概率统计模型
初等概率模型初等概率模型
随机决策模型随机决策模型
概率模型概率模型
现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。
如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素
可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，
那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须
考虑，可用随机变量和概率分布随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模
型--概率模型。
统计模型统计模型
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，
无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那
么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型基于对数据的统计分析建立模型，这就
是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型—统计回归模型。
随机决策模型
日日
常常
理理
财财
决策一：存银行决策一：存银行
决策二：投决策二：投 资资
好处：保险、增值好处：保险、增值
不足：收入较低不足：收入较低
好处：收入较高好处：收入较高
不足：风不足：风 险险 大大
决策问题：常见于政治、经济、文化、社会及日常生活中决策问题：常见于政治、经济、文化、社会及日常生活中
决决
策策
问问
题题
分分
类类
确定性决策确定性决策
不确定性决策不确定性决策
风险性决策风险性决策
如：微分方程模型、规划论模型如：微分方程模型、规划论模型
房地产投资、股票投资等房地产投资、股票投资等
风险性决策模型内容
风险决策模型的概念风险决策模型的概念
决策树概念决策树概念
两个实例两个实例
风险决策风险决策————是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素
影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素
发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策因存在一定
的风险.
11、风险性决策模型的基本概念、风险性决策模型的基本概念
风险决策的定义风险决策的定义
风险决策的基本要素风险决策的基本要素
内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果
方案或策略方案或策略：参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋
略.
决策者决策者：进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较
重大和严肃时，通常应以后者形式出现.
准则准则：衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用
的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数
学期望值作出判断.
事件或状态事件或状态：不为决策者可控制的客观存在的且将发生的
自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三
个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.
结果结果：某事件(状态)发生带来的收益或损失值.
风险决策的基本要素风险决策的基本要素
内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果
风险决策的方法风险决策的方法
决策树法：决策树法：利用树形图法表示决策过程的方法利用树形图法表示决策过程的方法..
决策树法的特点：决策树法的特点：直观、简便直观、简便
利用利用灵敏度分析灵敏度分析方法对决策结果进行进一步的推广和分析方法对决策结果进行进一步的推广和分析
22、决策树的概念、决策树的概念
【例【例11】】某渔船要对下个月是否出海打渔作出决策，若出海后某渔船要对下个月是否出海打渔作出决策，若出海后
天气好的话，可获收益天气好的话，可获收益50005000元，若天气变坏将损失元，若天气变坏将损失20002000元；元；
若不出海，无论天气好坏都将承担若不出海，无论天气好坏都将承担10001000元损失费。据预测，元损失费。据预测，
下个月好天气的概率为下个月好天气的概率为，坏天气的概率为，坏天气的概率为.问如何作出问如何作出
最佳决策？最佳决策？
决策树的画法决策树的画法
AA
决策决策
结点结点
策
略
分
枝
策
略
分
枝 BB
CC
状态状态
结点结点
概率分枝概率分枝
益损值益损值
出海出海
不出海不出海
天气好天气好
天气坏天气坏
天气好天气好
天气坏天气坏
50005000
-2000-2000
-1000-1000
-1000-1000
注意：画决策树时，方向为从左到右，画的过程中同时将各注意：画决策树时，方向为从左到右，画的过程中同时将各
种数据标于相应的位置。种数据标于相应的位置。
上面的树形图即为上面的树形图即为““打渔打渔””问题的数学模型，如何求解该模型问题的数学模型，如何求解该模型
？？
上例的决策树如图所示，其中：
□——表示决策点决策点，从它引出的分枝叫方案分枝，其数目就是方案数
○——表示机会节点机会节点，从它引出的分支叫概率分支，每条概率分支代表一
种自然状态，并标 有相应状态发生的概率。
△——称为末稍节点末稍节点，右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值。
AA
BB
CC
出海出海
不出海不出海
天气好天气好
天气坏天气坏
天气好天气好
天气坏天气坏
50005000
-2000-2000
-1000-1000
-1000-1000
模型的求解方法：模型的求解方法：期望值准则期望值准则
注意注意::求解过程为从右到左进行，即从最右端的结点开始计算求解过程为从右到左进行，即从最右端的结点开始计算
其期望值。其期望值。
以以““打渔打渔””问题为例，先计算问题为例，先计算““出海出海””的收益期望值：的收益期望值：
