第十一章 期权估价
第一节 期权的基本概念
一、期权的基本概念 （一）期权的定义 期权是一种合约，该合约赋予持有人在规定日（或在此之前）按固定的价格去购买或出售规定数量资产的权利（但不是义务） （二）期权的应用 金融期权、资本投资、财务决策、薪酬计划、有价证券等都含有期权特征。 （三）期权市场 有组织的证券交易所交易（期权合约统一）及场外交易（期权合约可量身定制） 期权的要点：在证券交易所交易的期权合约都是标准化的，特定品种的期权有统一的到期日、执行价格和期权价格。 （四）涉及的人员 购买人（持有人）：不一定真想买标的资产，没有经营管理权也不能获得股利 出售人（空头方）：不一定真的拥有标的资产 期权是可以卖空的，不一定要进行实物交割。 特权：只有权利，没有义务，但必须支付期权费，作为不承担义务的代价。 标的资产：股票、债券、货币、股指、期货等。期权是这些标的物衍生的。 到期日：期权到期的那一天称为到期日，到期日之后失效。 执行：即履约，约定的履约价格称为执行价格。 表11—1列示了芝加哥期权交易所的期权报价方法。 表11—1 期权报价（2005年5月20日） 单位：美元
公司名称：ABC
到期日和执行价格
看涨期权价格
看跌期权价格
前一个交易日收盘价
53
9月
55
60
65
70
1月
45
50
55
60
65
70
第一列：标的股票及前一日的收盘价 第二列：到期时间，某月的第三个星期六 第三列：执行价格 第四列：看涨期权的交易价格 第五列：看跌期权的交易价格 结论 （五）期权的基本分类 1.期权按执行时间可以分为欧式与美式期权两种 欧式期权只能在到期日行使。 美式期权可以在到期日或到期日之前的任何时候行使。 2.期权按合约授予持有人的权利可分为看涨期权与看跌期权两种 看涨期权赋予持有者一种权利（但不是义务），即在规定日（或在此之前）、按约定的价格去购买规定数量的资产。 当行使看涨期权时，你“买入”资产。--买入期权 看跌期权给予持有者一种权利（但不是义务），即在规定日（或在此之前）、按约定的价格去出售规定数量的资产。当行使看跌期权时，你“抛售”资产。--卖出期权
3.实值，溢（盈）价（In-the-Money）--可能被执行，但不一定 当标的资产的现行市价大于执行价格时（看涨期权）。 当标的资产的现行市价小于执行价格时（看跌期权）。 4.平价（At-the-Money）--不会被执行 当标的资产的现行市价等于执行价格时 5.虚值，折（损）价（Out-of-the-Money）--不会被执行 当标的资产的现行市价小于执行价格时（看涨期权）。 当标的资产的现行市价大于执行价格时（看跌期权）。 买入看涨期权—持有多头头寸 买入看跌期权—持有多头头寸
---多头方净损失有限，净收益潜力巨大 卖出看涨期权—持有空头头寸 卖出看跌期权—持有空头头寸 ---空头方成为或有负债的持有人（负债金额不确定），收取期权费（承担风险的代价），有义务让别人履约。 二、期权的计算 （一）期权的到期日价值 到期日价值：期权执行的净收入 多头看涨期权：Max[ST - E，0] 空头看涨期权：-Max[ST - E，0] 多头看跌期权： Max[E - ST，0] 空头看跌期权：-Max[E - ST，0] 多头期权净损益=多头期权到期日价值-期权成本 空头期权净损益=空头期权到期日价值+期权成本 多头看涨期权： 在到期日，美式看涨期权与具有相同特征的欧式期权价值相同。 如果看涨期权处于实值，其价值为 ST – E。 如果看涨期权处于虚值，该期权毫无价值。 CaT = CeT = Max[ST - E，0]
期权的到期价值与标的资产的市价同向变化，与执行价格反向变化，与到期时间同向变化（美式期权） 多头看涨期权到期日价值 空头看涨期权到期日价值 多空看涨期权净损益 看跌期权 多头看跌期权： 在到期日，美式看跌期权与具有相同特征的欧式期权有相同的价值。 如果看跌期权处于实值，其价值为 E - ST. 如果看跌期权处于虚值，其价值为0 PaT = PeT = Max[E - ST， 0]
期权的到期价值与标的资产的市价反向变化，与执行价格同向变化，与到期时间同向变化（美式期权） 多头看跌期权到期日价值 空头看跌期权到期日价值 多空看跌期权净损益 三、期权的投资策略 （一）保护性看跌期权 含义：购买一股股票，同时购买该股票的一份看跌期权（例见书） 注释：为股票购买了一份保险，股票可以按执行价格卖出，不管跌落多厉害。 特点：锁定了最低净收入和净损益，但是净损益的预期也因此降低了。 【例11—5】购入1股ABC公司的股票，购入价格 =100元；同时购入该股票的1股看跌期权，执行价格X=100元，期权成本P=5元，1年后到期。在不同股票市场价格下的净收入和损益，如表11—2和图11—5所示。 表11—2 保护性看跌期权的损益 单位：元
股价小于执行价格
股价大于执行价格
符号
下降20%
下降50%
符号
上升20%
上升50%
股票净收入
ST
80
50
ST
120
150
期权净收入
X- ST
20
50
0
0
0
组合净收入
X
100
100
ST
120
150
