《现代控制理论基础》 (讲义) 现代控制理论基础 第一章 系统描述 引言 一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的 1
《现代控制理论基础》 (讲义) 状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。 本章节为控制系统状态空间分析的引言。节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。节讨论用MATLAB进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。 状态空间表达式 为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与Jordan标准形，在例~中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。 状态空间表达式的标准形式 考虑由下式定义的系统： (n)(n−1)(n)(n−1)y+ay+L+&ay+ay=bu+bu+L+&bu+bu() 1n−1no1n−1n式中u为输入，y为输出。该式也可写为 nn−1Ybs+bsL+bs+b(s)01n－1n=() nn−1U(s)s+as+L+as+a1n−1n 2
《现代控制理论基础》 (讲义) 下面给出由式（）或式（）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan形）标准形。 能控标准形 下列状态空间表达式为能控标准形： &x010L0x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x001L0x022⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•=•••••+•u() ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x000L1x0⎢⎥n−1⎢⎥⎢⎥n−1⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎢⎥&x−a−a−aL−ax1n⎣nn−1n−21⎦⎣⎦n⎣⎦⎣⎦x⎡⎤1⎢⎥x2⎢⎥⎢⎥•y=[b−abMb−abMLMb−ab]+bu() ⎢⎥nnon−1n−1o11o0•⎢⎥⎢⎥•⎢⎥x⎢⎥⎣n⎦在讨论控制系统设计的极点配置方法时，这种能控制准形是非常重要的。从式（）或式（）到式（）和式（）的推导，可见例。 能观测标准形 下列状态空间表达式为能观测标准形： 3
《现代控制理论基础》 (讲义) &x00L0−ax⎡⎤⎡⎤⎡⎤1n1⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x10L0−axb−ab⎡⎤2n−12nno⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••••b−abn−1n−1o⎢⎥=+u()⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••••L⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••••b−ab⎣11o⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x00L1−ax⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣n⎦⎣1⎦⎣n⎦ x⎡⎤1⎢⎥x2⎢⎥⎢⎥•⎢⎥y=[00L01]•+bu()o⎢⎥⎢⎥•⎢⎥x⎢n−1⎥⎢⎥xn⎣⎦注意，式（）给出的状态方程中n×n维系统矩阵是式（）所给出的相应矩阵的转置。 对角线标准形 参考由式（）定义的传递函数。这里，考虑分母多项式中只含相异根的情况。对此，式（）可写成： nn−1Ybs+bs+L+bs+b(s)o1n−1n=() U(s)(s+p)(s+p)L(s+p)12nccc12n=b+++L+ os+ps+ps+p12n该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定： 4
《现代控制理论基础》 (讲义) x&−p0x1⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x&−px1222⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••=+u()⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x&0−px1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣n⎦⎣n⎦⎣n⎦⎣⎦ x⎡⎤1⎢⎥x2⎢⎥⎢⎥•y=[ccLc]+bu()⎢⎥12no•⎢⎥⎢⎥•⎢⎥x⎢⎥⎣n⎦ Jordan标准形 下面考虑式（）的分母多项式中含有重根的情pp＝p=ppi123i况。对此，必须将前面的对角线标准形修改为Jordan标准形。例如，假设除了前3个 即相等外，其余极点 相异。于是，Y（s）/U(s)因式分解后为： nn−1Ybs+bs+L+bs+b(s)01n−1n= 3U(s)(s+p)(s+p)(s+p)L(s+p)145n 该式的部分分式展开式为 cYscccc()1234n=b+++++L+ 032U(s)(s+p)(s+p)(s+p)s+ps+p114n1该系统状态空间表达式的Jordan标准形由下式确定： 5
《现代控制理论基础》 (讲义) x&−p100L0x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x&0−p1xMM0212⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x&00p00x⎢⎥−L1313⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x&0L0−p0x1444⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+()⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥••••••⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥•••••• ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x&0L00−px1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥nnn⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x⎡⎤1⎢⎥x2⎢⎥⎢⎥•y=[ccLc]+bu()⎢⎥12no•⎢⎥⎢⎥•⎢⎥x⎢⎥⎣n⎦ [例] 考虑由下式确定的系统： Y(s)s+3= 2U(s)s+3s+2试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。 解： 能控标准形为： &x(t)01x(t)0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u(t)⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x(t)−2−3x(t)1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ x(t)⎡⎤1y(t)=[31]⎢⎥x(t)⎣2⎦ 能观测标准形为： 6
《现代控制理论基础》 (讲义) &x(t)0−2x(t)3⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u(t)⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x(t)1−3x(t)1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ x(t)⎡⎤1y(t)=[01]⎢⎥x(t)⎣2⎦ 对角线标准形为： &x(t)−10x(t)1⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u(t)⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x(t)0−2x(t)1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ x(t)⎡⎤1y(t)=[2−1]⎢⎥x(t)⎣2⎦ n×n维系统矩阵A的特征值 n×n维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根： |λI−A|=0 这些特征值也为称特征根。 例如，考虑下列矩阵A： 010⎡⎤⎢⎥A=001 ⎢⎥⎢⎥−6−11−6⎣⎦特征方程为： λ−10λI−A|=0λ−1611λ+632=λ+6λ+11λ+6 =(λ+1)(λ+2)(λ+3)=0这里A的特征值就是特征方程的根，即－1、－2和－3。 7
