背景风险下指数复制的混合规划算法.pdf

下载

下载

6积分

8积分

下载

8积分

VIP价：6积分

研究领域：金融工背景风险下指数复制的混合规划算法1龚朴郑金璐华中科技大学，管理学院，武汉（430074）摘要：前人关于指数复制的研究局限在线性规划和二次规划，且一般没有考虑到背景风险。本文在背景风险的框架下，提出了一种新的指数复制模型，在该模型中考虑了投资人的偏好问题，尤其是投资人的“谨慎”偏好。本文在技术上克服了针对谨慎投资人求解最优组合时，面临的回报三阶矩求最值的难题。具体做法是引入0-1变量，将非线性的问题线性化。文中得到了比较好的复制结果，在样本外数据中得到最高122点的偏移量，而且计算效率比较高。关键词：背景风险；指数复制；混合规划IndexTrackingunderBackgroundRiskUsingMix-IntegerProgrammingAbstract:,’preferenceintoaccount,especially“cautious”,-1variablesinthispaper,:backgroundriskindextrackingmix-integerprogramming1、引言1976年，世界上出现了第一只指数型基金，即跟踪美国S&P500指数的Vanguard500指数基金，至此指数投资拉开了序幕。基于消极投资的许多优势，尤其是成本优势、管理优势和紧跟市场平均报酬率的保证性，以及从实践中看，市场指数长期是呈现上升的趋势和单只股票很难长期跑赢市场指数，消极投资尤其是指数投资越来越多的被采用，尤其得到组合理论和市场有效理论的支持。指1资助项目：国家自然科学基金面上项目（71071067），教育部“国际金融危机应对研究”应急课题资助项目（2009JYJR021） 数复制的算法研究越来越有市场和发展空间。沪深300股指期货的推出，为基金，券商，期货公司等金融机构提供了一个金融创新的工具，使得这些机构投资者可以在“金融工程”的理论框架下去探索新的盈利模型。其中股指期货套利就是一种重要的新型盈利模式，值得深入研究。而且开展股指期货套利对于恢复扭曲的期货市场价格，抑制过度的市场投机行为，提高市场的稳定和安全有着重要的作用。股指期货套利的一种重要形式就是期现套利—利用期货和现货的价差进行套利，这个过程中对指数期货品种的复制有很重要的作用。目前国外所用的得到复制追踪的最优化算法包括二次规划、线性规划、蒙特卡洛模拟、遗传算法和启发式算法等，这些算法的使用指数复制的技术大大提高。但是目前存在的算法基本是二次以内的规划，而且没有考虑到投资人的风险偏好。本文在这些基础上，提出了一个新的指数复制想法和模型，将投资者的偏好体现在投资组合构建的目标函数中，尤其是递减的风险厌恶，即“谨慎”，并分析了其原理给出了算例。文章下面章节安排如下：首先作了相关文献的回顾，其次介绍了模型建立的原理以及建立过程，再次给出一个数值算例，并对结果进行了分析，文章最后部分作了结论。2.、文献综述背景风险背景风险是指那些不能在金融市场上通过资产组合进行分散的风险(Baptista,2008)。当投资人在做一个投资组合的决策问题时，不仅仅要面对组合风险，还要面对来自方方面面的背景风险，包括劳动力收入，私有收入，实物资产上的投资，以及一些不可预期的费用等。在这个框架下，一般假设在金融市场的投资产品为金融资产，或者组合资产，或者交易资产。那么在考虑金融资产投资组合的建立时，就要将背景风险纳入考虑的范围，背景风险的缺失会对投资组合的建立结果造成影响（ChonghuiJiang,Yongkai,andYunbiAn,2010;ChikiHara,JamesHuang,andChistophKuzmics,2010）。从vonNeumann和Morgenstern，到Arrow逐渐形成了采用效用函数模型对风险进行分析的理论模型。当一个个体不愿意接受或者对于任何公平的赌博都无所谓的时候，这个个体通常被认为是风险厌恶的。风险厌恶的观点长时间以来已经成为研究风险的基础。在假定期望效用的框架下，风险厌恶意味着von Neumann-Morgenstern效用函数是凹的，或者可微的，且二阶导数小于0。注意到，基本风险厌恶的定义只涉及到效用函数的二阶导数。新近关于“谨慎”风险厌恶已经成为一个被普遍接受的假设。对于谨慎风险厌恶的定义是这样的，在风险厌恶的基础上，定义边际效用是凸的，也即三次导数大于0，同时一些学者也通过投资者的行为对“谨慎”进行了定义(LouisEeckhoudt,ChristianGollierandHarrisSchlesinger,2005)。