Chapter 2
Dynamic Games of Complete and Perfect
Information
In this chapter we introduce dynamic games.
We again restrict attention to games with complete information(.,games in which the players’ payoff functions are common knowledge).We analyze dynamic games that have not only complete but also perfect information, by which we mean that at each move in the game the player with the move
knows the full history of the play of the game
thus far.
The key features of a dynamic game of complete and perfect information are that (ⅰ)the moves occur in sequence, (ⅱ)all previous moves are observed before the next move is chosen, and (ⅲ)the players’ payoffs from each feasible combination of moves are common knowledge.
P72
一、Basic Problems of dynamic games
(一)Extensive-Form Representation of games
In chapter 1 we analyzed static games by
representing such games in normal form. We now analyze dynamic games by representing such games in extensive form. This expositional approach may make it seem that static games must be represented in normal form and dynamic games in extensive form, but this is not the case. Any game can be represented in
either normal or extensive form, although for
some games one of the two forms is more convenient to analyze. We will discuss how static games can be represented using the extensive form and how dynamic games can be represented using the normal form.
Recall from chapter 1 that the normal-form
representation of a game specifies: ……
博弈的扩展式表述
Definition The extensive-form representation of
a game specifies: (1)the players in the game, (2a)when each player has the move(.,the order of action ), (2b)what each player can do at each of his or her opportunities to move(.,the moves set of each player), (2c)what each player knows at each of his or her opportunities to move(.,if the players have perfect information), and (3)the payoff received by each player for each combination of moves that could be chosen by the players.
Consider an example:Entry Deterrence
进入的障碍是垄断利润的重要根源。
它有时是自然形成的，如规模经济、专利和许
可证，或者关键投入品的得到都能造成进入障
碍。不过厂商有时也能通过采取适当的策略阻
止潜在竞争者的进入。
为了阻止进入，厂商必须使任何潜在的竞争者
确信进入是无利可图的。
采取蕴涵可信威胁的策略。
设想有一家寡占企业（在位者）在市场上享有
丰厚的利润，另一家企业（进入者）企图进入
分享；为了进入该行业，进入者必须付出4000
万元的（沉没）成本建一个工厂。在位者当然
希望进入者别进入。如果进入者不进入，在位
者能继续定高价，享受垄断利润10000万元。
如果进入者进入，在位者可以“容忍”，维持高
价，希望进入者也这样做，此时在位者只能赚
到5000万元，因为必须与进入者分享市场。进
入者将赚到1000万元的净利润：5000万元减去
4000万元的建厂成本。不过在位者也可以增加
自己的生产能力，生产更多，并把价格压低。
显然，增加生产能力代价很大，而降低价格也
意味着减少收益。这种商战导致双方的低利润：
在位者的利润下降到3000万元，进入者将有
1000万元的净损失：来自于销售的3000万元减
掉建厂成本4000万元。
The extensive-form representation of this
Game:
(1)players:
(2a)the order of moves:
(2b)the moves sets:
(2c)the information of history:
一个在位者Ⅰ和一个进入者Ⅱ;
进入者先行动，在位者后行动；
AⅠ = {容忍，阻挠} ， AⅡ = {进入，不进入} ；
AⅠ={a11，a12} , AⅡ={a21，a22}
轮到在位者行动时，他已观察到企图进入者是
否已经进入
信息完美
(3)about payoffs:
每一种可能行动组合下的支付是共同知识
——如果企图进入者不仅入，则在位者独享
10000万元利润；
——如果进入而在位者容忍，则在位者得
5000万元,进入者利润1000万元；
——如果进入并且在位者阻挠，则在位者利润
3000万元而进入者-1000万元。
信息完全
*Now we describe this game using game trees
rather than words, because the former are often simpler both to express and to analyze. p74
●
Ⅰ
Ⅱ
●
●
不进入
进
入
容忍
阻挠
(0,10000)
(1000,5000)
(-1000,3000)
博弈树的构成：
节点nodes
决策节点（decision nodes）
终点节（terminal nodes）
树枝branches：每一条树枝代表一个行动
信息集information sets：参与人在决策节
点选择行动时，需要有关信息；对此前
博弈过程的一个全部而明确的认识就构
成一个信息集。信息集的定义：
Definition An information set for a player is a collection of decision nodes satisfying:
(ⅰ)the player has the move at every node in the information set,and
(ⅱ)when the play of the game reaches a node in the information set, the player with the move does not know which node in the information set has (or has not) been reached.
