相似矩阵与矩阵的对角化
第四章 矩阵的特征值与特征向量
一、相似矩阵及其性质
定义(相似矩阵)
相似矩阵的 3 个基本性质：
相似矩阵的性质：
性质2的推论 若 阶方阵 A 与对角阵
例
解：见课本 P156 例4.
思路：
二、矩阵可对角化的条件
证明 见课本157-158页.
说明
推论
如果 的特征方程有重根，此时不一定有
个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解
解之得基础解系
求得基础解系
解之得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
A能否对角化？若能对角
例2
解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置
要相互对应．
定理 2
定理 3
思考：
答案: (B)
利用对角矩阵计算矩阵多项式
k个
利用上
述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 .
例3 设
解
分
析
思考：
思考：
分
析
另解
四、小结
矩阵相似在解题中的应用：
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好
的性质，其重要意义在于简化对矩阵的各种运算，
其方法是:
(1)通过相似变换, 将矩阵变成与之等价的对角矩阵;
(2)对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．
