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数学与经济金融
经济
金融
投资
证券
保险
管理
商业
数学能否引入经济学
计量经济学的创立：引入统计和模型
发展数理经济学：Paul Samuelson
决定论模型（加速-乘子模型）
股市随机运动模型（martingale）和期权模型
生物竞争，化学反应，利他行为，混沌模型
关于数理经济学的争论:
奥地利学派：人的行为能否用数学描写？
心理学：人们的理性是优化还是固锚？
计量经济学（Hendry）: 科学还是炼金术？
Herbert Simon: 数学用得太多了
我们：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）
数学在经济学中的作用
Samuelson: 数学是语言，更精确，自洽，简要
我们：数学和历史分析的定性差别
期权模型和期权市场
热力学和噪声驱动的阻尼谐振子？
大数定律和宏观波动的微观基础？
几何布朗运动和经济有序
建模概述
一、模型
二、数理模型
三、经济建模
四、数理模型建模的简单实例
五、建模过程
什么是数理经济学
数理经济学不仅仅是经济学的一个分支， 确切地说，它是一种经济分析方法，是经济学者利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。
从广义上说，数理经济学（Mathematical Economics）是一种采用现代的数学分析方法，收集分析经济运行中的数据加以分析，在得出精确的、有预见性的、符合客观经济运行规律的经济学模型之后，分析解决面临的经济问题，最终提出解决方案的新兴前沿学科。从狭义上来说，是特指瓦尔拉斯（Walras1834-1910）开创的一般均衡理论[F1] 体系。通常可分为静态分析和动态分析。这个理论首先设立“人是理性的”这个假设，然后利用各种数学方法，来模拟各种经济学现象，并进而推论出有关问题的解决方案。
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1838年，数学家拉普拉斯和泊松的学生古诺(他研究概率论)发表了题为《财富理论的数学原理研究》的经济学著作，著作中充满着数学符号。例如，其中记市场需求为d，市场价格为 ，需求作为价格的函数记为 。
数理经济学的历史
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19世纪中叶之后，勒翁·瓦尔拉斯和杰文斯提出名之为“边际效用理论”的经济学。后一代的经济学家们发现，这一理论中的“边际”原来就是数学中的“导数”或“偏导数”。
瓦尔拉斯还于1874年前后提出了另一种颇有影响的“一般经济均衡理论”。但是他的数学论证是不可靠的，后来，严格证明一般均衡理论的数学工作一直到1954年由阿罗和德布罗完成。
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1959年，德布罗发表了他的著作《价值理论，经济均衡的一种公理化分析》，这标志着运用数学公理化方法的数学经济学的诞生。他于1983年获诺贝尔经济学奖。
诺贝尔奖章
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埃奇沃思用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重要的经济学著作却叫《数学心理学》。马歇尔是在剑桥学数学的，他成为经济学的“剑桥学派”的宗师，今天的微观经济学著作中那些既直观易懂，又不失数学严谨性的曲线图像多半出自马歇尔之手。
埃奇沃思
马歇尔
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著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，1921年，他有一本数学著作《概率论》，是那个时代最重要的概率论著作之一。
美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文·费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。
20世纪最伟大的数学家之一冯·诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：《对策论与经济行为》。
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著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，1921年，他有一本数学著作《概率论》，是那个时代最重要的概率论著作之一。
凯恩斯
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20世纪最伟大的数学家之一冯·诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：《对策论与经济行为》。
克拉克
美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文·费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。
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美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文·费雪是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。
20世纪最伟大的数学家之一冯·诺伊曼，他与经济学家摩根斯坦长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：《对策论与经济行为》。
克拉克
欧文·费雪
摩根斯坦
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计量经济学是从具体数据出发，用数理统计的方法，建立经济现象的数学模型；数理经济学则是从一些经济假设出发，用抽象数学方法，建立经济机理的数学模型。前者是用归纳法，后者用的则是演绎法。
熊彼特
奥地利边际效用学派最有影响的代表熊彼特对于经济学中使用数学方法，起了比谁都大的作用。
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在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济学奖。数学奖一直没有增设，但是， 1969年，由瑞典中央银行出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济学奖。
1969年一1989年的21届诺贝尔经济学奖获奖人共27位，其中有6届评了2人，其他每届1人。这27位之中，美国人占了一半以上(15位)，英国人5位，瑞典、挪威各两位，法国、荷兰、前苏联各一位。
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首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济学的创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的研究成为经济学推动数学发展的出色例子。
首届得奖者中的另一位丁伯根是一个物理学博士，然而，数理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。丁伯根把物理和数学的方法带进了经济学，并与弗瑞希一道成为计量经济学的奠基人。
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第二届，1970年的获奖者萨缪尔森，他在1937年作为学位论文写出，在1947年才正式出版的成名作《经济分析基础》，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。
