2003年中国经济学年会递交论文
研究领域：博弈论，金融经济学
金融挤兑的一种博弈论模型描述与
贝叶斯纳什均衡的唯一性
蒲勇健*
（重庆大学工商管理学院，重庆 400044）
摘要 本文通过在完全信息博弈论模型中引入噪声的方法成功地消除了纳什均衡的多重性，并获得一个可以预言大多数情形真实均衡状态的不完全信息博弈模型。该模型同时还能估计金融挤兑或金融危机发生的概率。本文获得的一个重要且深刻的结果是金融危机或挤兑的发生通常是基于宏观经济参数自身发生向坏的方向出现逆转后引起公众心理预期发生“自我实现”式的调整，从而触发产生的。这种机制对现有的关于金融危机或挤兑的两种发生说即“自我实现”理论与“经济参数变更”理论进行了综合协调，即“经济参数变更”是原因，“自我实现”的心理协动是机制，金融危机或挤兑是结果。本文提出的方法与思路可以推广到更为一般化的情形对博弈模型中的纳什均衡多重性加以消除，以及用于研究金融市场的波动甚至金融资产的定价等。
关键词：博弈论，金融，数理经济，数理金融，信息经济学
A game theory model on the financial crisis with an unique Bayesian Nash equilibrium
PU Yong-jiang
(College of Business Administration ,Chongqing University, Chongqing 400044)
Abstract An uncomplete information game theory model which predicts the usual situation in the behaviors of investors as a Nash equilibrium has been advanced in this paper. By employing a drawing into the complete information game theory model a small white noise, we removed the multiple Nash equilibrium in the original model. At the same time, the model could give a estimation for the probability of financial crisis. The important and profound result achieved in this paper is that usually a financial crisis would happen when macro— economy parameters varys harmfully and so after that the self—fulfilling effect appears which sparks a financial crisis. There are two economic theories of financial crisis up to now, one of it is “economy parameter varying” theory and the other is “self—fulfilling effect” theory. The two theories appeared contradictory each other, and have been coordinated in this model. The model says that “economy parameter varying” is the cause, “self—fulfilling effect” is the mechanism and financial crisis is the result. The method advanced in this paper may be extended for more general situations for the elimination of multiple Nash equilibrium in game theory model, and also could be used in the research on fluctuating of financial market even the pricing of financial assets.
