第!"卷 第!期 运 筹 与 管 理 #$%&!"，’$&!
"(()年"月 *+,-./0*’1-,1,.-23.’45.’.6,5,’/120,’2, 789&，"(()
收稿日期："((":(;:(<
作者简介：杨嶙（!=;;:），男，山东济南人，硕士研究生，主要从事金融工程与保险精算理论的研究。
随机利率模型下养老基金的最优化管理
杨嶙， 王 斌， 张曙光
（中国科学技术大学 统计与金融系，安徽 合肥")((">）
摘 要：本文讨论带有收益保障的养老金计划在随机利率模型下的优化管理问题。通过分解养老基金，将有下
限约束的退休收益优化问题转化为无约束的自融资基金优化问题，并在#?@ABC8D利率模型下得到显式解。
关键词：醵出金；养老基金；-$%%AEF9$EG；自融资过程；套期保值基金
中图分类号：2=!)H;I*"!!H> 文章标识码：. 文章编号：!((;:)""!（"(()）(!:((=):(;
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J.’6KAE，L.’6MAE，N3.’61OP:FP?EF
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( 背景概述
作为社会保障体系的重要环节，员工养老金计划的推出和风险管理是国内政府有关部门日益重视的
现实问题，其中所涉及的经济理论和相关的金融定量分析问题也为数理金融领域提出了一个重要的研究
课题。一般来说员工退休收入系统大致可发为三部分：国家社会保障计划，辅助性养老金方案和个人储
蓄。无论是社会统筹的退休金制度还是私营养老基金，都可以看作是一种强制性的储蓄方案，按照融资原
则，养老金计划可以粗略划分成两类：
·+?Z:?@:Z$P:F$型（收付统筹型）：用员工按社会统筹养老金计划交纳的醵出金（C$ESRA9PSA$E@）以支付
退休者的退休金。
·7PEGAEF型（基金型）：员工投入的醵出金组成专项投资基金，通过不断投资积累至其退休时刻，并以
届时的积累资本购买一个生存年金，用以支付其自身退休后的退休金。
其中基金型（7PEGAEF）的养老金方案又可分为两种类型：
·确定收益养老金方案（48VAE8GM8E8VAS+%?E@简记为4M+）：退休收益由基金管理者事先确定，醵出金
则应以保证该确定性收益得以实现为原则加以制定并根据实际情况不断调整。
·确定缴费养老金方案（48VAE8G2$ESRA9PSA$E+%?E@简记为42+）：醵出金相对确定，退休收益则视养老
基金的投资回报而定。员工所能决定的只是自己的参与程度，即在一定的假设下，决定投入养老基金额所
占现阶段收入的比例。
我国现行的退休金制度实际上就是+?Z:?@:Z$P:F$型的养老金方案。但随着经济形势及人口结构的不断
万方数据
变化，其弊端不断显现。以法国为例，!"""年法国退休者与适龄工人的比率已达到#$%。在退休年龄不变
的假设下，预计&’&’年这一比率将增至(’%，&’)’年则超过*’%。在愈演愈烈的人口老龄化格局下，这种
“年轻人”供养“老年人”的养老金方案无疑将严重增加整个社会的经济负担，限制社会生产力的进一步发展。
在这种社会经济背景下，推行基金类养老金方案成为各个国家社会保障体制改革的重大举措，近年来，+,-
的发展尤为迅速，像美国的./01210345678197:7/8;<<=3/8>和英国的;??9=?91487-79>=/45-7/>1=/都是成功的范
例。
从投资角度看，+,-养老基金与个人储蓄差别不大，它在任意时刻的帐面价值易于计算，这就使其更
具“便携性”，符合现代社会劳动人口流动性高的要求。相对于+@-，+,-基金的管理者实际上把投资风
险转嫁给了参与者。而在稳定繁荣的经济背景下，+,-的参与者更有可能获得高额的退休收益。这种高
风险高回报的特征使得+,-与金融投资领域的联系更为密切，从而成为后者研究与实践的重要课题。
本文讨论的养老金方案是带有收益保障的确定缴费养老金方案，即在+,-的基础上增加一个退休收
益的下限保障，以使养老金计划能支付给受益人最基本的生活保障。这使得养老基金的投资组合具有看
涨期权的特性，并部分吸收了+@-中确定收益的概念，这是对一般意义+,-的重大改进。该方案要求基
