第!"卷 第"期 运 筹 与 管 理 #$%&!"，’$&"
())*年!)月 +,-./01+’2.-2-/.34/’56/’/7-6-’0231-’3- +89&())*
收稿日期：())*:);:!(
基金项目：福建省自然科学基金资助项目（<)"!!)==）；福建工程学院人才基金资助项目（7>:)")(）
作者简介：韩明（!?*!:），男，博士，教授，硕士生导师，福建省“百千万人才工程”入选者，主要研究方向：数理统计、可靠性理论、计量经
济学等。
状态概率的-:@ABCD估计与多层@ABCD估计
韩明
（福建工程学院 数理系，福建 福州;"))!=）
摘 要：在文献［!］中提出了参数估计的一种方法———-:@ABCD估计并给出了状态概率的-:@ABCD估计的定义、-:
@ABCD估计公式、预测模型及其在证券投资中应用，本文在此基础上将给出状态概率的多层@ABCD估计、状态概
率的-:@ABCD估计的性质———-:@ABCD估计，多层@ABCD估计的关系。最后，给出模拟算例。
关键词：运筹学；证券投资；状态概率；预测模型；-:@ABCD估计；多层@ABCD估计。
中图分类号：)(!(&E 文章标识码：/ 文章编号：!))F:;((!（())*）)":))F):)"
!"#$%&’!’()*$()+,$,-.)&/$/01)0$2#$%&’)$,!’()*$()+,+3!’($(&4/+5$5)2)(%
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65’(/$0(：,AJCK［!］，LCMC%$JDAHCNJAKAOC9CKCD9GOA9G$HOC9P$L，HAOCL-:@ABCDGAHCD9GOA9G$H，9$CD9GOA9C
CD9A9CJK$QAQG%G9B，AHLGHDC8RKG9BGHMCD9OCH9，9PCLCSGHG9G$H$S-:@ABCDGAHCD9GOA9G$H$SCD9A9CJK$QAQG%G9BGD
JK$MGLCL，AHL9PCS$KOR%AD$S-:@ABCDGAHCD9GOA9G$H，S$KC8AD9O$LC%AHLG9DAJJ%G8A9G$HDAKCIGMCH&1H9PGDJA:
JCK，$H9PCQADGD，PGCKAK8PG8A%@ABCDGAHCD9GOA9G$H$SCD9A9CJK$QAQG%G9B，JK$JCK9B$S9PC-:@ABCDGAHCD9GOA:
9G$H———KC%A9G$HQC9NCCH9PC-:@ABCDGAHCD9GOA9G$HAHLPGCKAK8PG8A%@ABCDGAHCD9GOA9G$HAKCIGMCH&TGHA%%B，
8A%8R%A9G$HDAKCJCKS$KOCLA88$KLGHI9$ADGOR%A9G$HCUAOJ%C&
7&%8+/-’：$JCKA9G$HDKCDCAK8P；DC8RKG9BGHMCD9OCH9；CD9A9CJK$QAQG%G9B；S$KC8AD9O$LC%；-:@ABCDGAHCD9GOA:
9G$H；PGCKAK8PG8A%@ABCDGAHCD9GOA9G$H&
) 引言
关于参数估计，近年来用@ABCD方法取得了一些进展，特别是在文献［(］中提出了多层先验分布的想
法、文献［;］中提出了多层先验分布的构造方法以来，多层@ABCD方法在参数估计上取得了一些进展。但
用多层@ABCD方法得到的结果一般都要涉及积分的计算（有时甚至是复杂的积分），虽然有 6363
（6AKV$M3PAGH6$H9C3AK%$）等计算方法（见文献［=］），但在有些问题的应用上还是不太方便，这在一定程
度上制约了多层@ABCD方法的应用。那么在各种方法比较无甚优劣时，估计方法的易算性就显得尤为重
要，这是一个值得重视的问题。在文献［!］中，提出了参数估计的-:@ABCD法，正是为了解决这些问题而提
出来的。那么同一个参数（如状态概率）的-:@ABCD估计和多层@ABCD估计之间有什么关系呢？本文将要
给出的命题!回答了这个问题。
万方数据
! "#的$%&’()*估计
文献［!］中给出了证券投资的一种预测方法———$%&’()*法，该方法首先把数据进行分组———划分预
测对象所出现的状态，然后给出状态概率的$%&’()*估计，并在此基础上进行预测。
设!!，!+，⋯，!"为来自同一个总体的样本观察值，根据数据量多少把它们进行适当的统计分组，并
划分对象所处的状态，即把"个观察值按一定的间距（一般为等间距）进行分组。若共分成#组（!!#!
