厦门大学经济系邵宜航数理经济学精要——经济学中的最优化数学分析最优控制原理与应用简介（讲义要点）
第四章最优控制理论§ 最优控制问题§ 最优控制理论和最大值原理应用：经济增长分析. 最优控制问题. 古典的最优增长理论. 最大值原理. 政府支出与内生. 最大值原理与变经济增长分法的最优性条件. 最大值原理的应用例. 最优解充分性条件§4 最优控制理论2
§ 最优控制问题和最大值原理典型的最优控制问题可表示如下： t1(OCP-1) min:Ψ(x(⋅),u(⋅))=ft,xt,utdt () ()()()∫t0 .:xt=Φt,xt,ut () ()()()()ht,xt=0,ht,xt=0 () ()()()()000111u(t)∈U () mn在此问题中， u:[t,t]→R称为控制变量，x:[t,t]→R0101nm称为状态变量。()为目标泛函，其中f:R×R×R→R；nmn()为状态方程，其中Φ:R×R×R→R；()为端点约nli束（边界条件），其中h:R×R→R，i=0,1；()为控制im变量约束，U⊂R。 §4 最优控制理论3
Lagrange问题、Mayer问题、Bolza问题上述目标泛函表示为积分型，此类型称为Lagrange问题。有时目标函数表示为末值型，称为Mayer问题： Ψ(x(⋅),u(⋅))=ϕ(t,x(t)) 11有时表示为混合型，称为Bolza问题： t1Ψ(x(⋅),u(⋅))=ft,xt,utdt+ϕ(t,x(t)) ()()()11∫t0但三者是可以互相转换的。 §4 最优控制理论4
最大值原理【定理】（最大值原理） ∗∗设最优控制问题(OCP-1)的一个可行过程(x,u)为一最优nl0解。则存在λ≥0∈R、向量值函数p(⋅):[t,t]→R和向量k∈R，010l1k∈R，且λ,k,k,p不全为零，使得以下成立： 101∗∗p t=−Ht,xt,ut,pt,λ ()()()()()()x∗∗∗Ht,xt,ut,pt,λ=maxHt,xt,u,pt,λ ()()()()()()()()u∈UT*T*pt=kht,xt，pt=kht,xt ()()()()()()000x00111x11其中H称为Hamilton函数，定义如下：nmnH:R×R×R×R×R→R, THt,x,u,p,λ=pΦt,x,u−λft,x,u ()()()§4 最优控制理论5
最大值原理的进一步说明1定理中的()称为最大值条件或控制方程。该条件也是“最大值原理”名称的来源。当最优控制值落在约束集合U的内部或不存在集合约束，且f与Φ关于控制变量u也可微时，()可归结为以下一阶条件： ∗∗Ht,xt,ut,pt,λ()()()()uT∗∗∗∗=ptΦt,xt,ut−λft,xt,ut ()()()()()((uu=0§4 最优控制理论6
最大值原理的进一步说明2对应于状态方程，()称为伴随或协态方程，相对状态变量x，p称为协态变量或共轭变量，也称Hamilton乘子。在这里，协态方程与状态方程实际上构成了Hamilton系统，在多数经济学的应用中，Hamilton系统具有良好的稳定性。()写成分量形式即为： n∂Φ∂fj∗∗∗∗p t=−ptt,xt,ut+λt,xt,ut，i=1,",n()()()()()()((∑ijj=1ii 在经济学应用中，协态变量有其特定的经济学意义。 §4 最优控制理论7
最大值原理的进一步说明3 ()是关于协态变量的端点条件，其中终端条件也称为横截性条件。协态方程的端点条件可以协助把最优路径区别于其他的许可路径。这里我们进一步考察几种经济学应用中简单但常见的情形： (i) 始点固定的情况，比如为x(t)=00时，()并不是实质性的条件，此时关于p(t)无条件。 0§4 最优控制理论8