《现代控制理论基础》 (讲义) n×n维系统矩阵的对角线化 如果一个具有相异特征值的n×n维矩阵A由下式给出： 010L0⎡⎤⎢⎥001L0⎢⎥⎢⎥••••⎢⎥A=••••() ⎢⎥⎢⎥••••⎢⎥000L1⎢⎥⎢⎥−a−a−aL−a⎣nn−1n−21⎦作如下非奇异线性变换x = P z，其中 11L1⎡⎤⎢⎥λλLλ12n⎢⎥⎢⎥•••P= ⎢⎥•••⎢⎥⎢⎥•••⎢⎥n−1n−1n−1⎢λλLλ⎥⎣12n⎦称为范德蒙(Vandemone)矩阵，这里λ，λ，···，λ是系统矩12n-1阵A的n个相异特征值。将P AP变换为对角线矩阵，即 λ0⎡⎤1⎢⎥λ2⎢⎥⎢⎥•-1⎢⎥P AP= •⎢⎥⎢⎥•⎢⎥0λ⎢⎥⎣n⎦ 如果由方程（）定义的矩阵A含有重特征值，则不能将上述矩阵对角线化。例如，3×3维矩阵 8
《现代控制理论基础》 (讲义) 010⎡⎤⎢⎥A=001 ⎢⎥⎢⎥−a−a−a⎣321⎦有特征值λ，λ，λ，作非奇异线性变换x = S z，其中 123 ⎡⎤101⎢⎥S=λ1λ 13⎢⎥22⎢⎥λ2λλ⎣113⎦得到 λ10⎡⎤1−1⎢⎥SAS=0λ0 1⎢⎥⎢⎥00λ⎣3⎦该式是一个Jordan标准形。 [例] 考虑下列系统的状态空间表达式： &x010x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=001x+0u()22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥&⎢⎥⎢⎢⎥x−6−11−6x6⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦⎣⎦ x⎡⎤1⎢⎥y=[100]x()2⎢⎥⎢⎥x⎣3⎦式（）和（）可写为如下标准形式： &x=Ax+Bu() y=Cx()式中 9
《现代控制理论基础》 (讲义) 0100⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ A=001B=0,C=[100] ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−6−11−66⎣⎦⎣⎦ 矩阵A的特征值为： λ= －1，λ= －2，λ= －3 3 1 2 因此，这3个特征值相异。如果作变换 x111z⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥ x=−1−2−3z 22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x149z⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦或 x = P z （） 定义一组新的状态变量z、z和z，式中 123⎡⎤111⎢⎥ P =λλλ() 123⎢⎥222⎢⎥λλλ⎣123⎦那么，通过将式（）代入式（），可得 Pz&=APz+Bu -1将上式两端左乘P ，得 −1−1& z=PAPz+PBu() 或者 &⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ z&=−3−4−1001−1−2−3z 22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥z&−6−11−6149z⎣3⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣3⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ +−3−4−10u ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简得， 10
《现代控制理论基础》 (讲义) z&−100z3⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥z&=0−20z+−6u() 22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥z&00−3z3⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦⎣⎦式（）也是一个状态方程，它描述了由式（）定义的同一个系统。 输出方程（）可修改为： y = CP z 或 111z⎡⎤⎡⎤1⎢⎥⎢⎥y=[100]−1−2−3z2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥149z⎣⎦⎣3⎦ z⎡⎤1⎢⎥=[111]z()2⎢⎥⎢⎥z⎣3⎦ 注意：由式()定义的变换矩阵P将z的系统矩阵转变为对角线矩阵。由式()显然可看出，3个纯量状态方程是解耦-1的。注意式()中的矩阵P AP的对角线元素和矩阵A的3个-1特征值相同。此处强调A和P AP的特征值相同，这一点非常重要。作为一般情况，我们将证明这一点。 特征值的不变性 为证明线性变换下特性值的不变性，需证明|λI - A|和|λ -1I – PAP|的特征多项式相同。 11
《现代控制理论基础》 (讲义) 由于乘积的行列式等于各行列式的乘积，故 −1−1−1|λI−PAP|=|λPP－PAP|−1=|P(λI−A)P| −1=|P||λI−A||P|−1=|P||P||λI−A|-1-1注意到行列式|P |和|P|的乘积等于乘积|P P|的行列式，从而 -1-1|λI-P AP| = |P P| |λI-A| = |λI-A| 这就证明了在线性变换下矩阵A的特征值是不变的。 状态变量组的非唯一性 前面已阐述过，给定系统的状态变量组不是唯一的。设x,x,L,x是一组状态变量，可取任意一组函数, 12nˆx=X(x,x,L,x)1112nˆx=X(x,x,L,x)2212n• ••ˆx=X(x,x,L,x)nn12n 作为系统的另一组状态变量，这里假设对每一组变量ˆˆˆx,x,L,x都对应于唯一的一组x,x,L,x的值。反之亦然。因此，12n12n如果x是一个状态向量，则 ˆx=Px 也是一个状态向量，这里假设变换矩阵P是非奇异的。显然，这 12
《现代控制理论基础》 (讲义) 两个不同的状态向量都能表达同一系统之动态行为的同一信息。 利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换 本节将讨论系统模型由传递函数变换为状态方程，反之亦然。现讨论如何由传递函数变换为状态方程。 将闭环传递函数写为 Y(s)含s的分子多项式num== U(s)含s的分母多项式den当有了这一传递函数表达式后，使用如下MATLAB命令： [A, B, C, D] = tf2ss (num, den) 就可给出状态空间表达式。应着重强调，任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。对于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。上述MATLAB命令仅给出了一种可能的状态空间表达式。 传递函数系统的状态空间表达式 考虑以下传递函数 Y(s)s=2U(s)(s+10)(s+4s+16) s=()32s+14s+56s+160 对该系统，有多个（无穷多个）可能的状态空间表达式，其13
《现代控制理论基础》 (讲义) 中一种可能的状态空间表达式为： &x010x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=001x+1u22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&⎢⎥⎢⎥⎢⎥x−160−56−14x−14⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦⎣⎦ x⎡⎤1⎢⎥y=[100]x+[0]u2⎢⎥⎢⎥x⎣3⎦ 另外一种可能的状态空间表达式（在无穷个中）为： &x−14−56−160x1⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=100x+0u()22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&⎢⎥⎢⎥⎢⎥x010x0⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦⎣⎦ x⎡⎤1⎢⎥y=[010]x+[0]u()2⎢⎥⎢⎥x⎣3⎦ MATLAB将式（）给出的传递函数变换为由式（）和（）给出的状态空间表达式。对于此处考虑的系统，MATLAB Program 1-1将产生矩阵A、B、C和D。 MATLAB Program 1-1 Num=[0 0 1 0]; Den=[1 14 56 160];[A,B,C,D]= tf2ss(num,den) A= -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0 B= 14