一般情况下，均值—方差模型求解投资组合最优化问题已经足够。关于三阶矩的在组合优化中的重要性是由Samuelson（1958）在上世纪50年代首先提出的，但是在过后的很长一段时间都没有形成对三阶矩的定量分析，主要原因有两个，其一是当资产数量过多时，估计三阶矩很困难，效率低；其二是三阶矩不是凸函数，难求最大值。指数复制算法研究指数复制其核心是减小追踪误差，取得与市场指数相同的市场表现。Fang和Wang（2005）把追踪指数的问题看作一个双目标规划问题。一个目标与对股票指数的绝对不利偏差的均值相关，另一个目标与超回报相关。文中提出可以用线性规划解决的数学模型——模糊决策理论。文中给出了许多选取30只股票追踪上证180的例子，但是没有给出计算时间。Gaivoronoskietal.（2005）讨论了许多量化追踪组合和股票指数之间表现差异的方法以及平衡追踪组合的方法。文中选择股票的方法是先选择一个不加限制的组合，然后在这个非限制组合中依据股票的表现排序。文中给出了对Oslo股票交易所65只股票的计算结果，但是没有给出计算时间。Colemanetal.（2006）考虑了在追踪组合的资产数目有限地情况下最小化追踪误差。在文中的方法中是通过最小化一个权重目标函数，函数由追踪误差和追踪组合中的资产数量组构成。目标函数中的离散变量通过一个连续函数逐步逼近。文中展示了利用公开可以获得的Beasleyetal.的数据计算的结果，但是没有给出计算时间。Colwelletal.（2007）把指数追踪问题看做一个连续时间的对冲问题。文中采用一个动态方法——局部风险的最小化来从复制指数的连续交易策略选择一个最优追踪组合。文中的指数追踪公式中没有包括交易费用，不限制卖空。文中展示了S&P50010只最大股票中选择9只的计算结果。Corielli和Marcellino（2006）提出了一个指数追踪方法，这种方法是基 于股票价格因素模型。在这种方法中，指数以及追踪组合有相同的因素结构。文中采取一种简单的方法向追踪组合中加入新的股票。在这个过程中，第一步是进行因素排序，然后依顺序将与这些因素相关性最好的股票加入追踪组合。文中给出了针对重建的EuroStoxx50指数的追踪结果，但是没有给出计算时间。Yaoetal.（2006）考虑用一个包括很少资产的组合去追踪一个金融标杆。在文中的方法中，追踪组合中的资产必须是已知的。文中把计算追踪的问题作为一个随机线性二次控制问题，并用半正定规划解决它。文中给出了仅用4或5只股票的组合追踪恒生指数的结果，但是没有给出计算时间。Yuetal.（2006）展示了一种追踪指数的马克维茨模型，在这个模型中假设指数追踪结果和控制追踪组合的收益降到低于指数的概率有关（不利风险）；或者与不利风险的高阶距相关。文中假设股票回报满足联合正态分布，并且允许卖空。文中给出了关于恒生指数股票的一个简单数值例子。toyan和Kwon（2007）给出了一种基于两阶段随机程序的指数追踪方法。其目标是三个因素的非加权和：追踪组合和指数之间的绝对差值、在特定的行业偏离理想投资的绝对值、交易的股票数量。混合规划最优化的理论和算法是运筹学的一个重要分支，其研究如何在一些约束条件下，从众多方案中选择最优的可行方案。在实际的应用领域中，许多变量具有离散，不可分割的特性，比如工人数，机器数，工厂数等等；另外有时会用到0-1变量描述一些类似于是与否，有与无，取与舍的关系和现象。这样在很多问题中，例如工厂选址，人员排班，运输线路设计等，经常出现整数变量。在规划问题中变量全部或部分是整数的规划就称为整数规划。其确切定义：整数规划是在一些等式和不等式的约束条件下，一些变量整数的限制下，最大化或者最下化目标函数的优化规划。一般来说整数规划有两种简单分类，其一是根据约束条件或者目标函数的线性与否分为线性整数规划和非线性整数规划；其二是根据整数规划中变量的取值限制形式分类：（1）纯整数规划（integerprogramming,简记为IP），所有的决策变量都是整数。（2）混合整数规划（mixedintegerprogramming,简记为MIP），部分决策变量是整数。（3）0-1整数规划（binaryprogramming,简记为BIP），整数变量只能取0或者1，0-1整数规划又可以进一步分为0-1纯整数规划和0-1混合整数规划。 整数规划的求解是从线性整数规划的求解开始的。