股票净损益
ST - S0
-20
-50
ST - S0
20
50
期权净损益
X- ST -P
15
45
0-P
-5
-5
组合净损益
X- S0-P
-5
-5
ST - S0-P
15
45
【答疑编号921110201】
保护性看跌期权锁定了最低净收入（100元）和最低净损益（-5元）。但是，同时净损益的预期也因此降低了。上述4种情景下，投资股票最好时能取得50元的净收益，而投资于组合最好时只能取得45元的净收益。 （二）抛补看涨期权 购买一股股票，同时出售一份该股票的看涨期权 注释：为出售看涨期权购买了一份保险，看涨期权可以随时履约，不管股价上升多厉害 特点：锁定了执行净收入（最多为执行价格），但净损失的预期也减少了。 【例11—6】依前例数据，购入1股ABC公司的股票，同时出售该股票的1股股票的看涨期权。在不同股票市场价格下的收入和损益，如表11—3和图11—6所示。
表11—3 抛补看涨期权的损益 单位：元
股价小于执行价格
股价大于执行价格
符号
下降20%
下降50%
符号
上升20%
上升50%
股票净收入
ST
80
50
ST
120
150
看涨期权净收入
-（0）
0
0
-（X- ST）
-20
-50
组合净收入
ST
80
50
X
100
100
股票净损益
ST - S0
-20
-50
ST - S0
20
50
期权净损益
P-0
5
5
-（ST -X）+P
-15
-45
组合净损益
ST - S0+P
-15
-45
X- S0+P
5
5
出售抛补的看涨期权是机构投资者常用的投资策略。如果基金管理人计划在未来以100元的价格出售股票，以便套现分红。他现在就可以抛补看涨期权，赚取期权费。如果股价上升，他虽然失去了100元以上部分的额外收入，但是仍可以按计划取得100元现金。如果股价下跌，还可以减少损失（相当于期权费收入），因此成为一个有吸引力的策略。 【答疑编号921110202】
抛补期权组合缩小了未来的不确定性。如果股价上升，锁定了收入和净收益，净收入最多是执行价格（100元），由于不需要补进股票也就锁定了净损益。相当于“出售”了超过执行价格部分的股票价值，换取了期权收入。如果股价下跌，净损失比单纯购买股票要小一些，减少的数额相当于期权价格。 （三）对敲 多头对敲：同时买进看涨期权和看跌期权，适用于股价剧烈变动，无论涨跌，均能得到同样的收益，股价偏离执行价格的差额必须高于期权成本，才能给投资者带来净收益，但在股价不变时，会损失两笔期权费。 【例11—7】依前例数据，同时购入ABC公司股票的1股看涨期权和1股看跌期权。在不同股票市场价格下，多头对敲组合的净收入和损益如表11—4和图11—7所示。 表11—3 多头对敲的损益 单位：元
对敲
股价小于执行价格
股价大于执行价格
符号
下降20%
下降50%
符号
上升20%
上升50%
看涨期权净收入
0
0
0
ST -X
20
50
+看跌期权净收入
（X- ST）
20
50
+0
0
0
组合净收入
（X- ST）
20
50
ST -X
20
50
看涨期权净损益
0-P
-5
-5
ST -X-P
15
45
看跌期权净损益
X- ST -C
15
45
0-C
-5
-5
组合净损益
X- ST -P-C
10
40
ST -X-P-C
10
40
【答疑编号921110203】
多头对敲的最坏结果是股价没有变动，白白损失了看涨期权和看跌期权的购买成本。股价偏离执行价格的差额必须超过期权购买成本，才能给投资者带来净收益。 空头对敲：同时出售看涨期权和看跌期权，股价不变时会得到两笔期权费收入，股价偏离执行价格的差额必须低于期权成本，也能给出售者带来净收益，但股价涨跌剧烈时，出售者均会发生亏损。
（四）期权组合 继续复制一个组合：购买看涨期权并购买无息债券，你会发现这个组合与购买保护性看跌期权的收益相同。两项策略的收益相同，意味着两项策略的成本也相同，否则投资者就会套利。 【例11—5】购入1股ABC公司的股票，购入价格 =100元；同时购入该股票的1股看跌期权，执行价格X=100元，期权成本P=5元，1年后到期。在不同股票市场价格下的净收入和损益，如表11—2和图11—5所示。 表11—2 保护性看跌期权的损益 单位：元
股价小于执行价格
股价大于执行价格
符号
下降20%
下降50%
符号
上升20%
上升50%
股票净收入
ST
80
50
ST
120
150
期权净收入
X- ST
20
50
0
0
0
组合净收入
X
100
100
ST
120
150
股票净损益
ST – S0
-20
-50
ST - S0
20
50
期权净损益
X- ST -P
15
45
0-P
-5
-5
组合净损益
X- S0-P
-5
-5
ST - S0-P
15
45
这样就带来如下的结果： 标的股票的价格+看跌期权价格=看涨期权价格+执行价的现值 或者：看涨期权价格-看跌期权价格=标的股票的价格-执行价的现值 即C-P=S-PV（X）