《现代控制理论基础》 (讲义) 1 0 0 C= 0 1 0 D= 0 由状态空间表达式到传递函数的变换 为了从状态空间方程得到传递函数，采用以下命令： [num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu] 对多输入的系统，必须具体化iu。例如，如果系统有3个输入（u1,u2,u3），则iu必须为1、2或3中的一个，其中1表示u1,2表示u2,3表示u3。 如果系统只有一个输入，则可采用 [num,den] = ss2tf (A,B,C,D) 或 [num,den] = ss2tf (A,B,C,D,1) (见例和MTLAB Program1-2) MTLAB Program 1-2 A=[0 1 0; 0 0 1; 15
《现代控制理论基础》 (讲义) ]; B=[0; ; ]; C=[1 0 0]; D=[0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num= 0 den= %*****The same result can be obtained by entering the following command***** [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num= 0 den= 对于系统有多个输入与多个输出的情况，见例。 [例] 试求下列状态方程所定义的系统的传递函数。 16
《现代控制理论基础》 (讲义) &x010x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=001x+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&⎢⎥x−−−−⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦⎣⎦ x⎡⎤1⎢⎥y=[100]x2⎢⎥⎢⎥x⎣3⎦MATLAB Program 1-2将产生给定系统的传递函数。所得传递函数为： Y(s)+= 32U(s)s+++ [例] 考虑一个多输入-多输出系统。当系统输出多于一个时，MATLAB命令： [NUM，den] = ss2tf (A,B,C,D,iu) 对每个输入产生所有输出的传递函数（分子系数转变为具有与输出相同行的矩阵NUM）。 考虑由下式定义的系统： &x01x11u⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x−25−4x01u⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦ y10x00u⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥y01x00u⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦ 该系统有两个输入和两个输出，包括4个传递函数：Y（s）1/U(s)、Y（s）/U(s)、Y（s）/U(s)和Y（s）/U(s)（当考虑输1211222入u时，可设u为零。反之亦然），见下列MATLAB输出： 12A=[0 1； -25 -4]； B=[1 1； 0 1]； 17
《现代控制理论基础》 (讲义) C=[1 0； 0 1]； D=[0 0； 0 0] [NUM,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) NUM= 0 1 4 0 0 -25 den= 1 4 25 [NUM,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) NUM= 0 0 den= 1 4 25 以上就是下列4个传递函数的MATLAB表达式： Y(s)s+4Y(s)−2512=,=,22U(s)s+4s+25U(s)s+4s+2511 Y(s)+5Y(ss)s－2512=,=2U(s)s+4s+25U(s)s2+4s+2522 18
《现代控制理论基础》 (讲义) 习题 考虑以下系统的传递函数： Y(s)s+6= 2U(s)s+5s+6 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 考虑下列单输入单输出系统： &&&y+&&y+&611y+6y=6u 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。 考虑由下式定义的系统： &x=Ax+Bu y=Cx式中 121⎡⎤⎡⎤ A=，B=,C=[11] ⎢⎥⎢⎥－4－32⎣⎦⎣⎦ 试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 考虑由下式定义的系统： &x=Ax+Bu y=Cx式中 －1010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ A=1－20，B=0,C=[110] ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥00−31⎣⎦⎣⎦19
《现代控制理论基础》 (讲义) 试求其传递函数Y(s)/U(s)。 考虑下列矩阵： 0100⎡⎤⎢⎥0010⎢⎥A= ⎢⎥0001⎢⎥1000⎣⎦ 试求矩阵A的特征值λ,λ,λ和λ。再求变换矩阵P，123 4使得 −1PAP=diag(λ,λ,λ,λ) 1234 20
《现代控制理论基础》 (讲义) 考虑以下系统的传递函数： Y(s)s+6= 2U(s)s+5s+6 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 解答： 能控标准形： 010⎡⎤⎡⎤&x=&x+u ⎢⎥⎢⎥−6−51⎣⎦⎣⎦x⎡⎤1y=[61] ⎢⎥x⎣2⎦ 第二章 线性多变量系统的运动分析 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。 线性系统状态方程的解 21
《现代控制理论基础》 (讲义) 给定线性定常系统非齐次状态方程为 Σ：&x(t)=Ax(t)+Bu(t) (） nrn×nn×r其中，x(t)∈R,u(t)∈R,A∈R,B∈R，且初始条件为x(t)=x(0)。 t=0 将方程（）写为 &x(t)−Ax(t)=Bu(t) -At 在上式两边左乘e，可得 d−At−At−At&e[x(t)−Ax(t)]=[ex(t)]=eBu(t) dt 将上式由O积分到t，得 t−At−Aτex(t)−x(0)=eBu(τ)dτ ∫o故可求出其解为 tAtA(t−τ)x(t)=ex(0)+eBu(τ)dτ∫) 或 tx(t)=Φ(t)x(0)+Φ(t−τ)Bu(τ)dτ∫ob) At式中Φ(t)=e为系统的状态转移矩阵。 对于线性时变系统非齐次状态方程， & x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)22
《现代控制理论基础》 (讲义) (） 类似可求出其解为 tx(t)=Φ(t,0)x(0)+Φ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ∫) 一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t)只能表示成一0个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。 状态转移矩阵的性质 定义 时变系统状态转移矩阵Φ(t,t)是满足如下矩阵0微分方程和初始条件 &⎧Φ(t,t)=A(t)Φ(t,t)00 () ⎨Φ(t,t)=I⎩00的解。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质： 1、Φ(t,t)=I； 2、Φ(t,t)Φ(t,t)=Φ(t,t)； 211020−13、Φ(t,t)=Φ(t,t)； 004、当A给定后，Φ(t,t) 唯一； 05、计算时变系统状态转移矩阵的公式 23