对完美信息动态博弈的博弈树来说，一个信
息集只包含一个决策结，对不完美信息动态博弈，则一个信息集包含多个决策结。
*动态博弈的行动和策略
在讨论静态博弈时，我们把策略和行动等同
看待，因为参与人“同时”进行决策，没有观察到其他参与人采取了什么行动，所以实施行动时没有针对性。而在动态博弈中，后行动的参与人采取行动之前已观察到了先行动参与人的行动结果，所以他可以根据观察到的结果采取有针对性的行动
一个行动计划
行动是“做什么”
策略是“在什么情况下做什么”，所以通常以这
样的形式出现：如果……就……。
比如在该例子中的在位者，
其行动是：
其策略有：
a11=容忍，a12=阻挠
s1=“如果有人进入，就阻挠，没人进入则容忍 ”
s2=“如果没人进入，就阻挠，有人进入则容 忍”
s3=“无论是否有没有人进入，都阻挠”；
s4=“无论是否有没有人进入，都不阻挠”；
策略性行动：一个策略性行动就是某人通过影响
其他人对自己会如何行为的预期，以促使其他人
采取对自己有利的选择的行动。
（Thomas Schelling）
处在一个策略中的“行动”，可称为“策略性行
动”。——如何理解？
再对策略下一个定义：
A strategy for a player is a complete plan of
action---it specifies a feasible action for the
player in every contingency in which the player
might be called on to act. (Gibbons P92)
（二）Threat 、 Commitment and Credibility
s1、 s2和 s3蕴涵着威胁， s4蕴涵着承诺。
后行动的参与人将会采取的策略性行动对先行
动的参与人是不利的，那么这一“策略性行动”
对后行动的参与人来说就是一种威胁；后行动
的参与人将会采取的策略性行动对先行动的参
与人是有利的，那么这一“策略性行动”对后行
动的参与人来说就是一种承诺。
上述 s1、 s2、 s3和 s4 ？
这种“影响”具体有两种：威胁或承诺
-3#
威胁或承诺是否可信，对动态博弈的进行
十分重要。“The central issue in all dynamic
games is credibility。”（Gobbons P55）
在该例子中，潜在进入者究竟是否会进入，
取决于在位者的“只要进入就阻挠”的威胁是否可信：若不可信，即潜在进入者认为他进入后在位者会容忍，他将会发觉进入有利可图（净赚1000万元）并就会怎么做；若可信，即潜在进入者认为他进入后在位者一定会阻挠，就不会进入，因为进入将会损失1000万元。事实上这个威胁是不可信的，因为理性的在位者知道（如同潜在进入者所知），一旦进入已经发生
了，容忍并保持高价是符合自己利益的。容忍得
5000万元，阻挠得3000万元。
稳定的结果是（进入，容忍），
如果在位者能作出一种一旦进入发生除了降价
进行阻挠以外别无选择的行动又如何？特别是，
设在位者现在（而不是以后），投资于万一进
入发生时增加产量和进行价格战所需要的额外
的生产能力。我们设建造、维护和运行这些额
外能力的成本是3000万元。当然，如果今后在
位者保持高价（不管是否有进入），这个额外
成本将减少在位者的得益。这样我们有了一个
新的博弈格局：
Ⅱ
不进入
●
(0,7000)
进
入
Ⅰ
容忍
●
●
阻挠
(1000,2000)
(-1000,3000)
现在在位者要进行竞争性商战（阻挠）的威胁
是完全可信的，它是在位者投资额外生产能力
的决策的结果。因为有了该额外能力，如果进
入发生，竞争性商战的结果对在位者来说比保
持高价（容忍）要好（3000万元＞2000万元）。
潜在进入者现在知道进入的结果是商战，所以
不进入该行业是理智的。既然已经阻止了进入，
在位者就可以保持高价，并赚到7000万元的利
润。
20世纪70年代，美国杜邦公司在二氧化钛行业
中阻止进入，投资近4亿美元增加生产能力……
一个承诺可信性问题：开金矿博弈 P76
参与人甲意欲投资开采一金矿，需资金200万元，但短缺100万元。于是向其朋友乙借贷，
允诺道：“如果你借给我100万元，金矿开采成功后能盈利1000万元，到时连本带利还你500万元。”乙：答应或不答应？甲：还或不还？（假设甲有了资金真能开采成功）
该博弈的扩展式表述：
乙
不借
●
（0，0）
借
甲
还
●
（400，500）
不还
乙
打
●
（350，450）
不打
●
（-100，1000）
打官司成本
100万元，
平均分摊。
乙的策略可以是：借，如果甲不还则打官司；
甲的策略可以是：如果乙肯借并且乙会打官司，
则还，否则就不还
乙借不借取决于甲还不还，甲还不还取决于乙