这就是著名的买卖权平价定理（关系），它是最基础的期权关系之一 在套利驱动的均衡状态下，看涨期权价格、看跌期权价格和股票价格之间存在一定的依存关系。对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立： 看涨期权价格C-看跌期权价格P=标的资产价格S-执行价格现值PV（X） 这种关系，被称为看涨期权—看跌期权平价定理（关系）。利用该定理，已知等式中的4个数据中的3个，就可以求出另外1个。 C=S+P-PV（X） P=-S+C+PV（X） S=C-P+PV（X） PV（X）=S-C+P 【例11—15】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为元，则看跌期权的价格为： P=-S+C+PV（X） =-35++30／（1+4%） =-35++ =3（元） 四、期权价值的影响因素 前面关心的是期权到期时的价值。（欧式期权） 现在关心的是期权到期前的价值。（美式期权） （一）期权价值（现值）的影响因素 期权价值是指期权的现值，不同于期权的到期日价值。影响期权价值的主要因素有股票市价、执行价格、到期期限、股价波动率、无风险利率和预期红利。 1.内在价值
期权的执行价格与标的资产的即期（非到期日）交易价格之间的差额。内在价值随时间变化而变化，如果现在已经到期，则内在价值与到期日价值相等。 内在价值也有实值与虚值之分，只有实值才有可能被执行，但不一定。 2.时间溢价 期权价值与内在价值之间的差额。是等待的价值，是波动的价值，离到期时间越远，时间溢价越大，在到期日，时间溢价为零。
离到期时间越远，股价波动的可能性越大，期权的时间溢价也就越大。如果已经到了到期时间，期权的价值（价格）就只剩下内在价值（时间溢价为零），因为已经不能再等待了。 1股看涨期权处于虚值状态，仍然可以按正的价格售出，尽管其内在价值为零，但它还有时间溢价。在未来的一段时间里，如果价格上涨进入实值状态，投资人可以获得净收入；如果价格进一步下跌，也不会造成更多的损失，选择权为他提供了下跌保护。 看涨期权的价值C0必然落在以下区域 max （S0–E, 0）（下限）< C0 < S0（上限）. 确切的位置将取决于下列这些因素 这些因素可以分为两组，第一组包含了期权合约的特征，第二组则涉及股票和市场的特征 其中因素3、4对两种期权的影响相同，其余四个因素则相反。 六个因素中股价的波动率是关键因素。
美式期权的价值图示及说明
第二节 期权价值评估的方法
折现现金流量法称为资产估价的标准方法，任何资产的价值都是其预期未来现金流量的现值。问题在于期权的必要报酬率非常不稳定。期权的风险依赖于标的资产的市场价格，而市场价格是随机变动的，期权投资的必要报酬率也处于不断变动之中。既然找不到一个适当的折现率，折现现金流量法也就无法使用。 一、期权估价原理 （一）复制原理与套期保值原理 1.基本思想：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。 2.计算步骤： （1）确定可能的到期日股价 Su＝S0×u Sd＝S0×d u称为股价上行乘数；d为股价下行乘数。 【例11—9】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。拟建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。 【答疑编号921110401】
（2）确定到期日的期权价值 Cu＝Su－X Cd＝0
（3）计算套期保值率H＝（Cu－Cd）/（Su－Sd）
表11—7 投资组合的收入 单位：元
股票到期日价格
组合中股票到期日收入
×＝
×＝
－组合中借款本利和偿还
×≈
到期日收入合计
0
（4）计算投资组合的成本（期权价值） 购买股票的支出＝H×S0 借款数额＝H×Sd/（1＋r） 期权价值＝投资组合成本＝购买股票的支出－借款数额 我们再回顾例11—9的解题过程： 1.确定可能的到期日股票价格 上行股Su＝股票现价S0×上行乘数u＝50×≈（元） 下行股价Sd＝股票现价S0×下行乘数d＝50×＝（元） 2.根据执行价格计算确定到期日期权价值 股价上行时期权到期日价值Cu＝上行股价－执行价格＝－＝（元） 股价下行时期权到期日价值Cd＝0 3.计算套期保值比率 套期保值比率H＝期权价值变化÷股价变化＝（－0）÷（－）＝ 4.计算投资组合的成本（期权价值） 购买股票支出＝套期保值比率×股票现价＝×50＝25（元） 借款＝（到期日下行股价×套期保值比率）÷（1＋r）＝（×）÷≈（元） 期权价值＝投资组合成本＝购买股票支出－借款＝25－＝（元） （二）风险中性原理 1.基本思想：假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。 2.计算步骤 （1）确定可能的到期日股价 Su＝S0×u Sd＝S0×d （2）确定到期日的期权价值 Cu＝Su－X Cd＝0 （3）根据期望报酬率（无风险的报酬率）推算上行概率及下行概率 假设不发放股利， 期望报酬率＝上行概率×股价上升百分比＋下行概率×（－股价下降百分比） 续【例11—9】数据： 【答疑编号921110402】 期望回报率＝2%＝上行概率×%＋下行概率×（－25%） 2%＝上行概率×%＋（1－上行概率）×（－25%） 上行概率＝ 下行概率＝1－＝ 期权6个月后的期望价值＝×＋×0≈（元） 期权的现值＝ 期权定价以套利理论为基础。如果期权的价格高于元，就会有人购入股股票，卖出1股看涨期权，同时借人元，肯定可以盈利。如果期权价格低于元，就会有人卖空股股票，买入1股看涨期权，同时借出元，他也肯定盈利。因此，只要期权定价不是元，市场上就会出现一台“造钱机器”。套利活动会促使期权只能定价为元。
