第 15 卷第 12 期
2012 年 12 月
管 理 科 学 学 报
JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
Vol． 15 No． 12
Dec． 2012
考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
①
吕 魁1，2，胡汉辉2，王旭辉1
(1．南京审计学院审计信息工程重点实验室，南京 210029;
2．东南大学集团经济与产业组织研究中心，南京 210096)
摘要:产业融合促进了多产品竞争．基于扩展的两维 Hotelling模型，研究了范围经济和转换成
本对网络产业中多产品捆绑销售竞争均衡的影响，并分析了捆绑销售和线性定价下公司利润
和社会福利的差异．研究表明转换成本导致企业不对称的细分市场结构并对新产品设定低价
策略，但捆绑定价与转换成本无关．范围经济增加则公司捆绑产品价格较大幅度下降，一站式
用户获益较多;成本随之下降但公司利润减少．与线性定价相比，捆绑销售导致单件产品价格
较低，提高了消费者转换率，削弱了转换成本对忠实用户的不利影响;捆绑销售下公司利润较
低，消费者剩余增加;不考虑范围经济则捆绑销售的社会福利较低，但当范围经济效应足够大
时，捆绑销售不仅提高消费者剩余而且增加社会福利．
关键词:捆绑销售; 范围经济; 转换成本; 多产品竞争
中图分类号:F224． 9 文献标识码:A 文章编号:1007 － 9807(2012)12 － 0010 － 15
0 引 言
最近 30 年来，网络产业②在世界范围内不断
进行市场化改革和重组． 我国逐渐加快了对网络
产业的市场化改革步伐，如电力产业的十一五规
划以及区域电力市场试点中，均以批发和零售全
面市场化为目标，天然气零售市场也已经启动市
场化改革． 2010 年国务院常务会议决定加快推进
电信网、广播电视网和互联网 3 网融合，以促进电
信和广电产业的相互开放． 网络产业市场化改革
的后果之一是形成产业融合，其形式包括产业间
的渗透、交叉和重组［1］． 而消费者则可以在一家
或多家供应商接受电力与天然气或电信与有线电
视服务等．
网络产业的融合，导致市场结构改变，原来垄
断的单产品供应商成为寡头垄断下的多产品供应
商，势必引发多产品捆绑销售竞争．如上海成为全
国首个“三网融合”试点城市后，上海电信同时向
消费者提供固定电话、数字电视和宽带接入服务
的捆绑销售策略，而东方有线捆绑了数字电视和
宽带接入业务［2］． 当中国电信、新联通和移动成
为全业务运营商后，更是纷纷实行固话、宽带和手
机业务的捆绑销售策略．在英国，所有在位能源公
司都对电力和天然气采取了捆绑销售策略［3］．
研究表明捆绑销售可以分为:混合捆绑
(mixed bundling) ，消费者除了可以购买组合产品
外还能单独购买产品;纯捆绑(pure bundling) ，公
司以一个价格销售几种产品或服务的组合，用户
只能购买组合产品． 与捆绑销售对应的策略是单
①
②
收稿日期:2010 － 08 － 27;修订日期:2011 － 02 － 14．
基金项目:国家自然科学基金资助项目(70833002;70873019;71103079) ;江苏省高校自然科学基金资助项目(09KJA520001) ;江苏省社
会科学基金资助项目(10EYC021) ;南京审计学院人才引进资助项目(NSRC10001)．
作者简介:吕 魁(1974 ―) ，男，河南商丘人，博士，助理研究员． Email:lvkui2010@ qq． com
网络产业一般包括所有基础设施产业，如电信、电力、天然气、铁路、供水、供热等产业，其定义可以参见纽伯里《网络型产业的重组与
规制》(何玉梅译，人民邮电出版社，2002)．
件定价(components pricing) ，每个产品被单独销
售，消费者从一个公司购买多产品没有捆绑折
扣［4］，这实质上是通常的线性定价策略． 捆绑销
售理论的研究主要从 3 个方面展开．
1)研究垄断企业的捆绑销售，这可以视为利
用数量折扣的非线性定价策略，形成二级价格歧
视．捆绑销售降低了消费者对产品需求的差异，进
而企业从中获取更多消费者剩余［5，6］．
2)研究在寡头竞争下不对称的捆绑销售，即
只有 1 个企业实行多产品捆绑销售． 该情形可细
分两个方面:①研究横向市场关闭效应． Whin-
ston［7］假设垄断厂商生产 A、B 两种产品，潜在进
入者只能选择进入 B 产品市场．垄断厂商承诺在
两个市场实行纯捆绑销售策略，相当于对进入者
实行侵略性定价．结果进入者利润降低，当进入成
本较大时，进入者退出市场． Choi 和 Stefanadis［8］
进一步研究了捆绑销售的关闭效应． 假设两个产
品完全互补，每个市场有 1 个潜在进入者．垄断企
业对互补产品的捆绑销售使得一个产品市场的进
入严重依赖于另一产品市场的进入． 只有两个新
进入者同时成功，每个进入者才能获利．市场关闭
效应为在位垄断企业带来更多的收益，并造成社
会福利损失． ②研究捆绑销售的市场合谋问题，
Spector［9］考虑多产品企业在 A 产品市场为垄断
厂商，在 B 产品市场与另一企业形成双寡头竞
争，研究表明捆绑销售可以促进合谋，并使得多产
品公司在合谋市场取得更大的市场份额．
3)寡头竞争下的对称捆绑销售竞争，即两个
公司都有能力在两个市场中采取捆绑销售策略．
Matutes和 Regibeau［10］的文献是关于产品偏好下
捆绑销售的重要文献，他们基于两维 Hotelling 模
型，发现混合捆绑销售与线性定价相比，公司陷入
囚徒困境，价格和利润下降，消费者剩余增加，但
社会福利减少． Thanassoulis［11］的模型假设中引入
小用户，即只购买 1 种产品的用户．在产品偏好下
的捆绑销售与 Matutes［10］的结论基本一致，不同
在于混合捆绑导致对大用户的激烈竞争，小用户
的消费者剩余增加较少． Armstrong 和 Vickers［12］
在两维 Hotelling 模型下，引入了消费者购物成
本．尽管捆绑销售价格可以吸引更多消费者选择
一站式购物并节约了购物成本，但与线性定价的
情况相比，捆绑销售仍然使得公司陷入囚徒困境．
国内已有学者建模研究网络产业的融合竞
争，如 IPTV与数字电视之间的差异化竞争［13］，李
克克和陈宏民［14］通过 Hotelling模型对 PC软件产
品竞争性升级进行了研究，分析了网络外部性、转
换成本、升级产品的提高对升级定价及其竞争策
略的影响．周慧和胡汉辉［15］研究了电信业中携号
转网对转换成本的消减作用．李艳萍等［16］研究了
范围经济和市场规模对产业链集聚的影响，认为
范围经济的成本优势促进产业链集聚发生．
上述文献在研究捆绑销售中较少综合考虑范
围经济和转换成本，而这两种因素在网络产业中
具有较重要的影响．对于网络产业，多产品服务会
产生可观的范围经济． 例如向同一个用户提供天
然气和电力服务时，可以合并管理消费者的账户、
计量以及上门维护等．而对于电信和广电产业，同
一光纤网络提供通信和数字电视服务，产生额外
成本较小．这种情况下，范围经济效应势必对网络
产业中多产品竞争形成较大影响．
网络产业中用户转换供应商时会受到转换成
本③的极大阻碍． 消费者转换成本的来源包括对
原供应商的依赖性、繁琐的转换过程、一定的转换
费用以及供应商的价格和服务差别等． 实证表明
转换成本使得电力和天然气产业中消费者的转换
率基本维持在较低水平［19］．