《现代控制理论基础》 (讲义) ttτ1⎡⎤Φ(t,t)=I+A(τ)dτ+A(τ)A(τ)dτdτ+L01221∫∫∫tt⎢t⎥00⎣0⎦ .6a) 上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足 tt⎡⎤⎡⎤A(t)A(τ)dτ=A(τ)dτA(t) ∫∫⎢t⎥⎢t⎥⎣0⎦⎣0⎦即在矩阵乘法可交换的条件下，Φ(t,t)才可表示为如下矩阵指数0函数形式 tΦ(t,t)=exp{A(τ)dτ}0∫t0() 显然，定常系统的状态转移矩阵Φ(t−t)不依赖于初始时刻0t，其性质仅是上述时变系统的特例。 0------------------------------------------------------------------------------ [例2．1] 试求如下线性定常系统 &x01x⎡⎤⎡⎤⎡⎤11= ⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x−2−3x⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦-1的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф(t）。 [解] 对于该系统， 01⎡⎤A= ⎢⎥−2−3⎣⎦其状态转移矩阵由下式确定 24
《现代控制理论基础》 (讲义) At−1−1Φ(t)=e=L[(sI−A)] 由于 s001s−1⎡⎤⎡⎤⎡⎤sI−A=−= ⎢⎥⎢⎥⎢⎥0s−2−32s+3⎣⎦⎣⎦⎣⎦其逆矩阵为 s+311⎡⎤−1(sI−A)=⎢⎥(s+1)(s+2)−2s⎣⎦s+31⎡⎤ ⎢⎥(s+1)(s+2)(s+1)(s+2)⎢⎥=−2s⎢⎥⎢⎥(s+1)(s+2)(s+1)(s+2)⎣⎦因此 At−1−1Φ(t)=e=L[(sI−A)] −t−2t−t−2t⎡⎤2e−ee−e= ⎢⎥−t−2t−t−2t−2e+2e−e+2e⎢⎥⎣⎦-1 由于Ф（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为 t2tt2t⎡⎤2e−ee−e−1−AtΦ(t)=e= ⎢⎥t2tt2t−2e+2e−e+2e⎢⎥⎣⎦------------------------------------------------------------------------------ [例] 求下列系统的时间响应： &x01x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x−2−3x1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。 [解] 对该系统 010⎡⎤⎡⎤A=B= ⎢⎥⎢⎥−2−31⎣⎦⎣⎦ 25
《现代控制理论基础》 (讲义) At 状态转移矩阵Φ(t)=e已在例中求得，即 −t−2t−t−2t⎡⎤2e−ee−eAtΦ(t)=e= ⎢⎥−t−2t−t−2t−2e+2e−e+2e⎢⎥⎣⎦因此，系统对单位阶跃输入的响应为： −(t−τ)−2(t−τ)−(t−τ)−2(t−τ)⎡⎤t2e−ee−e0⎡⎤Atx(t)=ex(0)+1(t)dτ ⎢⎥⎢⎥∫−(t−τ)−2(t−τ)−(t−τ)−2(t−τ)o1−2e+2e−e+2e⎢⎥⎣⎦⎣⎦或 11⎡⎤−−2−−2−t−2ttttt⎡⎤x(t)2e−ee−ex(0)−e+e⎡⎤⎡⎤11⎢⎥=+22 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥−t−2t−t−2t⎢⎥x(t)x(0)−2e+2e−e+2e⎢⎥−t−2t⎣2⎦⎣2⎦⎣⎦e−e⎢⎥⎣⎦ 如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为 11⎡⎤−t−2tx(t)−e+e⎡⎤1⎢⎥=22 ⎢⎥⎢⎥x(t)−t−2t⎣2⎦e−e⎢⎥⎣⎦------------------------------------------------------------------------------ 向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。 26
《现代控制理论基础》 (讲义) 考虑n×n维矩阵A及其特征方程 nn−1|λI−A|=λ+aλ+L+aλ+a=0 1n−1n 凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即 nn−1A+aA+L+aA+aI=01n−1n() 为了证明此定理，注意到（λI-A）的伴随矩阵adj(λI-A)是λ的n -1次多项式，即 n−1n−2adj(λI−A)=Bλ+Bλ+L+Bλ+B 12n−1n式中，B=I。由于 1(λI−A)adj(λI−A)=[adj(λI−A)](λI−A)=λI−AI 可得 nn−1|λI−A|I=Iλ+aIλ+L+aIλ+aI1n−1nn−1n−2= (λI−A)(Bλ+Bλ+L+Bλ+B) 12n−1nn−1n−2=(Bλ+Bλ+L+Bλ+B)(λI−A)12n−1n 从上式可看出，A 和B(i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换i的。因此，如果(λI-A）及其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ，显然λI-A为零。这样 nn−1A+aA+L+aA+aI=0 1n−1n即证明了凯莱-哈密尔顿定理。 27
《现代控制理论基础》 (讲义) 最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理，任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即 mm−1φ(λ)=λ+aλ+L+aλ+a,m≤n 1m−1m使得φ(A）= 0，或者 mm−1φ(A)=A+aA+L+aA+aI=0 1m−1m 最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。 假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式φ(λ)由下式给出： |λI−A|φ(λ)=d(λ) ) 注意，n×n维矩阵A的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出： 1、根据伴随矩阵adj(λI-A)，写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI-A)的各元素； 2、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d(λ)的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则d(λ)=1； 28
《现代控制理论基础》 (讲义) 3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A|除以d(λ)得到。 At 矩阵指数函数e的计算 前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，At即矩阵指数函数e。如果给定矩阵A中所有元素的值，MATLABAT将提供一种计算e的简便方法，其中T为常数。 At 除了上述方法外，对e的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四种计算方法。 方法一：直接计算法(矩阵指数函数) 2233∞AtAt1Atkke=I+At+++L=At∑2!3!k!k=0() 可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。 方法二：对角线标准形与Jordan标准形法 At 若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么e可由下式给出 29
《现代控制理论基础》 (讲义) λt1⎡⎤e0⎢⎥λt2e⎢⎥⎢⎥•AtΛt−1−1⎢e=PeP=P⎥P() •⎢⎥⎢⎥•⎢⎥λtn⎢⎥0e⎣⎦式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。 At 类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则e可由下式确定出 –At J t 1e= S e S (2. 11)------------------------------------------------------------------------------ [例] 考虑如下矩阵A 010⎡⎤⎢⎥A=001 ⎢⎥⎢⎥1−33⎣⎦[解] 该矩阵的特征方程为 323|λI−A|=λ−3λ+3λ−1=(λ−1)=0 因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为 100⎡⎤⎢⎥S=110 ⎢⎥⎢⎥121⎣⎦ 30
