第四章 持续期与凸性
第一节 持续期
第二节 凸性
第三节 持续期与凸性的应用
第一节 持续期
利率与债券价格的关系
基点价值（Price Value of a Basis Point）
价格波动的收益率价值（Yield Value of a Price Change）
金额持续期
Macaulay 持续期
修正持续期
有效持续期
关键利率持续期
组合持续期
利率与债券价格的关系
基点价值
（Price Value of a Basis Point）
定义：基点价值是要求的到期收益率变动一个基点所对应的债券价格的变化额。
例4-1：期限5年，票面利率9%（半年支付），价格为100。求该债券的基点价值。
基点价值
（Price Value of a Basis Point）
目前的到期收益率为9%。到期收益率增加1个基点，为% ,债券新的价格
基点价值 = $100 - $ = $
价格波动的收益率价值
（Yield Value of a Price Change）
定义：价格波动的收益率价值，是指债券价格发生一定金额变化（通常是1/32 of $1）所对应的到期收益率变化的幅度。
例4-2：期限5年，票面利率9%（半年支付）， 收益率为9% (.)，对应价格为$100。
价格波动的收益率价值 = 9% - % = %,
影响价格-利率敏感性的主要因素
偿还期
票面利率
利率水平
例4-3： 4个债券，每个债券的到期收益率为9% ()，半年支付。价格分别为$100、$100、$、 $。
例4-3
new yld BP change 9% 5yr 9% 20yr 5% 5yr 5% 20yr
6 -300
8 -100
-10
1
50
10 100
12 300 -11
例 4-3
持续期
持续期包含了关于债券到期收益率、票面利率和到期时间的信息。
持续期是债券或者是债券组合在一个时点上的特征，持续期与时俱进。
持续期是大多数避险策略中的重要内容。
金额持续期
金额持续期
如果到期收益曲线是水平的，并且平行移动
金额持续期
定义：金额持续期是市场利率变化1个百分点（100个基点）导致债券价格变化的金额。
经济含义
金额持续期
例4-4: 20年债券, 面值100, 票面利率10%, 1年支付.
term yield% discount fct PV t(PV)
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
total
金额持续期
Macaulay(比率) 持续期
Macaulay 持续期
经济含义(倍数而不是期限)
例 4-5
period cash flow PV$1@% PV t(PV)
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
6 3
7 3
8 3
9 3
10 103
Price
金额持续期=, meaning?
Macaulay 持续期 = (半年) = years? 含义 倍
修正持续期
含义?
有效持续期
例4-6： 票面利率为9%，期限 20 的非含权债券，价格 ，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降 20 个基点，债券价格将分别为 和，因此
有效持续期
有效持续期存在的意义
有些证券的现金流量是不确定 (例如MBS)，而持续期的定义是债券价格相对于市场利率的敏感性。由于现金流量不确定，因此无法使用标准的持续期公式。
债券持续期的特征
分析的都是无权债券
附息债券的持续期小于期限本身
票面利率越高，持续期越短
零息债券的持续期等于期限本身（比率,Macaulay）
市场收益率上升，持续期下降
利用持续期估计债券价格变化
例 4-7： 20 年， 5%票面利率(半年支付），到期收益率9% (.)， P=，D = 年, DM = =
如果到期收益率从9%增加到%，预测价格会这样变化
(.0010) = %
实际价格变化%
如果到期收益率从9%增加到11%，预测价格会这样变化
(.020) = %
实际价格变化 %
一般性结论
在市场利率变化较小时，持续期可以相对准确地估计债券价格的变化。
持续期的图形解释
传统持续期指标的缺陷
假定水平的到期收益曲线并且平行移动
到期收益曲线变化的种类
水平移动
85% 的国债收益曲线变动
收益曲线变陡
5%的国债收益曲线变动
蝴蝶状变化
3-4%的国债收益曲线变动
债券被认为是非含权的
关于持续期的一般方法
持续期的一般方法是指考虑到多种因素发生变化后，债券价格变化的总量。用线性数学模型表示为:
关键利率持续期
(1992 by Thomas Ho)
利率持续期（rate duration)：即期利率的一定幅度变化导致债券价格变化的金额。
对应即期利率曲线上的每一点都存在一个即期利率持续期