然而从国外的法律实践分析，多数认为如果
公司具有垄断势力，则实行捆绑销售违反了反垄
断法［20］，在英国鉴于捆绑销售等措施可能对两站
式购物④的消费者造成不公平，有政策建议提出
在电力和天然气销售市场中取消捆绑销售［21］．但
是国外实证研究也表明电信业“禁止捆绑”的政
策既没降低零售价格也没能促进基于设备的进
入［22］．网络产业间的在位公司双向进入，其情况
类似于对称捆绑销售，与线性定价相比，尽管社会
福利减少，但消费者剩余增加，追求公平的线性定
价并非完全优于捆绑销售． 后文的分析表明捆绑
—11—第 12 期 吕 魁等:考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
③
④
对转换成本的综合描述可参阅文献［17］和［18］．
两站式购物指消费者分别在两家以上公司购买多产品，与之对应的一站式购物指消费者在一家公司购买产品，详细解释参阅文献
［12］．
销售下如果考虑范围经济，一定条件下社会福利
和消费者剩余均能增加． 因此综合考虑范围经济
和转换成本，比较分析网络产业中捆绑销售与线
性定价策略对企业利润、消费者剩余和社会福利
的影响具有一定理论与现实意义．
本文将在 Amstrong 和 Vickers［12］的基础上，
尝试引入范围经济和转换成本的因素，研究网络
产业融合初期下企业捆绑销售竞争均衡，并与线
性定价策略比较社会福利和消费者剩余的变化．
1 模型假设
假设两家在位公司 A 和 B，在放松规制前分
别经营 e和 g产品，市场相互开放初期，A公司和
B公司分别拥有原产品的全部市场． 网络产业在
对等开放过程中，两个公司进入对方市场后服务
消费者的成本类似，用户基础相同．例如电信和移
动在成为全业务运营商之前分别经营固话和手机
业务，能源供应市场中电力和天然气分由不同的
在位公司经营等． 他们原产品的市场覆盖基本相
同，相互进入成本相差不大．因此本文将主要分析
Hotelling模型的对称均衡解，这也是横向差异化
的 Hotelling模型常用的分析方式［12，23］．
产业融合后，A、B 公司可同时经营 e 和 g 两
种产品，则 A、B公司对 e的定价分别为 pAe和 pBe，
对 g的定价分别为 pAg和 pBg，对于双产品消费者给
予捆绑价格 pAeg 和 pBeg ．
对于两种产品或服务，当成本满足［24］
SC =
C(q1，0)+ C(0 + q2)－ C(q1，q2)
C(q1，q2)
＞ 0
将产生范围经济． 假设公司向用户提供某一产品
服务时需要耗费成本是 c，但向一个用户提供双
产品供应时成本为 kc，1≤ k ＜ 2，范围经济节约的
成本为(2 － k)c． 这个假设表明公司向一个用户
提供双产品时，存在范围经济． k 越小，范围经济
越显著．
假设消费者的保留效用 r 足够大，因此产品
销售是全覆盖．消费者在市场相互开放前分别接
受两个公司的服务，因此对不同在位公司的服务
产生不同的偏好．参照Armstrong 和Vickers［12］的
模型，假设品牌偏好是两维 Hotelling 模型． 对 A
公司来说，e是其原产品，g为新产品，B公司相反．
消费者对 A公司产品服务的偏好为(xe，xg)∈
［0，1］2，假设消费者在两维的线性城市的位置分
布为均匀分布，则即其联合分布密度为
f(xe，xg)= f(1 － xe，1 － xg)= 1
式中 xe 表示消费者对 A公司 e产品的偏好程度;
xg表示对A公司 g产品的偏好程度．消费者对B公
司服务的偏好程度由 1 － xi 度量．
Hotelling模型中用 t 表示单位运输成本，它
表明消费者对产品服务差异的敏感程度，也表明
公司提供同类产品的差异化程度． 这里的运输成
本并非产品到达用户的真实运输费用，而是用来
度量消费者在选择不同公司时产生的单位效用损
失．网络产业融合后，消费者从一个供应商转换到
另一个供应商的过程中，将发生转换成本 s． 假设
t ＞ s，这是为了保证在均衡中产生转换． 如果转
换成本过大，消费者根本不发生转换，则难以达到
网络产业融合的目的．
2 捆绑销售均衡分析
2． 1 模型求解
消费者类型(xe，xg)从 A 公司购买全部产品
支出为 pAeg + t(xe + xg)+ s．在 B公司购买全部产
品的支出为 PBeg + t［(1 － xe)+ (1 － xg) ］+ s．从
A公司购 g产品从 B公司购 e产品进行两次转换，
支出为 pAg + pBe + t(xg + 1 － xe)+ 2s．不转换供应
商则支出为 pAe + pBg + t(xe + 1 － xg)．
供应商的价格确定后，满足式
pAeg + t(xe + xg)+ s =
pAg + pBe + t(xg + 1 － xe)+ 2s
的消费者从A公司购买两种产品与分别从A购买
g产品从 B购买 e产品无差异;消费者购买 A公司
两种产品与分别购买 A公司 e产品 B公司 g产品
满足式
pAeg + t(xe + xg)+ s =
pAe + pBg + t(xe + 1 － xg)
则无差异;满足式
pBeg + t［(1 － xe)+ (1 － xg) ］+ s =
pAe + pBg + t(xe + 1 － xg)
的消费者购买 B公司两种产品与分别购买A公司
e产品 B公司 g产品无差异;消费者购买 B公司两
种产品与分别购买 A公司的 g产品 B公司的 e产
—21— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
品满足式
pBeg + t(2 － xe － xg)+ s =
pAg + pBe + t(xg + 1 － xe)+ 2s
则无差异;消费者购买 A 公司两种产品与购买 B
公司两种产品满足式
pAeg + t(xe + xg)+ s =
pBeg + t(2 － xe － xg)+ s
则无差异．因此可用下式
xAe =
1
2 +
pAg + pBe － pAeg + s
2t
xAg =
1
2 +
pAe + pBg － pAeg － s
2t
xBe =
1
2 －
pAe + pBg － pBeg － s
2t
xBg =
1
2 －
pAg + pBe － pBeg + s
2t
xABg = 1 － xe +
pBeg － pAeg
2
t
(1)
定义消费者选择供应商的无差异临界点和临界
线，而表明捆绑销售下消费者的购买模式(参见
图 1)．
图 1 捆绑销售下消费模式示意图
Fig． 1 Consumption model in bundling
根据图 1 可以细分 3 类消费者:1)左上角的
无转换用户，这部分用户对在位公司原来的产品
服务最忠诚;2)中间的一站式订购商品的用户
(后文简称为一站式用户) ，这部分用户经一次转
换成为双产品用户;3)右下角的双转换用户，他
们对公司的新产品服务有更大的偏好． 双转换用
户和无转换用户都属于文献［12］中的两站式订
购的用户，但本文所研究的转换成本对这两类用
户会产生不同影响，因此需要细分．
根据式(1) ，可以得到两公司的利润分别为
πA = maxpAe，pAg，pAeg
(pAe － c)xBe(1 － xAg)+
(pAeg － kc [) xBexAg + ∫xAexBexABgdx ]e +
(pAg － c)(1 － xAe)xBg
πB = maxpBe，pBg，pBeg