（4）计算期权价值 期权价值＝（上行概率×Cu＋下行概率×Cd）/（1＋r）
二、二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型在以下假设基础上： （1）市场投资没有交易成本； （2）投资者都是价格的接受者； （3）允许完全使用卖空所得款项； （4）允许以无风险利率借入或贷出款项； （5）未来股票的价格将是两种可能值中的一个。 （一）单期二叉树 二叉树模型的推导始于建立一个投资组合： （1）一定数量的股票多头头寸； （2）该股票的看涨期权的空头头寸。股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的波动风险，即组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。 C0＝上行概率×Cu/（1＋r）＋下行概率×Cd/（1＋r） 其中上行概率＝（1＋r－d）/（u－d） 下行概率＝1－上行概率 推导过程如下：
初始投资＝股票投资－期权收入＝HS0－C0 投资到期日终值＝（HS0－C0）×（1＋r） 由于无论价格上升还是下降，该投资组合的收入（价值）都一样。我们采用价格上升后的收入：股票出售收入减去期权买方执行期权的支出： 投资组合到期日价值＝uHS0－Cu 令：到期日投资终值等于投资组合到期日价值： （1＋r）（HS0－C0）＝uHS0－Cu 化简： 我们利用【例11—9】的数据回顾一下公式的推导思路：最初，投资于股股票，需要投资25元；收取元的期权价格，尚需借入元资金。半年后如果股价涨到元，投资人股票收入元；借款本息为×＝（元），看涨期权持有人会执行期权，期权出售人补足价差元（－），投资人的净损益为零。半年后如果股价跌到元，投资人股股票收入元；支付借款本息元，看涨期权持有人不会执行期权，期权出售人没有损失，投资人的净损益为零。因此，该看涨期权的公平价值就是元。 单期的定价模型假设本来股价只有两个可能，对于时间很短的期权来说是可以接受的。如【例11—9】的半年时间，就与事实相去甚远。改善的办法是把到期时间分割成两部分，每期3个月，这样就可以增加股价的选择。还可以进一步分割，如果每天为一期，情况就好多了。如果每个期间无限小，股价就成了连续分布，布莱克—斯科尔斯模型就诞生了。 二叉树方法是一种近似的方法。不同的期数划分，可以得到不同的近似值。期数越多，计算结果与布莱克—斯科尔斯定价模型的计算结果的差额越小。 （二）两期二叉树 由单期模型向两期模型的扩展不过是单期模型的两次应用。 图11—12 图11—13
（1）计算Cu及 Cd Cu=上行概率*Cuu/（1+r）+下行概率*Cud/（1+r） Cd=上行概率*Cud/（1+r）+下行概率*Cdd/（1+r） （2）再根据单期模型计算C0 C0=上行概率*Cu/（1+r）+下行概率*Cd/（1+r） 【例11—10】继续采用【例11—9】数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为元，每期股价有两种可能：上升百分比%或下降百分比%；无风险利率为每3个月1%。 为了直观地显示有关数量的关系，仍然使用二叉树图示。二期二叉树的一般形式如图11—12所示。将【例11—10】数据填入后如图11—13所示。 我们解决问题的办法是：先利用单期定价模型，根据Cuu和Cud计算节点Cu的价值，利用Cud和Cdd计算Cd的价值；然后，再次利用单期定价模型，根据Cu和Cd计算C0的价值。从后向前推进。 计算Cu的价值，我们现在已经有两种办法： （1）复制组合定价： H=（-0）÷（-50）= 借款=（50×）÷=÷≈（元） 组合收入的计算如表11—9所示。 表 11—9 投资组合的收入 单位：元
股票价格
6个月后股价=
6个月后股价=50
组合中股票到期日收入
×=
50×=
组合中借款本利和偿还
组合的收入合计
0
3个月后股票上行的价格是元。 Cu=投资成本=购买股票支出-借款=×=（元） 由于Cud和Cdd的值均为零，所以Cd的值也为零。 （2）风险中性定价： 期望回报率=1%=上行概率×%+下行概率×（%） 1%=上行概率×%+（1-上行概率）×（%） 上行概率= 期权价值6个月后的期望值=×+（）×0=（元） Cu=／=（元） 下面根据Cu和Cd计算C0的价值： （1）复制组合定价： H=期权价值变化／股价变化=（-0）／（）=／= 借款=（×）／= 组合收入的计算如表11—10所示。 表11—10 投资组合的收入 单位：元