金的管理者必须在实现最低收益的前提下利用各种金融投资工具，为方案参与者谋求最大的利益效用，这
就构成了我们要研究的优化问题。
由于养老基金的投资年限通常都比较长，比如说&’!)’年，这就有必要引入随机利率模型。在确定
收益期限的前提下，文献［!］研究了特定模型下的投资策略的显示表达形式。但显然，这样的确定性要求
并不能准确刻画实际情况，因为受益人的生存期限是一个随机变量。本文在A4>1B<7C利率模型下，引入投
资人的收益时间这一随机变量，在一定的技术假设下，我们研究了带有收益保障+,-的最优投资策略，并
得到显式解。
! 问题和市场模型
本文假定金融市场是无套利、无摩擦的连续开放型市场，并且养老基金的投资行为不影响各类证券的
价格。为刻画市场的随机性，我们取一个完备的概率空间（!，!，"），并在其上定义一个二维的标准布朗运
动（!"（#），!（#）），#!’。令（!（#））#!’是由该布朗运动生成的自然"域流以描述到#时刻为止投资者获
得的所有的市场信息。假定市场中的投资工具分为三类：现金，股票和长期债券，简便起见，本文只考虑一
种股票市场指数作为股票市场的资产代表。多资产时的情况可以用类似手法加以平凡推广。
假设!"! 现金资产的瞬时无风险利率"（#）取为A4>1B<7C模型：
"（#）D$（%E"（#））0#E""0!"（#） "（’）D"’ （!F!）
由&#’公式，此时
"（#）D（"’E%）(E$#G%E"""
#
’
($（)E#）0!"（)） （!F&）
假设!"# 设到期日为*的无息票债券的#时刻的价格为+（#，*），##［’，*］，它满足
0+（#，*）
+（#，*）D"
（#）0#G"+（*E#）（0!"（#）G#"0#） （!F#）
在A4>1B<7C利率模型下，风险补偿#"为常数，且有
"+（*E#）D!E(
E$（*E#）
$ ""
（!F)）
假设!"$ 实际上金融市场中不可能找到对应所有到期日*$’的无息票债券。考虑到A4>1B<7C利
率模型是单因子模型，我们就可以通过定义一个代表债券，即所谓的“9=551/HI=/0”（滚动性债券），来复制
其它债券。假设此债券在#时刻的价格为+,（#），满足
0+,（#）
+,（#）D"
（#）0#G",（0!"（#）G#"0#） （!F(）
其中， ",D!E(
E$,
$ ""
（!FJ）
)" 运 筹 与 管 理 &’’#年第!&卷
万方数据
!"（#）与!（#，$）具有如下关系：
!!（#，$）
!（#，$）"
（#$
!!（$$#）
!"
）!%%（#）
%%（#）&
!!（$$#）
!"
!!"（#）
!"（#）
（#’(）
假设!"# 股票市场指数%（#）服从
!%（#）
%（#）"&
（#）!#&!#（!’（#）&"!#）&!)（!’&（#）&"&!#） （#’*）
其中，!#，!)以及相对于’（#）的风险补偿"均为常数，实际上!)刻画了股票市场与债券市场的相关程
度。
本文首先考虑一种简单情况，即参加养老金方案的员工正常的退休时刻为固定的时刻$，但收益时
间长度为一个随机变量#，也就是说在其退休后，其生存年金将在$&#时刻停止支付。我们可以把这个
随机变量理解为员工退休后的生存时间。设#服从参数为$的指数分布，并设其与原布朗运动相互独
立。
为获得退休收益，员工必须在其工作年限中不断地向养老基金投入一定比例的工资收入，即醵出金。
为方便，假设参与者以醵出率(（#）在［%，$］中连续投入资金。一般情况下，醵出金按工人工资的固定比
率（如#+,）上缴，如果以常数)记平均工资的连续增长率（最低限度可设)为通货膨胀率），我们可以假
定(（#）是一个连续的确定性过程，
(（#）"(（%）*)# !#"［%，$］ （#’-）
同时，我们假定养老金方案必须在员工退休时提供最低的生活保障+（$）。这实际上是给基金的风
险管理增加一个期末约束条件，+（$）可以视为员工在$时刻市场状态的一种未定权益，即一个!$ 可测
的随机变量。设养老金方案收益保障条款中承诺的最低生存年金函数为
,（#）",（$）*)
（#$$） !##$ （#’#%）
则
+（$）"-.$
#
$
,（/）*
$$
/
$
&010
!/%!［ ］$
"-.$
.