Keywords: game theory, finance, mathematic economics,
mathematic finance, information economics
一、金融挤兑与纳什均衡多重性
金融挤兑行为是一些金融机构倒闭的原因之一，也是导致诸如东南亚金融危机的直接导火索。对于一般性的看法而论，金融挤兑只是在一个社会的经济金融环境出现了危机的时候才发生，它是恐慌心态的一种直接体现在投资者或存款人行为上的反应，其结果是导致金融机构因准备金不足或直接毁灭投资项目而崩溃瓦解。对于一些经济学家来说，金融挤兑的发生或许是一种“自我实现”机制的发作，当存款人或投资者都潮涌式地将存于金融机构中的资金取出时，金融机构因流动性困难而招致破产。无论从哪一种观点来看，一些基本的参数如宏观经济环境及投资前景的变化与投资者的心理活动成为金融挤兑现象发生的两个重要因素。当宏观经济发展出现向下转折的势头时，投资者不能不顾及其存在金融机构中（因而已投资于某个项目）的资产的价值变动或安全性，在一定的判断下抽回资金是一种合理的选择。另一方面，尽管不存在明显的宏观经济变动征兆，投资者群体的心理协动如基于某种市场讯号（政策变动、经济灾难）的资金抽逃意念也会导致金融挤兑，甚至由此而引发金融危机。经济学家通常认为实际的金融挤兑是由这两种因素交叠共生的联合作用而发生的——宏观经济环境变动导致投资者心理变化，进而催生投资者出现资金抽逃的心理互动，当这种互动演变成具体的行为时，心理的互动将变成实际的行为。现实的资金抽逃行为一旦出现，将增强已出现的资金抽逃心理准备的程度，从而强化实际的资金抽逃行为。一旦两者出现自我反馈的循环互动，则挤兑现象将随之发生，金融灾难可能因此而一发难以收拾。
从博弈论模型看来，即使不存在实现发生的宏观经济变动，仅凭“自我实现”机制也可能导致金融挤兑的纳什均衡。这说明“自我实现”可以在挤兑行为中作为一种基本的因素而出现。
假定有个完全相同的投资者各自在同一个金融机构（银行、基金会，……）存有1单位资金，这一存款行为同时发生在第0时期，且金融机构承诺将在第1时期向那些未在之前取回存款的投资者支付的报酬，其中为存款的报酬率（利率）。如果投资者在到期前（第1时期之前）将已存入的资金提前抽回，则金融机构不给予任何回报，投资者仅能获得1单位本金。
一般地，当投资的回报率为时，如果在期初（第0期）存入金融机构之资金，则在到期日时期能获得之收入，根据回报率（利息率）的定义有
（1）
方程（1）的不定积分解为
当和时，，这正是我们在上面所作出的假定。现在，我们进一步假设：在到期日之前，如果已有个投资者已将存款提前取回，则那些在到期日之前还未取回的存款所获得的回报率将相对于有所下降，并设下降部分为提前取钱的人数与总存款人数之比的严格递增函数。如果用表示回报率，则有
（2）
其中，是严格递增函数且有，为一个正的常数。显然满足。
这种假定的经济学依据是当存入金融机构的资金因提前取钱的人数增加而减少时，由于规模经济因素，金融机构再融资成本的增加，投资计划变动带来的额外成本支出及由于资金规模减小带来的投资项目选择从较高回报率项目向较低回报率项目的转移，导致投资者在第1期只能获得相对较低的回报。
非负体现了这种机制，而存在上界导源于这样一种假设，即即使其他人全部都将资金提前取回，一个投资者的投资回报率所受到的负面影响也是有限的。从数学上看，当我们假定是区间上的连续函数时，它就必然存在上界。
现在假设，所有投资者的贴现因子为1且假定有，还假设投资者存款的机会成本为零。此时，只存在两个纯战略纳什均衡，其一是所有投资者都不提前取钱，其二是所有投资者都将提前取钱。
给定其他投资者都不提前取钱，一个特定的投资者面临的决策问题是：提前将钱取回或将资金继续存在金融机构中直到到期日取出。当他提前将钱取出时，他只能获得1单位本金收入，回报率为零，而当他将钱继续存在金融机构直到到期日才取回时，他将获得的收入，回报率为。因此，给定其他投资者都不提前取钱，一个特定的投资者的最优选择也是不提前取钱。因为这个特定的投资者是任意的，所以所有投资者都不提前取钱是一个纳什均衡。另一方面，给定其他投资者都提前取钱，一个特定的投资者若不提前取钱，他的未来存款回报率为，而他提前取钱的回报率为零，所以他会提前取钱。这样，所有人都提前取钱是另一个纳什均衡。根据奇数定理（Wilson, 1971），我们知道还有至少一个混合战略纳什均衡，投资者将随机地决定是否提前取款。
