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第五章 参数估计
有时候人们可能对于总体的某个数量
特征感兴趣。比如：
1.北方学院师生的月平均消费金额
2.北方学院师生的月平均消费金额中各项
消费所占的比例
上述数据是北方学院全体师生这个总
体的在消费方面的数量特征，要知道这些
特征，有哪些办法？
方法一：对北方学院的全体师生做普查——描
述统计
方法二：抽取部分师生做样本，进行抽样调查，
根据样本的数量特征推断总体的数量特征—
—推断统计（参数估计+假设检验）
参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。
如：用样本均值x估计总体均值，
用样本方差s2估计总体方差σ2
用样本比率p估计总体比率∏
本章要求掌握知识点
估计量与估计值的概念
点估计与区间估计的区别
评价估计量优良性的标准
一个总体参数的区间估计方法
两个总体参数的区间估计方法
样本容量的确定方法
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比率、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具
体值
如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
参数估计的方法
估 计 方 法
点 估 计 区间估计
期中考试考完统计学，别人问你能考多少分？你可能会有两
种回答：1. 80分，2 70-90分，试比较这两种回答的优缺点。
标准：1. 可靠程度；2. 精确程度
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计
例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值
之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、
最大似然法、最小二乘法等
区间估计
(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范
围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体
参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
样本统计量样本统计量
((点估计点估计))
置信区间置信区间
置信下限置信下限 置信上限置信上限
区间估计的图示
x
95% 95% 的样本的样本
xx ++xx
99% 99% 的样本的样本
- - xx ++xx
90%90%的样本的样本
xx ++xx
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信
区间包含总体参数真值的次数所占的比率
称为置信水平
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比率
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为，，
相应的Zα/2为，，
置信水平
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称
为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真
正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的
区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是
否包含总体参数的真值
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值
的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参
数真值的区间中的一个
置信区间
(confidence interval)
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布
(1 - (1 - ) % ) % 区间包含了区间包含了
% % 的区间未包含的区间未包含
1 – 1 – //22 //22
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用来测度
2. 样本容量，
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
评价估计量标准一——无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等
于被估计的总体参数 。
PP(( ))
BA
无偏无偏 有偏有偏
评价估计量标准二——有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
A
B
的抽样分布的抽样分布
的抽样分布的抽样分布PP(( ))
评价估计量标准三——一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的
值越来越接近被估计的总体参数
A
B
较小的样本容量较小的样本容量
较大的样本容量较大的样本容量PP(( ))
第二节 一个总体参数的区间估
计
总体均值的区间估计
总体比率的区间估计
总体方差的区间估计
总体均值的区间估计
(大样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
3. 总体均值总体均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为
总体均值的区间估计
(例题分析)
【【 例例 】】一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，，为为对对产产量量质质
量量进进行行监监测测，，企企业业质质检检部部门门经经常常要要进进行行抽抽检检，，以以分分析析每每袋袋重重
量量是是否否符符合合要要求求。。现现从从某某天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525
袋袋，，测测得得每每袋袋重重量量如如下下表表所所示示。。已已知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正
态态分分布布，，且且总总体体标标准准差差为为10g10g。。试试估估计计该该批批产产品品平平均均重重量量的的
置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为95%95%
25袋食品的重量
总体均值的区间估计
(例题分析)
解解：：已已知知ＸＸ~~NN((，，101022))，，nn=25, =25, 1-1- = = 95%95%，，zz/2/2==。。根根
据样本数据计算得：据样本数据计算得：
总体均值总体均值在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为
该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为~~
总体均值的区间估计
(小样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知
小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
t 分布
t t 分分布布是是类类似似正正态态分分布布的的一一种种对对称称分分布布，，它它通通常常要要比比
正正态态分分布布平平坦坦和和分分散散。。一一个个特特定定的的分分布布依依赖赖于于称称之之
为为自自由由度度的的参参数数。。随随着着自自由由度度的的增增大大，，分分布布也也逐逐渐渐
趋于正态分布趋于正态分布
xx
tt 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较
t t 分布分布
标准正态分布标准正态分布
tt
不同自由度的不同自由度的tt分布分布
标准正态分布标准正态分布
t t ((dfdf = 13) = 13)
tt ( (dfdf = 5) = 5)
淡黄色淡黄色
zz
总体均值的区间估计
(例题分析)
【【例例】】已已知知某某种种灯灯泡泡的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布，，现现从从一一
批批灯灯泡泡中中随随机机抽抽取取1616只只，，测测得得其其使使用用寿寿命命((小小时时))如如
下。建立该批灯泡平均使用寿命下。建立该批灯泡平均使用寿命95%95%的置信区间的置信区间
16灯泡使用寿命的数据