最大值原理的进一步说明4(ii) 端点自由的情况，即x(t)无约束，此时有横截1性条件p(t)=0。因此，如若()变为：x(t)=0,x(t)自101由，则()变为：p(t)无条件, p(t)=0。 01（iii）当端点条件为不等式约束时，例如，ht,xt≤0，此时除()成立外，还有类似非线性()()111T*规划问题中的互补松弛条件成立，kht,xt=0，()()1111*k≥0，即ht,xt<0时，有k=0，i=1,",n。所以()()11i111i*特别当终点约束为xt≤0时，有ptxt=0 ()()()111§4 最优控制理论9
最大值原理的进一步说明5在实际应用中为探讨目标函数的特征，我们希望λ≠0。但要保证目标函数的Lagrange乘子不为零需要相应的附加条件。要分析这些附加条件比较抽象和麻烦，而在实际问题中，直接验证λ≠0可能要简单的多。 §4 最优控制理论10
最大值原理的进一步说明6在自由终端问题中，因为有p(t)=0，1此时若λ=0，则()变为 T∗∗ pt=−ptΦt,xt,ut ()()()()()x由常微分方程关于解的唯一性定理，此时p(⋅)=0为唯一解。若起点固定，如x(t)=0，0则k=p(t)=0。该结果与定理中的各系数00不同时为零相矛盾。所以，λ≠0。即，在x(t)=0,x(t)自由的约束下，λ≠0，可设01为1。 §4 最优控制理论11
最大值原理→变分法最优性条件古典的变分法问题是最优控制问题的一个特例，容易从最大值原理出发来推导变分法的Euler方程。 前章变分法问题(CVP-1)可写成以下的最优控制形式， t1min:f(t,x(t),u(t))dt ∫.:x (t)=u(t) x(t)=x,x(t)=x 0011*** 设x(t)为(CVP-1)的最优解，则u(t)= x(t)。根据最大值原理即可推得变分法的最优性条件。 §4 最优控制理论12
变分法Euler方程→最大值原理当不存在控制变量的集合约束时，最优控制问题也可以作为变分问题来处理，可以用变分法的Euler方程推导最大值原理。 考虑以下最优控制问题， t1min:ft,xt,utdt ()()(∫t0 .:xt=Φt,xt,ut， ()()()()xt=x ()00在这里终端时刻固定，但终端值无约束。设该问题满足定理的设定。则根据变分法的最优性条件可推得最大值原理。 §4 最优控制理论13
例. 一个简单的两部门模型T考虑： max:x(t)dt 2∫00 .:x(t)=αu(t)x(t)，x(0)=x (*1) 11110 x (t)=α1−u(t)x(t)，x(0)=x (*2) []222 u(t)∈[0,1] 该问题的经济学意义可以理解如下：经济存在两部门，生产资料（资本品）x生产部门和生活资料（消费品）x生产部门，x(t)，i=1,212i表示t时刻（时期）的产量，两部门的生产均依赖于资本品x的投入，1u(t)为t时刻x在两部门的分配比例，所以u(t)介于0和1之间。x (t)1i表示产品x的增量，(*1)和(*2)分别表示两产品产量的增长式。经济i00的目标为计划期间[0,T]的总消费量最大。此外，x，x为初期产量1200状态，在该问题中，不存在对终点状态的限制。我们设α，x，x均12大于零。 §4 最优控制理论14
Arrow充分性定理【定理】（Arrow充分性定理） ** 设(x,u)为上述最优控制问题（OCP-2）的一可行控制过程，如果存在满足条件（）、（）和（）的向量值函数p(⋅)，且以下函数 Ht,x,pt=maxHt,x,u,pt ()()()()u∈U**存在并关于x为凹，则(x,u)为问题（OCP-2）的最优解。特别是，当Ht,x,pt为x的严格凹函数时，()()最优解是唯一的。 §4 最优控制理论15