(pBg － c)xBe(1 － xAg)+
(pBeg － kc)［(1 － xAe)(1 － xBg)+
∫
xAe
xBe
(1－xABg)dxe］+(pBe －c)(1－xAe)xBg
s． t． 0 ＜ xij ＜ 1，i = A，B;j = e，g;
t ＞ s，t ＞ s +(2 － k)
c
(2)
求解式(2)得如下命题．
命题 1 单位运输成本、转换成本和范围经
济效应满足 t ＞ 1. 106［s +(2 － k)c］，两个在位公
司互相进入对方的市场时，采用捆绑销售策略存
在对称纳什均衡．
证明过程参见附录 A．
约束条件 t ＞ (2 － k)c + s是为了保证均衡解
下公司利润处处为正． 命题 1 中均衡解的条件比
约束条件更严格，说明在网络产业中的多产品捆
绑销售竞争中，服务的差别化必须足够大，保证公
司获得更多利润，才可能避免同质产品竞争模式，
最终形成差异化竞争的市场均衡． 对称均衡解的
定价和市场份额为
pAe = pBg =
11t + 3s
12 +
c(12c － 3ck2 + 2t + 17kt)
12(2c － ck + 3t)
qAe = qBg =
［c(k － 2)+ s + t］2
16t2
pAg = pBe =
11t － 3s
12 +
c(12c － 3ck2 + 2t + 17kt)
12(2c － ck + 3t)
qAg = qBe =
［c(k － 2)－ s + t］2
16t2
pAeg = pBeg =
4t2
3t + 2c － ck + ck
qAeg = qBeg =
7t2 － s2
16t2
+ 2c(2 － k)t － c
2(2 － k)2
16t
2
(3)
—31—第 12 期 吕 魁等:考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
一般 Hotelling 模型的对称均衡解中两公司
的定价和市场份额是相等的． 但由于转换成本的
影响，每个公司都对原产品设定高价，表现为
pAe ＞ pBe ．公司单个产品的细分市场份额呈现非
对称的结果，表现为 qAe ＞ qBe ．公司在原产品市场
中占据高于一半的份额，即 qAe + qAeg ＞ 1 /2．因此
可得如下推论．
推论 1 公司对购买原产品的无转换用户制
定高价，对购买新产品的双转换用户制定低价，对
一站式用户设定捆绑价格;公司在原产品市场中
占据较多市场份额．
在单一产品竞争情形下，如果允许公司对新
老用户采取差别定价(或歧视定价) ，将对原用户
设定高价，对转换的新用户设定低价［25－26］． 这些
结论可以拓展到两种产品竞争中的无转换和双转
换用户．参考图1可见，无转换用户相当于 A、B公
司的原用户，转换成本提高了他们对公司原产品
的忠诚度，因此公司可以制定更高价格以获得更
多的利润．
图 1 中右下角的双转换用户，对两个公司的
新产品服务偏好更大，这类用户为了节约“运输
成本”，愿意付出双倍转换成本，相当于两个公司
的新用户．公司为了吸引新用户，必须制定低价以
克服转换成本的影响．
上述结论可以解释中国电信和中国移动成为
全业务运营商后采取的定价策略． 如中国电信推
出我的 e 家业务，捆绑了固话、宽带和天翼业务，
同时其天翼业务率先推出免漫游等优惠，体现了
对新业务低价策略． 中国移动则推出预存手机话
费赠送宽带固话的捆绑业务⑤，也在新业务方面
展开低价竞争策略，而且两家企业同时对原来的
产品尽量保持较高定价． 可以预见在三网融合过
程中，运营商将会因范围经济而普遍采取捆绑销
售策略，并因为转换成本的影响，对新业务设定
低价．
推论 1 也可以解释电力天然气供应中的竞争
情况．尽管电力和天然气使用不同的物理网络传
输，但在两种能源供应过程中也存在较大的范围
经济，实证研究表明在合并计量和账单服务、共同
的呼叫中心、共同的品牌建设以及类似的管理经
验中产生范围经济效应［27－29］，美国和欧洲几乎所
有在位者进入对方市场后都采取了捆绑策
略［30，31］．以英国为例⑥，其区域在位售电公司的电
价约高出其他进入者 10%，同时仍然占有原区域
市场份额的 48%，天然气市场的情况类似［3］．
在 Armstrong和 Vickers［12］ 中提出多产品竞
争中存在购物成本，即两站式购物时产生的额外
成本．依据上述现实可见，网络产业中转换成本的
效应要超过购物成本的影响． 购物成本对双转换
和无转换用户的影响是对称的，得到对称的单件
产品价格．而引入转换成本后，推论 1 解释了网络
产业融合后的价格不对称现象． 电力天然气市场
份额的结果与推论 1 不完全一致，老产品市场份
额略低于二分之一，说明理论分析还有待进一步
修正．
2． 2 价格、市场份额和福利
将价格对范围经济指标 k 和转换成本 s 求偏
导，可得出(由于主要分析对称均衡解，为了简洁
将主要列出 A公司的分析结果)
pAe
k
=
pAg
k
= c［c
2(2 － k)2 + 6c(2 － k)t + 17t2］
4［3t + c(2 － k)］2
＞ 0
pAeg
k
= c［c
2(2 － k)2 + 6c(2 － k)t + 13t2］
［3t + c(2 － k)］2
＞ 0
pAe
s
= 14 ＞ 0，
pAg
s
= － 14 ＜ 0，
pAeg
s
=
0
(4)
由式(3)和(4) ，注意到 k增加意味着范围经
济效应降低，可得如下命题．
命题 2 捆绑销售策略下，范围经济和转换
成本对价格的影响相互独立，捆绑定价与转换成
本无关;范围经济增加则价格下降;转换成本增
加，无转换用户价格上升，双转换用户价格下降，
一站式用户价格不变．
范围经济和转换成本对价格的影响相互独
立，其原因在于捆绑销售中，零售商以 3 种定价措
—41— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
⑤
⑥
参见 http:/ / labs． chinamobile． com /news /33102
英国电力市场化改革后，原有的 14 家在位售电公司经兼并重组，最终于 2003 年形成 5 家区域在位售电公司．天然气市场全面开放后，
形成 BG一家全国性在位天然气公司．在零售市场上，每个原区域市场中形成一家在位电力或天然气供应商，5 家新进入者［3］．
施来应对图1所示的3类不同用户，这使得公司在
定价策略中可以消除转换成本和范围经济的交叉
影响．
随着范围经济效应的增加，捆绑销售的成本
下降，导致捆绑价格下降，符合一般经济直觉． 同
时范围经济间接地对单件产品价格产生外部效
应，促进公司下调单件产品的供应价格．从这点考
虑，允许电信与广电、电力与天然气等网络产业的
相互进入可以促使公司将范围经济的部分收益转
移给消费者．
命题 2 中转换成本的改变对无转换用户和双
转换用户价格的影响也符合经济直观． 转换成本
增加保护了在位公司对原用户的市场势力，从而
对无转换用户索取更高价格． 转换成本的增加同
时提高了市场交叉进入的难度，需要对双转换用
户设定更低的价格以弥补其转换成本．
捆绑产品的定价随转换成本的变化与一般经
济直觉不一致．为了吸引用户在同一公司购买两
种产品，需要促使消费者形成一次转换行为．直觉
上捆绑定价应该与转换成本相关． 但这里的分析
表明对一站式用户实行的捆绑价格中不包括转换
成本．其原因在于，捆绑产品定价同时受到竞争对
手无转换和双转换用户定价的影响，分析式(3)