股票价格
3个月后股价=
3个月后股价=
组合中股票到期日收入
×=
×=
组合中借款本利和偿还
×=
收入合计
0
C0=投资成本=购买股票支出-借款=50×=（元） （2）风险中性定价： C0=×／=（元） 两期二叉树模型的公式推导过程如下： 设： Cuu=标的资产两个时期都上升的期权价值 Cd=标的资产两个时期都下降的期权价值 Cud=标的资产一个时期上升，另一个时期下降的期权价值 其他参数使用的字母与单期定价模型相同。 利用单期定价模型，计算Cu和Cd： 计算出Cu和Cd后，再根据单期定价模型计算出C0。 根据公式计算【例11—9】的期权价值：
（三）多期二叉树（六期） 从原理上看，与两期二叉树模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次，期数增加以后要解决股价上升与下降的百分比问题 d=1/u 式中：e——自然常数，约等于； σ——标的资产连续复利收益率的标准差 t——以年表示的时段长度
（1）确定第6期的各种价格下的期权价值： Cu6＝Su6－X＝－＝（元） Cdu5＝Su5－X＝－＝（元） Cd2u4＝ Sd2u4－X ＝－＝（元） 以下4项的股票价格均低于或等于执行价格，所以期权价值为零。 （2）确定第5期的期权价值： 上行百分比＝u－1＝－1＝% 下行百分比＝1－d＝1－＝% 4%／12＝上行概率×%＋（1－上行概率）×（－%） 上行概率＝ 下行概率＝1－＝ Cu5＝上行期权价值×上行概率+下行期权价值×下行概率÷（1＋r） ＝（×+×）÷（1+4%÷12） ＝（元） Cu4d＝（×＋×）÷（1＋4%÷12）＝（元） Cu3d2＝（×＋0×）÷（1＋4%÷12）＝（元） 以下各项，因为第6期上行和下行的期权价值均为零，第5期价值也为零。 第4、3、2和1期的期权价值以此类推。 （3）确定期权的现值： 期权现值＝（×＋×）÷（1＋4%÷12）＝（元） 三、Black-Scholes 模型 布莱克—斯科尔斯模型的假设： 1.在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配； 2.股票或期权的买卖没有交易成本； 3.短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变； 4.任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金； 5.允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金； 6.看涨期权只能在到期日执行； 7.所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。 （一）不考虑股利发放的Black-Scholes 模型的三个公式为 N（d） =标准正态分布的概率，随机变量将小于或等于 d。 C0——看涨期权的当前价值 S0——标的股票的当前价格 N（d）——标准正态分布中离差小于d的概率 X——期权的执行价格 e——约等于 rc——无风险利率 t=期权到期日前的时间（年） ln（S0/X）——S0/X的自然对数 σ2——股票回报率的方差
（二）发放股利的Black-Scholes 模型为 N（d） ＝标准正态分布的概率 ，随机变量将小于或等于d。 （三）主要参数估计 1.无风险利率及股票收益率的标准差
【例11—13】假设t=年，F=105元，P=100元，则： 【答疑编号921110601】 布莱克—斯科尔斯期权估价模型要求无风险利率和股票收益率使用连续复利。在使用计算机运算时通常没有什么困难，但是手工计算则比较麻烦。为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值。使用年复利时，也有两种选择（1）按实际复利率折算。例如，年复利率为4%，则等价的半年复利率应当是 -1=%。（2）按名义利率折算。例如，年复利率为4%，则半年复利率为4%÷2=2%。
2.方差与标准差 股票收益率的标准差可以使用历史收益率来估计。 其中：Rt——收益率的连续复利值。 计算连续复利标准差的公式与年复利相同，但是连续复利的收益率公式与年复利不同： 年复利的股票收益率： 连续复利的股票收益率： 其中：Rt——股票在t时期的收益率； Pt——t期的价格；Pt-1是t-1期的价格； Dt——是t期的股利。
【例11—14】ABC公司过去11年的股价如表11—12第2列所示，假设各年均没有发放股利，据此计算的连续复利收益率和年复利收益率如第3列和第4列所示。 【答疑编号921110602】 表11—12 连续复利与年复利的标准差
年份
股价（元）
连续复利收益率（%）
年复利收益率（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
平均值
标准差