《现代控制理论基础》 (讲义) 矩阵S的逆为 100⎡⎤−1⎢⎥S=−110 ⎢⎥⎢⎥1−21⎣⎦于是 100010100⎡⎤⎡⎤⎡⎤−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥SAS=−110001110⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1−211−33121⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 110⎡⎤⎢⎥=011=J⎢⎥⎢⎥001⎣⎦注意到 1⎡⎤tt2tetete⎢⎥2⎢⎥Jttte=0ete ⎢⎥⎢⎥t00e⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得 –At J t 1 e= S e S 即 1⎡⎤tt2tetete100100⎡⎤⎢⎥⎡⎤2⎢⎥⎢tt⎥⎢⎥1100ete−110⎢⎥⎢⎥⎢⎥t⎢⎥⎢⎥⎢⎥12100e1−21⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦11 ⎡⎤tt2tt2t2te−te+tete−tete⎢⎥22⎢⎥112ttt2tt2t⎢⎥=tee−te−tete+te⎢⎥22⎢⎥11t2tt2ttt2t⎢⎥te+te−3te−tee+2te+te⎢⎥22⎣⎦ 31
《现代控制理论基础》 (讲义) 方法三：拉氏变换法 At−1−1e=L[(sI−A)]) At为了求出e，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 考虑如下矩阵A 01⎡⎤ A= ⎢⎥0−2⎣⎦At 试用前面介绍的两种方法计算e。 [解] 方法一 由于A的特征值为0和-2（λ=0，λ= -2），故12可求得所需的变换矩阵P为 11⎡⎤P = ⎢⎥0−2⎣⎦因此，由式(）可得 1⎡⎤11⎡⎤o−2t⎢⎥⎡⎤11e01(1−e)⎡⎤At2⎢⎥ e==2 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥−2t⎢⎥0−210e⎢⎥−2t⎣⎦⎢⎥⎣⎦0−0e⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣2⎦ 方法二 由于 s001s−1⎡⎤⎡⎤⎡⎤sI−A=−= ⎢⎥⎢⎥⎢⎥0s0−20s+2⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32
《现代控制理论基础》 (讲义) 可得 11⎡⎤⎢⎥ss(s+2)−1(−A⎥sI)=⎢ 1⎢⎥0⎢⎥⎣s+2⎦因此 1⎡⎤−2t1(1−e)At−1−1⎢⎥e=L[(sI−A)]=2 ⎢⎥−2t0e⎢⎥⎣⎦------------------------------------------------------------------------------ 方法四：化e为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法) At 第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化e为A的有限项，然后At通过求待定时间函数获得e的方法。必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。 设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式 t2m−1λ11λλLλe111t2m−1λ21λλLλe222••••••••••=0•••••t2m−1λm1λλLλemmm2m−1AtIAALAe (
《现代控制理论基础》 (讲义) 3) AtAtk即可求出e。利用式(）求解时，所得e是以Aλti(k=0,1,2,…,m-1)和e (i=1,2,3,…，m)的形式表示的。 此外，也可采用如下等价的方法。 将式()按最后一行展开，容易得到 At2m−1e=α(t)I+α(t)A+α(t)A+L+a(t)A012m−1 （） 从而通过求解下列方程组： 2m−1λt1α(t)+α(t)λ+α(t)λ+L+a(t)λ=e 01121m−112m−1λt2α(t)+α(t)λ+α(t)λ+L+a(t)λ=e 01222m−12· · .5) · 2m−1λtmα(t)+α(t)λ+α(t)λ+L+a(t)λ=e 01m2mm−1mAt可确定出α(t)(k=0,1,2…，m-1)，进而代入式()即可求得e。 k如果A为n×n维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的α(t)k的个数为m=n，即有 At2n−1e=α(t)I+α(t)A+α(t)A+L+a(t)A012n−1 （
《现代控制理论基础》 (讲义) ） 如果A含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的α(t)的个数小于n，这里将不再进一步介绍。 k------------------------------------------------------------------------------ [例] 考虑如下矩阵A 01⎡⎤A= ⎢⎥0−2⎣⎦AtAt试用化e为A的有限项法计算e。 [解] 矩阵A的特征方程为 det(λI−A)=λ(λ+2)=0 可得相异特征值为λ=0，λ= -2。 12 由式(），可得 tλ11λe1tλ21λe=0 2AtIAe即 101−2t1−2e=0 AtIAe 将上述行列式展开，可得 At−2t−2e+A+2I−Ae=0 或 35
《现代控制理论基础》 (讲义) 1At−2te=(A+2I−Ae)2⎧012001⎫1⎡⎤⎡⎤⎡⎤−2t=+−e ⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥20−2020−2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭1⎡⎤−2t1(1−e)⎢⎥=2⎢⎥−2t0e⎢⎥⎣⎦另一种可选用的方法是采用式(）。首先，由 λt1α(t)+α(t)λ=e011 λt2α(t)+α(t)λ=e012确定待定时间函数α(t)和α(t)。由于λ=0，λ= -2，上述两式0112变为 α(t)=10 −2tα(t)−2α(t)=e01 求解此方程组，可得 1−2ta(t)=1,a(t)=(1−e) o12因此， 1⎡⎤−2t1(1−e)1At−2t⎢⎥e=a(t)I+a(t)A=I+(1−e)A=2 o1⎢⎥2−2t0e⎢⎥⎣⎦------------------------------------------------------------------------------ 36
《现代控制理论基础》 (讲义) 习题 考虑下列矩阵 01⎡⎤A= ⎢⎥－2－3⎣⎦At试利用三种方法计算e。 给定线性定常系统 &x=Ax 式中 01⎡⎤A= ⎢⎥−3−2⎣⎦且初始条件为 1⎡⎤x(0)= ⎢⎥−1⎣⎦试求该齐次状态方程的解x(t)。 现代控制理论基础 第三章 线性多变量系统的能控性与能观测性分析 37
《现代控制理论基础》 (讲义) 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 线性连续系统的能控性 概述 如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x(t)转移到任一状态，则称该系统在时刻too是能控的。 如果系统的状态x(t)在有限的时间间隔内可由输出的观测o值确定，那么称系统在时刻t是能观测的。 o 前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观 38
《现代控制理论基础》 (讲义) 测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。节涉及到能控性，节将讨论能观测性。 上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。 定常系统状态能控性的代数判据 考虑线性连续时间系统 Σ：&x(t)=Ax(t)+Bu(t) (） n1n×nn×1其中，x(t)∈R,u(t)∈R,A∈R,B∈R（单输入），且初始条件为x(t)=x(0)。 t=0 如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔to≤t≤t1内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（）描述的系统在t = t时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都o能控，则称该系统为状态(完全)能控的。 下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即t=0。 o 由上一章的内容可知，式()的解为 tAtA(t−τ)x(t)=ex(0)+edτ ∫o 利用状态能控性的定义，可得 39