§ 无限时域的最优控制问题§4 最优控制理论16
问题的数学表述（OCP-5）下面我们讨论无限时域的最优控制问题。为简便，我们着眼于经济学中常用的比较单纯的问题： ∞(OCP-5) min:ft,xt,utdt ()()()∫0 .:x(t)=Φt,x(t),u(t) （） ()x0=x ()0ut∈U （） ()无限时域问题涉及到广义积分，为使问题有意义，我们必须讨论对于满足约束条件的可行控制过程，目标泛函的广义积分的存在性问题。 §4 最优控制理论17
【定义】【定义】（无限时域问题的最优解定义）（i）强性最优（Strongly Optimal）；（ii）超越性最优（Overtaking Optimal）；（iii）弱超越性最优（Weakly Overtaking Optimal）；（iv）有限性最优（Finitely Optimal）；*定义中的最优性由强到弱， 即，（i）⇒（ii）⇒（iii）⇒（iv）。 §4 最优控制理论18
【定理】最优性原理【定理】最优性原理： ** 如果(OCP-5)的可行过程(x,u)是上述定义(i)-(iii)中任一意义上的最优解，则对任意的T>0，在[0,T]上对所有满足控制约束（）、状态方程（）和端点条件*xt=x，xT=x(T)的(x,u)下式成立 ()()00**J(x(⋅),u(⋅))≤J(x(⋅),u(⋅))。 **即，(x,u)是有限性最优。 §4 最优控制理论19
【定理】（无限时域的最大值原理）【定理】（无限时域的最大值原理） ∗∗设(OCP-5)的一可行过程(x,u)为定义中任一意义上的最优解，则存在λ≥0∈R和向量值函数np(⋅):[0,∞)→R，且λ,p不同时为零，使 得以下成立， ∗∗p t=−Ht,xt,ut,pt,λ （） ()()()()()x∗∗∗Ht,xt,ut,pt,λ=maxHt,xt,u,pt,λ （） ()()()()()()()u∈U其中H为Hamilton函数， THt,x,u,p,λ=pΦt,x,u−λft,x,u ()()()§4 最优控制理论20
【定理】（最优性充分条件）【定理】（最优性充分条件） 在(OCP-5)原有的关于函数设定的基础上，设f∗∗与Φ关于u也是连续可微的，U为凸集。设(x,u)为一n可行过程。若存在λ=1，和向量值函数p(⋅):[0,∞)→R，使得定理的Hamilton函数满足()和(），并且Ht,x,u,p,λ关于(x,u)是凹的，对任一可行的x(⋅)有()*limp(t)x(t)−x(t)≤0 ()t→∞∗∗则(x,u)为(OCP-5)的超越最优解。特别是若Ht,x,u,p,λ关于(x,u)的凹性是严格的，则最优解唯()一。 §4 最优控制理论21
§ 最优控制理论应用：经济增长分析. 古典的最优增长理论§4 最优控制理论22
§ 最优控制理论应用：经济增长分析. 古典的最优增长理论§4 最优控制理论23
§ 最优经济增长模型分析设生产函数为 Y(t)=FK(t),N(t) ()其中，K为资本存量，N为劳动投入（在宏观设定下可理解为人口量）。如果考虑人均资本存量k(t)=K(t)N(t)，则在生产函数是线性齐次的设定下（规模收益不变），可得人均量的生产函数如下： Y1K⎛⎞=FK,N=F,1=:fk ()()⎜⎟NNN⎝⎠（接后页） §4 最优控制理论24
模型相关设定的经济学含义（续前页） 在产出的分配K=Y−C的设定下，（其中K为资本存量的瞬间变化量，C为消费）可知人均量的资源配置为 ii′ KKN−NKKNKYCNK⎛⎞ k===−⋅=−−⋅⎜⎟2 NNNNNNNNN⎝⎠=fk−c−nk() 此处，n=NN表示人口增长率，以下我们设人口增长率为一常数；c=CN表示人均消费量。同时在这里我们不考虑资本的损耗。关于生产函数我们假设以下所谓的稻田条件被满足： ′f(k)>0，′′f(k)<0，′f(0)=∞，′f(∞)=0 它表明生产函数为递增的凹函数，资本的边际生产力递减。§4 最优控制理论25