$
-（#&/）,（/）*
$$
/
$
&0!0
!/%!［ ］$
"$
.
$
2（#&/%#&$）,（/）-.’ *
$$
/
$
&0!0%!［ ］$ !/
"$
.
$
,（/）*$$
（/$$）!（$，/）!//
（#’##）
注!"$ 上式推导中用到了#的分布与布朗运动的独立性。-.’则指等价鞅测度下的期望，所以有
!（$，/）"-.’ *
$$
/
$
&0!0%!［ ］$ 。此处!（$，/）可看作利率折现因子。既然!（$，/）只依赖短期利率&
（$），则!$ 可测的随机变量+（$）可看作是&（$）的函数+（&$）。
设%%（#），%/（#），%"（#）分别代表养老基金在#时刻投入到现金资产%%（#），股权资产%（#）和“0122345
614!”!"（#）上的资产份额。则#时刻养老基金的财富值3（#）有
3（#）"%%（#）&%/（#）&%"（#） !#"［%，$］ （#’#)）
联系上文的各个假设，可得
!3（#）"&（#）3（#）!#&%/（#）［!#（!’（#）&"!#）&!)（!’&（#）&"&!#）］
&%"（#）!"（!’&（#）&"&!#）&(（#）!#
（#’#7）
3（%）"% 3（$）#+（$）
作为基金的管理者，追求的目标就是极大化目标效用-.［0（3（$）$+（$））］，其中效用函数0是
4556（相对风险厌恶系数为常数的）函数，即
0（7）"7
&
& !7#%
，%(&(# （#’#8）
注!"% 当我们把##%理解成投保人的寿命分布时，若#)’，即员工在退休前死亡，一般来说此时
+-第#期 杨 嶙，等：随机利率模型下养老基金的最优化管理
万方数据
其家属将得到养老金计划退还的养老金帐户的帐面值!（!）以及可能获得的死亡保险金或抚恤金，这就
构成了所谓的“遗赠效用”。但作为养老金计划的发起人和管理者，主要是在平均意义上谋求工人退休收
益效用的最大化，所以本文暂时只考虑遗赠效用为零的特殊情况。
我们将研究满足预算约束方程（!"!#）的优化问题：
$%&
""，"#
$%［&（!（’）’(（’））］ （!"!(）
) 最优化问题的求解
相对于经典的最优化问题，问题（!"!(）的难度在于!（)）不是自融资过程，同时还带有约束条件!
（’）!(（’）。理论上可以借助倒向随机微分方程，通过下面的结论保证（!"!(）的解是唯一的。
定理!"#（!"!(）类型的优化问题的解存在唯一，并且财富过程满足
!（)）*$%［*)’!（’）’"
’
)
*)+,（+）++#!)］ （)"!）
其中过程类（*)）)!,是随机微方程
+*)+
*)+
*’-（)）+)’#+.（)）’#-+.-（)） $,%)%+
*))
&
’
( *!
（)")）
的解。特别地，由!（,）*,可得，
$%［*’!（’）］*"
’
,
,（)）/（,，)）+) （)"#）
注!"! (（’）和醵出率,（)）必须满足
$%［*’(（’）］%"
’
,
,（)）/（,，)）+) （)"-）
也就是 "
.