《现代控制理论基础》 (讲义) t1AtA(t−τ)11x(t)=0=ex(0)+eBu(τ)dτ 1∫o或 t1−Aτx(0)=−eBu(τ)dτ∫) −Aτ 将e写为A的有限项的形式，即 n−1−Aτke=α(τ)A∑kk=0() 将式()代入式（），可得 n−1t1kx(0)=−ABa(τ)u(τ)dτ∑k∫0k=) 记 t1a(τ)u(τ)dτ=β kk∫0则式()成为 n−1kx(0)=−ABβ∑kk=0β⎡⎤0⎢⎥β1⎢⎥⎢⎥•n−1=−[BMABMLMAB]⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎢⎥β⎢⎥⎣n−1⎦ 40
《现代控制理论基础》 (讲义) ) 如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足式（）。这就要求n×n维矩阵 n−1Q=[BMABMLMAB] 的秩为n。 由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当n×n维矩阵Q满秩，即 n−1rankQ=rank[BMABMLMAB]=n 时，由式（）确定的系统才是状态能控的。 上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为 &x=Ax+Bu nrn×nn×r式中，x(t)∈R,u(t)∈R,A∈R,B∈R，那么可以证明，状态能控性的条件为n×nr维矩阵 n−1Q=[BMABMLMAB] 的秩为n，或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵 n−1Q=[BMABMLMAB] 能控性矩阵。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 考虑由下式确定的系统： 41
《现代控制理论基础》 (讲义) &x11x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−1x1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ 由于 11detQ=det[BMAB]==0 00即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 考虑由下式确定的系统： &x11x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x2−1x1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ 对于该情况， 01detQ=det[BMAB]=≠0 1−1即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ 状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。 考虑如下的线性系统 &x=Ax+Bu( 42
《现代控制理论基础》 (讲义) ) nrn×nn×r式中，x(t)∈R,u(t)∈R,A∈R,B∈R。 如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P，使得 −1PAP=Λ=diag{λ,λ,L,λ} 12n 注意，如果A的特征值相异，那么A的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例如，具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵P的每一列是与λi (i=1,2, …，n)有联系的A的一个特征向量。 设 x = P z () 将式()代入式()，可得 −1−1z&=PAPz+PBu () 定义 −1PB=Γ=(f) ij则可将式（）重写为 z&=λz+fu+fu+L+fu1111111221rrz&=λz+fu+fu+L+fu2222112222rr Lz&=λz+fu+fu+L+funnnn11n22nrr 如果n×r维矩阵Γ 的任一行元素全为零，那么对应的状态43
《现代控制理论基础》 (讲义) 变量就不能由任一u来控制。由于状态能控的条件是A的特征向i−1量互异，因此当且仅当输入矩阵Γ=PB没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，−1应特别注意，必须将式（）的矩阵PAP转换成对角线形式。 如果式（）中的矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别λ,λ,λ,λ,λ,λ,…,λ,并且有111446nn - 3个互异的特征向量，那么A的Jordan标准形为 λ100⎡⎤1⎢⎥0λ11⎢⎥⎢⎥00λ1⎢⎥λ14⎢⎥⎢⎥0λ4J=⎢⎥ λ⎢6⎥⎢⎥O⎢⎥O⎢⎥⎢⎥O⎢⎥⎢0λ⎥⎣n⎦其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan块。 假设能找到一个变换矩阵S，使得 −1SAS=J 如果利用 x = S z () 定义一个新的状态向量z，将式（）代入式（）中，可得44
《现代控制理论基础》 (讲义) 到 −1−1z&=SASz+SBu =Jz+Γ) 从而式（）确定的系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当（1）式（）中的矩阵J中没有两个Jordan块与同一特征−1值有关；（2）与每个Jordan块最后一行相对应的Γ=SB的任一−1行元素不全为零；（3）对应于不同特征值的Γ=SB的每一行的元素不全为零时，则系统是状态能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 下列系统是状态能控的： &x−10x2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−2x5⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦&x−110x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=0−10x+4u22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x00−2x3⎣3⎦⎣⎦⎣3⎦⎣⎦&x−2100x⎡01⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−21x0022⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥u⎡⎤1⎢⎥⎢⎥&⎢⎥x=00−⎢⎥2x+3033⎢⎥u⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣2⎦&x−51x0044⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥00−521xx⎣5⎦⎣⎦⎣5⎦⎣⎦ 下列系统是状态不能控的： 45
《现代控制理论基础》 (讲义) &x−10x2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−2x0⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦&x−110x42⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11u⎡⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ &x=0−10x+00 22⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥u⎣2⎦⎢&⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x00−2x3033⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&xx−21004⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−21x222⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢&⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x=00−2x+1u33⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x−51x344⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x00−5x05⎣⎦5⎣⎦⎣⎦⎣⎦------------------------------------------------------------------------------ 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件 状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 考虑下列传递函数： X(s)s+= U(s)(s+)(s−1)显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。 当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为 46