1972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作《价值与资本》被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951年获学位)，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即“阿罗不可能定理”，其实，这完全是一条数学定理(适用于经济学)。
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第二届，1970年的获奖者萨缪尔森，他在1937年作为学位论文写出，在1947年才正式出版的成名作《经济分析基础》，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。
1972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作《价值与资本》被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951年获学位)，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即“阿罗不可能定理”，其实，这完全是一条数学定理(适用于经济学)。
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1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。
1975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于1942年写成的《经济资源的最优利用》一书到1959年才得以出版。
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1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。
1975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于1942年写成的《经济资源的最优利用》一书到1959年才得以出版。
1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。
1972一1976年在《美国经济评论》上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50．1％，而1977—1981年，这个数字上升到了54．0％。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21．2％下降到了11．6％。
1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。
1972一1976年在《美国经济评论》上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50．1％，而1977—1981年，这个数字上升到了54．0％。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21．2％下降到了11．6％。
1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。
1972一1976年在《美国经济评论》上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50．1％，而1977—1981年，这个数字上升到了54．0％。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21．2％下降到了11．6％。
1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。
1972一1976年在《美国经济评论》上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50．1％，而1977—1981年，这个数字上升到了54．0％。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21．2％下降到了11．6％。
1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。
1972一1976年在《美国经济评论》上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50．1％，而1977—1981年，这个数字上升到了54．0％。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21．2％下降到了11．6％。
1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。
1972一1976年在《美国经济评论》上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50．1％，而1977—1981年，这个数字上升到了54．0％。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21．2％下降到了11．6％。
冯·诺伊曼在1928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯·诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。
20世纪60年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。
冯·诺伊曼在1928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯·诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。
20世纪60年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。
获得过菲尔兹奖(授予40岁以下的数学家的最高国际数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究“动力系统化”，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化”，提出了“正则经济学”。
在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。
获得过菲尔兹奖(授予40岁以下的数学家的最高国际数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究“动力系统化”，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化”，提出了“正则经济学”。
在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。
这种状况表明，真正理解经济学所需要的数学知识和数学水平，可能是一个大学本科数学专业的学生还难以达到的。然而，理解今天如此复杂的经济活动本身已不是一件容易的事。
金融数学简介
引言
金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。
简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。
1990年诺贝尔经济奖授予， 和，奖励他们在金融经济学中的先驱工作——
的投资组合理论、
的 资本资产定价理论
的公司财务理论。
诺贝尔经济奖简介（1）
注
在《资产组合选择》一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。
其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值－方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。