打不打官司。所以分析其实是从乙会不会打官
司开始到甲会不会还再到乙会不会借。他们的
决策分析中有两个要点：
*逆推分析：先行动者要看后行动者将会怎样？
*先行动者通过分析将把后行动者不可信的威胁
和不可信的许诺排除掉。
二、Subgame-Perfect Nash Equilibrium
(一)The Subgame of Dynamic Games
定义 动态博弈的子博弈是指能够自成一个博弈的某个动态博弈的从其某个阶段开始的后续阶段；它必须有一个初始信息集，并且具备进行博弈所需要的各种信息。
在不完美信息动态博弈中将有更精确的定义。
乙
不借
●
（0，0）
借
甲
分
●
（400，500）
乙
打
不打
●
●
（350，450）
（-100，1000）
不分
（二）逆推归纳法 （backwards induction）
在完全且完美信息动态博弈中，后行为的参与人
能观察到先行为参与人的行动结果，并据此作出
自己的合理选择。而先行为的参与人虽然无法观
测到后行为参与人的行动及其结果，但他在选择
自己的行动时却不能不把自己行为对后行为参与
人的选择所产生的影响考虑在内，即“如果我选
……，他会……；如果我选……，他又会……”。
因此分析动态博弈时，后续阶段的博弈即子博弈
是首先要关注的。
逆推归纳法 就是从动态博弈的最后一个子
博弈开始分析，逐步向前倒推以求解动态博
弈；是求解动态博弈的一般方法。
*理论演示：考虑一个简单的由两个参与人各行动一次构成的动态博弈，记A1、A2分别为先行动参与人1和后行动参与人2的行动集；参与人1从A1中选择行动a1，参与人2看到a1，然后从A2中选择行动a2；两人的支付函数分别为μ1(a1，a2)和 μ2(a1，a2)。用逆推归纳法求解，方法如下：
当博弈进行到第二阶段由参与人2行动时，由
于参与人1在此前已选择行动a1，参与人2的决
策问题便是：max μ2(a1，a2)。
a2∈A2
假定对A1中的每一个a1，参与人2的最优化
问题只有唯一的解R2*(a1).由于参与人1能够与参与人2一样解出R2*(a1)，即参与人1能够预测到参与人2对其每一个可能行动a1所作出的反应，参与人1在第一阶段要做的决策问题便可归结为：max μ1(a1， R2*(a1) )。
a1∈A1
逆推第
一步，
得：
在博弈树里，逆推归纳法将表现得非常简单
明了。以“开金矿”为例（-5#）
乙
不借
●
（0，0）
甲
分
●
（400，500）
不分
乙
（350，450）
借
逆推第二步，得：
乙
不借
●
（0，0）
借
甲
（400，500）
稳定的行动选择：乙在第一阶段选“借”，在第三 阶段（如果有第三阶段的话）选“打”；甲在第二阶段选“分”。
稳定的路径：
（甲）分
稳定的策略组合：
乙：在第一阶段“借”，如果甲不分，那么在第
三阶段“打”；
甲：只要乙肯借，就“分”。
注意策略与行动的关系
（乙）借
#26
逆推归纳法的一个显著优点是：
在每一个子博弈中排除不可信的许诺或威胁。
（三） Subgame-Perfect Nash Equilibrium
对“开金矿”，考虑如下假设调整：乙打官司的
成本很高（当地法律不健全或有法不依现象严重或甲贿赂法官成功），不仅收不回500万元，还陪上10万元，那么最后的子博弈变成：
乙
打
●
●
不打
（-110，400）
（-100，1000）
请画博弈树分析
应用逆推归纳法，有：
均衡路径：（乙 ）不借。
均衡策略：
乙：第一阶段不借，第三阶段（如果有）不打；
甲：一旦赚到钱就逃之夭夭（不分）。
我们称这个策略组合为“子博弈完美NE”，因为：
它是一个NE（验证），并且在每一个子博弈
以及原博弈中都不含任何的不可信的允诺或
威胁。
对比策略组合：
乙：第一阶段借，第三阶段（如果有）打；
甲：赚到钱就分。
问：这一策略组合对应的路经是什么？
它是一个NE？
是。验证：
哪个NE将被我们认可？
注意：NE在静态博弈里是一个能给出合理
预测的解，但在动态博弈里却并不都能给出合
理预测，因为NE本身不能排除（动态博弈里）
不可信的威胁和允诺。
作为动态博弈的解必须是：不包含任何不可信
的威胁和允诺的NE。
Selten（1965）对完全且完美信息动态博弈提
出了“Subgame-Perfect Nash Equilibrium”的
概念，要求：（1）是NE，从而具有策略组
合的稳定性（必要但不充分）；（2）不能包
含任何的不可置信的威胁和允诺。
子博弈完美NE定义
Definition(Selten,1965):A Nash equilibrium is
subgame-perfect if the players’ strategies
constitute a Nash equilibrium in every subgame.