《现代控制理论基础》 (讲义) &x01x1⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&−⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ 由于 11⎡⎤[BMAB]= ⎢⎥11⎣⎦即能控性矩阵[BMAB]的秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。 ------------------------------------------------------------------------------ 输出能控性 在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。 考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统 &x=Ax+Bu() y=Cx+Du()nrmn×nn×rm×nm×r式中，x∈R,u∈R,y∈R,A∈R,B∈R,C∈R,D∈R。 如果能找到一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔t≤t≤t内，使任一给定的初始输出y(to)转移到任一最终输出o1y(t)，那么称由式（）和（）所描述的系统为输出能1控的。 可以证明，系统输出能控的充要条件为：当且仅当m×(n+1)r维输出能控性矩阵 47
《现代控制理论基础》 (讲义) 2n−1Q′=[CBMCABMCABMLMCABMD] 的秩为m时，由式（）和（）所描述的系统为输出能控的。注意，在式（）中存在Du项，对确定输出能控性是有帮助的。 线性连续系统的能观测性 现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式 &x=Ax() y=Cx()nmn×nm×n式中，x∈R,y∈R,A∈R,C∈R。 如果每一个状态x(t)都可通过在有限时间间隔t≤t≤t内，oo1由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t=0。 o 能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。 在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（）和（）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式 48
《现代控制理论基础》 (讲义) &x=Ax+Bu y=Cx+Du则 tAtA(t−τ)x(t)=ex(0)+eBu(τ)dτ ∫o从而 tAtA(t−τ)y(t)=Cex(0)+CeBu(τ)dτ+Du ∫o 由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（）和()所描述的零输入系统就可以了。 定常系统状态能观测性的代数判据 考虑由式（）和()所描述的线性定常系统。将其重写为 &x=Ax y=Cx 易知，其输出向量为 Aty(t)=Cex(0) At 将e写为A的有限项的形式，即 n−1Atke=α(t)A ∑kk=0因而 n−1ky(t)=α(t)CAx(0) ∑kk=0 49
《现代控制理论基础》 (讲义) 或 n−1y(t)=α(t)Cx(0)+α(t)CAx(0)+L+α(t)CAx(0)01n−) 显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t≤t1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由式（）唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nm×n维能观测性矩阵 C⎡⎤⎢⎥CA⎢⎥R= ⎢⎥M⎢⎥n−1CA⎣⎦的秩为n。 由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式（）和（）所描述的线性定常系统，当且仅当n×nm维能观测性矩阵 TTTTTn−1TR=[CMACML（MA）C] T的秩为n，即rankR=n时，该系统才是能观测的。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 试判断由式 &x11x0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤11=+u⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x−2−1x1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦ x⎡⎤1y=[10]⎢⎥x⎣2⎦所描述的系统是否为能控和能观测的。 50
《现代控制理论基础》 (讲义) [解] 由于能控性矩阵 01⎡⎤Q=[BMAB]= ⎢⎥1−1⎣⎦的秩为2，即rankQ=2=n，故该系统是状态能控的。 对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于 Q'=[CBMCAB]=[01] 的秩为′1，即rankQ=1=m，故该系统是输出能控的。 为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于 11⎡⎤TTTTR=[CMAC]= ⎢⎥01⎣⎦T 的秩为2，rankR=2=n，故此系统是能观测的。 ------------------------------------------------------------------------------ 用传递函数矩阵表达的能观测性条件 类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 证明下列系统是不能观测的。 &x=Ax+Bu y=Cx 51
《现代控制理论基础》 (讲义) 式中 x0100⎡⎤⎡⎤⎡⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥x=x,A=001,B0,C=[451] 2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x−6−11−61⎣3⎦⎣⎦⎣⎦[解] 由于能观测性矩阵 4−66⎡⎤TTTTT2T⎢⎥R=[CMACM(A)C]=5−75⎢⎥ ⎢⎥1−1−1⎣⎦注意到 4−665−75=0 1−1−1T即rankR<3=n，故该系统是不能观测的。 事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X(s)1和U (s)之间的传递函数为 X(s)11= U(s)(s+1)(s+2)(s+3) 又Y (s)和X(s)之间的传递函数为 1Y(s)=(s+1)(s+4) X(s)1故Y(s)与U(s)之间的传递函数为 Y(s)(s+1)(s+4)= U(s)(s+1)(s+2)(s+3)显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。 52
《现代控制理论基础》 (讲义) ------------------------------------------------------------------------------ 注释 当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。 状态能观测性条件的标准形判据 考虑由式（）和（）所描述的线性定常系统，将其重写为 &x=Ax() y=Cx() 设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵， −1PAP=Λ 式中，Λ=diag{λ,λ,L,λ}为对角线矩阵。定义 12nx=Pz 式（）和()可写为如下对角线标准形 −1&z=PAPz=Λz y=CPz因此 Λty(t)=CPez(0) 或 53