该规划采用的普遍原理主要有两个：割平面方法和分支定界法。这些原理在规划问题的求解中普遍应用，只是在具体实现方法上有所变化，更加贴近应用的需要。如HiroshiKonno(2005)的文章中提出了一种引入0-1变量，将连续函数分段的方法解决混合整数规划的问题。在实现过程中得到比较理解的结果。3、模型建立符号定义首先我们观察N种股票在时间0,1,...,T的价格，以及被追踪指数在这个时间段的表现。文中致力于确定追踪组合最优构成，K只股票的选择（K<N）,以及这些股票的数量或者投资比例。下面具体描述一些组合构建过程中将要用到的一些变量以及经济意义：变量解释追踪组合中确定投资股票i的最小投资比例i追踪组合中确定投资股票i的最大投资比例iY当前追踪组合中股票i的股数iV时间t股票i的价格itI时间t指数的价值tR时间t指数单期的连续回报率，例如Rln(I/I)tttt1r时间t股票i的单期连续回报率。例如rln(V/Vit1)itititC当前时间T追踪组合X的总价值nXVi加上现金的变化（包括现金的新投1iiti入以及现金的撤出），也就是构建新的追踪组合时可以使用的总的资金量sf用分数表示在时间T卖出一单位股票i的成本ib用分数表示在时间T买入一单位股票fi的成本iC中可以用于作为交易费用的比例限制（01）y在新的追踪组合中股票i的股数i G买入或者卖出股票发生的交易费用iz是一个0-1变量，也是本文的主要决策变量之一，如果新的追踪组合中包括股票ii，则z的值等于1,，否则z的值等于0ii假设R1,...,RK是离散样本空间上的一个分布，定义：ffP{R1,...,Rr,...r},t1,...,tttK1tKTtri股票i连续期间回报，即RTrEiifrtitt1R股票组合单期回报均值，即Rrx，其中KxyV/itititiiiityV1jjtjKTK收益的偏度，KRXK3ERrxiii3fz，zrRxtttititii1t1i1不失一般性，我们可以允许X取分数值（因为投资总额很大）。i追踪组合的备选股票可以是所有N只股票中的一种，只要这只股票具有历史价格集合V。问题提出假设Rj1,…,n是代表资产S1,…,n收益率的随机变量。同时假设jjxx1,…,xn是投资组合向量，其中x代表在资产S上的投资比例。有下面的表jj达式：XxRn:Axb,x0（）其中ARmn，bRm，X是一个可以投资集合。对于投资集中的一个组合，xX的投资回报Rx有如下的表示：nRxRx（）jjj1如果假设效用函数Ux是表示与组合x相关的效用表示。那么效应函数U将是投资组合回报Rx的函数表示，即 UxuRx（）对回报Rx的期望做如下假设ERxrx（）对效用函数uRx在其期望值rx附近进行泰勒展开，有下面的结果kxurxurxRxrxkuRk!（）k1再对上面的展开式两边取期望有uRkxurxurxERxrxkEk!.6）k（31下面具体从效用函数模型中引入三阶矩和偏度概念。首先对效用函数做一个假设：假设：效用函数UR是一个递减的风险厌恶函数，即在区域Rx,xX中，UR满足u1R0u2Ru3,0,R0。前面的等式（）有EuRxukkrxurxERxrxk!k（）1将这个等式右边展开到三阶矩，有EuRxurxu2rxvx2u3rxkx6（）其中Rxrx2vxE，3kxERxrx（）有了上面的假设，对等式（）的效用求解最大值，自然包括kx项的最大。在1998年，,和的文章中已经给出了偏度的定义式，即偏度K为kxK（）32vx显然偏度是一个与三阶矩直接相关的概念，满足了偏度的最大化，也即满足了三 阶矩的最大化，满足了递减风险厌恶个体对于效用函数的偏好。kx目标函数的确立该方法的原理正如上面介绍的，核心目标就是最大化复制组合的收益率分布的偏度。这种约束针对具有谨慎风险厌恶的个体，这种投资者在收益率和方差一样的情况下更加喜欢正偏度。简单来说，这个是一个一阶段模型，只是在前面给出的约束条件上加入对复制组合收益率期望和方差的约束，然后以最大化偏度作为目标函数，即下面的式子maxK（）这个模型又可以称为均值—方差—偏度模型（MVS）。最大化偏度在技术上是很难操作的，前文介绍了原因主要有两个，其一是当资产数量过多时，估计三阶矩很困难，效率低；其二是三阶矩不是凸函数，难求最大值。