求解方法：backwards induction
强调：P85
对于无法画博弈树的完全且完美信息动态博弈，
如何求解“子博弈完美NE”？
直观上看到的是：各参与人稳定的行动选
择，它们构成一条走得通的路——均衡路径
（equilibrium path）
三、子博弈完美NE应用举例
（一）Stackelberg Mondel of Duopoly
Stackelberg(1934)proposed a dynamic model
of duopoly in which a dominant(leader) firm
moves first and a subordinate(or follower) firm
moves second(比如在美国汽车产业发展史中的
某些阶段，通用汽车就扮演过这种领导者的角色，
只不过跟随者不只一个，如福特、克莱斯勒等).
Following Stackelberg,we will develop the model
under the assumption that the firms’ choose
quantities, as in the Cournot model(where the
fires’ choices are simultaneous,father than
sequential as here ). P86
The timing of the game is as follows:(1)firm 1
chooses a quantity q1≥0; (2)firm 2 observes q1
and then chooses a quantity q2≥0; (3)the payoff
to firm i is given by the profit function
ui(qi ,qj)=qi[P(Q) - c],
where P(Q)=a – Q is the market-clearing price
when the aggregate quantity on the market is
Q=q1+q2 , and c is the constant marginal cost of
production(fixed costs being zero).
To solve the backwards-induction outcome
of this game, we first compute firm 2’s reaction
to an arbitrary quantity by firm 1. R2(q1) solves
max u2(q1 ,q2)=maxq2[P(Q) - c],
q2≥0
q2≥0
= maxq2[a-q1- q2 -c],
q2≥0
which yields
R2(q1) =
a- q1 -c
2
,
Provided q1＜ a – c.
The same equation for
R2(q1) appeared in our analysis of the simultaneous
-move Cournot game in Chapter 1. The difference
is that here R2(q1) is truly firm 2’s reaction to
firm 1’s observed quantity,whereas in the
Cournot analysis R2(q1) is firm 2’s best response
to a hypothesized quantity to be simultaneously
chosen by firm 1.
Since firm 1 can solve firm 2’s problem as
well as firm 2 can solve it, firm 1 should anticipate
that the quantity choice q1 will be met with the
reaction R2(q1). Thus,firm 1’s problem in the first
stage of the game amounts to
max u1(q1 , R2(q1) ) = maxq1[a-q1- R2(q1) -c],
q1≥0
q1≥ 0
= max
q1(a-q1 –c)
2
q1≥0
,
which yields
q1* =
a - c
2
and
q2* = R2(q1*) =
a - c
4
as the backwards-induction outcome of the
Stackelberg duopoly game.