可见，这两种定价中转换成本的影响是相反的．这
导致捆绑价格与转换成本无关．
市场份额对 k和 s求偏导可得出
qAe
k
= c［t + c(k － 2)+ s］
8t2
＞ 0
qAg
k
= c［t － c(2 － k)－ s］
8t2
＞ 0
qAeg
k
= c［c(2 － k)－ t］
8t2
＜ 0
qAe
s
= c(k － 2)+ s + t
8t2
＞ 0
qAg
s
= － t － c(2 － k)－ s
8t2
＜ 0
qAeg
s
= － s
8t2
＜ 0
，
(5)
进而可得命题 3．
命题 3 随着范围经济增加，无转换和双转
换用户的市场份额下降，一站式用户份额上升;随
着转换成本上升，无转换用户份额增加，一站式和
双转换用户份额减少．
捆绑产品越多，公司成本的节约效用越明显．
从式(4)可得
pAeg
k
＞
pAe
k
=
pAg
k
＞ 0，说明范围
经济增加后，公司捆绑销售的激励增加，捆绑产品
价格下调幅度大于单件产品，从而导致捆绑产品
用户份额增加，单件产品用户份额下降．
转换成本对市场份额的影响也符合经济直
觉，转换成本上升导致消费者转换意愿下降，因而
无转换用户份额增加，其他类型的份额减少．
结合命题 2 和命题 3，可以发现一些反经济
直观的结果:转换成本上升，无转换用户的价格
与市场份额均上升，双转换用户的价格与市场
份额均下降，一站式用户的价格不变但份额减
少．究其原因，在于 3类用户的份额是联动的，转
换成本上升，A公司的双转换用户进行两次转换
的成本上升，尽管 B 公司的电力价格更低，他们
可能选择单次转换，从而成为 A 公司的捆绑产
品用户．而 A 公司部分捆绑产品的用户则由于
转换成本上升而没有转换，仍然选择 B 公司的 g
产品，从而成为 A公司的无转换用户，最终在细
分市场中形成反经济直观的现象;其内在原因
是转换成本上升最终保护了在位公司的原产品
市场，同时阻碍了公司对新产品市场的进入
力度．
将均衡价格和市场份额代入式(2)可得任一
公司利润
πA =
3s2
32t +
67t
96 +
c(k － 2)
96［c(k － 2)－ 3t］t2
×
［3c3(k － 2)3 － 27s2 t － 91t3 +
9c(k － 2) (s2 － 2t2) ］
两公司总成本的计算式为
C total = 2［cxBe(1 － xAg)+ kc(xBexAg +
∫
xAe
xBe
xABgdxe)+ c(1 － xAe)xBg］
= c
8t2
［(2 + 7k)t2 － c2(k － 2)3 －
(k － 2)s2 － 2c(k － 2)2 t］
(6)
根据下面的式(7) ，利用均衡价格和市场份
额可以计算总“运输成本”Ttotal 和总转换成本
Stotal，而消费者购买产品的支出 E total 可分解为两
个公司的总利润与总成本之和
—51—第 12 期 吕 魁等:考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
Stotal = 2 [ (s xBexAg + ∫xAexBexABgdx )e + (1 － xAe)x ]Bg = s － s
2
4t +
c(2 － k)s2
4t2
Ttotal = (2 ∫xBe0 ∫1xAg txedxgdxe + ∫
xBe
0 ∫
xAg
0
txexgdxgdxe∫
xAe
xBe
∫
xABg
0
txexgdxgdxe + ∫
1
xAe
∫
xBg
0
txgdxgdx )e
= 7t12 +
c(2 － k) ［c2(2 － k)2 + 3(t2 － s2) ］
24t2
E total = [2 pAexBe(1 － xAg)+ p (Aeg xBexAg + ∫xAexBexABgdx )e + pAg(1 － xAe)x ]Bg = 2πA + c
total
(7)
根据均衡价格和市场份额计算无效支出 H、消费者剩余 D和社会福利 W的计算式为
H = Stotal + Ttotal =
7t2 + 12st － 3s2
12t +
c(2 － k) ［c2(2 － k)2 + 3(t2 － s2) ］
24t2
D = r － (Stotal + Ttotal + E total)= r －
95t2 + 48st － 3s2
48t －
c{c3(k － 2)4 － 9(k － 2)s2 t + (199k － 110)t3 + 3c(k － 2) ［(k － 2)s2 + 2(2 － 9k)t2］}
48t2(c(2 － k)+ 3t)
W = r － (Stotal + Ttotal + C total)
= r － 7t
2 + 12st － 3s2
12t +
c［c2(k － 2)3 + 3(k － 2)s2 + 3c(k － 2)2 t － 3(2 + 3k)t2］
12t
2
(8)
对 k和 s求偏导，比较利润、无效支出、消费者
总支出和社会福利，进行静态分析可得下式
πA
k
＞ 0，H
k
＜ 0，D
k
＜ 0，W
k
＜ 0
πA
s
＞ 0，H
s
＞ 0，D
s
＜ 0，W
s
＜ }0 (9)
进而得命题 4．
命题 4 范围经济增加将导致公司利润下
降，无效支出增加，消费者剩余增加，社会福利增
加;转换成本上升将导致利润上升，无效支出增
加，消费者剩余减少，社会福利下降．
转换成本的效应与单一产品下转换成本的效
应［17］ 类似，符合一般的经济直觉． 范围经济对公
司利润的作用是比较反直观的，范围经济增长虽
然给公司带来成本节约，却没有导致利润增长．原
因在于成本节约增加了公司的竞争强度和捆绑销
售的动力，而捆绑产品和单件产品价格的下降相
当于公司把成本节约和差异化的部分收益让给了
消费者，最终结果使得公司利润减少，消费者
获益．
范围经济与无效支出的关系是反经济直觉
的．其原因在于范围经济增加会引起捆绑产品价
格下降幅度更大，一定程度上刺激了更多消费者
的转换，从而增加了转换成本． 更进一步，捆绑产
品价格下降幅度较大，增加了过度忠诚问题⑦，引
起运输成本增加，最终导致无效成本增加．
3 线性定价均衡分析
模型基本假设不变，但对一站式用户不实行
捆绑销售的优惠价格，则图 1 的消费者模式不变，
但临界点发生变化(参见图 2) ，这时将不出现曲
线 xABg ．类似于捆绑销售下的策略，消费者也可以
分为 3 类，左上角仍为无转换用户，右下角为双转
换用户，左下角和右上角为一站式用户．临界点分
别为
—61— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
⑦ 过度忠诚引起Hotelling模型总运输成本增加，该问题在 Armstrong和 vickers［12］ 一文中首先提到，本文在命题8后将进行更详细的讨论．
xAeU =
1
2 +
pBeU － pAeU + s
2t
xAgU =
1
2 +
pBgU － pAgU － s
2t
xBeU =
1
2 +
pBeU － pAeU + s
2t
xBeU =
1
2 +
pBgU － pAgU － s
2
t
(10)
图 2 线性定价下的消费模式
Fig． 2 Consumption model in linear pricing
下标 U 表示线性定价情形下的结果． 得到利
润函数为
πAU = maxpAe，pAg
(pAeU － c)xBeU(1 － xAgU)+