"），相应地把预测对象划分为#个状态，第$个状态记为%$（$,!，+，⋯，#），状态%$中有&$（-"&$!"，$
,!，+，，⋯，#）个观察值。预测对象落入状态%$（$,!，+，⋯，#）的概率记为’$（$,!，+，⋯，#），称它为状
态概率（)*.’.)"/01’1#2#.(）。设预测对象是否落入状态%$（$,!，+，⋯，#）是相互独立的，则对证券价格的
预测可以看作"重贝努里（&)/30422#）试验问题，于是可以用二项分布来描述。
!"! #$的%&’()*+估计的定义
若状态概率’$的先验分布为共轭分布———&).’分布，其密度函数为
!（’$#(，)）,’(5!$ （!5’$）)5!／*（(，)）
其中*（(，)）,$
!
-
+(5!（!5+）)5!6+为&’.’函数，(和)为超参数（7(")/"’/’8).)/），且-!’$!!，(%-，
)%-。
由于"个观察值按一定的间距（一般为等间距）分成#组（!!#!"），所以预测对象落入状态%$（$,
!，+，⋯，#）的概率’$（$,!，+，⋯，#）大的可能性小、而小的可能性大。根据文献［9］中提出的多层先验分
布构造的方法———减函数法，应选择(和)使!（’$#(，)）为’$的减函数。当-!(!!和)%!时，!（’$#
(，)）为’$的减函数，但当(,!和)%!时，!（’$#(，)）仍为’$的减函数。在(,!的条件下，从&’()*
估计的稳健性看（见文献［:］），尾部越细的先验分布会使&’()*估计的稳健性越差，因此)不宜过大，应有
一个界限，设)的上界为,（其中,%!为常数，常数,的确定见文献［!］）。由此可以确定超参数)的范围
为!!)!,（其中,%!为常数）。
若’$的先验分布为&).’分布，当(,!时’$密度函数变为
!（’$#)）,)（!5’$）)5! （!）
其中-!’$!!。
以下把文献［!］中给出的’$的$%&’()*估计的定义，叙述在如下的定义!中。
定义! 称-’$%*,$
.
-’$（)）!（)）6)
为’$的“$%&’()*估计”（);")<.)6&’()*#’3)*.#8’.#03），其中-’$（)）为’$的&’()*估计，.为)的可能取值
范围，!（)）是超参数)在.上的密度函数。
-’$%*,$
.
-’$（)）!（)）/),%［-’$（)）］
是’$的&’()*估计-’$（)）对超参数)的数学期望（);")<.’.#03）。
应该说明，就象经验&’()*估计（)8"#/#<’2&’()*#’3)*.#8’.#03，有时也简称$&估计）与&’()*估计不
同一样，这里"#的$%&’()*估计（);")<.)6&’()*#’3)*.#8’.#03）也与&’()*估计（或多层&’()*估计）不同，
当然’$的$%&’()*估计与’$的多层&’()*估计（7#)/’/<7#<’2&’()*#’3)*.#8’.#03）之间有一定的关系（见稍
后的“’$的$%&’()*估计的性质”部分）。
!", !"的%&’()*+估计
以下把文献［!］中给出的’$的$%&’()*估计，叙述在如下的定理!中。
定理! 设!!，!+，⋯!"为来自同一个总体样本观察值，把"个观察值分成#组（!!#!"），相应地
把预测对象划分为#个状态，状态%$中有&$（-"&$!"，$,!，+，⋯，#）个观察值。若’$的先验密度函数
!（’$#)）由（!）给出，则有：
（#）在平方损失下，’$的&’()*估计为-’$（)）,
&$=!