Stackelberg model 和 Cournot model 的假设
条件除了一个是动态、一个是静态的差异，其
余都相同。试比较它们的NE结果。
P87—88 先动优势 first-mover adventage
（二）工会与厂商之间的博弈
关于工会与厂商之间的相互关系是宏观经济学里研究颇多的问题之一。里昂惕夫（Leontief，1946）提出了一个工会与厂商之间关于工人工资与雇佣人数的博弈模型。在这个模型里，工会作为企业劳动力唯一的供给者，对工资水平说一不二，但企业却可以自主决定就业人数（与现实更接近的情形是企业和工会间就工资水平讨价还价，但企业仍自主决定就业）。对工会来说，既希望工人的工资水平较高，又希望有更多的工人能够被雇佣；以W表示 工会提出的工资水平、L表示企业愿意雇佣
的工人人数，那么工会的效用函数u是W和L的增函数，记为u(W,L)。企业追求的唯一目标是利润最大化；设R(L)为企业雇佣L名工人可以取得的收入，那么R(L)是严格递增的凹函数（concave function），由此企业的利润函数是π(W，L)= R(L) – WL。博弈的顺序如下：（1）工会首先选择工资水平W（W≥0）；（2）企业观察到（并接受）W后，确定雇佣人数L（L≥0）；（3）工会的支付函数为u(W,L)，企业的支付函数为π(W，L)。
先分析第二阶段企业的决策：对工会在第一阶
段提出的任一工资水平W，企业的最优反应
L*(W)满足其利润最大化：
max π(W，L)
L≥0
=
max[R(L) – WL]
L≥0
最优化的一阶条件是：
R′(L) = W
对具体的函数形式R(L) ，便可从其一阶条件
解出L*(W)。一阶条件的经济意义可用图来说明。
0
L
W
R(L)
WL
slope=W
L*(W)
[R(L) – WL]
最大
一阶条件R′(L) = W表明企业为使自己的利润
最大化，必然按照边际收益等于边际成本来确定愿意雇佣的工人人数。由于边际收益是递减的， R′(L) = W也就意味着企业愿意雇佣的工人人数L*(W)是工资水平W的减函数（图示）。
再分析第一阶段工会的决策。由于工会对企
业的决策原则和思路是完全了解的：对应自己所
提出的每一个工资水平W，企业将会雇佣的工人
人数一定是L*(W)。因此，工会面临的决策问题
可表述为如下的最优化问题：
maxu(W, L*(W) )
W≥0
假设我们可根据工会的效用函数u(W,L)作出它
在W和L之间的无差异曲线I，如图：
0
L
W
L*(W)
I1
I2
I3
W*
L*(W*)
子博弈完美NE：工会选择工资水平 W* ，企业看到W* ，决定雇佣L*(W*)的工人数。不过这一均衡的效率是低的 ，如图：
0
L
W
L*(W)
I2
π 0
W*
L*(W*)
阴影面上的任意一
点都帕累托优于点
（ L*(W*) ， W* ）。
(三)Sequential Bargaining P91
首先分析一个三阶段的讨价还价（谈判）模
型，然后讨论Rubinstein（1982）模型（博弈的
潜在阶段数是无限的）。这两个模型告述我们，
在信息完全的情况下，讨价还价马上能得到一个
有效率的结果。当然，实际里信息不完全是普遍
现象，那么在信息不对称下，讨价还价结果会怎
样？Sobel &Takahashi(高桥)（1983）对此进行
了模型化（不讨论）。
思考：站在今天的时间上，如何看待将来的收益？
用贴现因子δ反应货币的时间价值。
在一个阶段开始时取得的一美元可以存入银行，赚取利息，比如说每期的利息为γ，则在下一阶段
开始时的价值就成为 1+ γ美元。同样，下一阶段开始时要得到一美元，现在的价值只有1/( 1+ γ)。
令δ= 1/( 1+ γ)，则下一阶段可得到的收益π现值只有δπ，距现在两个阶段之后得到的收益π现值只有δ2π，如此等等。未来收益今天的价值称为这一收益的现值。
三阶段讨价还价
逆推分析：
第三阶段 参与人1提出自己得x，给对方1-x，
对方必须接受；
第二阶段 参与人2既然已经拒绝了参与人1在第
一阶段的（x1 ，1- x1），如果现在自
己提出的分配方案被拒绝，那现在只
能得到δ(1-x)，对方现在得δx；
现在能否提出一个方案（ x2 ，1- x2 ）使对
方能接受，而自己的所得又能比δ(1-x)好？