xBeUxAgU(pAeU + pAgU － kc)+
xBgU(pAgU － c) (1 － xAeU)
πBU = maxpBe，pBg
(pBgU － c)xBeU(1 － xAgU)+
(1 －xAeU) (1 －xBgU) (pBgU +pBeU － kc)+
xBgU(pBgU － c) (1 － xAeU)
s． t． 0 ＜ xijU ＜ 1;i = A，B;j = e，g;t ＞ s，
t ＞ s + (2 － k)
c
(11)
与捆绑销售不同的是参考附录 A 的方法，可
得满足约束条件的唯一纳什均衡解，同时满足极
大值二阶条件．为了与捆绑销售比较，后面均是在
条件 t ＞ 1. 106(s +(2 － k)c)下讨论．均衡价格和
均衡市场份额为
pAeU = t +
1
3 s +
c［3c(－ 2 + k)k + (－ 2 + k)s － 9kt］
6［c(－ 2 + k)－ 3t］
pAgU = t －
1
3 s +
c［3c(－ 2 + k)k － (－ 2 + k)s － 9kt］
6［c(－ 2 + k)－ 3t］
qAeU =
(3t + s + c(2 + k) )2
4(3t + c(2 － k) )2
qAgU =
(3t － s + c(2 － k) )2
4(3t + c(2 － k) )2
qAegU =
9t2 － s2
36t2
+ c(k － 2)s
2(c(k － 2)－ 6t)
36(3t + c(2 － k) )2 t
2
(12)
与捆绑销售下的情形类似，转换成本仍然导
致不对称的定价体系和细分的市场份额结构． 类
似于捆绑销售均衡的分析方式，对线性定价的均
衡价格、市场份额、公司利润、消费者剩余和社会
福利可以进行比较静态分析，下面命题列出与捆
绑销售下不同的结论．
命题 5 线性定价下，范围经济和转换成本
对价格形成交叉影响;范围经济增加，双转换用户
增加．
范围经济和转换成本对价格产生交叉影响的
原因是线性定价下，公司只有两个定价策略，但需
要应对 3 类消费者，不可避免造成相互影响．
范围经济增加，双转换用户变化结果与捆绑
销售策略下的结果相反，其原因在于线性定价下，
一站式购物并不能享受到捆绑产品的优惠，一站
式购物和双转换后的两站式购物在抵消转换成本
后没有区别．因此线性定价下，范围经济提高后价
格下降激励无转换用户成为一站式用户，同时也
激励部分一站式用户通过减少运输成本而增加效
用，从而成为双转换用户．结果导致双转换用户随
范围经济的变化与捆绑销售下相反． 根本原因在
于捆绑销售下，消费者的决策需要权衡一站式购
物的优惠、运输成本和转换成本的节约．范围经济
增加，一站式购物的价格优惠激励更大，从而一站
式用户增加．线性定价下用户缺乏成为一站式用
户的价格激励，他的转换行为只是在转换成本和
—71—第 12 期 吕 魁等:考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
运输成本之间进行权衡．
4 两种策略下的比较
4． 1 价格、市场份额与利润的比较
比较式(3)和(12)及公司不同策略下的利
润，可得如下结果(证明参见附录 B)．
pAeU － pAe ＞0，πAU －πA ＞ 0，qAeU ＞ qAe
pAgU － pAg ＞0，qAgU ＞ qAg，qAegU ＜ q
}
Aeg
(13)
有如下命题．
命题 6 如果在位公司都采取捆绑销售策
略，则利润较低，单件产品的价格较低;捆绑销售
策略下无转换和双转换用户较少，一站式用户
较多．
即使范围经济能带来成本节约，转换成本能
提高在位公司的竞争优势，捆绑销售策略仍导致
公司陷入“囚徒困境”，即单个公司选择捆绑销售
将增加利润，两个公司均实行捆绑销售策略则利
润低于线性定价的利润． 这一结果与前期研究对
称捆绑销售的文献结论是一致的［10，12］． 但在考虑
转换成本背景下，可以更清晰地展现消费者转换
行为的外部效应．捆绑销售下无转换用户较少，意
味着一站式用户和双转换用户总和较大，较多转
换用户产生的竞争压力导致公司对无转换忠实用
户设定较低的价格(相比于线性定价) ，从而使得
更多忠实用户享受到竞争带来的益处．
这一命题的政策意义是比较明显的，对于网
络产业的改革，如果允许在位公司的相互进入，并
进一步允许他们利用各自拥有的用户基础开展多
产品捆绑销售，既可以增加消费者的转换率，又可
以扩大用户转换行为的外部性，以自发的市场行
为帮助无转换用户获得较低的产品价格．
对于线性定价的情形，多产品的竞争实质上
相当于两个独立的单一产品竞争． 延续模型的基
本假设，考虑单一产品线性城市和线性运输成本
的模型下，B 公司为新进入者，A 公司为在位公
司，考虑 k = 0和 c = 0的情况，单一产品竞争的均
衡价格为 pA = t + s /3，pB = t － s /3，而相同假设
下多产品捆绑竞争中单件产品的价格为
pAe = pBg =
11t + 3s
12 ，
pAg = pBe =
11t － 3s
12
分别低于单一产品市场竞争中新老公司的定价．
可得如下推论．
推论 2 多产品捆绑销售中，对某单件产品，在
位公司和进入者的定价均低于单一产品竞争下的
定价．
多产品下的竞争，使得竞争方式多样化，利润
来源渠道增加，公司可以从其他产品和绑定产品
中获得利润，因此公司有动力对单件产品设定更
低价格以进一步吸引消费者．
允许公司提供多产品捆绑竞争促进了对单件
产品间的竞争，其政策意义在于，对国内网络产
业，相互开放将更有利于开展竞争．电信与广电的
相互开放，电力和天然气市场的相互开放，比单独
进行某一个产业的市场化改革，更能促进价格
下降．
比较线性定价与捆绑销售的价格随范围经济
和转换成本的变化率，得
pAeU
s
＞
pAe
s
＞0和
pAeg
k
＞
pAgU
k
＞
pAeU
k
＞ 0，有如下命题．
命题 7 捆绑销售与线性定价相比，范围经
济效应更多地让给一站式用户;更有效地遏制在
位公司利用转换成本对无转换用户实施市场势力
的能力．
范围经济增加，捆绑销售价格下降的速率超
过了线性定价下单件产品下降的速率，表明随着
范围经济的提高，捆绑销售下的一站式用户分享
到更多范围经济带来的效益． 而随着转换成本的
提高，捆绑销售下在位公司对无转换用户定价上
升速度低于线性定价的情况，说明在位公司对无
转换用户的市场势力在捆绑销售下可以得到一定
程度的遏制．
网络产业在市场化改革的过程中，难以解决
的问题之一是忠实用户面临的高价问题． 西方国
家如英国提出消除价格歧视、捆绑销售等政策以
遏制对忠实用户收高价的问题． 但从命题 6 和命
—81— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
题 7 的分析可知，禁止捆绑销售使得忠实用户面
临更高的单件产品价格，如果转换成本上升，该价
格上涨幅度更大． 遏制捆绑销售的结果可能使得
无转换用户付出更多费用．
4． 2 社会福利分析
两种定价策略下消费者的无效支出差异为
HU － H =
［2c(2 － k)－ t］2
24［c(－ 2 + k)－ 3t］2t2
c3(k － 2)3 － 4c2(k － 2)2t － 3c(k － 2)(s2 + t2)+ 6t(s2 + 3t2)
24［c(－ 2 + k)－ 3t］2t2
＜ 0
(14)
消费者剩余的差异为
DU － D =
c(2 － k)+ t
48［c(k － 2)－ 3t］2t2