"=)=!
；
!>第:期 韩 明：状态概率的$%&’()*估计与多层&’()*估计
万方数据
（!!）若!的先验分布为（"，"）上的均匀分布，则#$的#$%&’()估计为
%#$&’*
（($+"）
（","）-.
（)+"+"
)+/
）
定理"的证明，见文献［"］，根据定理"，可以得到%#$&’（$*"，/，⋯，*），然后就可以预测证券价格所在
范围。记#!*0&1｛%#"&!，%#/&’，⋯，%#*&’｝，根据文献［"］提出的最大可能性原则，则#!对应的状态所在的
区间，就是我们所预测证券价格所在的范围，在文献［"］中给出了预测实例。
/ 2!的多层%&’()估计
若#$的先验密度函数!（#$"!）由（"）给出，超参数!的先验分布为（"，"）上的均匀分布（其中"#"为
常数），则#$的多层先验密度函数为
!（#$）*$
"
"
!（#$"!）!（!）!（!）34*
"
（","）$
"
"
!（",#$）!,"34 （/）
其中5%#$%"。
定理/ +"，+/，⋯，+)为来自同一个总体的样本观察值，把)个观察值分成*组（"%*%)），相应地
把预测对象划分为*个状态，状态&$中有($（5&($%)，$*"，/，⋯，*）个观察值。
若#$的多层先验密度函数!（#$）由（/）给出，则在平方损失下，#$的多层%&’()估计为
%#$,’*
$
"
"
!’（($-/，).($-!）34
$
"
"
!’（($-"，).($-!）34
定理/的证明与定理"类似，这里从略。
6 #$的#$%&’()估计的性质
在定理"和定理/中分别给出了#$的#$%&’()估计与#$的多层%&’()估计，那么它们之间有什么关
系呢？以下将要给出的命题"回答了这个问题。
命题" 在定理"和定理/中，#$的#$%&’()估计%#$&’和#$的多层%&’()估计%#$&’和#$的多层%&’()
估计%#$,’满足：-!0
)’7
%#$&’*-!0
)’7
%#$,’/
命题"的证明我们现在还不能给出，但我们可以通过模拟计算来验证（见后面的模拟算例）。
命题"说明，当)为无穷大时，%#$,’和%#$&’是相等的；或在实际问题中当)较大时，%#$,’和%#$&’比较
接近。
8 模拟算例
以下根据定理"和定理/，具体通过模拟)和($来计算%#$,’，%#$&’和%#$,（这里%#$,*"%#$&’,%#$,’"），其计
算结果见表"（($*5），表/（($*"）和表6（($*/）。
表! !"#$%，!"#&%和!"#"的计算结果（’##$）
) " / 6 8 9 : 极差
"5 %#$&’ 5;5<558/ 5;5==5=9 5;5=86<" 5;5=">/5 5;5:>::" 5:5"56<"
"5 %#$,’ 5;5=>=6" 5;5=:/69 5;5=65"" 5;5=55:< 5;5:=6<: 5;5"/689
"5 %#$, 5;5556"" 5;555<6> 5;55"6:> 5;55"<9" 5;55//=9 5;55">:8
95 %#$&’ 5;5">58< 5;5"<<=5 5;5"<:>: 5;5"<9/= 5;5"<6:/ 5;555:<:
95 %#$,’ 5;5">5/> 5;5"<<"6 5;5"<9>: 5;5"<6</ 5;5"<"=/ 5;555<9=
95 %#$, ";>:&059 9;=6&059 5;555"55 5;555"89 5;555">5 5;555"=5
/= 运 筹 与 管 理 /55:年第"9卷
万方数据
续表
! " ! " # $ % 极差
&’’ #$%&’ ’(’’)*$% ’(’’)%)# ’(’’)%"$ ’(’’)$*% ’(’’)$&+ ’(’’’!""