的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了Markowitz 均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。（CAPM）[2]
其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的"资本资产定价模型"，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。
的公司财务理论（1958）主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。 Miller在《资本成本、公司理财和投资理论》论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。
传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从50年代末到60年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。
1997年诺贝尔经济奖授予和, 以奖励他们和在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的Black-Sholes公式。
诺贝尔经济奖简介（2）
注
1973年，与已故的经济学家发表《期权定价和公司债务》一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。指出期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价.
其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。
注
1973年在＜经济和管理科学杂志＞上发表了＜理性期权定价理论的文章＞，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广．
Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出的公式更加现实．
注
2003年度诺贝尔经济学奖授予
Robert 和 Clive Granger。
令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。
Granger因为时间序列的协整分析方法而获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。
诺贝尔经济奖简介（3）
对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和
分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。
20世纪70年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中,许多经济指标的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值,并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。
格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。
本文主要介绍
投资组合理论
Ross套利定价理论
衍生证券的定价理论
二杈树模型
Black-Sholes模型
ARCH模型及其应用
利率期限结构理论
公司资本结构
保险精算学简介
1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。
证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
2.资本资产定价模型
资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是
(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式
其中
称为资产X的市场beta系数,
表示资产X所面临的风险系数。
注
3. Ross 套利定价理论（APT）
在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的“内在源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法（GAPT），如本节将要介绍的Ross套利定价理论（APT）认为资产的合理价格由所谓的“外在源”，也就是资本市场的其他因素所确定。
基于上述思想，被誉为美国“金融神童”的Ross在1976年《Journal of Economic Theory》上发表的《Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing》一文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些“共同因素”的线性组合。这些“共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。
注
5. Black-Sholes模型
当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描述：
仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在t时刻的价格P0(t)，股票在t时刻的价格P(t).满足方程：
衍生证券定价问题的进一步研究方向
放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等）
对新型衍生证券进行定价
模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等）
不完备市场模型
期权定价技术的应用
期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术(以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。
注
目前期权定价理论主要应用于
1．金融衍生证券的定价
2．保险合同的定价
3．政府政策与行为
4．个人／家庭决策
5．投资决策
6 ARCH模型及其应用
在计量经济学中, 收益率的建模研究一直具有很重要的地位。
经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化时,所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股票价格。但对金融数据的大量实证研究表明,有些假设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一特征的值成群出现的现象。
注
7 利率期限结构理论
在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。
显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应关系。
注
经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。
由于利率期限结构理论涉及到“利息理论”的许多概念和“合理预期理论”的思想，这里不再深入介绍。
8 公司资本结构理论
公司财务管理在西方经济理论体系中是金融理论中的一个组成部分。它是专门研究企业如何进行财务决策，包括筹资、投资及股息分配政策，以实现企业价值或企业财富最大化的一门科学。
该理论的研究重点集中在两个方面：
1。公司最佳资本结构的组合。即探讨企业在投资时，应怎样选择使企业资金成本最低的资产组合，包括负债与股票，短期负债与长期负债；
2。研究公司的最佳资产组合，即公司在制定投资政策时，如何使企业在风险既定下，取得最大的投资收益率。
注
设市场满足如下完美条件：
1.公司处于没有税收的经济环境之中；
2.公司的股息政策与企业价值无关；
3.公司发行新债务时，不会对公司已有债务的市场价值产生影响；