［c4(k － 2)4 － 2c3(k － 2)3t + c2(k － 2)2(3s2 － 8t2)+
6c(k － 2)t(15t2 － 2s2)－ 3t2(s2 + 75t2)］＜ 0
(15)
社会福利的差异为
WU － W =
t － c(k － 2)
12［c(k － 2)－ 3t］2 t2
［c4(k － 2)4 － 2c3(k － 2)3 t + c2(k － 2)2(3s2 － 14t2)+
3t2(s2 + 3t2)+ 6c(k － 2)t(－ 2s2 + 5t2) ］
(16)
不等式 WU － W ＞ 0 难以求得解析条件，以
c = 6，s = 1，t = 8为例，社会福利差异随范围经济
变化情形见图 3．
图 3 社会福利差异随范围经济变化
Fig． 3 Social welfare vary with the scope economies
当存在范围经济时，转换成本的改变，也同样
引起社会福利变化的模糊性． 以 c = 6，k = 1. 6，
t = 8 为例，可得社会福利差异随转换成本的变化
(见图 4)．
图 4 社会福利差异随转换成本的变化
Fig． 4 Social welfare vary with the switchin cost
参考附录 A 中的方法，计算得到 t ＞
3. 733(2c － ck + s)时，WU － W ＞ 0，具体计算参见
附录 C．得如下命题．
命题 8 捆绑销售下消费者剩余和无效支出
较高;当 t ＞ 3. 733(2c － ck + s) ，捆绑销售社会福
利较低;当 t ＜ 3. 733(2c － ck + s) ，社会福利的变
化难以确定．
如果不存在转换成本，由附录 A 可知满足条
件 t ＞ (2c － ck)即存在均衡解．对式(16)在 s =
0 的情况下，求解不等式WU － W ＞ 0，则可得条件
t ＞ (2 +槡3) (2c － ck)．因此有如下推论．
推论 3 当 s = 0 且 t ＜ (2 +槡3) (2c － ck)
时，捆绑销售下的社会福利较大，当 t ＞ (2 +
槡3) (2c － ck)时，线性定价下社会福利较大．
命题 8 和推论 3 的条件对经济规制具有一定
参考意义．在满足均衡解条件下，当 t 和 k 比较小
时，更容易满足条件 t ＜ 3. 733(2c － ck + s) ，即多
产品的差异化程度不够大而范围经济效应比较显
著时，鼓励捆绑销售竞争有可能增进社会福利．但
如果差异化程度较大而范围经济相对较弱，此时
鼓励公司捆绑销售反而造成社会福利下降． 对于
网络产业，从社会福利的角度分析，至少应在衡量
差异化程度和范围经济效应后才能判断捆绑销售
福利效应．现实意义在于，当网络产业融合后，与
线性定价相比，捆绑销售可能带来消费者剩余和
社会福利均增加的双赢局面．
—91—第 12 期 吕 魁等:考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
上述结论与对称捆绑销售相关文献结论不一
致，一般认为捆绑销售下社会福利更低［10，12］． 不
一致的原因在于，一般情况下捆绑销售会造成消
费者无效支出较高从而社会福利下降． 捆绑销售
下无效支出较高的原因有两个:1)捆绑销售下由
于定价较低，且一站式用户能得到更大优惠，最终
如命题 6 所示，发生至少一次转换的用户较多，从
而增加转换成本，提高了无效支出;2)公司捆绑
销售造成消费者的“过度忠诚”⑧，产生了过多运
输成本，进而提高了无效支出．
当考虑范围经济后，上述情况有所改观．当范
围经济比较显著时，为一站式用户服务将节约足
够的公司成本，从而抵消过度忠诚和转换造成的
福利下降，进而高于线性定价下的社会福利．
捆绑销售下，无效支出较高，而消费者剩余反
而增加，说明公司间采用捆绑销售导致竞争更激
烈，公司向消费者让渡的价值超过了消费者付出
的额外成本，从而增加了消费者剩余．该结论与对
称捆绑销售的文献研究结论一致［10，12］．
5 结束语
以多产品 Hotelling 模型为分析框架，研究比
较了转换成本和范围经济对多市场竞争中的捆绑
销售和线性定价的影响，分析了在位运营商在网
络产业融合下多产品竞争中的价格、市场份额和
社会福利． 总结见表 1，两种定价方式下公司利
润、消费者支出和社会福利的比较见表 2．
由于存在转换成本，无论是统一定价还是捆
绑销售，在对称均衡下得到的解是非对称的．公司
对原产品设定较高的价格，对新产品设定低价．当
然这种定价方式是为了抵消转换成本的影响． 单
一产品市场中对新老用户的定价，高于多产品竞
争下对新老用户单件产品的定价． 因此从促进竞
争的角度分析，放松规制，实行网络产业间的相互
开放更有利于竞争，进而促进电信和广电、电力和
天然气市场的相互开放，将更有利于消费者．同时
在捆绑销售下，尽管两站式用户(包括无转换和
双转换用户)与一站式用户相比，需要面对不公
平的价格，但捆绑销售可以较大程度遏制在位公
司对忠实用户(无转换用户)的市场势力，对忠实
用户的价格比线性定价时低，可以部分缓解在网
络产业中对忠实用户设定高价的现象．
由于范围经济的影响，捆绑销售与线性定价
相比，社会福利的变化是不确定的，差异化程度较
低而范围经济效应足够大时，捆绑销售可以带来
消费者剩余和社会福利增加的双重利好． 这种情
况下，允许网络产业为用户提供捆绑销售的优惠
价格，也许可以达到双赢的局面．面对即将开放的
电信和广电产业，以及将来开放的电力和天然气
产业，规制政策中一定条件下捆绑销售策略是值
得考虑的．
表 1 随范围经济和转换成本变化的总结
Table 1 Changes with scope economies ＆ switching cost
竞争策略 对比项目
范围
经济
转换
成本
捆绑销售 /
线性定价
价格
原产品 － / － + / +
新产品 － / － － / －
捆绑价格 － 不变
市场
份额
无转换 － / － + / +
一站式 － / － － / －
双转换 － / + － / －
利润 － / － + / +
无效支出 + / + + / +
消费者剩余 + / + － / －
社会福利 + / + － / －
表 2 捆绑销售与线性定价的比较
Table 2 Comparison between bundling and linear pricing
利润
捆绑销售 线性定价
高 低
无效支出 高 低
消费者剩余 高 低
社会福利
差异化低范围
经济大，高
差异化高范围
经济低，高
—02— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
⑧ 过度忠诚问题在 Amstrong［12］ 讨论的购买成本中提及，在转换成本下同样也影响到多产品竞争的福利效应．由模型可知，消费者在空间城
市的位置小于 0． 5在A公司购买产品，大于0． 5在 B公司购买产品，将产生最少的运输成本．但是如图1所示，以点 xAe 为例，均衡下 xAe ＞
0． 5，由于捆绑销售的优惠，过多偏好 B公司 g产品的消费者却选择了 A公司 g产品，形成过度忠诚的现象，造成运输成本的上升．
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gy Policy，2008，36 (3) :1125 － 1133．
Bundling competition with scope economies and switching costs