（四）适用范围：欧式看涨期权 （五）其他应用 欧式看跌期权：利用 P=-S+C+PV（X）推算 （六）美式期权：美式期权的价值大于或至少等于欧式期权的价值 （七）不派发股利的美式看涨期权可直接使用模型 （八）派发股利的美式看跌期权不适合用模型，但有参考意义。
第三节 实物期权
1.实物期权的定义： 实物资产投资于金融资产投资不同。大多数投资人一旦购买了证券，只能被动地等待而无法影响它所产生的现金流入，因此可以称之为“被动性投资资产”。投资于实物资产则情况不同，投资人可以通过管理行动影响它所产生的现金流，因此可以称为“主动性投资资产”。投资于实物资产，经常可以增加投资人的选择权，这种未来可以采取某种行动的权利而非义务是有价值的，它们被称为实物期权。 2.实物期权的种类：扩张期权、时机选择期权、放弃期权 实物期权隐含在投资项目中，一个重要的问题是将其识别出来。并不是所有项目都含有值得重视的期权，有的项目期权价值很小，有的项目期权价值很大。这要看项目不确定性的大小，不确定性越大则期权价值越大。 一、扩张期权 （一）期权形式 1.采矿公司投资于采矿权以获得开发或者不开发的选择权，尽管目前它还不值得开采，但是产品价格升高后它却可以大量盈利； 2.房屋开发商要投资于土地，经常是建立土地的储备，以后根据市场状况决定新项目的规模； 3.医药公司要控制药品专利，不一定马上投产，而是根据市场需求推出新药； 4.制造业小规模推出新产品，抢先占领市场以后视市场的反应再决定扩充规模。 如果他们今天不投资，就会失去未来扩张的选择权。 （二）分析模型：利用Black-Scholes模型确定 （三）实例 【例11—16】A公司是一个颇具实力的计算机硬件制造商。20世纪末公司管理层估计微型移动存储设备可能有巨大发展，计划引进新型优盘的生产技术。 考虑到市场的成长需要一定时间，该项目分两期进行。第一期2001年投产，生产能力为100万只，第二期2004年投产，生产能力为200万只。但是，计算结果没有达到公司20%的既定最低报酬率，其净现值分别为万元（如表11—14所示）和万元（如表11—15所示）。 表11—14 优盘项目第一期计划 单位：万元
时间（年末）
2000
2001
2002
2003
2004
2005
税后经营现金流量
200
300
400
400
400
折现率（20%）
各年经营现金流量现值
经营现金流量现值合计
投资
1 000
净现值
表11—15 优盘项目笫二期计划 单位：万元
时间（年末）
2000
2003
2004
2005
2006
2007
2008
税后经营现金流量
800
800
800
800
800
折现率（20%）
各年经营现金流量现值
经营现金流量现值合计
1
2
投资（10%）
1
2
净现值
这要两个方案采用传统的折现现金流量法，即没有考虑期权。实际上，可以在第一期项目投产后，根据市场发展的状况再决定是否上马第二期的项备。 计算实物期权价值的有关数据如下： 1.假设第二期项目的决策必须在2003年底决定，即这是一项到期时间为3年的期权。 2.第二期项目的投资额为2 000万元（2003年底的数额），为第一期项目的2倍，如果折算（以10%作为折现率）到2000年为1 万元①。它是期权的执行价格。 3.预计未来经营现金流量的现值2 万元（2003年底数额），折算到2000年底为1 万元②。这是期权标的资产的当前价格。 4.如果经营现金流量超过投资，就选择执行（实施第二期项目计划）；如果投资超过现金流量流入，就选择放弃。因此，这是一个看涨期权问题。 5.计算机行业风险很大，未来现金流量不确定，可比公司的股票价格标准差为35%，可以作为项目现金流量的标准差。 6.无风险的报酬率为10%。 【答疑编号921110603】 采用布莱克—斯科尔斯期权定价模型，计算结果如下： 这里有三个问题需要说明： 1.第一期项目不考虑期权的价值是万元，它可以视为取得第二期开发选择权的成本。投资第一期项目使得公司有了是否开发第二期项目的扩张期权，该扩张期权的价值是万元。考虑期权的第一期项目净现值为万元（）。因此投资第一期项日是有利的。 2.因为项目的风险很大，计算净现值时经营现金流量使用20%作为折现率。第二期投资2 000万元折现到零时点，使用10%作折现率，是因为它是确定的现金流量，在2001～2003年中并未投入风险项目。 3.根据d求N（d）的数值时，可以查本书附表六“正态分布下的累积概率[N（d）]”。由于表格的数据是不连续的，有时需要使用插补法计算更准确的数值。当d为负值时，如【例11—16】的d2=，按其绝对值查表，对应的N=，对应的N=，使用插补法得出（）×+=，N==。 （四）注意问题 二、时机选择期权 （一）期权形式 如果一个项目在时间上不能延迟，只能立即投资或者永远放弃，那么它就是马上到期的看涨期权。项目的投资成本是期权执行价格，项目的未来现金流量的现值是期权标的资产的现行价格。如果该现值大于投资成本，看涨期权的收益就是项目的净现值。如果该现值小于投资成本，看涨期权不被执行，公司放弃该项投资。 如果一个项目在时间上可以延迟，那么它就是未到期的看涨期权。项目具有正的净现值，并不意味着立即开始（执行）总是最佳的，也许等一等更好。