4. 公司没有破产成本；
5.资本市场高度完善，即资金可以充分流动，存在充分竞争机制，因此有同样预期收益率的证券有相同的价格，利率一致，存在充分信息。
Miller证明了，在上述完美条件下，
企业的市场价值与其资本结构无关。
注
由于Miller的定理是在一系列完美条件下推导的，此后二十年中， Miller的公司财务理论在众多西方学者的支持下，又在一些不完美条件下进行了拓展，到了Miller于1990年获得诺贝尔奖的时候，该理论已被视为现代理财理论的奠基之作。成为西方经济学、金融学和理财学课程的必修内容。
9 保险精算学简介
所谓精算学，实际上是将数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系。包括利息理论，精算数学，风险理论，人口数学等。
在现代保险中，科学的理论和方法，特别是精确的定量计算起着十分重要的作用，保险业运营中的一些重要环节，如新险种的设计，保险费率和责任准备金的计算，分保额的确定，养老金等社会保障计划的制定等等，都需要由精算师依据精算学原理来分析和处理。
有鉴于此，许多发达国家都以法律形式规定，保险公司的营业报告必须由精算师签字方为有效。在美国，保险精算师的工作在华尔街一家杂志的工作排名表中被排在第一或二位.一个通过北美精算师学会准会员()资格考试的毕业生，可获得年薪至少$45000的精算师工作。
密切相关的数学分支
概率论，随机过程，随机分析
常微分方程，差分方程，偏微分方程
线性代数，组合数学，图论
对策论，变分法与最优化理论，泛函分析
微分几何
……
常常需要具有一定的编程能力
[1],Portfolio selection,Journal of Finance,
[2],Capital Asset Prices:A theory of market equilibrum under conditions of of Finance,1964,
对Black-Scholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出的公式更加现实．从1973年后， Merton和Black以及Scholes继续合作，在专业经济学杂志上发表了不少论文，将定价公式扩展到许多衍生金融品上．在1974年Merton发表的＜企业债务的定价＞一文中，他利用期权定价模型解决了企业的定价问题，1977年他又发表了对贷款担保进行分析的文章，为大型项目成功实施融资提供了帮助．
可以说Merton等人的理论开创了一个新的领域，从1988年起，这个新的领域被命名为“金融工程”。“金融工程”主要是要求在日常管理，尤其是风险管理上是有定量的理论可以运用的，这是20世纪经济科学中最大的一个进展。
该论文中关于公司债务问题的论述也极富创建性，指出：企业债务可以看作一组简单期权合约的组合，期权定价模型可以用于对企业债务的定价。传统方法在分析权益价格、长期债务、可转换债券时，对资本结构中不同的组合成分结合起来进行考虑。利用期权定价理论评价企业债务时，对资本结构中不同的组成部分同时进行评价，这样就考虑了每种资产对其他资产定价的影响，确保了整个资产结构评价的一致性。
从1973年后，默顿和布莱克以及斯科尔斯继续合作，在专业经济学杂志上发表了不少论文，将定价公式扩展到许多衍生金融品上．在1974年默顿发表的＜企业债务的定价＞一文中，他利用期权定价模型解决了企业的定价问题，1977年他又发表了对贷款担保进行分析的文章，为大型项目成功实施融资提供了帮助．
默顿对企业债务的这种分析，使人们认识到：可以利用期权定价方法对所有具有期权特点的决策问题进行研究，从而使得期权定价理论在投资决策分析中得以广泛应用．期权思想的确立修正了传统的净现值方法．也就是说在投资可以延迟的情况下，企业持有了看涨期权，而此时只有当净现值远大于零时，进行投资才是最优决策，这种分析结果与实际中的最优投资情况往往是相吻合的．许多项目的建设常常需要多期投资才能完成，由于项目建设需要的时间较长，在建设过程中，企业可以根据最终产品价格的上涨或下跌、预期投入成本是否要增加等因素决定是否扩大建设规模还是暂时性或永久性停止项目建设。因此这类投资决策可以看作是对复合期权的选择，每阶段完成后企业就具有了是否完成下阶段的期权。投资的最优规则就可归结为如何有效地执行期权，这种决策方式较传统方法的优点在于将整个项目各阶段结合起来进行评价，使决策的准确性更强。
可以说默顿等人的理论开创了一个新的领域，从1988年起，这个新的领域被命名为“金融工程”。“金融工程”主要是要求在日常管理，尤其是风险管理上是有定量的理论可以运用的，这是20世纪经济科学中最大的一个进展。从科学意义上讲，这一理论把数理经济从丁泊根到萨默尔逊的努力推到了最高峰。当然，期权理论是在前人积累基础上产生的。
portfolio
理想市场假设：（1）投资者是风险厌恶者，且其投资行为是是其终期财富的期望效用最大。（2）投资者是价格承受者，即投资者的投资行为不会影响市场上资产的价格运动。（3）投资者都认同市场上所有资产的收益率服从均值为E（X），方差阵为的多元正态分布。（4）资本市场上存在无风险资产，且投资者可以无风险利率无限贷款。（5）资产数量是固定的，所有资产都可市场化且可完全分割。（6）资本市场上的信息是充分且畅通无阻，所有投资者都可无代价地获取所需要的信息。（7）资本市场没有任何“缺陷”，如税收，管理调节措施，或卖空限制等。
注意：理想化市场假设，两基金分离定理，竞争均衡定价是CAPM模型导出的关键。基金分离定理从分析单个投资者最优资产组合出发，建立了每种资产的超额收益率与具有某种共性资产组合（如切点资产组合）的超额收益率之间的关系；正因为Markowitz获得了这一重要关系式，使得Sharp和Linter能够在此基础上，利用竞争均衡定价的概念，在具有众多资产和众多投资者的资本市场中导出每种资产的超额收益率与市场资产组合超额收益率的关系。
套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：(1)投资者有相同的投资理念；(2)投资者是回避风险的，并且要效用最大化；(3)市场是完全的。
与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论没有以下假设：(1)单一投资期；(2)不存在税收；(3)投资者能以无风险利率自由借贷；(4)投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。
期权，按照最一般的定义即是在将来某一时刻按一定价格买卖某种资产的权利。但实际上期权概念所蕴含的内涵远远比这个定义从字面上所表达的含义要深刻和广泛得多。从本质上说，期权实际上给予期权购买者—段时间，使其能够进一步利用所获得的最新的信息，降低对未来预期中不确定性的程度，从而作出更加合理的判断和决策。因此期权的价格中包含了在这一段时间中信息的价值，或者说期权的价值反映了因不确定性降低，决策更加合理科学所带来的收益的增加或损失的减少。
如对股票收益率建模,其随机搅动项往往在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波动,在较小波动幅度后面紧接着较小幅度的波动,这种性质称为波动率聚类(volatilityclustering)。该现象的出现源于外部冲击对股价波动的持续性影响,在收益率的分布上则表现为出尖峰厚尾(fattails)的特征。这类序列随机搅动项的无条件方差是常量,条件方差是变化的量。
名义利率可分为两部分，即实际利率和通货膨胀溢价。实际利率是对资金提供者推迟消费的补偿；通货膨胀溢价是对资金提供者造成的货币购买力损失的补偿；
在不同的场合“利率”的含义往往不同，需是具体研究的问题而定。要严格区分各种利率，幽闭要确定三个日期：一是订约日期t0，二是借出货币日期t1，三是收回借款日期t2.几种普遍使用的利率有即期利率，远期利率，偿还期收益率等。
资本结构是指企业资本来源的组成结构。企业的资本有两个主要来源——股东提供的资本，称为权益资本简称股权，其主要表现形式是股票；由企业的债权人提供的资本，成为负债，其主要表现形式是债券。企业的所有赢利要在股东和债权人之间进行分配，这就是股权和债权具有市场价值的根本原因。企业的市场价值是其股权的市场价值之和
Miller的公司财务理论表明：企业不能通过改变资本结构达到改变其市场价值的目的。企业的价值是由它的实际资产决定的，而不是各类有价证券。