&’’ #$%(’ ’(’’)*$& ’(’’)%)# ’(’’)%"$ ’(’’)$*% ’(’’)$&+ ’(’’’!""
&’’ #$%, $(!&&)’% &($#&)’$ !(*#&)’$ #(’&&)’$ $("’&)’$ ’(’’’’#+
$’’ #$%&’ ’(’’&))’ ’(’’&)++ ’(’’&)+% ’(’’&)+# ’(’’&)+! ’(’’’’’+
$’’ #$%(’ ’(’’&))’ ’(’’&)+* ’(’’&)+$ ’(’’&)+! ’(’’&)+’ ’(’’’’&’
$’’ #$%, !(&)&)’* %($%&)’* &(&+&)’% &(*#&)’% !(""&)’% ’(’’’’’!
&’’’ #$%&’ ’(’’’))+ ’(’’’))* ’(’’’))* ’(’’’))% ’(’’’))% ’(’’’))!
&’’’ #$%(’ ’(’’’))* ’(’’’))* ’(’’’))% ’(’’’))% ’(’’’))$ ’(’’’’’!
&’’’ #$%, $($"&,’+ &(%$&,’* !()*&,’* #(#’&,’* $(++&,’* $(""&,’*
说明：在表&中，&()%&,’$-&()%.&’,$。
表! !"#$%，!"#&%和!"#"的计算结果（’##$）
! " ! " # $ % 极差
&’ #$%&’ ’(&%’’+$ ’(&$#&$’ ’(&#+*%! ’(&#"+#& ’(&")"!! ’(’!’*%"
&’ #$%(’ ’(&+)+$# ’(&+’"%% ’(&*’+*) ’(&%#""* ’(&$*%!’ ’(’"!!"#
&’ #$%, ’(’!)*%) ’(’!%!&% ’(’!"&&* ’(’!’#)% ’(’&+!)+ ’(’&&#*&
$’ #$%&’ ’(’"+’)% ’(’"**#’ ’(’"*")! ’(’"*’$" ’(’"%*!" ’(’’&"*"
$’ #$%(’ ’(’")$%# ’(’")&’& ’(’"+%"+ ’(’"+&+! ’(’"**"* ’(’’&+!*
$’ #$%, ’(’’&#%* ’(’’&"%& ’(’’&!#$ ’(’’&&!+ ’(’’&’&$ ’(’’’#$!
&’’ #$%&’ ’(’&)$&’ ’(’&)#&+ ’(’&)"!$ ’(’&)!"" ’(’&)&#! ’(’’’"%+
&’’ #$%(’ ’(’&)+)’ ’(’&)**& ’(’&)%$’ ’(’&)$!) ’(’&)#’) ’(’’’#+&
&’’ #$%, ’’’"** ’(’’’"$" ’(’’’"!$ ’(’’’!)$ ’(’’’!%% ’(’’’&&&
$’’ #$%&’ ’(’’")+’ ’(’’")*% ’(’’")*! ’(’’")%+ ’(’’")%# &($*&)’$
$’’ #$%(’ ’(’’"))$ ’(’’"))’ ’(’’")+$ ’(’’")+’ ’(’’")*$ !(’&&)’$
$’’ #$%, &($#&)’$ &(#$&)’$ &("#&)’$ &(!"&)’$ &(&&&)’$ #("$&)’%
&’’’ #$%&’ ’(’’&))$ ’(’’&))# ’(’’&))" ’(’’&))! ’(’’&))& "()%&)’%
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&’’’ #$%, #(&&&,’% "(%’&,’% "(#’&,’% "(&’&,’% !(*)&,’% &("&&,’%
表% !"#$%，!"#&%和!"#"的计算结果（’##!）
! " ! " # $ % 极差
&’ #$%&’ ’(!#’&!+ ’(!"&!!% ’(!!"&#" ’(!&$*%& ’(!’+)+# ’(’"&&##
&’ #$%(’ ’("&#)"# ’(!)+"&’ ’(!+"+$+ ’(!*&""& ’(!%’#!! ’(’$#$&!