以出海的收益作为随机变量以出海的收益作为随机变量XX，相应的天气情况的概率作为概，相应的天气情况的概率作为概
率，则相应的概率分布为：率，则相应的概率分布为：
X 5000 -2000
P
AA
BB
CC
出海出海
不出海不出海
天气好天气好
天气坏天气坏
天气好天气好
天气坏天气坏
50005000
-2000-2000
-1000-1000
-1000-1000
X 5000 -2000
P
于是，出海的收益期望值为：于是，出海的收益期望值为：
E(X)=5000×+(-2000) ×=2200E(X)=5000×+(-2000) ×=2200
22002200
同理，不出海的收益期望值为：同理，不出海的收益期望值为：
E(Y)=-1000×+(-1000) ×=-1000E(Y)=-1000×+(-1000) ×=-1000
-1000-1000
最后，比较两个期望值的大小，进行决策：出海！最后，比较两个期望值的大小，进行决策：出海！
上例只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有此实际问题中将包括上例只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有此实际问题中将包括
两个或两个以上的决策点，称为两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，多级决策问题，可利用同样的思路进行决可利用同样的思路进行决
策。策。
【例3】投资决策问题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案，一是投资决策问题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案，一是
建大厂，二是建小厂，大厂需要投资建大厂，二是建小厂，大厂需要投资300300万元，小厂需要投资万元，小厂需要投资160160万元，两万元，两
者的使用期都是者的使用期都是1010年。估计在此期间，产品销路好的可能性是年。估计在此期间，产品销路好的可能性是，销路差，销路差
的可能性是的可能性是，若销路好，建大厂每年收益，若销路好，建大厂每年收益100100万元，建小厂每年收益万元，建小厂每年收益4040
万元；若销路差，建大厂每年损失万元；若销路差，建大厂每年损失2020万元，建小厂每年收益万元，建小厂每年收益1010万元（详见万元（详见
下表），试问应建大厂还是建小厂？进一步的，将投资分为前三年和后七下表），试问应建大厂还是建小厂？进一步的，将投资分为前三年和后七
年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为，而如果前三年的，而如果前三年的
销路好，则后七年销路好的概率为销路好，则后七年销路好的概率为，如果前三年的销路差，则后七年的，如果前三年的销路差，则后七年的
销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？
销路好
销路差
建大厂 100 -20
建小厂 40 10
状态及概率
益损值方案
图4—1 决策树
注意：决策问题的目标如果是效益（如利润、投资、回报等）应取期望
值的最大值，如果决策目标是费用的支出或损失，则应取期望值的最小
值。
（2）多级决策问题
下面以投资决策问题为例，说明决策方法。
（a）画决策树（图4—2）
（b）计算各点的益损期望值：
点2：[×100+×(-20)]×10(年)-300（大厂投资）=340万元
点3：[×40+×10]×10(年)-160（小厂投资）=150万元
由此可见，建大厂的方案是合理的。
现在考虑一种情况：
假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期
考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为
，而如果前三年销路好，则后七年销路好的概率为，如果前三年销
路差，则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂那个方案
好？
（a）画出决策树如下（图4—3）
图4—3 决策树
（b）计算各点的益损期望值
点4：[×100+×(—20)]×7(年)=616万元
点5：×(—20)×7(年)= —140万元
点2：×100×3(年)+×616+×(—20)×3(年)+×(—140)
—300(大厂投资)=
点6：[×40+×10]×7(年)=259
点7：×10×7(年)=70
点3：×40×3(年)+×259+×10×3(年)+×70—
160(小厂投资)=
通过比较，建大厂仍然是合理方案。
【例3】 某工程采正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工
程，但据天气预报，15天后肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响工
程进度;有50%的可能遇到小风暴而使工期推迟15天;另有10%的可能遇到大风暴而使
工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：
（1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18 000元。
（2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策：
a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。
b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工
程延期损失费20 000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%
的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24 000元; 的可能减少误工期
2天，支付延期损失费和应急费用18 000元;有20%的可能减少误工期3天支付延期
损失费和应急费用12 000元。
3）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期
损失费 50 000元;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能
