高频数据的计量框架
金融高频数据是在细小的时间间隔上抽取的观测值，这些抽取的观测值是非等间距地观测到的，并且间距是随机的。处理这种数据有两种方法，一是对原始数据进行处理后使用经典的模型，二是考虑随机时间间隔建立处理高频数据的新的模型。将原始数据过滤产生新的固定频率的数据，这种处理方法减少了数据频率，丧失数据的某些特性。为了充分利用高频数据的信息，必须对随机时间间隔建模。统计理论中，常常将金融高频时间序列过程转化为一个
点过程
进行处理。
考虑时间序列 为事件发生时间，例如金融市场上交易的发生时间，可以将这个时间过程，视为一个简单的点过程。与每个交易时间对应的有一个
计数函数
为到第
i
笔交易时刻为止，所发生的交易次数。当然金融高频数据中，不仅仅包含这些简单的信息变量，还包含着大量的其他信息，如买卖价差、交易价格、交易量、报价深度、交易笔数等重要的信息。如果将这些信息与交易时间序列一同考虑，称这一种点过程为
“标记的点过程”
。首先引入信息集 ，对于一个平稳的标记点过程，可以利用它的联合概率密度函数（条件分布）来完全刻画：
例如，如果不考虑下一个交易点的标记值，仅仅对交易时间进行分析，研究下一笔交易发生的时间，可以得到以下边缘概率密度函数：
称之为一个简单的点过程，这一点过程以过去的交易时间、交易标记值为条件。可以利用这个点过程分析下一笔交易的到达时间。
为了得到一个适合金融高频数据特征的计量模型，首先建立一个标记的点过程。而金融数据由于受到过去信息的影响，需要考虑具有后效性的点过程，此时需要引入条件强度
函数
条件强度函数也称为危机函数
t
时刻发生交易的条件强度函数为
这一强度函数通过基准危机函数和时间间隔的条件期望来反映这一动态的点过程。条件强度函数可以这样理解，
即某个交易到达的瞬时概率
。
持续期模型介绍
考虑 是第 次交易发生的日历时间
，
从第
到第 次交易的时间持续期为
持续期模型主要考虑交易之间的时间间隔。介绍一个简单的持续期模型
—ACD
（
Autoregressive Conditional duration)
模型。正如
GARCH
模型是刻画波动率的聚类性，
ACD
模型是
刻画持续期的聚类性
。
持续期的聚类性是指：短的持续期后面也往往跟随着短的持续期，长的持续期后面也往往跟随着长的持续期。
自回归条件持续期（
ACD
）模型利用
GARCH
模型的思想研究 调整的时间持续期 的动态结构。
日周期或者日模式的存在：在正常交易条件下，交易活动能够展示周期模式，举例说，在
NYSE
中，开盘与收盘时刻的交易比较频繁，而中午时间交易比较少，导致了“
U
”型的交易强度。因此，交易之间的时间持续期亦呈现
日循环模式
。
是一个确定的函数，有 的循环成分组成，所以 （调整的时间持续期）就是要消除类似于每日模式这样的因素的影响。
ACD
模型
我们定义
令 表示第 次交易至第 次交易的调整的时间持续期的条件期望，其中 为第 次交易时可以得到的信息集合，即 为给定 的条件下期望的调整持续期。基本的
ACD
模型定义为
其中 是独立同分布的非负随机变量满足 。
假设只有
P
阶滞后的持续时间影响条件持续期，可以得到：
考虑更一般的情形，类似于
GARCH
模型，将
q
阶条件期望持续期引入，可以得到一般的
ACD
模型：
式中
p
和
q
为相应的延迟阶数，这就是
ACD
（
p,q
)
模型，第 个
持续期的条件期望由其滞后的
q
个条件期望和滞后的
p
个过去的实际的持续期共同决定。这与
GARCH
（
p,q
)
模型具有非常相似的形式。
当 服从不同的分布，会得到不同的模型形式。当它服从一个标准指数分布时，结果中的模型成为
EACD
（
p,q
)
模型，当它服从标准化的韦布尔（
Weibull
)
分布，则成为
WACD(
p,q
)
模型。
ACD
模型与
ARMA
模型的关系
将
ACD
（
p,q
)
模型记为
①
其中
L
为滞后算子，对上式移项可得
②
又因为 ③
将②式代入③式可得
④
对④式进行变换得
⑤
记 ， 是一个鞅差分序列， 序列不相关，则式
⑤
变为
这样，可以把
ACD
（
p,q
)
过程看作是关于 的
ARMA
（
max{
p,q
},q)
过程，对于
一些概率分布的回顾
指数分布
称随机变量
X
服从参数为 的指数分布，如果其概率密度函数（
pdf
)
由下式给出
这样一个分布表示为
X
～
exp( ).
我们有
E
（
X
）
= ,
Var
(X)=
X
累计分布函数（
cdf
)
为
当
=1
时，称
X
服从标准指数分布
韦布尔分布
称一个随机变量
X
服从参数为 的韦布尔分布，如果其
pdf
为
这里 和 分别为分布的尺度参数和形状参数。
X
的均值、方差分别为
X
的
cdf
为
当 时，韦布尔分布简化为指数分布。
定义 可得
E(Y)=1,
而且
Y
的
pdf
为
对于带韦布尔分布新息的持续期模型，最大似然估计中利用的就是上述的
pdf
.
