通模式的路径，不失一般
性，考虑 O-D 对w的路径 k。当达到单模
式、固定需求下的随机用户平衡时，其平衡
流
w
kf
∗
应满足：
1 1
w
k
w
k
w
w
c
w
k w c
k P
t
ef D
e e
θ
θ θ
∗
′
−
− −
′∈
= +∑
(19)
将(9)式代入(19)式有：
1
1 1
2 11
1 1( )ln( )
w
k
w
w
w w
k w
w
c
w
k w f c
c D f
k P
ef D
e e
θ
θ θθ θθ
∗
∗
∗
′
−
− − −
− −
′∈
=
+∑
(20)
将(17)式代入(20)式，化简得：
1
1 1 2
2
1
(1 )
( )
w
k
w w
k k
w w
w
c
w
k w
c c
k P k P
c
ef D
e e e
θ
θ
θ
θ θ θ
∗
′ ′
−
− − −
′ ′∈ ∈
−= +∑ ∑
(21)
整理(21)式，得：
-4-
1
1 1
2
1
1( )ln( )
1
1
w
k
w wc wk k
k Pw
w
c
w
k w ce
k P
c
ef D
e
e
θ
θ
θθ θ
∗
− ′ ′
′∈
−
−
′∈
− −
= ∑+ ∑
(22)
由(18)式知(22)式即为
1
1
w
k
w
k
w
c
w
k w c
k P
ef D
e
θ
θ
∗
′
−
−
′∈
= ∑
(23)
(23)式表明，在网络中，当达到单模式、固
定需求下的随机用户平衡时，原主交通模式
的各个路径平衡流也与双模式随机用户平
衡流相同，从而定理获证。
4. 双模式随机用户平衡问题的
数学规划模型
由于定义的路阻函数是可分离的，该问题
对应的数学规划模型：
1 10 0
min (ln 1) (ln 1)
( ) ( )
w
w
a
w w w w
k k
w W k P w W
x f w
a
a A w W
f f f f
c x dx t x dxθ θ
∈ ∈ ∈
′∈ ∈
− + −
+ +
∑ ∑ ∑
∑ ∑∫ ∫
(24a)
. .
w
w
a ak k
w W k p
s t x fδ
∈ ∈
= ∑ ∑
,
/{ }w
w W
a A a
∈
∀ ∈ U
(24b)
w
w
k w
k p
f D
∈
=∑
(24c)
w
w wD f D+ = , w W∀ ∈
(24d)
0, 0, 0, 0, ,w wk w wf f D D k w≥ ≥ ≥ ≥ ∀
(24e)
可以证明数学规划(24)的 K-K-T 条件满足双
交通模式下的随机用户平衡条件即(6),(8)
式。
同时(24a)关于变量 Hessian 矩阵为：
1
1
1
1 ( )
( )
w
k
w w
w w
a a
f
dt f
f df
c x
θ
θ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦
O
O
O
对(9)式关于
wf 求导，得：
2 1
( ) 1 1 1 1( )( )
w w
w w w
w
dt f
df f D fθ θ= − + −
(25)
由于次交通模式的运行阻抗为固定值，从而
出行者对于交通模式之间运行阻抗的观察
误差比例系数 2θ 不大于出行者在主交通模
式中各 O-D 对路径间的观察误差比例系数
1θ ，从而(25)式大于零，故 Hessian 矩阵正
定，从而数学规划(24)为严格凸规划，存在
唯一解。
5. 算例
最后通过求解图1所示的交通路网所对应
的双模式随机用户平衡配流，检验本文提出
方法的可行性。
交通网络 1 中，各个 O-D 对交通需求量
及有效路径集合如表 1 所示，表中括号内是
路径所包含的路段
表 1 O-D 对交通需求量及有效路径集合
O-D
对 1-8 1-9 2-8 2-9
wD 300 400 300 400
有 1(12) 5(14) 9(13) 13(15)
效 2(1,8,16) 6(1,8,11,17) 10(3,9,10,16) 14(3,9,17)
路 3(1,4,6,16) 7(1,4,7,17) 11(3,5,6,16) 15(3,5,7,17)
径 4(1,2,5,6,16) 8(1,2,9, 17) 12(3,5,7,10,
16)
16(3,5,6,11,1
7)
-5-
对于上述双模式随机用户平衡交通分
配问题所对应的数学规划模型，本文采用仿
射尺度内点算法求解[8]。该算法的思想是：
对于当前迭代点
1 ,,
1( , )m
w kw kk
nF f f= L ，
构造对角阵
1 ,,
1( , )m
w kw k
k nD diag f f= L ，
作仿射尺度变换
1: kk kT g D F
−= ，
在此变换下，(24)变为如下形式：
min ( )kG g
(26a)
. . , 0ks t A g b g= ≥
(26b)
其中 k kA AD= ，A是(24c)与(24d)联立后对
应的约束矩阵，b是 O-D 需求向量。在仿射
尺度变换下， kF 将被变换到(26b)的约束区
域的中心 (1,1 ,1)
Te = L ，从 e出发沿(26a)
的目标函数在
