第二章 随机变量及其函数的概率分布
§ 随机变量与分布函数
§ 离散型随机变量及其概率分布
填空题
1. 某射手每次命中目标的概率为，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为的概率 ；
2. 设随机变量服从泊松分布，且，则 ；
3. 设服从参数为的两点分布，则的分布函数为 ；
4. 已知随机变量的概率分布：P(=1)=, P(=2)=, P(=3)=, 则其分布函数=；
5. 设随机变量的分布函数为, 则的概率分布为
。
二、选择题
设离散型随机变量的分布律为为（B）
(A) λ>0的任意实数; (B) (C) λ=+1; (D) .
三、 计算下列各题
1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令表示取出5个球的最大号码，试求的分布列。
解 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且
所以的分布列为
5 6 7 8 9 10
2. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布列。
解 的取值为1，2，3，… 且 .
此即为的分布列。
3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布列及分布函数。
解 的分布列为
1 2 3
由分布函数的计算公式得的分布函数为
4. 设随机变量的分布律为。
求
解
5. （1）设随机变量的分布律为为常数，试确定。（2）设随机变量只取正整数值，且与成反比，求的分布律。
解 （1）因为 及，所以
（2）令类似上题可得 。
所以的分布律为
6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求的概率分布
解 =0, 1, 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯.”，=1，2，3.
=, =
EMBED ，=
0
1
2
3
1/2
1/4
1/8
1/8
为所求概率分布
7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数的概率分布律.
四、证明题
试证明：
§ 连续型随机变量及其概率密度函数
填空题
已知连续型随机变量的分布函数为，则 1 ，
， ， ；
2. 设随机变量的概率密度函数, 则 ,
=； ；
3. 设服从参数为的指数分布，则的概率密度为 ；
4. 设随机变量的概率密度为
，若使得, 则的取值范围是；
5. 若随机变量在(1,6)上均匀分布,则方程有实根的概率为 ；
6. 若随机变量~,且P(2<<4)=, 则P(<0)= ；
7. 设随机变量X服从泊松分布, 已知 P(X=1) = P(X=2), 则概率P(X=4)=；
8. 设随机变量~ (2, p), ~ (3, p), 若, 则= 19/27 。
选择题
1. 设函数 ,问区间才可能是某个随机变量的概率密度函数? （A）
2. 如下四个函数哪个不能成为随机变量X的分布函数 （B）
3. 设随机变量~则随的增大,概率 （C）
(A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不变.
4. 设随机变量的密度函数为的分布函数,则对任意实数有（B）
5. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且
，则必有（A）
（A） （B） （C） （D）
三、计算下列各题
1. 设连续型随机变量的密度函数为；求的分布函数。
解 ，
2. 设随机变量的分布函数为；求的密度函数。
解
3. 设连续型随机变量的密度函数为；
求常数，使； （2）求常数，使。
解 （1）因为 ，所以故
。
因为
4. 在半径为，球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。
解 当时，设，则点落到以为球心，为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此
，所以，的分布函数为
的密度函数为
5. 设随机变量的分布函数为,–∞<<+∞,试求 (1) 系数与, (2) P (–1<<1), (3) 的概率密度函数.
解
6. 设随机变量的概率密度为, 以Y表示对进行三次独立观察中{≤}出现的次数,求概率P(=2).
解 p = P (≤)=, 由已知 ~(3, )
所以
7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从，问
要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？
要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？
解 （1）因为 所以走第二条。 （2）类似的走第一条。
§ 随机变量函数的分布
填空题
1. 设 则服从的分布为 ；
2. 设 则服从的分布为 ；
3. 设，则的概率密度函数是 ；
4. 设随机变量服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量在(0,4)内的概率密度为 。
选择题
1. 设随机变量的分布函数为（A）
2. 已知随机变量X的密度函数为的密度函数为 （C）
3. 设随机变量X的密度函数是（B）
（A） （B）
（C） （D）
三、计算下列各题
设随机变量的分布律如下，求的分布律。
-2
-1
0
1
2
解
1
2
5
2. 设随机变量在上服从均匀分布，求的密度函数。
解 的密度函数为
设，则有 。
所以 ，因此当及时，由知；
当时，由知，所以所求密度函数为
类似的可得：
3. 设，求的密度函数。
解 （1）的密度函数为 ，的分布函数为
所以的密度函数为
（2）的分布函数为
所以的密度函数为
4. 设随机变量的概率密度为；求的概率密度。
解
所以
5. 若球的直径D的测量值在上均匀分布，求球的体积V的概率密度。
6. 将长度为2的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的概率。
四、证明题
1. 设
证
2. 设随机变量X服从参数为的指数分布, 证明在区间(0,1)服从均匀分布。
证 X服从参数为的指数分布,则概率密度为
, 函数y单调可导,其反函数为
由公式
所以 在区间(0,1)服从均匀分布。
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