参与人1在什么条件下会接受x2 ？
x2 ≥ δx
这个约束条件里，参与人2会选择 x2 = δx
这样自己得：1-x2 = 1-δx
可见，在第二阶段，参与人2提出的方案：
(x2 ,1- x2)=(δx, 1-δx ),双方都接受。
方案（δx, 1-δx )在第一阶段的现值是：
（ δ2x, δ -δ2x )
δ(1-x)
＞
第一阶段 参与人1能否提出一个方案
（ x1 ，1- x1 ）使对方能接受，而自己的所得又
能比δ2x好？
参与人2能接受的条件是： 1- x1 ≥ δ -δ2x
即： x1 ≤1- δ +δ2x
参与人1会令：x1=1- δ +δ2x
＞
所以有（x1* ，1- x1*）=（ 1- δ +δ2x ， δ -δ2x ），
双方接受。
δ2x
讨论：既然第三阶段的方案必须被接受，
那么令x=1是否合理？上述的子博弈完美NE，
谁占有优势？
参与人1有最小值3/4，而参与人2有最大值1/4。
先动优势
现在考虑无限期的情况。
博弈的时序与前面的描述完全一致：奇数阶段
由参与人1出价，偶数阶段由参与人2出价，直至一方接受对方的出价，博弈结束。
逆推归纳法无法运用，因为并不存在我们借以
入手分析的最后一个阶段。
面对这样的困难，Shaked & Sutton(1984) 所首
先运用的方法被得到了借鉴：从第三阶段开始
的博弈与（从第一阶段开始的）整个过程的博
弈是相同的：两种情况下都由参与人1首先出价，
其后轮流出价，直至有一方接受条件而结束。
对此类博弈的逆推归纳解到现在为止尚没有
被正式定义，但以下的分析方法不凡在此加以
介绍。
假设完整过程的博弈存在逆推归纳解，此时，
参与人1和2分别得x和1-x，这一结果可应用于从第三阶段开始的博弈，也就是说：从第三阶段开始的博弈的逆推归纳解也是（x，1-x）。由此得到一个由三阶段构成的新博弈，其第三阶段的分配方案是（x，1-x），而他的逆推归纳解也是（x，1-x）。根据前面关于三阶段讨价还价的分析已知它的逆推归纳解是
（1- δ +δ2x ， δ -δ2x ）。这意味着什么？
x= 1- δ +δ2x
x=
1
1+ δ
1-x=
δ
1+ δ
于是整个过程的讨价还价博弈有唯一的逆推
归纳解：在第一阶段，参与人1提出分配方案
（ x1* ，1- x1*）=（1/(1+ δ), δ /(1+ δ) ）,参与人2接受该分配方案。
无限阶段讨价还价博弈的子博弈完美NE是贴现
因子δ 的函数，这是Rubinstein从该模型中得出
的重要结论。
贴现因子δ：
反映货币的时间价值
参与人的耐心程度
“蛋糕”变质的速度
……
当δ
0
当δ
1
先动优势
后动优势 P95
四、有同时选择的两阶段动态博弈
本节所要讨论的博弈是在完全且完美信息动态博弈上略加扩充形成的：在同一阶段有两个或两个以上参与认同时进行选择（不象前面三节所讨论的那样在每一阶段只是单个参与人作优化决策）。有同时选择，意味着存在私人信息，按说应把这种类型的博弈划归到不完美信息类型中进行讨论。但这类博弈由于在每阶段参与人轮到行动时，有关之前的博弈过程都了解，并且是共同信息，同时各参与人的支付函数也是共同信息，所以它更多的雷同于完全且完美信息动态博弈，而切求解的方法也是逆推归纳法。
（一）理论阐述：
●扩展式表述：（1）参与人1和2（为了讨论简
单起见，假定每一阶段中参与人为2个）首先行动，即同时从各自的行动空间A1 、A2中选择行动a1 和a2 ；（2）参与人3和4在观测到第一阶段的结果（ a1 ，a2 ）后，同时从各自的行动空间A3 、A4中选择a3 和a4 ；（3）参与人的支付函数为μi(a1,a2,a3,a4），i=1，2，3，4.（假定只有两个阶段）
●逆推归纳分析：为使讨论简单化，假定针
对第一阶段的博弈的每一个可能结果（ a1 ，a2 ），
其后第二阶段博弈有唯一的NE[a3*(a1 ，a2 ),
A4*(a1 ，a2 )].由于参与人在第一阶段就会预测到第
二阶段参与人3和4的稳定行动组合必将是
[a3*(a1 ，a2 ),a4*(a1 ，a2 )]，那么参与人1和2在第
一阶段的博弈可表示为：参与人1 和2从A1 、A2
中选择行动a1 和a2 ；支付函数为μi(a1,a2,
a3*(a1 ，a2 ),a4*(a1 ，a2 )），i=1，2.