(一) 计划增长模型设经济由众多同样的家庭（也可以理解为个人）组成。设想由一代表全民的中央政府在上述资源约束下选择最优的消费与资本增长路径以最大化家庭的消费效用。如此的最优选择问题可表示为如下的最优控制模型： ∞−θtmax: U(c(t))edt （） ∫ 0(c,k) .:k= f(k)−c−nk （） k(0)=k （） 0(接后页) §4 最优控制理论26
(一) 计划增长模型（续前页） （）中的U(⋅)表示个人的消费效用函数。设边际效用为正，但递减，即U(⋅)是严格凹的递増函数，用导数表示即U′(c)>0，U′′(c)<0。θ表示时间偏好率或主观贴现率、为一正的常数。（）的积分式表示消费效用的现值总和。（）即上述资源配置约束，同时生产函数的设定也体现了技术的约束。（）为初期的资本存量限制。此问题中还隐含消费的约束ct≥0，但由于一般情况下最优的消费将()大于零，所以这样的不等式约束实际上不起约束作用，故可省略。另外，在此问题中c为控制变量，k为状态变量，该问题的解即是最优的消费与资本关于时间函数，也称为最优增长路径。 §4 最优控制理论27*具体分析请参见讲义
(二) 竞争市场的均衡途径现在我们考虑在竞争市场达成的均衡增长路径。考虑存在众多无差异的家庭和无差异的企业的市场经济。该经济存在完全竞争的资本和劳动两个要素市场。在市场上，两种生产要素均由家庭提供，家庭和厂商可以预测到市场的资本利率和劳动工资率。对二者的决策过程而言利率和工资是外生的给定量。 家庭的选择。 家庭将把收入分配于消费和储蓄，以最大化自己的消费效用。家庭的预算约束如下： k=rk+w−c−nk （） 式中r表示利率，w表示工资率，这里不考虑其他资产，故均衡时家庭的资产等同于企业的资本，所以可用k表示家庭资产。另外，这里也不考虑家庭间的互相借贷。 §4 最优控制理论28（接后页）
(二) 竞争市场的均衡途径（续前页） 家庭的最优化问题可表示为在预算约束（）及初期条件（）的约束下，最大化（）的消费效用现值总和，即， ∞−θtmax: U(c(t))edt ∫ 0(c,k) .:k=rk+w−c−nk k(0)=k 0 对该问题我们再次利用最大值原理，容易求得最优状态的消费增长率为, c Uc=−r−n−θ （） ()cUcc此外，在家庭的最优选择中横截性条件也同样成立。这样，家庭的最优选择(c,k)将由约束条件()和最优性条件()以及端点条件()与横截性条件()所决定。 （接后页） §4 最优控制理论29
(二) 竞争市场的均衡途径（续前页） 企业的选择。企业的最优选择相对来说比较简单。在各时点，企业将考虑利润最大化，故生产要素的价格将等于它的边际生产率（参例）。所以我们有，r=f(k)，w=f(k)−kf(k) () kk在完全竞争市场的均衡状态，企业预测的w和r须与家庭预测的w和r一致，即()，()的r和w将与(的相同。把()分别代入()和()，容易得到()和()。如此，我们知道竞争市场的均衡增长路径(c,k)将与上述计划增长模型的社会性最优增长路径相一致。换言之，在竞争市场中可以实现资源的动§4 最优控制理论30态最优配置。
(三) 市场经济中财政政策的影响以下考虑财政政策对均衡增长路径的影响。在以上模型中，财政政策最终将只会影响家庭的选择，而不会涉及到企业，因为对企业的影响将转嫁到家庭。所以可知以下诸情形下企业的选择仍将满足上述最优性条件（）。为此，我们将主要分析财政政策带来的家庭选择的变动。 §4 最优控制理论31（接后页）