《现代控制理论基础》 (讲义) λtλt11⎡⎤⎡⎤e0ez(0)1⎢⎥⎢⎥λtλt22eez(0)2⎢⎥⎢⎥y(t)=CPz(0)=CP ⎢⎥⎢⎥OM⎢⎥⎢⎥λtλtnn0eez(0)⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣n⎦ 如果m×n维矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。这是因为，如果CP的第i列含全为零的元素，则在输出方程中将不出现状态变量z(0)，因而不能由y i上述判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式（）和()化为对角线标准形的情况。 如果不能将式（）和()变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵S，将其中的系统矩阵A变换为Jordan标准形。 −1SAS=J 式中， J为Jordan标准形矩阵。 定义 x=Sz 则式（）和()可写为如下Jordan标准形 −1z&=SASz=Jz y=CSz 因此 Jt y(t)=CSez(0) 系统能观测的充要条件为：（1） J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵 54
《现代控制理论基础》 (讲义) CS列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。 为了说明条件(2），在例中，对应于每个Jordan块的第一行的CS列之元素用下划线表示。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 下列系统是能观测的： &x−10xx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111=,y=[13]⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−2xx⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣2⎦&x210xx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111y300⎡⎤⎡⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=021x,=x 222⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥y400⎣2⎦⎣⎦⎢&⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x002xx333⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&x2100xx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x021xx222⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥y11100⎡⎤⎡⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥&⎢x002⎥=x,=x333⎢⎥⎢⎥y01110⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣2⎦⎣⎦&x−31xx444⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&00x−3xx5⎣⎦55⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 显然，下列系统是不能观测的： &x−10xx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111=,y=[01]⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x0−2xx⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣2⎦&x210xx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤111y013⎡⎤⎡⎤⎢1⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x=021x,=x 222⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥y024⎣2⎦⎣⎦⎢⎥&⎢⎥⎢⎥⎢⎥x002xx⎣333⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&x12100x⎡⎤⎡⎤⎡⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x2021x2⎢⎥⎢⎥⎢⎥y11100⎡⎤⎡⎤1⎢⎥⎢&⎥⎢⎥x3=002,=x3⎢⎥⎢⎥y01100⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣2⎦⎣⎦&x4−31x4⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥&x500−3x⎣⎦⎣⎦⎣5⎦------------------------------------------------------------------------------ 55
《现代控制理论基础》 (讲义) 对偶原理 下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由提出的对偶原理。 考虑由下述状态空间表达式描述的系统S： 1&x=Ax+Bu y=Cxnrmn×nn×rm×n式中，x∈R,u∈R,y∈R,A∈R,B∈R,C∈R。 以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S： 2TTz&=Az+Cv Tn=BznmrTn×nTn×mTr×n式中，z∈R,v∈R,n∈R,A∈R,C∈R,B∈R。 对偶原理：当且仅当系统S状态能观测（状态能控）时，系2统S才是状态能控（状态能观测）的。 1 为了验证这个原理，下面写出系统S和S的状态能控和能观12测的充要条件。 对于系统S： 11. 状态能控的充要条件是n×nr维能控性矩阵 n−1[BMABMLMAB] 的秩为n。 2. 状态能观测的充要条件是n×nm维能观测性矩阵 56
《现代控制理论基础》 (讲义) TTTTn−1T[CMACMLM(A)C] 的秩为n。 对于系统S: 21. 状态能控的充要条件是n×nm维能控性矩阵 TTTTn−1T[CMACMLM(A)C] 的秩为n。 2. 状态能观测的充要条件是n×nr维能观测性矩阵 n−1[BMABMLMAB] 的秩为n。 对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检检和判断。 简单地说，对偶性有如下关系： TTTA⇒A,B⇒C,C⇒B 57
《现代控制理论基础》 (讲义) 习题 考虑由下式定义的系统 &x=Ax+Bu y=Cx式中 －1−2−22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ A=0－11，B=0,C=[110] ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥10−11⎣⎦⎣⎦ 试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？ 下列能控标准形 &x=Ax+Bu y=Cx式中 0100⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ A=001，B=0,C=[2091] ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−6−11−61⎣⎦⎣⎦是状态能控和状态能观测的吗？ 考虑如下系统 &x=Ax+Bu y=Cx式中 58
《现代控制理论基础》 (讲义) 0100⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ A=001,B=1,C=[ccc] 123⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−6−11−60⎣⎦⎣⎦ 除了明显地选择c=c=c=0外，试找出使该系统状态不能123观测的一组c，c和c。 123 59