再假定（ a1* ,a2* ）为参与人1和2在第一阶段
博弈的唯一的NE。那么该有同时选择的两阶段
动态博弈的均衡路径[a1* ,a2* ，a3*(a1 ，a2 ),a4*(a1 ，a2 )]所对应的策略组合就是它的子博弈完美NE。
（二）应用模型举例
1、银行挤兑 Bank Runs
银行挤兑？
挤兑的后果？
在实际生活中，银行因遭受挤兑而倒闭的不乏
其例。
恒生银行（曾经是香港最大、最有影响力
的华资银行）在1965年遭受两次挤兑，第二次被
挤兑是由于谣言引起公众信任度的猛跌而引起，
在四处求救无望的情况下，只好以控股权转让为
条件换得当时作为发钞银行的汇丰银行的“无限量
支持”才免于破产，但已论为人家的子公司了。
1988年杭州市许多储蓄点被挤兑，原因是抢购风潮。
2000年6月河北省滦县发生银行挤兑，原因是
滦县县政府行政干预金融业务，引发储户心理发
慌。当月28日，滦县县政府召开有县土地局、质
量技术监督局等5个单位参加的协调会，要求与
会单位将存在建设银行滦县支行的公款转存到其
他银行。此举引起一些群众对建行的信誉产生怀
疑，造成部分储户恐慌，最终导致建设银行滦县
支行的7个储蓄网点中先后有6个网点被挤提存款。
这事件随在有关部门的努力下及时得到平息，但
已严重干扰了金融秩序。
该模型的内容：设有客户1和2各在银行存入
一笔钱，数目为100元，银行将存款200元投资
一个长期项目。如果在该项目到期之前银行被
迫向储户变现，则只能收回180元，如果到期后
收回，则连本带利共能收回240元。
储户有权随时提款，我们可把储户提款的时
间区分为两种情况：日期1—银行投资到期前，
日期2—银行投资到期后。假定不存在贴现，并
且银行把投资收回的钱全部返还给客户（不收取
任何的佣金和手续费）。
再假设：如果两客户都在日期1提款，则银
行付给他们各90元，如果只有一个客户提款，
则银行付给他100元，剩给另一客户90元（）；
如果两个客户在日期1都没有提款，则那么存款
延续到日期2。在日期2，如果两个客户同时提
款，则各取回120元；都不提，每人都有120元；
如果一个人提而另一个人不提，则提的人取得
140元，剩给不提的人100元（）。
*两个的假设也许与早期银行的不规范业务
或民间的非法融资活动更吻合。
两个客户在日期1面临的博弈：
客户2
提款 不提款
提款 90，90 100，80
客户1
不提款 80，100 日期2
两个客户在日期2面临的博弈：
客户2
提款 不提款
提款 120，120 140，100
客户1
不提款 100，140 120，120
逆推归纳分析：在日期2，由划线可知，存在占优策略均衡（提款，提款），各取回120元。
这个结果在日期1就能被分析出来。
于是第一阶段两个客户的博弈可表示为：
客户2
提款 不提款
提款 90，90 100，80
客户1
不提款 80，100 120，120
存在两个纯策略NE。
整个动态博弈有两条均衡路径：
一条均衡路径就是正常的存储活动，另一条便是挤兑发生。
哪些事项会导致走上挤兑路径？
上海往事；国
家提供无限量
支持。等
（二）关税与国际市场的不完全竞争
Tariffs and Imperfect International Competition
这是博弈理论在国际经济学中的一个应用。
该博弈的顺序：（1）两个十分相似的国家同时
确定关税税率ti*，i=1，2。（2）企业1和企业2分
别是国家1和国家2的厂商（生产相同的产品），
他们在观测到 t1* 和t2* 后同时决定内销的产量hi*
和出口量ei* ，i=1，2。（3）国家追求本国社会
总福利最大化，企业追求自身利润最大化。企业
的利润π由内销利润π内和外销利润π外构成。设Qi
为国家i市场上的 该种产品的总销售量，即Qi =
hi+ej ，i=1，j=2；i=2，j=1。再设Pi 为市场出清价
格，并且， Pi=a-Qi = a-(hi+ej ).两家企业均不考
虑固定成本，且有相同的常数边际成本c，那么
企业i的内销利润函数和外销利润函数分别是：
π内= hi Pi-c hi
= hi [ a-(hi+ej )] -c hi .