(三) 市场经济中财政政策的影响（续前页） (1) 考虑由一笔征税支付的公共支出的影响。 设由一笔征税τ来支付政府的公共支出g。此时家庭的预算约束要修改为: k=rk+w−τ−c−nk, (τ=g) 在此约束下分析家庭的最优选择可得到与上相同的最优性条件（），结合企业的最优性条件（），可得均衡路径将由()和以下资源配置方程， k= f(k)−c−g−nk （）及上述端点条件()，()所决定。 比较（）与（）易知，若考虑稳定的较小的政府支出，此时经济的动态影响如下图所示，稳定状态的资本存量不变，但稳态的消费将减少。则政府支出仅对上述最优增长路径的消费产生挤出效应。 §4 最优控制理论32（接后页）
(三) 市场经济中财政政策的影响（续前页） (2) 考虑国债的影响。 设政府的超支部分将靠发行国债b来调整。则政府的财政预算表示为： b=rb +g−τ−nb 为简便设初期国债为零。另外加上国债最终要偿还的限制，该限制体现为下式的Non-Ponzi-Game条件： t−(r−n)dt∫0b(0)=0, limb(t)e= 0 t→∞此时家庭的资产a包含企业资本和政府国债，a=k+b，其预算约束必须修改为， a =ra+w−τ−c−na （接后页） §4 最优控制理论33
(三) 市场经济中财政政策的影响（续前页） 通过与前面相似的最优性分析可知均衡路径将同样由()和()及()，()所决定(注意到此处关于k的横截性条件可以从a的横截性条件以及上述关于b的边际条件导出)，即与上述政府支出仅由税收来支付的情形下的均衡路径相同。所以, 政府支出的调剂方法——由国债或由征税来支付，不影响经济的最优增长路径。 同时我们可以注意到，由政府财政预算式和边际条件可导出 tt∞∞(r−n)dt(r−n)dt∫∫00g(t)edt=τ(t)edt ∫∫00该等式表明现值国债总和必须等于现值税收总和，即必须用税收来偿还国债。其实不偿还的国债等同于一笔征税。§4 最优控制理论34（接后页）
(三) 市场经济中财政政策的影响（续前页） (3) 考虑所得税的影响。 考虑政府支出由资产收益税和劳动收益税来支付, 税rw率分别为τ,τ。此时政府预算式修改为： rw b=rb +g−(τa+τ)−nb 家庭的预算约束为： rwa = (1−τ)a+(1−τ)−c−na 经过与以上相类似的分析可知，均衡增长路径将由()和下式决定， cUrc=−(1−τ)f(k)−n−θ ()kcUcc（接后页） §4 最优控制理论35
(三) 市场经济中财政政策的影响（续前页） 此时，资产收益税将影响资源的最优配置。现在的稳定状态时的资本存量由下式所决定， n+θ*f(k)= kr1−τ从此式容易看出资产收益税将降低稳定状态资本的存量水平。 如果我们进一步考虑劳动收益税和消费税，通过同样的展开分析容易知道，因为模型中的劳动要素投入为固定值，所以劳动收入税不会影响稳定状态的资本存量，同时固定税率的消费税将类似一笔征税，也不会影响稳定状态的资本存量，详细推导留给读者。 §4 最优控制理论36
§ 最优控制理论应用：经济增长分析. 政府支出与内生经济增长§4 最优控制理论37
政府支出与内生经济增长以下我们仅分析中央计划性增长模型，容易证明其最优增长路径可以在完全竞争的市场经济中实现。以下模型也是上述古典Ramsey增长模型的扩张，我们将使用同样意义的符号，仅对新的或有不同含义的符号加以说明。 首先假定社会的福利目标可以表示如下， ∞c−θtUc(t),g(t)e dt () ()∫ 0c此处g(t)为t时点的人均公共服务(公共消费)、U(⋅)为总的效用函数。设效用函数满足U>0，U>0，U<0，ccccg2U<0，UU−U>0。 cccccccggggcg§4 最优控制理论38（接后页）