纳什均衡的多重性是博弈论迄今仍然未解决的困难问题之一，因为当一个博弈论模型存在多个纳什均衡时，模型的预测功能就受到影响。尽管博弈论专家从多个方面提出逻辑理由将纳什均衡加以精炼（Refine），从Selten的子博弈精炼纳什均衡（Selten, 1965）到Kreps等人提出的序贯均衡（Kreps与Wilson, 1982）等，至今仍未获得从众多纳什均衡中挑选出唯一可实现均衡的一般性法则。从另一方面看，上面给出的模型中的两个纯战略纳什均衡对金融机构的描述只适用于两种极端情形，即没有1个人提前取钱的均衡和所有人都提前取钱的“挤兑”均衡，但对于更多地说来是一种常态的情形即一些人提前取钱而另一些人不提前取钱并未给出作为一种纯战略均衡的描述，但从直观看来有理由将这种情形作为一种纯战略均衡。
当然，从混合战略均衡似乎可以对这种有人提前取钱又有人不提前取钱的“中间状态”加以描述，但这种均衡可以与两个极端型纯战略均衡并存，我们不知道到底哪一个均衡实现会出现。
这个模型只存在上述两个平凡的纯战略纳什均衡，它不能说明现实中为何既有人提前取钱又有人继续存款于金融机构的中间状态。事实上，如果存在这样一种中间状态的纳什均衡，即一些投资者提前取钱而另一些投资者继续将钱存在金融机构中，则给定有一些投资者继续将钱存入金融机构中，任意一个未将钱继续存入金融机构中的人如果将钱存入金融机构，则回报率将上升。给定一部分投资者已将钱存入金融机构，说明对于这些投资者来说回报率已大于零，此时在边际上额外一位投资者将钱存入金融机构将获得还大于已有回报率的回报率，因而是正的回报率，所以，对他来说，将钱存入金融机构是最优选择。这表明不会有人提前取钱，因而这种中间状态纯战略纳什均衡是不存在的。这样，我们发现，这个模型存在着两种困难，除了前已提出的多重纳什均衡外，它甚至还不能通过纯战略均衡预测作为现实中出现更多的中间状态。
二、基本思路
针对上述困难，我们认为，可以沿着这样一种思路既消除多重均衡，又对中间状态作出纯战略均衡预测。本文给出的方法是原创性的，它可以用来研究不仅是这个模型而且还包括一大类其它博弈论模型的纳什均衡唯一性选择问题，因而具有基本的方法论意义。以下研究基于几个重要的出发点：
1．在模型中引入观测噪声
要在博弈论模型中消除多重纳什均衡，一个重要的出发点是将模型进一步逼近现实。我们作出的假设是，局中人对经济参数的观测是存在噪声的，即观测存在误差，不是完全精确的观测。这种假设应该是基本的且比相反的假设更加符合现实。这样，不同的局中人会看到不同的回报率，或对回报率作出不同的预测，同时，每个局中人看到的与真实的存在误差。这里假设了观测的噪声在不同局中人之间是互相独立的。
设第个投资者看到的回报率为
（3）
其中，是投资者在观测时存在的噪声，设它是均值为零，准确度为（方差为）的正态分布随机变量，且不同投资者在观测时的噪声是相互独立的，即与相互独立，还假设与相互独立，。
由于影响宏观经济环境的因素也很多，本身也是一个随机变量，回报率是实际回报率，如实际利息率是名义利率扣除实际通货膨胀率，而实际通货膨胀率是难以准确估计的，但这里假设所有局中人关于随机变量的性质是具有共同知识的。设所有投资者关于的先验概率分布是均值为，准确度为的正态分布。这里，准确度被定义为方差的倒数（Morris H. DeGroot, 1975a）。假定这些随机变量的分布是所有局中人的共同知识。本文所提到的所有随机变量的均值皆为其数学期望。
2．信息不完全假定
在上述金融挤兑模型中，潜在假定了信息是完全的，因而任何一位局中人都能看到其他局中人的战略选择。在信息完全假定下，多重纳什均衡是不可避免的，因为给定其他人都选择提前取钱的前提下，特定的局中人的最优选择就是提前取钱；另一方面，当特定局中人看见其他局中人都不提前取钱，他的最优选择就是不提前取钱，因而出现两个纯战略纳什均衡。这种信息完全假定是违反现实的，因为其他人的行为对特定局中人来说通常是不清楚的。本文作出相反的假定，任何局中人都不能看见其他人是否提前取钱，而只能估计其他人提前取钱的概率。信息的不完全性指任何一个投资者只能知道自己所观测到的而不知道其他投资者所看到的，也不知道其他投资者所作出的是否提前取款的决策。
3．理性人假定