kg e= 处的负梯度在矩阵 kA
核 空 间 的 投 影 方 向
1( ) ( ( ) ) ( )T Tk k k k k kG e I A A A A G e
−′∇ = − −
作一维搜索，得新的可行内点 1kF +
算法迭代步骤如下：
1. 取 初 始 可 行 路 径 配 流
1 ,1,11
1( , )m
ww T
nF f f= L ， 允 许 误 差
0ε > ，置迭代数 k=1；
2. 由 kF 构 造 对 角 阵
1 ,,
1( , )m
w kw k
k nD diag f f= L ， 计 算
( ) ( )kk kG e D F f∇ = ∇ ， k kA AD= ，
1( ) ( ( ) ) ( )T Tk k k k k kG e I A A A A G e
−′∇ = − −
；
3. 若 ( ) 0kG e′∇ = 或者 ( )kG e ε′∇ < ，最
优配流为 min
k
kF F D e= = ，算法停止，
否则转 4；
4. 计算
( )
( )
k
k
k
G ed
G e
′∇= − ′∇ ，作一维搜索：
0
min ( )k k kM F D dλ γ λ≤ ≤ + （其中 ( )M ⋅ 是目
标函数(24a), 而0 1γ< < 是适当选取的
参数）；
5. 设 kλ 为一维搜索得到的最佳步长，令
1k k
k k kF F D dλ+ = + ，k:=k+1,转 2．
在本算例中，取 1 22, 1θ θ= = ，而各路段自
由流阻抗分别为[5 6 5 3 3 4 4 7 7 16
21 22 5 5]。求得的双模式随机用户最优
配流结果如表 2 所示：
表 2 双模式随机用户最优配流结果
O-
D
对
1-8 1-9 2-8 2-9
主
模
式
（2）
（6）
（10）
6（14）
各
路
径
（3）
（7）
9（11）
（15）
配
流
（4）
（8）
（12）
（16）
次
模
式
路
径
配
流
6（1）
2（5）
9（9）
7（13）
6. 结语
本文通过对次交通模式上的路径赋以
虚拟路阻函数，将双交通模式随机用户平衡
问题转化成单模式随机用户平衡问题求解，
并用仿射尺度内点算法对一个小型路网进
-6-
行了数值实验。当次交通模式的出行路阻为
变量时以及当交通模式多于两个时所对应
的随机用户平衡交通分配将是下一步的研
究方向。
参考文献
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用,2005,,159-165
A Method for Solving the Stochastic User Equilibrium
Assignment Problem with Two Traffic Modes
1Du Wei，2Huang Chongchao，1Wang Xianjia
1,Institute of Systems Engineering, Wuhan University, Wuhan, Hubei（430072）
2School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan, Hubei（430072）
Abstract
By providing the links of secondary traffic mode the dummy link performance functions, the stochastic
user equilibrium assignment with two traffic modes is transformed into the classical stochastic user
equilibrium assignment problem in single traffic mode. Thus the mathematical programming to solve
classical stochastic user equilibrium assignment problem can be used to solve stochastic user
equilibrium assignment with two traffic modes. A numerical example is given by using Gradient
Projection Method with Affine Scaling, which shows that the method presented in this paper is
effective and efficient.
Keywords: Traffic Assignment, Two Traffic Modes, Stochastic User Equilibrium, Dummy Link
Performance Function
作者简介：
度巍（1982-)，男，湖北荆州人，博士，从事最优化理论与算法、交通规划的研究；
黄崇超（1957-)，男，教授，博士生导师；
王先甲（1957-)，男，特聘教授，博士生导师。