对于前景不明朗的项目，大多值得观望，看一看未来是更好，还是更差。 （二）分析模型：二叉树模型 （三）实例及主要步骤： 【例11—17】DEF公司投产一个新产品，预计投资需要1 000万元，每年现金流量为105万元（税后、可持续），项目的资本成本为10%（无风险利率为5%，风险补偿率为5%）。 净现值=105÷10%-1000=50（万元） 每年的现金流量105万元是平均的预期，并不确定。如果新产品受顾客欢迎，预计现金流量为万元；如果不受欢迎，预计现金流量为84万元。由于未来现金流量有不确定性，应当考虑期权的影响。 【答疑编号921110604】 利用二叉树方法进行分析的主要步骤如下： 1.构造现金流量和项目价值二叉树 项目价值=永续现金流量÷折现率 上行项目价值=÷10%=（万元） 下行项目价值=84÷10%=840（万元）
2.期权价值二叉树 （1）确定1年末期权价值： 现金流量上行时期权价值=项目价值-执行价格=-1000=（万元） 现金流量下行时项目价值为840万元，低于投资额1000万元，应当放弃，期权价值为零。
（2）根据风险中性原理计算上行概率： 报酬率=（本年现金流量+期末价值）÷年初投资-1 上行报酬率=（+）÷1000-1=% 下行报酬率=（84+840）÷1000-1=% 无风险利率=5%=上行概率×%+（1-上行概率）×（%） 上行概率=
（3）计算期权价值： 期权到期日价值=×+（）×0=（万元） 期权现值=÷≈（万元） 以上计算结果，用二叉树表示如表11—16所示。 表11—16 投资成本为1000万元的期权价值 单位：万元
时间
0
1
现金流量二叉树
105
84
项目价值二叉树
1 050
1
840
期权价值二叉树
0
（4）判断是否应延迟投资：如果立即进行该项目，可以得到净现值50万元，相当于立即执行期权。如果等待，期权的价值为万元，大于立即执行的收益（50万元），因此应当等待。 也可以这样理解：等待将失去50万元，但却持有了价值为万元的选择权，因此等待是明智的。 等待不一定总是有利。如果本项目的投资成本为950万元，情况就会发生变化。期权的价值为万元（如表11—17所示），而立即执行的价值为100万元，这种情况下就应立即进行该项目，无须等待。 期权价值=（×+0×）÷=（万元） 表11—17 投资成本为950万元的期权价值 单位：万元
时间
0
1
备注
现金流量二叉树
105
84
项目价值二叉树
1 050
1
840
净现值二叉树
100
-110
投资报酬率
%
=（+1 ）÷950-1
%
=（84+840）÷950-1
无风险利率
5%
上行概率
=（5%+%）÷（%+%）
下行概率
=1-上行概率
期权价值二叉树
0
三、放弃期权 （一）期权形式 在评估项目时，我们通常选定一个项目的寿命周期，并假设项目会进行到寿命周期结束。这种假设不一定符合实际。如果项目执行一段时间后，实际产生的现金流量远低于预期，投资人就会考虑提前放弃该项目，而不会坚持到底。 一个项目，只要继续经营价值大于资产的清算价值，它就会继续下去。反之，如果清算价值大于继续经营价值，就应当终止。这里的清算价值，不仅指残值的变现收入，也包括有关资产的重组和价值的重新发掘。 在评估项目时，就应当事先考虑中间放弃的可能性和它的价值。这样，可以获得项目更全面的信息，减少决策错误。放弃期权是一项看跌期权，其标的资产价值是项目的继续经营价值，而执行价格是项目的清算价值。 （二）分析模型：二叉树模型 （三）实例及主要步骤 【例11—18】GHI公司拟开发一个玉石矿，预计需要投资1 200万元；矿山的产量每年约29吨，并可以较长时间维持不变；该种玉石的价格目前为每吨10万元，预计每年上涨11%，但是很不稳定，其标准差为35%，因此销售收入应当采用含有风险的必要报酬率10%作折现率。 营业的固定成本每年100万元。为简便起见，忽略其他成本和税收问题。由于固定成本比较稳定，可以使用无风险报酬率5%作折现率。 1～5年后矿山的残值分别为530万元、500万元、400万元、300万元和200万元。 放弃期权的分析程序如下： 1.计算项目的净现值 实物期权分析的第一步是计算标的资产的价值，也就是未考虑期权的项目价值。用折现现金流量法计算的净现值为-19万元（如表11—18所示） 表11—18 项目的净现值 单位：万元
时间（年末）
0
1
2
3
4
5
收入增长率
11%
11%
11%
11%
11%
预期收入
322
357
397
440
489
含风险的折现率（10%）
各年收入现值
收入现值合计
1 490
残值
200
残值的现值（i=10%）
124
固定成本支出
-100
-100
-100
-100
-100
无风险的折现率（5%）
各年固定成本现值
-95
-91
-86
-82
-78
固定成本现值合计
-433
投资
-1 200
净现值
-19
如果不考虑期权，这时项目净现值为负值，是个不可取的项目。 2.构造二叉树 （1）确定上行乘数和下行乘数。由于玉石价格的标准差为35%，所以： （4）确定上行概率和下行概率： 期望收益率=上行百分比×上行概率+下行百分比×（1-上行概率） 5%=（-1）×上行概率+（）×（1-上行概率） 上行概率= 下行概率=1-上行概率==