理性人假定是博弈论的基本假定之一，这里将特别规定局中人在决策中是基于其预期效用最大化的目标函数。假设效用函数是预期收入的增函数，则局中人的行为基于预期收入进而是预期回报率最大化。这一假定在这里所隐含的含义是，当我们假设了局中人观测回报率存在噪声干扰时，上述多重纳什均衡可能来源于非理性的行为。当一些局中人看到的回报率较高时，另一些局中人却可能看到较低的回报率，这是因为观测噪声对于不同局中人是互相独立的随机变量所致。对于那些看见较高回报率的局中人，选择提前取钱是非理性的；同样，看见较低回报率的局中人不会选择继续存款。这样，一些局中人提前取钱而另一些局中人继续存钱可能是纯战略均衡，这正是我们力图刻画的现实情况即上述中间状态。基于这一思路，本文将构造一个不完全信息的贝叶斯静态博弈模型，并证明该模型在观测噪声充分小时存在唯一的贝叶斯纳什均衡，该均衡刻画了部分投资者将提前取款而另外的投资者继续存款的中间状态。只有在一种特别的情形，该模型给出的纳什均衡才描述了所有投资者都提前取款的挤兑行为。
三、贝叶斯博弈模型
该模型是在前述模型基础上加上上面给出的几个假定而形成。对于任意一位投资者，他在面临是否提前取钱的决策问题时，所要作出的判断是：如果继续存款，则预期回报率是否大于零。这里仅凭预期回报率作为决策的指标是基于投资者风险中性的潜在假定，作出这种假定是为了简化数学分析，对于其他类型的风险偏好或厌恶风险情形，类似的结论仍成立。
据式（2），对于投资者来说，他所看到的回报率为，当提前取钱的投资者人数占总人数之比为时，他继续存款的回报率为
（4）
但其中的对投资者来说是未知的，他只能对作出统计学上的估计。假定他根据数学期望来对进行估计。由于对称性，如果一个投资者提前取款的概率为，则的数学期望为。但是，不同的投资者看到的是不同的，而对的期望值进而对的估计要基于观测到的，故不同的投资者估计的期望值也不同，所以记投资者看到时和的数值分别为 EMBED 和。
这样，式（4）的一般形式为
（5）
其中：“”表示当投资者看到时的情形。
式（5）的左右两端都是随机变量，在局中人风险中性假定下，应以预期回报率作为决策指标，由式（5）有
（6）
由式（3）有，来源于局中人准确知道的均值的共同知识假定。
为了计算，我们需要导出局中人在看见后关于的后验概率分布。这需要我们先提出以下的一个统计学引理：
引理 假定 是来自均值为未知的但方差已知的一个正态分布随机变量的样本组。假设的先验分布是均值为且方差为的正态分布，则给定下的后验分布是均值为，方差为的正态分布，其中
证明：
给定，的似然函数为
其中，表示转置，“”表示除去一个常系数外两边相等。
运用下述恒等式
以下将省略不含但含有的因子，则
设的先险分布为，因 满足
故后验分布满足
其中表示的概率密度。
当和按引理中所述那样定义时，不难验证有如下关系：
上式右边第二项不含可放在比例系数中去，故有
证毕！
投资者观测的方差为，均值为，但又是先验分布为均值，方差为的正态分布随机变量，故据引理，当投资者看到的样本后，他对的后验概率分布是均值为，方差为varr的正态分布，其中，
， （7）
因此，，因为据式（7），也是可观测变量，以下将投资者看见等价于看见。
由于相互独立的正态分布的随机变量的非零线性组合仍为正态分布的随机变量（Morris H. DeGroot, 1975, P266, P270），据式（7）和式（3），也是正态分布的随机变量。
由于是均值未知的正态分布随机变量，其均值的先验估计为，的方差为，当投资者看见后， 的均值后验估计为本身，故由引理知是均值为
（8）
的正态分布随机变量，如当时，该均值在区间中。据式（7）和式（3），由于与相互独立，给定投资者看到，同时也就观测到了，则随机变量的方差为
其中为投资者看见后的后验分布方差，由引理知
据假设有
故的方差为
（9）
每一个投资者可观测到但不知道，这样，就是投资者的类型，他通过观测到的自己的类型和对其他人类型的估计进行决策，构成一个贝叶斯博弈。
下面采用重复剔除严格劣战略的方法将局中人的劣战略剔除。对于任意的。在式（6）中，因有，据式（7）和式（8），当充分小时，有，故，投资者将提前取款。这样，当投资者看到的充分小时，无论其他投资者作何选择，提前取钱将是投资者的严格占优战略。
即存在足够小的使得当投资者看见的时，他选择提前取钱是占优战略。
令 EMBED 时，投资者提前取款是占优，其中sup表示上确界。则当时，投资者提前取钱是占优战略。给定投资者选择上述占优战略，他就剔除了当时作其它选择的其它战略。
由对称性，对其他投资者也存在类似的。由对称性，，下面为方便计去掉上标，简记为。
存在序列是递增的，且和，使得看见时，投资者肯定提前取钱，即不提前取钱的预期支付不会为正，故有