如果全部即期利率都变化相同的基点，那么债券价格变化的总金额就是持续期。
关键利率持续期：关键即期利率的一定幅度的变化所产生的债券价格的变化。
11 个关键利率： 3 个月, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30 年。其他利率持续期可以用线性估计。
例 4-8
有三个关键利率 2年、 16年、 30年。关键利率持续期 就是零息债券的持续期，零息债券的期限就是关键利率的期限。有两个组合
组合 2年债券 16年债券 30年债券
A 50 0 50
B 0 100 0
D2 = 2
D16 = 16
D30 = 30
例 4-8
组合A的关键利率持续期
D2 = (50/100)*2=1
D16 = 0
D30 = (50/100)*30=15
Deffective=16
组合B的关键利率持续期
D2 = 0
D16 = (100/100)*16=16
D30 = 0
Deffective=16
例 4-8
全部即期利率下降10基点
组合 A
2年关键利率下降10个基点，组合价值上升 %
30年关键利率下降10个基点，组合价值上升%
总共上升%，这与使用有效持续期（ Deffective=16 ）来计算的结果相同
组合 B
16年关键利率下降10个基点，组合价值上升%
总共上升%，与这与使用有效持续期（ Deffective=16 ）来计算的结果相同
例 4-8
2年即期利率上升10个基点，30年即期利率下降10个基点
组合 A
2年关键利率上升10 个基点，组合价值下降 %
30年即期利率下降10个基点，组合价值上升 %
总共上升 %，这与使用有效持续期（ Deffective=16）计算出来的结果不同
组合 B
没有变化!
例 4-8
2年即期利率下降10 个基点，30即期利率上升10个基点
组合 A
2年即期利率下降10个基点，组合价值上升 %
30年即期利率上升10个基点，组合价值下降 %
总共下降 %，与使用有效持续期（Deffective=16）计算出来的结果不同
portfolio B
没有变化!
组合的持续期
组合持续期是单个债券持续期的加权总和（金额）或加权平均（有效等）
如果债券间的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的持续期计算所依据的到期收益率是不同的。
例 4-9： 由两个债券构成构成的组合， P(1) = $8,000， DM(1) = ； P(2) = $12,000， DM(2) =
Dportfolio = (8/20)() + (12/20)() =
第二节 凸性
凸性的定义与特征
凸性的计算
凸性的定义与特征
凸性衡量的是收益率-价格曲线弯曲的程度。
非含权证券都有正的凸性
正的凸性是受欢迎的，会给投资者带来额外的利益。
凸性会随着到期收益率的增加而降低。
凸性的几何解释
正凸性
负凸性
凸性的计算
金额凸性(经济含义?)
例4-10
period cash flow PV$1@% t*PV t*t*PV
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
6 3
7 3
8 3
9 3
10 103
金额凸性= = 1945
凸性的计算
比率凸性
修正凸性
凸性的计算
有效凸性
有效凸性
例 4-11
yield=6%,V0 =,
yield=%,V+ =,
yield=%,V- =
有效凸性
当 yield 6%增加到 8%
凸性引入与债券价格估计的准确性
当市场利率变化很小时，利用持续期可以相对准确地估计出债券价格的变化。 例如，有一个20年期的附息债券，面值为，年票面利息为。到期收益率曲线与前面例子相同。该债券的金额持续期为900，现价为。 假定到期收益率曲线水平上升1个基点，债券价格将下降到，下降幅度为9元。相似地，如果到期收益率曲线水平下降1个基点，债券价格将上升9元，达到。 根据持续期，计算债券价格波动。由于金额持续期为900。那么，到期收益率变化一个基点，债券价格变化应该为900*=9。
凸性引入与债券价格估计的准确性
当市场利率变化幅度很大时，用持续期估计债券价格会产生一定的误差。例如，到期收益率曲线平行上升200个基点，可以根据债券价格计算公式计算得到债券的新价格应该为，下降元。如果到期收益率曲线平行下降200个基点，债券的新价格应该为，上升元。 根据持续期，计算债券价格波动。由于金额持续期为900，那么，到期收益率变化200个基点（2个百分点），债券价格变化应该为900*2=1800。 因此，当市场利率变化很大的情况下，用持续期来估计就有较大的误差。
二、凸性的引入与债券价格估计的精确性
如果使用持续期和凸性，那么债券价格估计精度会有所提高。本例中债券的凸性为。因此，债券价格变化为,与已经很接近了.