&’ #$%, ’(’*#+’% ’(’%*’+# ’(’%’*&# ’(’$$$%) ’(’$&#"+ ’(’!""%+
$’ #$%&’ ’(’$*&&# ’(’$%%&’ ’(’$%’+) ’(’$$$+’ ’(’$$’+# ’(’’!’%’
$’ #$%(’ ’(’%’$#$ ’(’$)+!) ’(’$)&&# ’(’$+#&$ ’(’$**"# ’(’’!+&&
$’ #$%, ’(’’"#’& ’(’’"!&+ ’(’’"’!$ ’(’’!+"# ’(’’!%#) ’(’’’*$!
&’’ #$%&’ ’(’!)!%+ ’(’!)&!* ’(’!+)+* ’(’!++#) ’(’!+*&" ’(’’’$$$
&’’ #$%(’ ’(’")&"$ ’(’!))$" ’(’!)*%) ’(’!)$+$ ’(’!)#’" ’(’’’*"!
&’’ #$%, ’(’’’+%% ’(’’’+!% ’(’’’*+! ’(’’’*"% ’(’’’%)’ ’(’’’&*%
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"*第$期 韩 明：状态概率的/012345估计与多层12345估计
万方数据
从表!，表"和表#可以看出，对不同的!（!$"，#，%，&，’），"#$%&和"#$’&都是比较稳健的，并且还可以看
出"#$%&和"#$’&的差异———对相同的!（!$"，#，%，&，’），"#$%&和"#$’&虽不同，但随着(的增大"#$%&和"#$’&逐
渐接近，即"#$%&和"#$’&满足命题!。
& 结束语
作者认为，提出一种新的参数估计方法，必须回答两个回题：第一个问题，新的估计方法与已有估计方
法（计算）结果的差异有多大；第二个问题，新的估计方法与已有估计方法相比，有哪些优点。
命题!已经回答了第一个问题。另外，从模拟算例中又看到了"#$%&和"#$’&计算结果的差异———虽不
同，但比较接近———（并且可以看出"#$%&和"#$’&的计算结果的接近程度）。
至于第二个问题———()*+,-.估计法的优点，从定理!和定理"的表达式上看，显然#$的()*+,-.估
计比多层*+,-.估计简单，并且#$的多层*+,-.估计"#$%&的结果只能用积分来表示（表面上看，分子或
分母是一次积分，但*+/+函数本身也是一次积分，因此定理"中"#$%&的分子或分母实际上是二重积分），
而()*+,-.估计"#$’&的结果不必用积分来表示（计算简单，便于应用）。
致谢：感谢吴喜之教授的指导和鼓励。
参考文献：
［!］韩明0证券投资预测的()*+,-.方法［1］0运筹与管理，"22&，!%（&）：34)!2"0
［"］5678-9,:;，<=6/>?@A0*+,+7-./6=+/-BCD/>-967-+D=C8-9［1］01CED7+9CB/>-FC,+9</+/6./6G+9<CG6-/,0<-D6-.*0!3H"，#%：!)%!0
［#］韩明0多层先验分布的构造及其应用［1］0运筹与管理，!33H，’（#）：#!)%20
［%］*DCCI.<J0A+DICKG>+67=C7/-G+D9C=-/>C8+786/.+LL96G+/6C7［1］0M>-</+/6./6G6+70!334，%H（!）：’3)!220
［&］*-DN-D1O0</+/6./6G+
%H 运 筹 与 管 理 "22’年第!&卷
万方数据