（10）
其中“”表示投资者看见时的情形。
据式（5），
（11）
这里将式（5）中的“”换成了“”，因为由式(7)知与是1-1
对应的，这种对应还给出。
故式（10）变为
（12）
此时，我们令其他投资者都执行这样一种战略，即他们看到的时都提前取钱，而看到的时不提前取钱。
此时投资看到时将钱继续存在金融机构时的预期支付为
（13）
其中表示给定其他投资者执行这一战略时的期望值。显然，这一期望值与和有关，记为
（14）
当愈大时，的可能性就愈大，因是严格递增函数，是方差为正数的正态分布随机变量，故是的严格递增函数。
当愈大时，由式（8）知，的均值也愈大，故给定时的可能性就愈小，所以，是的严格递减函数，于是有
， （15）
在不等式（13）中令，结合式（14）得
令是满足的解
再令
则，
因为，
故这样的存在即有解且。
又因为（由不等式（15））
故是的严格递增函数，所以这样的是唯一存在的。
当投资者看到时，不提前取钱的预期支付为（由式（11））
这里，其他人的战略给出在时必定提前取钱，但当时不一定不提前取钱，此时的必不小于当其他投资者执行当必提前取钱而必不提前取钱的，即有
（16）
于是
所以，那些在看见时不提前取钱的战略是严格劣战略。因对是严格增函数，故必有
否则，就有
故，这是不可能的。
再用替换，我们就可得到使投资者看到时不提前取钱的战略是劣战略。由此可得到序列
使投资者看见时不提前取钱是劣战略。
记，则投资者看见时提前取钱是占优战略。
类似地，当充分大时，有，投资者不提前取钱是占优战略。
令，其中表示下确界。则当投资者看见时，他不提前取钱是占优的。于是存在序列是递减的且和，使得投资者看见时，他不提前取钱是占优的，故有
（17）
假定其他投资者执行这样一种战略，即他们看见时不提前取钱，而看见时必提前取钱，则此时的就等于，不等式（17）就为
（18）
令，则
令是满足的解
因，
故这样的存在即有解
又因为（由不等式（15））
故是的严格递增函数，因此这样的是唯一存在的。
当投资者看到时，他不提前取钱的预期支付为
这里，其他人的战略给出在时必不提前取钱，但当时不一定提前取钱，此时的必不大于当其他投资者执行当时必不提前取钱但时必提前取钱的
故
故投资者看见提前取钱是劣战略。
因对是严格递增函数，故必有
否则，就有
，这是不可能的。
再用替换，我们就可得到使投资者看到时提前取钱的战略是劣战略。由此可得到序列
使投资者看见时提前取钱是劣战略。
记，则投资者看见时提前取钱是劣战略。
当我们将劣战略按上述方式重复剔除掉后，我们有
令得
当的解是唯一的时，就会有
，满足
当时，投资者提前取钱
当时，投资者不提前取钱
这构成一个贝叶斯纳什均衡。
于是，我们就得到如下定理
定理 如果方程
存在唯一解，则模型就存在唯一的贝叶斯纳什均衡，该均衡给出当，投资者提前取钱；当时，投资者继续存款；。
应该说该定理描述了中间状态。因为是随机变量，方差大于零，所以，一般地提前取款和继续存款的投资者都大有人在，这描述了常见的真实情形。
四、一个例子
我们设为线性函数，即，其中为常数，，因，故。
此时，其中是随机变量小于的概率，已知是均值为，方差为的正态分布随机变量（见式（9）），故
（19）
其中，是标准正态分布函数。
故 （20）
令
则
其中是标准正态分布密度函数。
因，，故当时有
，即是严格单格递增函数。
由于
故存在唯一的解。
因，故只要观测噪声的方差充分小，模型就有唯一纳什均衡。
于是我们有如下推论：
推论： 当是线性函数且观测噪声充分小时（充分小），模型存在唯一的贝叶斯纳什均衡，该均衡给出那些看到的投资者提前取钱，而其他的投资者看到，他们继续存款。
五、金融挤兑发生概率及其对参数的依赖性
我们构造的贝叶斯博弈能够说明一些人存款而另一些人提前取款的中间状态，这证实了我们在文章开始时对这种现实生活中经常出现的常态作为一种纳什均衡的猜测。同时，我们提出的这个模型在定理给定的条件下消除了纳什均衡的多重性。本文提出的方法作为一种基本的思路可以在更为一般的博弈模型中作为获得唯一纳什均衡的探讨进行进一步的推广，这将是今后研究工作的重要方向。
这个模型还可以对金融挤兑的可能性进行预测。根据定理，如果所有投资者都看见，则出现所有投资者都提前取钱的挤兑情形。这种情况发生的概率为
（21）
其中是满足的唯一解。根据定理，当唯一解存在时，挤兑概率就等于。
相反，所有人都不提前取款的情形发生概率为
（22）