’
0（)）1’$
（)’’）/（,，)）+)%"
’
,
,（)）/（,，)）+) （)"(）
为了利用经典的投资优化理论模型（参见［-］），我们需要对问题（!"!(）作一些技术性处理：
首先把养老基金分为两部分，一部分相当于在期初获得一个等价于所有醵出金精算现值的贷款。即
这部分贷款是由其后的醵出金连续偿还并在期末’时刻还清，所以它在)时刻的帐面价值2（)）满足：
2（)）*’"
’
)
,（+）/（)，+）++ （)"/）
以下我们用0122345614+和现金资产来复制这项贷款，由$)3公式，2（)）可以进行如下分解：
"2#（)）*’"
’
)
,（+）/（)，+）
%/（+’)）
%#
++ （)"7）
"2,（)）*2（)）’"2#（)） （)"8）
定义养老基金的剩余部分为4（)）*!（)）’2（)），))［,，’］，则它是自融资过程并满足
+4（)）*-（)）4（)）+)9"4"（)）［%!（+.（)）9#+)）9%)（+.-（)）9#-+)）］
9"4#（)）%#（+.-（)）9#-+)）
4（,）*"
’
,
,（)）/（,，)）+) 4（’）*!（’
&
’
( ）
（)":）
其中，
"4"（)）*""（)）
"4#（)）*"5（)）’"2#（)）
"4,（)）*",（)）"2,（)
&
’
( ）
（)"!,）
这样，（!"!(）就等价于
$%&
"4"，"
4
#
$%［&（4（’）’(（’））］ （)"!!）
/: 运 筹 与 管 理 ),,#年第!)卷
万方数据
实际上我们可以把!（"）视为投保人在"时刻的未定权益，利用期权定价理论，我们可从#（$）中分
离出一个具有连续，!$适应过程的资产组合来复制此下限保障。由无套利定价理论，此资产组合在$时
刻的价值为
!（$）!%&［’$"!（"）!!$］!"
"
"
(（)）*#!
（)#"）+（$，)）$) （%&’%）
进而可以分解成()**+,-.),$和现金资产两部分：
"!,（$）!"
"
"
(（)）*#!
（)#"）+（$，)）#+
（)#$）
#, $)
（%&’/）
"!0（$）!!（$）#"!,（$） （%&’1）
此时，#（$）中的剩余部分-（$）!#（$）#!（$）!.（$）#/（$）#!（$）就构成了套期保值基金并满
足：
$-（$）!0（$）-（$）$$2"-1（$）［#’（$2（$）2$$$）2#%（$20（$）2$0$$）］
2"-,（$）#,（$20（$）2$0$$）
-（0）!"
"
0
3（$）+（0，$）$$#"
"
"
(（$）*#!
（$#"）+（0，$）$
#
$
% $
（%&’3）
其中，
"-1（$）!"#1（$）!"1（$）
"-,（$）!"#,（$）#"!,（$）!",（$）#"/,（$）#"!,（$）
"-0（$）!"#0（$）#"!0（$）!"0（$）#"/0（$）#"!0（$
#
$
% ）
（%&’4）
问题（%&’’）最终转化为无约束的自融资过程最优化问题：
567
"-1，"
-
,
%&［4（-（"））］
预算约束方程（%&’3）
-（"）&
#
$
% 0
（%&’8）
理论上不难证明优化问题（%&’8）的解的存在唯一性，在本文的框架中，我们可以得到如下的显式结
果：
定理!"# 最优化问题
567
5’（$），5%（$）
%&［4（-（"））］
$-（$）
-（$）!0
（$）$$25’（$）（$2（$）2$$$）25%（$）（$20（$）2$0$$）
-（0）!-0
-（"）&
#
$
% 0
（%&’9）
的解是：
5’（$）! $’#%
，
5%（$）!
$0
’#%#
%
’#%#+
（"#$）
#
$
% :
（%&’;）
证明： 令$6（$）!$-
（$）
-（$）
，有
%&［-
（"）%
%
］!
-%0
%%&
［<7=（%6（"）#%%
〈6〉"）］ （%&%0）
因为
6（"）!"
"
0
0（$）$$2"
"
0
5’（$）（$2（$）2$$$）2"
"
0
5%（$）（$20（$）2$0$$） （%&%’）
所以
%6（"）#%%
〈6〉"!%"
"
0
5’（$）$2（$）2%"
"
0
5%（$）$20（$）2"
"
0
（#%%
［5%’（$）25%%（$）］
8;第’期 杨 嶙，等：随机利率模型下养老基金的最优化管理
万方数据
!!［!（"）!#"（"）"!##（"）"!］）$" （#%##）
由$"%公式，
!
&
&
!（"）$"’!
&
&
［（!&(’）(()"!’］$"(#!!
&
&
（!
"
&
()（*("）$+!（*））$"
’（!&(’）"((
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（!
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*
()（*("）$"）$+!（*）
’（!&(’）"((
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) !’&(!
&
&
#,（&("）$+!（"）)
令!-（&）(!#
〈-〉&’,（&）("#
〈,〉&!.（&），其中,是布朗鞅，.是递增的有界可积变差过程，
,（&）’!!
&
&
#"（"）$+（"）!!!
&
&
（##（"）(#,（&("））$+!（"）
.（&）’!［（!&(’）
#,（&）
#! !’&
］!!!