第三节 持续期与凸性在风险管理中的应用
持续期与平衡点
免疫
避险
持续期与凸性在组合风险管理
持续期与平衡点
例 4-12. 你在0时点上购买票面利率7%的债券，价值 $1000。该债券期限10年，一年支付利息一次。你的投资期为年。该债券持续期为年。
在时点,你累积的财富将大致相等,而不管在0时点市场利率发生了怎样的变化.
关于持续期作为平衡点的举例
如果在零时点利率为7%:
如果在债券购买(零时点)后利率立即降到 4%
关于持续期作为平衡点的举例
如果在债券购买(零时点)后利率立即上升到10%
为什么?
价格风险被再投资风险抵销
免疫
免疫的目标是让来自投资组合的收益满足负债的支付,而在投资后不必再增加额外资本.
简单地,免疫就是使资产和负债的现金流量相吻合( “cash matching”)
在不特别限制投资选择的情况下, 免疫较为容易实现
谁来应用
退休基金
寿险公司
商业银行
免疫步骤
(1) 找到负债的持续期.
(2)选择一个组合,该组合修正持续期等于前面负债的持续期.
(3) 选择每个证券投资的数量,使得组合的现值等于负债的现值.
(4) 当市场利率发生变化,或者负债偿还,调整投资组合
例4-13: 单一负债的免疫
假定你10年后必须偿还$1931,到期收益率是水平的, 为10%.
负债的现值
负债的持续期 = 10 years
20年期债券,面值$1000,票面利率7%(一年支付),价格 $745,持续期大约为10年.
例 4-13:
如果到期收益曲线在投资后立即发生变化:
Yield Bond Value Liability Value
4% $1409 $1305
6% 1115 1078
8% 902 895
_________________________________
10% 745 745
_________________________________
12% 627 622
14% 536 521
16% 466 438
例4-13
现在假定利率不是一次性的变化,而是:
a) 利率立即降到 4%,并一直保持9年.
b)在年后利率涨到16%.
你可以看到,组合与负债不能很好匹配了.
这能证明免疫这种策略不行吗?
当然不能! 一旦市场利率发生变化,组合就得重新免疫.
例 4-13
在利率变化后,债券价格与持续期为
为了再免疫:
出售债券
买新债券或者债券组合,其持续期为10年
用债券组合免疫一组负债
目标:找到最高到期收益率的债券组合来免疫一组已知负债
投资组合的修正持续期和现值, 必须与负债的修正持续期和现值相匹配
例 4-14:免疫一组负债
负债:
1 year $100
2 years $200
3 years $50
第一步:根据当期市场中债券的到期收益率计算出负债的现值和持续期，从而得到免疫曲线（immunization curve）
例 4-14:免疫一组负债
IRR PV 持续期 修正持续期
6% $
7% $308. 96
8% $
9% $
10% $
例 4-14:免疫一组负债
第二步:分析哪些债券可以用来构建组合,对于每一种债券,都计算出到期收益率和持续期
利率 期限 $100面值 IRR 持续期 修正持续期
8 1 % 1 .939
2 %
9 5 %
8 %
第三步:将债券和免疫曲线画出
(修正 持续期 vs. 到期收益率).
例 4-14
本图可以告诉我们哪种债券组合可以产生最大的 IRR.在本例中,1年期债券与8年期债券的组合或许会产生最高的到期收益率.
也可以采用其他组合.你建议哪个组合?
剩下的事情是决定每种债券投资的数量,使得:
1) 组合的现值等于负债的现值.
2)持续期相等.
例 4-14
根据已知的到期收益率,负债修正持续期大约为年. 1年期和8年期债券的组合权重为:
X() + (1 – X)() =
这意味着 84%投资于1年期债券,而16%投资于8年期债券.