广义伽玛分布
称随机变量
X
服从参数为 的广义伽玛分布，如果它的
pdf
由下式给出
其中 是尺度参数， 为形状参数。这个分布可以写为
当 时，广义伽玛分布简化为韦布尔分布
。
广义伽玛分布 韦布尔分布 指数分布
这样，指数分布和韦布尔分布都是广义伽玛分布的特殊情况。
危险率函数介绍
对持续期建模时一个有用的概念是由分布函数隐含的危险率函数，有些地方也叫条件强度函数。对随机变量
X
，生存函数定义为
这给出了服从
X
分布的每个事物在时刻
t
生存的概率。
X
的危险率函数（或强度函数）定义为
其中 分别是
X
的
pdf
和生存函数。
对于参数为 的韦布尔分布，生存函数与危险率函数分别为
当 时，得到 因此，对于指数分布而言，其危险率函数是常数，对于韦布尔分布，危险率函数是单调的。如果 ，那么危险率函数是单调递增的，如果 ，那么危险率函数是单调递减的。
EACD
模型
一个
EACD(1,1)
模型可以写为
⑥
其中， 服从标准指数分布。利用前面所讲的标准化指数分布的矩，
假定 是弱平稳的，可以推导 的方差。对
⑥
式两端取期望：
在弱平稳的条件下， ，因此可推出
又因为
⑥
在上式中对于 的平方去期望，通过代数运算可得
最后，利用
这个结果显示，为了得到时间不变的非条件方差，方程⑥中的
EACD(1,1)
模型必须满足
通过以上分析，还可以得出非条件标准差大于非条件均值，也就是说存在过度离散现象。
对于
EACD
模型的估计，采用极大似然估计法。
ACD
模型与
GARCH
模型具有非常相似的性质，对于
ACD
模型的估计可以利用类似于
GARCH
模型的估计方法来进行。
对于
EACD
（
1
，
1
）参数的估计，使用的准似然方程为：
因为当 满足指数分布，而 的条件期望是 ，所以 的概率密度为
这样，对数似然函数就为
可以利用
GARCH
软件对
ACD
模型进行
QML
估计。
WACD
模型
如果假设 服从标准的
Weibull
分布，称之为
WACD
模型。标准的
Weibull
分布为：
它的均值和方差分别为
考虑持续期为正，为了将之应用到
ACD
模型，需要对此进行变换
，代入公式可得：
得到条件危机函数为：
为
Gamma
函数，当 时便为前面讨论的
EACD
模型，当
时，
Weibull
分布的危机函数为单调递增的，即出现长的持续期的可能性递增；而当 时，它的危机函数为单调递减的，即出现长的持续期的可能性递减。也就是说
Weibull
分布对于极短和较长持续期出现的可能性可以更好的加以描述。
模型的参数估计可以由极大似然估计法得到，给定 的参数设定，
WACD
模型的对数似然函数可以表示为：
GACD
模型
将
Gamma
分布应用到
ACD
模型之中。如果假设 服从独立同分布广义
Gamma
分布时，称之为
GACD
模型。
Gamma
概率密度函数为：
将广义
Gamma
分布用于
ACD
模型时，进行变换
可以证明当 ，一般的
Gamma
分布变为
Weibull
分布，当
便成为了指数分布。
为了进一步放宽模型的约束条件，增加其实用性，可能需要更加复杂的分布假设。当 服从独立同分布的
Burr
分布时，就得到了
BACD
模型。
Burr
分布可以由
Gamma
分布和
Weibull
分布的混合分布导出。指数分布、
Weibull
分布可以视为
Burr
分布的极限分布。关于
t
的
Burr
分布的密度函数，危机函数与生存函数分别为
经过推导得到 的条件密度函数为
非线性持续期模型的引入
对于基本的
ACD
模型，假定 满足指数分布，同时还假设
与过去的持续期和条件期望持续期之间是线性关系。所以可以从两个方面对基本的
ACD
模型加以扩展，得到各种
ACD
模型的扩展形式：一是从分布角度进行扩展，假设 满足更加实用的分布，例如
WACD
模型和
GACD
模型；二是从关系角度扩展，假设 与过去实际持续期和条件期望满足各种非线性关系，例如
LACD
模型、
TACD
模型。
LACD
模型
为了保证 的非负性，基本的
ACD
模型需要对参数的取值范围加以限制，这对参数的估计带来不便，
ACD
模型的对数形式，即
LACD
模型便应运而生了。在
LACD
模型中，将交易间隔 取如下形式：
且 而 被构造成一个自回归关系
式中，函数 时，对应于
LACD
的第一种形式：
当 时，对应于
LACD
的第二种形式：
门限
ACD
模型（
TACD
）
TACD
模型是一种强健的广义
ACD
模型，不同的阶段形式可以具有不同的条件均值和残差分布。
设 为不同阶段的阀值，
J
为正整数，
其中 ，模型的形式为：
在具体的应用中，可以允许不同的阶段采用不同的分布假设和条件均值。