LV Kui1，2，HU Han-hui2，WANG Xu-hui1
1． Key Lab of Audit Information Engineering，Nanjing Audit University，Nanjing 210029，China;
2． Research Centre of Group Economy and Industry Organization，Southeast University，Nanjing 210096，China
Abstract:Industry convergence promotes the multi-product competition in the network industry． The effects of
the scope economies and switching costs on the equilibrium of bundling competition are researched in the net-
work industries based on the extended Hotelling model． Then the difference of the profit and social welfare be-
tween the bundling and linear pricing are analyzed． The results show that the switching costs cause asymmetric
segment market，while the bundling price is not relevant with the switching cost． The bundling price decreases
quickly as the scope economies increases，so the consumers of on-stop shopping are benefited． Compared with
the linear pricing，the bundling leads to lower components prices，promotes the switching rate of the consumers
and reduces the negative effects of switching costs on loyal consumers;The company’s profits decrease while
the consumer’s surpluses increase in bundling． The bounding can lead to more consumers’surplus and social
welfare than the linear pricing when the effects of the scope economies are large enough．
Key words:bundling;scope economies;switching costs;multi-product competition
—22— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
附录 A:
捆绑销售下的对称均衡:
根据利润函数式(2) ，利用一阶条件可得
πi
pij
= 0，i = A，B j = e，g;
πi
pieg
= 0，i = A，B (A． 1)
式(A． 1)产生6个方程对应6个未知数，方程参数较多难以求出解析解．利用对称均衡下的条件:pAe = pBg，pAg = pBe
和 pAeg = pBeg，代入式(A． 1) ，则只需要解关于 A公司的 3 个方程或关于 B公司的 3个方程，可得 4组解析解．以 A公司
为例列出无约束解，B公司根据对称均衡有相应解．
pAe1 =
ck + s + 2t
2 ，pAg1 =
ck － s + 2t
2 ，pAeg1{ = t + ck
pAe2 =
c2k2 － 4c2 + 2cks + s2 － 16ct － 6ckt － 6st － 23t2
4(ck － 2c + s － 7t) ，pAg2 =
1
2 t － s +
c2k2 － 2c2k + cks － 7ckt － 8t2
ck － 2c + s － 7( )t ，
pAeg2 =
c2k2 － 2c2k + cks － 7ckt － 8t2
ck － 2c + s － 7
{
t
pAe3 =
1
2 s + t +
－ 2c2k + c2k2 － cks － 7ckt － 8t2
－ 2c + ck － s － 7( )t ，pAg3 = － 4c
2 + c2k2 － 2cks + s2 － 16ct － 6ckt + 6st － 23t2
4(－ 2c + ck － s － 7t)
pAeg3 =
－ 2c2k + c2k2 － cks － 7ckt － 8t2
－ 2c + ck － s － 7
{
t
(A． 2)
pAe4 =
11t + 3s
12 +
c(12c － 3ck2 + 2t + 17kt)
12(2c － ck + 3t) ，pAg4 =
11t － 3s
12 +
c(12c － 3ck2 + 2t + 17kt)
12(2c － ck + 3t)
pAeg4 =
4t2
3t + 2c － ck
{ + ck
在对称均衡下验证式(A． 2)中的最优定价时，分析单个公司最优解的二阶条件即可．按照无约束解来计算 A公司二
阶条件的 Hessematrix
H(p
Ae
，p
Ag
，p
Aeg
)=
p
Ae
πA pAg
πA pAeg
πA
pAe
πA pAg
πA pAeg
πA
pAe
πA pAg
πA pAeg
π
A
(A． 3)
令 | H1 |，| H2 |，| H3 | 代表式(A． 3)的一阶、二阶和三阶主子式．
第 1组解的一阶主子式 | H1 | ＞ 0，不符合极大值的二阶条件，且该解代入约束条件后，全部为角点解，不能满足 0 ＜
xij ＜ 1 的要求．
第 2 组解和第 3 组解在 t ＞ s + c(2 － k)时，不能满足二阶条件，解代入约束条件后，不能满足 0 ＜ xij ＜ 1 的要求．
对于第 4组解，根据主子式分析极大值的二阶条件．在条件 t ＞ (s + 2c － ck)下，将式(A．2)中的解代入主子式后可得
| H1 | = －
3［c(－ 2 + k)+ s + t］
8t2
＜ 0;| H2 | =
9［t － c(2 － k)+ s］［t － c(2 － k)－ s］
64t4
＞ 0
不等式成立源于约束条件 t ＞ (s + 2c － ck)．
| H3 | =
3
1 024(c(k － 2)－ 3t)2 t6
［9c5(k － 2)5 － 75c4(k － 2)4 t + 351s2 t3 － 287t5 － 3c3(k － 2)3(3s2 － 46t2)+
93c2(k － 2)2 t(s2 + 2t2)－ c(k － 2)t2(315s2 + 323t2) ］
| H3 | ＜ 0 在约束条件下不成立．取条件 t ＞ m(s + 2c － ck) ，利用 Mathmatica数学计算软件，编制如下程序:
m = 1;