例 4-15
我们假设1年期债券的票面利率为6%,每年支付一次;4年期债券的票面利率为8%,每年支付一次.即期利率（折现率为10%）。投资者负债是5年期分期付款，每年支付100。如何免疫负债?
例 4-15
time cashflow discout f. PV t*PV
0 0 1 0 0
1 100
2 100
3 100
4 100
5 100
Total
例 4-15
1年期债券的持续期
time cashflow discout f. PV t*PV
0 0 1 0 0
1 106
例 4-15
4年期债券的持续期
time cashflow discout f. PV t*PV
0 0 1 0 0
1 8
2 8
3 8
4 108
total
例 4-15
负债的现值为$，所以$投资于1年期债券,$ 投资于4年期债券.
相关问题
再免疫的频率?
除了持续期之外,还要得到什么?
如何免疫一串负债?
在实践中,免疫策略的效果如何?
再举例
假定投资者的净权益为50000。目前，投资者的资产包括305个单位的3年期零息债券（面值为）。投资者的负债包括300个单位的20年期附息债券（年票面利息为，面值为）。投资者希望持有20年的附息债券，但愿意调整3年期零息债券的头寸。投资者也愿意购买或者发行20年期的零息债券（面值为）。
债券价格
投资者调整前的资产负债表
305个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券
价值3050000 价值3000000
权益50000
持续期计算
组合调整
投资者调整后的资产负债表
200个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券
价值2000000 价值3000000
105个单位的20年期附息债券
价值1050000
权益50000
持续期策略的基本方法
投资者为了让他的权益资本达到一个既定的利率风险目标（用持续期来表示），希望调整他的资产和负债，他可以：
调整组合中资产和负债以使权益有一个理想的持续期，即
权益的市场价值等于组合中资产的价值减去负债的价值
2. 用持续期 和凸性来避险
例 4-15: 做市商的资产组合的避险
一公司债券做市商在某交易日末尾拥有5年期公司债券面值$1mm，票面利率 %（半年支付），价格为平价。该债券流动性很差，因此出售该债券会遭受很大的损失。而隔夜持有该债券也有很大风险，因为如果市场利率上升，该债券价格会下降。替代出售该公司债券的做法有不少，其中之一是卖空 流动性很强的国债。
例 4-16:做市商的资产组合的避险
市场中有下面债券:
10年期，利率 8%的国债，价格P = $1,（面值 $1,000）
3 年期，利率% 的国债，价格P = $1, （面值 $1,000）
a.为了避险，应该卖空多少10年期国债？如果卖空3年期国债，卖空多少？
b. 如果所有 债券到期收益率一夜之间上升 1%，该做市商在了解自己的卖空头寸之后，自己的交易结果如何？
c. 如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？
例 4-16: 做市商的资产组合的避险
为了回答 (a):
1. 找到被避险债券的修正持续期
2. 找到卖空债券的修正持续期
3. 找到避险系数（ hedge ratios）
对于5年期公司债券而言，票面利率%,平价交易,因此y = % ., Dm =
对于10年期国债而言，票面利率 8%,价格 , y=% , Dm=
对于3年期国债而言,票面利率 % ,价格, y = % ., Dm =
10年期国债卖空数量 x, solves: x() = $1mm(). x = $593,
3年期国债卖空数量 y, solves: y() = $1mm(). y = $ mm
例 4-16: 做市商的资产组合的避险
( b): 如果全部债券的到期收益率一夜之间都上升了1%, 看一看做市商了解卖空头寸后的交易结果
5年期公司债券 yield = %, => P= $ 多头损失 = $1mm() = $40,656
10年期国债yield = % => P=
= .933.
()(593,) = $39, (赢利).
3年期债券 yield = 7% => P=
= .97346.
()(1,540,720) = $40,891 (赢利.)
例 4-16: 做市商的资产组合的避险
c. 如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？
为了避险,被避险公司债券的价值应该等于避险债券价值,而且资产和负债的持续期应该相等:
x() + (1-x)()=
x为10年期国债卖空的比重
持续期与凸性在投资组合中的应用
其他因素都一样,凸性被认为是好的,对投资者是有价值的.如何获得?