减少误工期 2天，支付 延期损失费及应急费用54 000元;有20%可能减小误工期3
天，支付延期损失费及应急费用46 000元;有10%的可能减少误工期4天，支付延期
损失费及应急费用38 000元。
试进行决策，选择最佳行动方案。
解：（解：（11）据题意画出决策树，如图：）据题意画出决策树，如图：
A
正常速度
风暴 C
E
0
－18000
－12000
－18000
－24000
－20000
B
D
F
－54000
－46000
－38000
－50000
减少误工3天()
减少误工4天()
减少误工2天 ()
减少误工1天 ()
减少误工2天 ()
减少误工3天 ()
阴雨
-
提前加班
应急
正常施工
正常施工
应急
台风
A 正常速度 风暴 C
E
0
－18000
－12000
－18000
－24000
－20000
B
D
F
－54000
－46000
－38000
－50000
()
()
()
()
()
()
阴雨
提前加班
应急
正常施工
正常施工
应急
台风
求解上述模型求解上述模型
先做一级决策先做一级决策
对台风情形，计算采取应急措施付出的数学期望为：对台风情形，计算采取应急措施付出的数学期望为：
E(F)=-((F)=-(×54000+×46000+×38000)=-50800×54000+×46000+×38000)=-50800
-50800-50800
同理，对决策结点同理，对决策结点CC计算采取应急措施时状态结点计算采取应急措施时状态结点EE所支付的数学期望值所支付的数学期望值
为为-19800-19800
-19800-19800
A 正常速度 风暴 C
E
0
－18000
－12000
－18000
－24000
－20000
B
D
F
－54000
－46000
－38000
－50000
()
()
()
()
()
()
阴雨
-
提前加班
应急
正常施工
正常施工
应急
台风
求解上述模型求解上述模型
对决策对决策DD，因为采取应急措施的数学期望为，因为采取应急措施的数学期望为-50800-50800，正常施工的期望即为，正常施工的期望即为-50000-50000
显然，应采取决策为正常施工。显然，应采取决策为正常施工。
-50800-50800
-19800-19800
-50000-50000
同理，对决策同理，对决策CC，应采取应急措施进行施工，即，应采取应急措施进行施工，即CC的期望值为的期望值为-19800-19800
-19800-19800
A 正常速度 风暴 C
E
0
－18000
－12000
－18000
－24000
－20000
B
D
F
－54000
－46000
－38000
－50000
()
()
()
()
()
()
阴雨
-
提前加班
应急
正常施工
正常施工
应急
台风
求解上述模型求解上述模型
再做二级决策：再状态结点再做二级决策：再状态结点BB处，用第处，用第11级决策的结果计算级决策的结果计算““效益效益””的数学期望值的数学期望值
为：为：E(B)=0E(B)=0×+(-19800) ×+(-50000) ×=-14900×+(-19800) ×+(-50000) ×=-14900
-50800-50800
-19800-19800
-50000-50000
-19800-19800
-14900-14900
A 正常速度 风暴 C
E
0
－18000
－12000
－18000
－24000
－20000
B
D
F
－54000
－46000
－38000
－50000
()
()
()
()
()
()
阴雨
-
提前加班
应急
正常施工
正常施工
应急
台风
最后结论：最后结论：
不用提前加班，等不用提前加班，等1515天后遇阴雨太天或台风都只须听其自天后遇阴雨太天或台风都只须听其自
然按原来的进度施工，而遇暴风雨则采取应急措施，此决策方然按原来的进度施工，而遇暴风雨则采取应急措施，此决策方
案支付的数学期望为案支付的数学期望为1490014900元元
-50800-50800
-19800-19800
-50000-50000
-19800-19800
-14900-14900
【讨论题】天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。如
果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为
其分别的获利为1200万元与-500万元，如取消生产销售计划，
则损失设计与准备费用40万元。为稳妥起见，可先小批量生产试
销，试销的投入需45万元。据历史资料与专家估计，试销成功与
失败的概率分别为与，又据过去情况，大批生产销售为成
功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试
销成功的占36%。试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值
准则确定最优决策。
问题分析与模型假设问题分析与模型假设
4.设定以下变量
1.问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这
样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果；
2.决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否；
3.尚需注意后面几句话：“大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占
84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”，这意味着要计算
两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是
试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯
概率公式；
--试销成功，则 ----试销失败；试销失败；
----大量销售成功，则大量销售成功，则 ----大量销售失败。大量销售失败。
模型建立模型建立
.先来计算两个概率，注意到先来计算两个概率，注意到
代入贝叶斯概率公式
从而
即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为和.
同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分
别为和.