x = Reduce［(9 c5(－ 2 + k)5 － 75 c4(－ 2 + k)4 t + 351 s2 t3 － 287 t5 － 3 c3(－ 2+k)3(3 s2 －46 t2)+ 93 c2(－ 2 + k)2 t (s2 +
2 t2)－ c (－ 2 + k)t2(315 s2 + 323 t2))＞ 0 ＆＆ t ＞ m(s + c(2 － k))＞ 0 ＆＆ s ＞ 0 ＆＆ 2 ＞ k ＞ 1 ＆＆ c ＞ 0，t］;
y = ToString［x］; y = StringTake［y，5］;
While［y!= "False"，m = m + 0． 000 2;
x = Reduce［3 (9 c5(－ 2 + k)5 － 75 c4(－ 2 + k)4 t + 351 s2 t3 － 287 t5 － 3 c3(－ 2 + k)3(3 s2 － 46 t2)+ 93 c2(－ 2 + k)2 t
(s2 + 2 t2)－ c (－ 2 + k)t2(315 s2 + 323 t2))＞ 0 ＆＆ t ＞ m(s + c(2 － k))＞ 0 ＆＆ s ＞ 0 ＆＆ 2 ＞ k ＞ 1 ＆＆ c ＞ 0，t］;
y = ToString［x］;y = StringTake［y，5］;］
可知当 m = 1． 106，| H3 | ＜ 0 成立．即 t ＞ 1. 106(s + 2c － ck)时，满足极大值的二阶条件．同时该解满足约束条件
—32—第 12 期 吕 魁等:考虑范围经济与转换成本的混合捆绑竞争
0 ＜ xij ＜ 1．命题得证．
特殊参数下均衡解及其条件:
如果不考虑范围经济，并将产品成本归一化为零，即 k = 0和 c = 0，当符合条件 t ＞ 351槡287s，利用与求解式(A． 1)类
似的方法可得对称纳什均衡解
pAe2 =
3s + 11t
12 ，pAg2 =
11t － 3s
12 ，pAeg2 =
4t
3 (A． 4)
如果不考虑转换成本，即 s = 0的条件下，则参数只需满足约束条件 c(2 － k)＜ t，第 4组解即可满足 Hessematrix主
子式的不等式 | H1 | ＜ 0，| H2 | ＞ 0，| H3 | ＜ 0，同时满足式(2)中的约束条件 0 ＜ xij ＜ 1．
附录 B:
命题 6(式(13))的证明:
pAeU － pAe =
［c(k － 2)－ t］［c(k － 2)+ s + t］
4［c(k － 2)－ 3t］ ＞ 0，pAgU － pAg =
［c(k － 2)－ t］［c(k － 2)－ s + t］
4［c(k － 2)－ 3t］ ＞ 0
qAeU － qAe =
(2c － ck + t) (2c － ck － s + 3t) ［9t2 － (2c － ck)2 + s(5t + (2c － ck) ］
16t2(2c － ck + 3t)2
＞ 0
qAgU － qAg =
(2c － ck + t) (2c － ck － s + 3t) ［9t2 － (2c － ck)2 － s(2c － ck)－ 5st］
16t2(2c － ck + 3t)2
＞ (2c － ck + t) (2c － ck － s + 3t) ［t
2 － (2c － ck)2 + s(8t + (2c － ck)－ 5t) ］
16t2(2c － ck + 3t)2
＞ 0
上述证明过程中的不等式成立源于约束条件 t ＞ (s + 2c － ck)和假设 1 ＜ k ＜ 2．
qAegU － qAeg =
－［t － (2c + ck) ］［27t2 － (2c － ck)3 － s2(5t + 2c － ck)－ 3(2c － ck)2 － 9(2c － ck)t2］
16(2c － ck + 3t)2 t2
在约束条件 t ＞ (s + 2c － ck)下，有
27t3 － (2c － ck)3 － s2(5t + 2c － ck)－ 3(2c － ck)2 t － 9(2c － ck)t2 =
［t3 － (2c － ck)3］+［6t3 － s2(5t + 2c － ck) ］+［3t3 － 3(2c － ck)2 t］+［9t3 － 9(2c － ck)t2］+ 8t3 ＞ 0
因此，qAegU － qAeg ＜ 0
πAU － πA =
t － (2c + kc)
32［3t － (2c － kc) ］2 t2
×
［(2c － kc)4 + 2(2c － kc)3 t + 5s2 t2 + 87t4 － (2c － kc)2(16t2 － 3s2)－ 2(2c － kc)t(5t2 － 6s2) ］
在约束条件下有
(2c － kc)4 + 2(2c － kc)3 t + 5s2 t2 + 87t4 － (2c － kc)2(16t2 － 3s2)－ 2(2c － kc)t(5t2 － 6s2)=
［16t4 － (2c － kc)2(16t2 － 3s2) ］+［10t4 － (2c － kc)t(10t2 － 12s2) ］+ 61t4 + (2c － kc)4 + 2(2c － kc)3 t ＞ 0
因此，πAU － πA ＞ 0 证毕．
附录 C:
命题 8 的证明:
WU － W =
t － c(k － 2)
12［c(k － 2)－ 3t］2 t2
［c4(k － 2)4 － 2c3(k － 2)3 t + c2(k － 2)2(3s2 － 14t2)+
3t2(s2 + 3t2)+ 6c(k － 2)t(－ 2s2 + 5t2) ］
不等式 WU － W ＞ 0 难以求得解析条件，参照附录 A中的方法，利用 Mathmatica数学计算软件，编制如下程序:
m = 1 106;
x = Reduce［1 /(12 (c (－ 2 + k)－ 3 t)2 t2) (t － c (－ 2 + k) ) (c4(－ 2 + k)4 － 2 c3(－ 2 + k)3 t + c2(－ 2 + k)2(3
s2 － 14 t2)+ 3 t2(s2 + 3 t2)+ 6 c (－ 2 + k)t (－ 2 s2 + 5 t2) )＜ 0 ＆＆ t ＞ m /1 000 (s + c(2 － k) )＞ 0 ＆＆ s ＞ 0 ＆＆
2 ＞ k ＞ 1 ＆＆ c ＞ 0，t］;
y = ToString［x］;y = StringTake［y，5］;
While［y!= "False"，m = m + 1;
x = Reduce［1 /(12 (c (－ 2 + k)－ 3 t)2 t2) (t － c (－ 2 + k) ) (c4(－ 2 + k)4 － 2 c3(－ 2 + k)3 t + c2(－ 2 + k)2(3
s2 － 14 t2)+ 3 t2(s2 + 3 t2)+ 6 c (－ 2 + k)t (－ 2 s2 + 5 t2) )＜ 0 ＆＆ t ＞ m /1 000 (s + c(2 － k) )＞ 0 ＆＆ s ＞ 0 ＆＆
2 ＞ k ＞ 1 ＆＆ c ＞ 0，t］;
y = ToString［x］;y = StringTake［y，5］;］
可得 m ＞ 3 733，即 t ＞ 3. 733(2c － ck + s) ，WU － W ＞ 0．当 t ＜ 3. 733(2c － ck + s)时，两种定价策略下社会福利的
差异将在正负之间变化． 证毕．
—42— 管 理 科 学 学 报 2012 年 12 月