Barbells vs. Bullets
Bullet payment = 一次性支付
Barbell payments = 现金流量两头分布
给定到期收益率和修正持续期,票面利率越低,凸性越小.
与此相关, bullets的凸性比 barbells来得小
这导致一种投资策略,即在其他因素都相同的情况下,选择 barbells 要优于 bullets.
例4-17: Bullet vs. Barbell 策略
有以下国债,均为平价交易:
Bond Coupon(%) Maturity (yrs) Yields Dm Γm
A 5
B 20
C 10
例4-17: Bullet vs. Barbell 策略
两种国债组合策略:
(a) 只投资于 C (bullet strategy)
(b) 投资于A 和 B ,组合的金额持续期等于 C. 也就是A 投资 % ,B 投资 %,因为: .502() + .498() =
例4-17: Bullet vs. Barbell 策略
组合经理期望在市场利率变化后,barbell 表现得好一些.
所以该经理或许愿意舍弃一点收益率,而获得较高的凸性.
因此, bullet的到期收益率为 %.
假定 barbell的到期收益率是两个债券的加权平均,因此 barbell的到期收益率为:
.502(%) + .498(%) = %
在本例中,该经理为获得凸性已经舍弃了一些收益率.
例4-17: Bullet vs. Barbell 策略
% yield ch. level shift flattening Steepening
例4-17: Bullet vs. Barbell 策略
例4-17: Bullet vs. Barbell 策略
Flattening意思是5年期到期收益率比水平移动多涨 25 个基点,而20年期到期收益率比水平移动少涨25个基点
Steepening意思是5年期到期收益率比水平移动少涨 25 个基点,而20年期到期收益率比水平移动多涨25个基点
上表说明的是在6个月的持有期间,bullet 收益金额减去 barbell收益金额后的结果
注意 barbell 策略不是永远好于bullet ,为什么?
凸性在固定收益证券投资中的应用
一般债券的凸性是个正数，因此凸性的存在改善了债券价格的风险状况。因此，Grantier, J. B.写了一篇“凸性与债券表现，越弯越好”(Grantier J. and bond performance: The benter the better, Financial Analyst Journal Vol. 44 1988. )的文章。 固定收益证券管理中存在着努力实现组合凸性最大化的动机。 参见 Douglas,. Bond risk analysis :a guide to duration and convexity, New York Institute of Finance,1990
含权证券的凸性特征与传统固定收益证券不同，这也给投资者利用这些证券的凸性进行组合管理提供了机会。
债券的凸性与时间效应是一对矛盾。当债券的凸性效应高时，时间效应就比较差。而当凸性效应较差时，时间效应就比较好。因此，不能简单讲，凸性越大越好。
凸性的引入与利率风险回避
例如，有这样两种债券A、B。 偿还期 票面利率 价格 到期收益率 金额持续期 比率持续期 金额凸性 投资额 面值额
A 10 10% % 125207
B 1 10% % 1014 组合
凸性的引入与利率风险回避
投资者有100万元的负债，5年后到期，可以计算出这笔负债的现价为。负债的持续期为5。投资者用A、B两种债券进行避险，那么
因此，A债券投资万元，B债券投资万元。那么A债券购买面值为万元，B债券购买面值万元。
凸性的引入与利率风险回避
组合的价值与负债的价值相等，组合持续期与负债的持续期也相。那么能否实现避险呢？ 当到期收益率曲线平行上升20个基点时，负债的价值为639877元，资产的价值为639971元。资产价值超过负债价值94元。 到期收益率曲线平行下降20个基点时，负债的价值为651711元，资产的价值为651835元。资产价值超过负债价值124元。 当市场利率变化幅度增大时，比如到期收益率曲线平行上升1个百分点时，负债的价值为616974元，资产价值为617373元，资产价值超过负债价值399元。当到期收益率曲线平行下降1个百分点时，负债的价值为676177元，资产价值为676768元，资产价值超过负债价值591元。
凸性的引入与利率风险回避