（2）构造销售收入二叉树。按照计划产量和当前价格计算，销售收入为： 销售收入=29×10=290（万元）。 不过，目前还没有开发，明年才可能有销售收入： 第1年的上行收入=290×=（万元） 第1年的下行收入=290×=（万元） 以下各年的二叉树以此类推，如表11—19所示。
（3）构造营业现金流量二叉树。由于固定成本为每年100万元，销售收入二叉树各节点减去100万元，可以得出营业现金流量二叉树。 （5）确定未调整的项目价值。首先，确定第5年各节点未经调整的项目价值。由于项目在5年末终止，无论哪一条路径，最终的清算价值均为200万元。然后，确定第4年末的项目价值，顺序为先上后下。最上边的节点价值取决于第5年的上行现金流量和下行现金流量。它们又都包括第5年的营业现金流和第5年末的残值。 第4年末项目价值 其他各节点以此类推。
（6）确定调整的项目价值。各个路径第5年的期末价值，均为200万元，不必调整，填入“调整后项目价值”二叉树相应节点。 第4年各节点由上而下进行，检查项目价值是否低于同期清算价值（300万元）。该年第4个节点，数额为万元，低于清算价值300万元，清算比继续经营更有利，因此该项目应放弃，将清算价值填入“调整后项目价值”二叉树相应节点。此时相应的销售收入为万元。需要调整的还有第4年最下边的节点万元，用清算价值300万元取代；第3年最下方的节点万元，用清算价值400万元取代；第2年最下方节点万元，用清算价值500万元取代。 完成以上4个节点的调整后，重新计算各节点的项目价值。计算的顺序仍然是从后向前，从上到下，依次进行，并将结果填人相应的位置。最后，得出0时点的项目现值为1 221万元。 表11—19 放弃期权的二叉树 单位：万元
时间（年末）
0
1
2
3
4
5
销售收入
1
1
营业现金流量 =收入-固定成本
1
1
期望收益（r）
5%
上行百分比（u-1）
%
下行百分比（d-1）
%
上行概率
下行概率
未修正项目价值=[p×（后期上行营业现金+后期期末价值）+下行概率×（后期营业现金+后期期末价值）×（1-p）]／（1+r），从后向前倒推
1
1
1
1
1
固定资产余值（清算价值）
530
500
400
300
修正项目现值（清算价值大于经营价值时，用清算价值取代经营价值，并重新从后向前倒推）
1 221
1
1
1
1
3.确定最佳放弃策略 由于项目考虑期权的现值为1 221万元，投资为1 200万元，所以： 调整后NPV=1 221-1 200=21（万元） 未调整NPV=-19（万元） 期权的价值=调整后NPV-未调整NPV=21-（-19）=40（万元） 因此，公司应当进行该项目。但是，如果价格下行使得销售收入低于万元时（即清算价值大于继续经营价值）应放弃该项目，进行清算。 那么，公司是否应当立即投资该项目呢？不一定。还需进行时间选择期权的分析才知道。 【2008年考题】D股票当前市价为元/股，市场上有以该股票为标的资产的期权交易，有关资料如下： （1）D股票的到期时间为半年的看涨期权和看跌期权的执行价格均为元； （2）D股票半年后市价的预测情况如下表：
股价变动幅度
－40%
－20%
20%
40%
概率
（3）根据D股票历史数据测算的连续复利收益率的标准差为； （4）无风险年利率4%； （5）1元的连续复利终值如下：
要求： （1）若年收益的标准差不变，利用两期二叉树模型计算股价上行乘数与下行乘数，并确定以该股票为标的资产的看涨期权的价格； 【答案】 （1） d＝1/＝ 看涨期权价格 单位：元
期 数
0
1
2
时间（年）
0
股票价格
买入期权价格
0
0
0
表中数据计算过程如下： ×＝；×＝；×＝；×＝ 4%/4＝上行概率×（－1）＋（1－上行概率）×（－1） 解得：上行概率＝；下行概率＝1－＝ Cu＝（×＋0×）/（1＋4%/4）＝（元） C0＝（×＋0×）/（1＋4%/4）＝（元）
（2）利用看涨期权－看跌期权平价定理确定看跌期权价格； 【答案】看跌期权价格P＝－标的资产价格S＋看涨期权价格C＋执行价格现值PV（X） ＝－＋＋ ＝（元） 或：看跌期权价格P＝－标的资产价格S＋看涨期权价格C＋执行价格现值PV（X） ＝－＋＋ ＝（元）
（3）投资者甲以当前市价购入1股D股票，同时购入D股票的1份看跌期权，判断甲采取的是哪种投资策略，并计算该投资组合的预期收益。 【答案】甲采取的是保护性看跌期权投资策略 保护性看跌期权的损益 单位：元
股价变动幅度
－40%
－20%
20%
40%
概率
股票净收入ST ×（1＋股价变动幅度）
期权净收入 Max[（－ST），0]
0
0
组合净收入
股票买价
股票净损益 （股票净收入－股票买价）
－
－
期权买价
期权净损益 （期权净收入－期权买价）
－
－
组合净损益 （股票净损益＋期权净损益）
－
－
投资组合的预期收益＝－×＋（－）×＋×＋×＝（元）
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