模型相关设定的经济学含义（续前页） k其次，考虑生产和分配。设经济的生产函数为f(k,g)，kk为人均私人资本存量，g表示人均公共资本存量，在这里劳动的投入也为一定，所以生产函数不反映劳动的投入。人均产出的分配如下： k k= f(k,g)−c−g−nk () g为(人均)公共总支出。()表示生产出来的产品被用于个 人消费c，公共支出g，分配给新一代的资源nk，和新的投资k。其中公共总支出又分别用于公共服务和对公共资本的投资， kckg = g−g−ng () 同样我们不考虑资本存量的损耗。 最后，我们设私人资本和公共资本的初期存量分别为， kkk(0)=k，g(0)=g () 00§4 最优控制理论39
最优控制问题的表述和求解()和()描述了该经济的资源和技术的约束。社会性的最优资源配置即是在资源和技术的约束范围内最大化社会的公共福利。如此可以把社会性的动态最优资源分配问题记述为以下的最优控制问题： ∞c−θt max:Uc(t),g(t)e dt () ()∫ 0k .:k= f(k,g)−c−g−nk () ckg = g−g−ng () kkk(0)=k，g(0)=g () 00ck在该最优控制问题中，c, g和g为控制变量，k和g为状态变量。 （接后页） §4 最优控制理论40
最优控制问题的表述和求解（续前页） 由最优控制理论的最大值原理知，在最优的增长路径ckk(c,g,k,g)，存在对应于状态变量k和g的Hamilton乘子p和kq(它们分别表示k和g的影子价格)，使得对Hamilton函数：ckc−θtkcH(c,g,k,g,p,q)=U(c,g)e+p[f(k,g)−cg−nk ]+q(g−g以下的一次最优性条件成立。 −θtH=Ue−p=0 cc−θtH=Ue−q=0 ccggH=−p+q=0 g−p =H=p(f−n) kk−q =H=pf−qn kkgg（接后页） §4 最优控制理论41
最优控制问题的表述和求解（续前页） 除了上述条件之外，还有以下的横截条件也成立。 −θtlimp(t)k(t)=limU(c(t))ek(t)=0 ct→∞t→∞−θlimq(t)g(t)=limU(c(t))eg(t)=0 cg→∞→∞由这些一阶最优性条件可得： U=U, f=f ckckgg该式表示了直观的经济学含义: 在最优状态，公共服务的边际效用应等于私人消费的边际效用，公共资本的边际生产率应等于民间资本的边际生产率。若公共服务的边际效用低于私人消费的边际效用，则应减少公共服务的提供，若公共资本的边际收益高于民间私人资本的边际收益，则要增加公共资本的投资。 §4 最优控制理论42（接后页）
最优控制问题的表述和求解（续前页） 由以上的最优性条件可以导出此时私人消费和公共消费的增长率为： UU−UUcccc ccgggcgk=f(k,g)−nθ （）()k2c(UU−U)cccccggcgcUU−UUg cccggk=−(f(k,g)nθ) （）k2g(UU−U)gcccccggcg从这两个式子知道，在最优状态，如果私人资本的边际收k益不再是递减的，即私人资本的边际生产力f(k,g)如果kk随着公共资本g的提高不再递减，则消费就可能持续地增长。 （接后页）§4 最优控制理论43
最优控制问题的表述和求解（续前页） 特别是如使用Cobb-Douglas型生产函数 kαk1−αf(k,g)=Ak(g) 和常风险回避度的效用函数 1−σc1−σc+λ(g)cU(c,g):= 1−σ则可求得最优的个人消费和公共服务增长率为： c cg1α1−α==(Aα(1−α)n−θ) ccgσα1−α显然，当Aα(1−α)>n+θ时，该经济就可以持续增长。§4 最优控制理论44