上面的例子表明，不管市场利率发生什么样的变化，组合资产价值决不会小于负债的价值，而且利率变化幅度越大，不管是向哪个方向变化，组合资产超过负债的价值就越多。只有在利率不发生变化的时候，资产价值与负债价值相等。
凸性的引入与利率风险回避
分析其中的原因，不难理解，组合资产的凸性远远大于负债的凸性，本例中，资产的凸性为 ，负债的凸性为 16140000说明在市场利率下降时，资产价值的上升会超过负债价值的上升；而当市场利率上升时，资产价值的下降幅度小于负债价值的下降幅度。正因为如此，组合资产的凸性越大，对投资者就越有利。可以用图形来表示。
上例说明，仅仅考虑持续期是不够的，由于市场利率随时会发生变化，因此有必要让组合资产的持续期等负债的持续期的前提下，让争取让组合凸性极大。
凸性的引入与利率风险回避
如果确定了资产组合，并且组合的凸性超过了负债的凸性，在未来相当长的时间里市场利率不发生变化，组合资产与负债价值随着时间的变化而变化，但变化结果如何呢？
继续利用上例的资料，假定利率期限结果在未来1年时间里不发生变化，那么一年后组合的价值为707692元，而负债的价值为708600元。组合的θ值为
凸性的引入与利率风险回避
这说明，资产组合一年后增加61892元，而负债增加62800元，负债价值增加超过资产价值增加900元。意味着，如果市场利率不发生变化，那么这一组合在1 年后将发生损失。这说明，该组合仅免除了市场利率风险，没有免除在市场利率不发生变化时的时间效应风险。正因为如此，一个有效的组合，不仅应该回避利率风险，而且应该考虑时间效应。
凸性的引入与利率风险回避
组合价格 负债价值 净值
利率不变 707692 708615 -923
利率上升20基点 702482 703438 -956
利率下降20基点 712986 713840 -854
利率上升50基点 694820 695760 -940
利率下降50基点 721088 721769 -681
利率上升100基点 682448 683195 -711
利率下降100基点 735032 735229 -197
利率上升200基点 659113 658904 209
利率下降200基点 764674 763102 1571
图形表示！
凸性的引入与利率风险回避
持续期效应、凸性效应和时间效应是存在一定的平衡关系的。能否将市场利率变化对债券价格的影响与债券价格的时间效应连接起来呢？在理论上是可以的。 参见 Christensen ,. and Sorensen, B G. Duration,convexity and time value ,Journal of Portfolio Management Winter ,1994.
凸性的引入与利率风险回避
资产组合与负债持续期相等，凸性也相等，那么资产与负债的时间效应也应该相等。因此，不管利率发生怎样的变化，投资者在整个时间段内，都可以满足债权人的权益。也就是说，投资者不仅回避了利率变化的风险，也回避了利率不变的风险。
通常要不断调整债券组合，以使资产的持续期等于负债的持续期。但在凸性也互相匹配时，由于资产的持续期与负债的持续期受利率变化的影响是相同的，因此可以减少上述调整。
当持续期匹配，凸性也匹配的时候，资产组合与负债应该是非常相似的，即使利率是随机波动的，资产和负债也可以免险。
凸性的引入与利率风险回避
当投资者对利率的未来趋势有自己的判断之后，他希望让自己的资产组合存在一定的风险，那么凸性可以成为持续期的一个重要补充和辅助。例如，投资者可以根据利率预测设置一个高的或者低的组合持续期，这样，他可以利用瞬时的利率变化来获利。但高的凸性使得投资者在利率下降时获得更大的收益，而在利率上升时，损失却在下降。当然这一策略要求投资者能够对利率的未来趋势作出判断。
当投资者只能判断未来利率会发生变化，但不知是上升还是下降时，凸性也是有用的。如果投资者预期利率波动很大，他可以选择高凸性的组合，因为凸性利益将超过时间价值损失。如果投资者就是要回避利率风险，当然他应该选择低持续期的组合。相反，当投资者认为市场利率稳定，或者变化不会很大时，他选择一个低凸性的组合，让其资产与负债的综合凸性为负，那么他可以获得较大的时间价值。
一般债券的凸性都是正的，因此选择资产进行组合时利用凸性进行风险管理的余地并不大，但有些资产，特别是某些衍生证券的凸性可能是负的。
文献阅读：
Immunization and duration:A review of theory, performance and application
Duration,convexity and time value