当愈大时，方程的解就愈大，因而据式（22）所有投资者都继续存款的概率就愈小。这就是说模型预言，在投资者人数较多的金融机构，总是有人提前抽回资金的情形更多一些，这符合直观。
当是线性函数时，满足方程
（23）
显然是及的函数，即，在式（23）两端对求导数：
得
（24）
当充分小时，式（24）左端分子和分母都为正数，故有，这意味着当上升时，式（21）右端变小（注意是增函数），即当作为投资者共同知识的回报率预期上升时，投资者全体挤兑的可能性变小。这与直观相吻合。当大家关于回报率的先验预期上升时（如宏观经济前景变好），由式（7）知投资者看见后对回报率的均值预期也上升，当然不太可能去提前取钱了。
在式（23）两端求的导数：
得
（25）
当充分小时，式（25）左端分母为正数，此时，由式（21）知当愈大时，即提前取钱的行为对回报率的影响愈大时，全体投资者挤兑的概率就愈大，因为每一个投资者在愈大时就愈担心别人提前取钱而自己继续存款会蒙受损失，因为此时损失随上升而上升。
由前知，当观测误差（即）充分小时，就充分小，所以当观测误差充分小时（但大于零），前述结论成立。
一个有趣的现象是，当观测误差为零时，模型就回到前面的完全信息博弈模型，此时已知只有两个极端情形纯战略和混合战略纳什均衡。当模型由完全信息变成不完全信息时，哪怕是一丁点信息的不完全性，均衡结构就发生这类不连续的改变，这正是信息经济中常见的均衡对信息结构变化的不连续依赖现象（张维迎，1996）。造成这种现象的原因是不完全信息博弈模型本质上是与完全信息博弈模型不同的，因而不存在模型本身对信息结构的连续依赖。
作为本文的一个发现是，当观测误差充分小时，宏观经济形势变好时，由于公众对投资回报率的预期向上调整（上升），出现金融挤兑的概率就变小了。换句话说就是，当由于宏观经济形势出现向坏的方向逆转时，公众对投资回报率向下调整（下降）将导致金融挤兑的概率变大。这种机制巧妙地将现有的“自我实现”说与“经济参数”说协调起来。按照这种机制，金融危机中的挤兑现象表面看来可能是一种“自我实现”现象，但实际上这种“自我实现”是由于足够强烈的宏观经济形势逆转对公众心理的冲击触发的。不存在无根据的“自我实现”，但金融挤兑中的确存在“自我实现”现象。本文给出的模型认为基本经济参数的变化通过触发“自我实现”机制而演变成金融挤兑。这样，通过模型将两种表面看来十分不同的理论加以了沟通，这正是本文建构的博弈模型的学术价值所在。
参考文献
Selten, R. (1965): spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfragetr -“ägheit”, Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft 121, 301-324及667-689.(115)
Kreps, D. M. And R. B. Wilson(1982), “Sequential Equilibria”, Econometrica 50, 863-894[252,254]
Morris H. DeGroot (1975a),: “Probability and Statistics, Addison— Wesley publishing Company, Inc. (Second Edition), 194
Morris H. DeGroot (1975b), “Probability and Statistics, Addison— Wesley, publishing Company, Inc. (Second Edition), 266,270.
Wilson, R. [1971], “Computing Equilibrium of N-Person Games”, SIAM Journal of Applied Mathematics.
张维迎（1996）. “博弈论与信息经济学”，上海人民出版社
作者简介：蒲勇健（1961- ），男，重庆渝中区人，重庆大学经济与工商管理学院副院长，教授， 博士生导师，主要从事博弈论与信息经济学、人力资源管理理论、数理金融学及经济增长的研究。
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* 蒲勇健，重庆大学经济与工商管理学院副院长兼金融系主任，教授，博士生导师。
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