1510 1520 1480 1500
1450 1480 1510 1520
1480 1490 1530 1510
1460 1460 1470 1470
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知解：已知ＸＸ~~NN((，，22))，，nn=16, 1-=16, 1- = 95%= 95%，，tt/2/2==
根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： ，，
总体均值总体均值在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为
该该种种灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命的的置置信信区区间间为为小小时时～～
小时小时
总体比率的区间估计
1. 假定条件
总体服从二项分布
可以由正态分布来近似
2. 使用正态分布统计量 z
3. 3. 总体比率总体比率在在1-1-置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为
总体比率的区间估计
(例题分析)
【【例例】】某某城城市市想想
要要估估计计下下岗岗职职工工
中中女女性性所所占占的的比比
率率，，随随机机地地抽抽取取
了了 100100名名下下岗岗职职
工工，，其其中中6565人人为为
女女性性职职工工。。试试以以
95%95%的的置置信信水水平平
估估计计该该城城市市下下岗岗
职职工工中中女女性性比比率率
的置信区间的置信区间
解解：：已已知知 nn=100=100，，pp＝＝65% 65% , , 11-- = = 95%95%，，
zz/2/2==
该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比率率的的置置信信
区间为区间为%~% %~%
一个总体参数区间估计在SPSS中的实现：
分析—— 探索——统计量——描述性
——均值的区间估计，输入置信度。
比率估计数据用虚变量表示。
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
2. 假设总体服从正态分布
3. 总体方差的点估计量为s2,且
4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
总体方差的区间估计
(图示)
1-
总体方差总体方差
1-1- 的置信区间的置信区间
自由度为自由度为nn-1-1的的分布分布
总体方差的区间估计
(例题分析)
【【例例】】一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，，现现从从某某
天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525袋袋，，测测得得每每袋袋重重量量如如
下下表表所所示示。。已已知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布。。以以95%95%
的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
25袋食品的重量
总体方差的区间估计
(例题分析)
解解::已知已知nn＝＝2525，，1-1-＝＝95% ,95% ,根据样本数据计算得根据样本数据计算得
ss2 2 ==
22置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为
该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区
间为间为~~
第三节 两个总体参数的区间估
计
两个总体均值之差的区间估计
两个总体比率之差的区间估计
两个总体方差比的区间估计
两个总体参数的区间估计
总体参数 符号表示 样本统计量
均值之差
比率之差
方差比
两个总体均值之差的估计
(大样本)
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布，1２、 2２已知
若不是正态分布 , 可以用正态分布来近似
(n130和n230)
两个样本是独立的随机样本
2. 使用正态分布统计量 z
两个总体均值之差的估计
(大样本)
1. 1２， 2２已知时，两个总体均值之差1-2在
1- 置信水平下的置信区间为
2. 11２２、、 22２２未知时，未知时，两个总体均值之差两个总体均值之差11--22在在1-1-
置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
【例】某地区教育委员
会想估计两所中学的学
生高考时的英语平均分
数之差，为此在两所中
学独立抽取两个随机样
本，有关数据如右表 。
建立两所中学高考英语
平均分数之差95%的置
信区间
两个样本的有关数据
中学1 中学2
n1=46 n1=33
S1= S2=
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
解解: : 两个总体均值之差在两个总体均值之差在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为
两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为
分分~~分分
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1= )
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布
两个总体方差未知但相等：1２=2２
两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2. 总体方差的合并估计量
. 估计估计量量xx11--xx22的抽样标准差的抽样标准差
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1= )
1. 两个样本均值之差的标准化
2. 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的
置信区间为
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
【【例例】】为为估估计计两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需时时间间的的差差异异，，分分别别对对两两种种不不同同
的的组组装装方方法法各各随随机机安安排排1212名名工工人人，，每每个个工工人人组组装装一一件件产产品品所所需需的的
时时间间（（分分钟钟））下下如如表表。。假假定定两两种种方方法法组组装装产产品品的的时时间间服服从从正正态态分分布布，，
且且方方差差相相等等。。试试以以95%95%的的置置信信水水平平建建立立两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需平平均均
时间差值的置信区间时间差值的置信区间
两个方法组装产品所需的时间
方法1 方法2
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
解解: : 根据样本数据计算得根据样本数据计算得
合并估计量为：合并估计量为：
两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需平平均均时时间间之之差差的的置置信信区区间间为为
分钟分钟~~分钟分钟
估计总体均值时样本容量的确定
1. 估计总体均值时样本容量n为
2. 样本容量n与总体方差 2、允许误差E、
可靠性系数Z或t之间的关系为
与总体方差成正比
与允许误差成反比
与可靠性系数成正比
其中：
估计总体均值时样本容量的确定
(例题分析)
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年
薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪
95%的置信区间，希望允许误差为400元，应
抽取多大的样本容量？
估计总体均值时样本容量的确定
(例题分析)
解解: : 已知已知 =2000=2000，，EE=400, =400, 1-1-=95%=95%，， zz/2/2==
应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为
即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本
估计总体比率时样本容量的确定
1. 根据比率区间估计公式可得样本容量n为
2. E的取值一般小于
3. 未知时，可取最大值
其中：其中：