=(a-ej –c)hi – hi2 .
π内是ej和hi的函数
π外=eiPj - eic – eitj
= ei(a- Qj) - eic – eitj
= ei(a- hj- ei) - eic – eitj
=(a-c-tj- hj)ei – ei2
π外是ei、hj和tj的函数
国家i的总福利μi由关税收入ejti、企业i的利润πi和本国消费者享受到的剩余构成。
国家i的消费者享受到的剩余？
Qi2
2
μi=
Qi2
2
+ ejti+ πi
=(ej+ hi)2/2 + ejti+ [(a-ej –c)hi – hi2]
+[(a-c-tj- hj)ei – ei2]
逆推归纳求解：
μi是hi、 hj、 ei、ej、ti、 tj的函数
企业i和j观测到t1* 和t2*后同时决策。企业i的利
润最大化可分为内销利润最大化和外销利润最
大化两部分，即：
max π内= max[(a-ej –c)hi – hi2]
hi
hi
和
max π外=max[(a-c-tj*- hj)ei – ei2 ]
ei
ei
于是有
R(hj)= (a-ej –c)/2
R(ej) = (a-c-tj*- hj)/2
当然要求：
ej ≤ a–c)
hj≤ a-c-tj*
h1= (a-e2 –c)/2
h2= (a-e1 –c)/2
e1 = (a-c-t2*- h2)/2
e2 = (a-c-t1*- h1)/2
由于企业1和2是对称的，因此有以下方程组：
h1*= (a–c+ t1*)/2
h2*= (a–c+ t2*)/2
e1* = (a-c-2t2*)/2
e2* = (a-c-2t1*)/2
公式1
讨论： hi*= (a–c+ ti*)/2和 ej* = (a-c-2ti*)/2是
同在 国家i市场上的产量，除了ej* 是进口之外，
其他的情形与古诺模型都一样，试比较两个均
衡的结果。
一国的关税具有保护本国民族工业的作用。
分析第一阶段两个国家同时选择关税水平的博弈。
首先，两国政府知道针对自己所确定的关税ti、
tj，两企业必然按照公式1来决定内销产量和出
口产量，因此可把公式1中的hi*、hj*、ei*、 ej*
代入国家i的支付函数中 ：
μi=(ej* + hi*)2/2 + ej*ti + [(a-ej* –c)hi* – hi*2]
+[(a-c-tj- hj*)ei* – ei*2]
代入
=[2(a-c)- ti]2 / 18+ (a-c- ti)2 / 9+ (a-c-2tj)2 / 9
+ ti(a-c-2ti)2 / 3
求出两个国家的反应函数，再解反应函数的交
点，得： t1*= t2*=(a-c)/3
代入公式1
h1* =h2*=4(a-c)/9, e1*=e2*=(a-c)/9
(三)劳动竞赛
函数的凹凸convex concave
P103 隐含一个前提；根据贝叶斯法则
1-δ1δ2
δ2(1-δ1)
1-δ1δ2
Suppose the players in Rubinstein’ infinite-
horizon bargaining game have different discount
factors: δ1 for player 1 and δ2 for player 2.
Adapt the argument in the text to show that in the
backwards-induction outcome, player 1 offers
the settlement
Problem
1- δ2
,
to player 2, who accepts.
2. Three oligopolists operate in a market with
inverse demand given by p(Q) = a – Q, where
Q = q1 + q2 + q3 and qi is the quantity produced
by firm i. Each firm has a constant marginal
cost of production, c, and no fixed cost. The firms
choose their quantities as follows: (1) firm 1
chooses q1≥0; (2) firm 2 and 3 observe q1 and then
simultaneously choose q2 and q3 , respectively.
What is the subgame-perfect outcome?