试销
-45万
成功
失败
不试销
大量销售
大量销售
大量销售
取消销售
取消销售
取消销售
成功
成功
成功
失败
失败
失败
1200万
-500万
-40万
1200万
-500万
-40万
1200万
-500万
-40万
试销与否作为决策思路，从左至由画出决策树模型如下，这棵树即为所求的数学模
型。
为了简单化，原题没有对求解等后续过程作要求。我们不妨将模型求解出来。
（三）模型求解
试销
--4545万万
成功
失败
不试销
大量销售
大量销售
大量销售
取消销售
取消销售
取消销售
成功
成功
成功
失败
失败
失败
1200万
-500万
-40万
1200万
-500万
-40万
1200万
-500万
-40万
图--3
350350
-40 -126
826 826
案例一 航空公司的预订票策略
1.问题的提出
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是
预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一
班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款，这两种
办法对于下面的讨论是等价的。
设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了
机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限
制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不
能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以补救，也会
导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机乘客，公司无偿供应食宿，
付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司经济利益，必然存在一个恰当订票数量和
限额。
假设飞机容量为300，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%，
飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为，乘客不按
时前来登机的概率为），
请你:
1）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对
上述预定票业务确定最佳的预定票数量。
2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜欢上述这种无约束的预定票
业务，他们宁愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿意以
若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。公司为降低
风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票
策略。
.模型假设与符号说明模型假设与符号说明
模型假设模型假设
（1）假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。
（2）假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。
（3）假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。
符号约定符号约定
n：飞机的座位数，即飞机的容量；
g：机票的价格；
f：飞行的费用；
b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；
m：售出的机票数；
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是一个随机变量；
pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前来登机的概率；
p：每位乘客迟到的概率；
Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率，即社会声誉指标；
S：公司的利润；
ES：公司的平均利润。
当m-k≤n 时，说明m-k个乘客全部登机，此时利润S =（m - k）g - f
.问题的分析及数学模型问题的分析及数学模型
问题的分析问题的分析
通过上面引进的符号易知，赔偿费b=，飞行费用f=，每位乘客迟
到的概率p=，已预订票的m个乘客中，恰有k个乘客不能按时前来登机，
即迟到的乘客数k服从二项分布B（m，p），
当m-k>n 时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤
掉了，此时利润S = ng – f - (m – k - n) b
根据以上的分析，利润S可表示为：
迟到的乘客数迟到的乘客数kk=0,1,2,…,=0,1,2,…,m-nm-n-1-1时，说明有时，说明有m-k-nm-k-n个乘客被挤掉；个乘客被挤掉；
迟到的乘客数迟到的乘客数kk==m-nm-n，，m-nm-n+1+1，，……，，mm时，说明已来的时，说明已来的m-km-k个乘客全部登机了。个乘客全部登机了。
于是平均利润
因为
由于k服从B（n，p）可知，随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时，
所以
模型建立模型建立
通过以上对问题的分析，可以在一定的社会声誉指标Pj（m）范围内，寻
求合适的m，根据f=的关系，使得目标函数ES/f达到最大，即
下面考虑社会声誉指标:
由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即当被挤掉的乘客数为j
时，等价的说法是恰有m-n-j个迟到的乘客。
公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要
太大，可用至少挤掉j人的概率作为声誉指标，相应地k的取值
范围为k=0,1,2,…,m-n-j，社会声誉指标
为了对模型（为了对模型（11）进行求解，可以分别给定）进行求解，可以分别给定mm，比，比m=305,306,…,350m=305,306,…,350，计，计
算算ES/fES/f，同时，给定，同时，给定jj，比如取，比如取j=5j=5，计算社会声誉指标，计算社会声誉指标PP
jj
（（mm），从中选取），从中选取
使使ES/fES/f最大，且社会声誉指标最大，且社会声誉指标PP
jj
（（mm）小于等于某个）小于等于某个αα（比如取（比如取α=α=）的）的
最佳订票数最佳订票数mm。。
.模型求解模型求解
下面给出下面给出MATLABMATLAB计算程序：计算程序：
% % 飞机最佳订票策略飞机最佳订票策略ch34ch34
% % 文件名：文件名：
% m % m 表示售出的票数；表示售出的票数；Es Es 表示平均利润；表示平均利润；pp表示声誉指标；表示声誉指标；
for m=305:325 for m=305:325
sm=0; sm=0;
p=0; p=0;
for k=0:m-305 for k=0:m-305
pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*^k*^(m-k); pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*^k*^(m-k);
p=p+pp; p=p+pp;
sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k);
end end
Es=(1/180)*[**sm]-1; Es=(1/180)*[**sm]-1;
m m
Es Es
p p
end end
m ES p
305 -005
306 -004
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
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从计算结果易见，
当m=309时，社会声誉指标
当m=310时，社会声誉指标
所以为了使ES/f 量大，且要满足社会声誉指标 ，
则最佳订票数可取m=309。
2、某市要投资一个项目，有3个方案可供选择：
（1）一次投资到位，需要资金亿；根据测算，该项目产品如
果销售好，每年可获利2千万元；如果销售差，每年将亏损
千万元，项目的服务期20年。
（2）二次投资，先投资亿万元，如果销售时，六年后扩大项
目规模，追加投资8千万元，如果第一次产品销售好，每年可
获利千万元，销售差时，每年可获利千万元；扩大规
模后，每年获利千万元，扩建后的服务期14年。
（3）小规模投资千万元，服务期20年。
根据市场预测，该项目上马之后，产品20年内销售好的概率为
，销售不好的概率为。
选择最优方案