&
&
（"#"（"）("(!# #
#
"（"））$"
!!!
&
&
［"!##（"）("##
#
#（"）!!#
（##（"）(#,（&("））#］$"
由于$/［*+,（,（&）("#
〈,〉&）］’"，所以只要#"（"），##（"）使.（&）达到最大值，即可得到优化问
题的解。这只要
"#"（"）("(!# #
#
"（"） （#%#-）
与 "!##（"）("##
#
#（"）!!#
（##（"）(#,（&("））# （#%#.）
同时达到最大。令上两式的一阶导数为零，即解得
#"（"）’ ""(!
##（"）’
"!
"(!(
!
"(!#,
（&("
"
#
$ ）
（#%#/）
证毕。
简单代换就得到问题（#%"0）的最优解：
推论!"# 对于套期保值基金0的最优投资策略可由下列各资产的投资比例给出：
#1（"）’ "（"(!）#"
， （#%#1）
#2（"）’
"!#"("##
（"(!）#"#2(
!
"(!
#,（&("）
#2
， （#%#0）
#&（"）’"(#1（"）(#2（"）) （#%#2）
证明： 令#1（"），#2（"）分别代表0对股权资产及债券资产的投资比例，则有
#1（"）#"’#"（"）， #1（"）##!#2（"）#2’##（"） （#%#3）
由定理#%-即得
#1（"）’ "（"(!）#"
，#2（"）’
"!#"("##
（"(!）#"#2(
!
"(!
#,（&("）
#2
（#%-&）
所以#&（"）’"(#1（"）(#2（"）即为0对现金资产的投资比例。 证毕。
由于股权资产的投资比例只依赖于纯粹的股市风险和投资者的风险厌恶程度，利率风险实际上只有
通过调整现金和债券的投资比例来规避。因为&%!%"，随机利率模型下债券的投资比例低于其在常利
率模型下的水平，并且这一变动部分的绝对值当"&&时趋近于零。即随着时间的推移，债券逐渐代替现
金，&时刻下的债券投资比例增至常利率模型下的水平。
为了给出整个养老基金的最优投资策略，只需按原来的分解过程一一还原即可。上述讨论中已知该
投资策略应是时间"以及短期利率水平!和财富水平3这两个状态变量的函数。如果设最优套期保值基
23 运 筹 与 管 理 #&&-年第"#卷
万方数据
金财富水平为!!，则有!!（"，#，$）!$"%（"，#）"&（"，#）。我们就可以得到整个养老基金的最优投
资策略：
!’（"，#，$）!(’·!!（"，#，$） （#$%&）
!)（"，#，$）!()·!!（"，#，$）’!%)（"，#）’!&)（"，#） （#$%#）
!(（"，#，$）!((·!!（"，#，$）’!%(（"，#）’!&(（"，#） （#$%%）
注!"# 对套期保值基金!在随机利率和常利率下得到的最优投资策略的对比讨论不能再照搬到整
个养老基金上来。因为由（#$%&）!（#$%%）式可知，各资产份额的各个组成部分都会随利率水平和股市表
现而变化，这一过程十分复杂。
% 结论
本文给出了一种管理带有收益保障的确定缴费养老金方案的定量方法。它既有一定的理论深度，也
非常实用。首先，该投资策略由现金、股票和长期债券三种金融市场中常见的投资工具加以描述，并给出
财富过程在这三种资产上的投资比例。进一步，三种资产各自的资金份额不仅与时间"有关，还是两种市
场上易于观测的状态变量：短期利率水平及养老基金现有财富水平的函数。函数是显式表达的，易于计
算，实用性高。
另外一个特色是在市场模型中引入了随机利率。若取利率为确定性过程，在理论上现金与债券是等
价的，而且无法找到这两种不同资产间的合理配置，随机利率模型则提供了对利率风险管理更细致合理的
分析结果。对于任意的利率变动，基金管理者都可以精确地获知如何对已有的投资组合进行重组，以获取
投资期末的最大收益效用。甚至对利率敏感型的股权资产也可作出及时准确的调整。
参考文献
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［[］?./=*4E:P*4=-4+*+A7->.1-434B.［?］:)3A-,),3BHO.,,，&JJ#:
JJ第&期 杨 嶙，等：随机利率模型下养老基金的最优化管理
万方数据