这里引入0-1变量进行线性化，简化了算法，具体如下：符号定义中已经说明的，假设R,...,R是离散样本空间上的一个分布，定1k义：fPR1,……Rr1,……,r,t1,……,T（）ttKtKt这样就有rTERfr（）iititt1还有KKERxERxrx（）iiiii1i1K2vRxERrxiiii1（）2TKfrrxtitiit1i1K3vRxERrxiiii1（）TK3frrxtitiit1i1 这样均值—方差—偏度模型就转变成求解Tmax3fzttt1T22stfzsttt1Krxr（）iii1Kzrrx,t1,……,Ttitiii1xX下面采用标准的分段线性逼近对二次函数2z和三次函数3z进行线性化，在tt这个过程中需要引入一系列的0-1变量。下面将详细介绍线性化的过程。假设0mKKzinrrxrxr,xXtitiiiii1i1m（）KKzaxrrx,tmitiirxrxXiii1i1然后将区间z0,zttm分成m等分长度。下面引入辅助变量，其中tjt1,2,……,T,j0,1,……,m。这样方差和偏度可以表示成下面的形式：TmvRx2ftztjtjt1j0kRxTmf3zttjtjt1j0mzz,t1,2,……,T（）ttjtjj0m1,t1,2,……,Ttjj00,t1,2,……,T;j0,1,……,mtj为了保证偏度函数的凸性，需要满足下面的条件tktl1qtl12q1qtltltl2……（）qtmtm1 其中q0,1,jl1,l2,……,j1。tj这样均值—方差—偏度模型就转变成下面形式的约束条件Tm22fzs（）ttjtjt1j0Krxr（）iii1Kmrrxz,t1,2,...,T（）itiitjtji1j0m1,t1,....,T（）tjl00,t1,...,T;j0,1,...,m（）tj1y1,t1,...T（）tlttltyy1,jl2,...,m1;t1,...T（）tjtjtjt,1,...,tmyT（）tmt1y0or1,jl1,...m;t1,...,T（）tjt最大化偏度转变为目标：Tmmax3ftz（）tjtjt1j0这样目标函数偏度就实现了线性化。约束条件在考虑指数复制的约束问题时，文中考虑了大概几个方面的因素，包括定义在每只股票上的0-1变量约束，每只股票购买量占总资金的比例，购买手续费用占总资金的比比重等。下面一一做出说明。指数追踪的普遍约束包括：NzL（）ii1zyV/Czi1,...,N（）iiiiTii GbfyYV1,...,iiiiiTiN（）GsfYyVi1,...,N（）iiiiiTNGC（）ii1NNyVCiiTG（）ii1i1y,G0i1,...,N（）iiz0,1i1,...,N（）i约束（）保证了新的追踪组合中有K只股票；约束（）描述了如果一只股票i没有在新的追踪组合中则y是0，如果股票i包括在新的追踪组合中其i比例满足要满足最大投资比例和最小投资比例的要求；约束（）和（）定义了交易成本，就是买卖股票的交易成本要小于等于允许花费的总的交易成本；约束（）限制了总的交易成本；约束（）是一个均衡等式，保证T时间新的追踪组合的值等于当前追踪组合的值加上现金改变减去总的交易成本；约束（）只是保证了变量的经济学意义；约束（）定义了z的0-1变量i特点。如果我们以偏度最大作为目标函数，还需要对收益率的均值和方差加入约束条件，在后面介绍。4、数值计算沪深300被境内外多家机构开发为指数基金和ETF产品，跟踪资产在A股股票指数中高居首位。基于沪深300指数的重要地位，本文选取沪深300指数作为主要跟踪指数。该部分的数据来源于万方数据库。这部分内容主要依据均值—方差—偏度模型，针对沪深300建立追踪组合，具体步骤如下：1）计算沪深300指数的300支成分股从2010年1月12日到2010年2月22日25个交易日的单日收益率；2）设定参数，以及将1）得到的数据代入计算模型；3）用整数线性规划求解组合，在这个过程中不断改变关键参数的取值，取 得不同的跟踪组合；4）与指数的效果相比较，用样本外的数据评价跟踪组合的跟踪效果。下面先对复制组合构建中的初始参数进行一下说明。表4-1初始参数的设定参数名称参数含义参数值tpSize复制组合股票数5maxCostRatio交易费用所能占用的最大权重买入交易费用比率0sellFee卖出交易费用比率新投入资金0T回溯时间25xptRet要求的期望回报要求的标准差线性化时区间等分分数50开始我们选择L=5，即用5支股票追踪指数，为了反映L值对追踪效果的影响，将以5为等增区间，增加L的值，下文会给出L值的影响；这里设置了交易费用所能占用的最大权重，主要是出于全面性的考虑，考虑到一些情况下买卖股票双向收费，实际上在当前国内的资本市场中，只有在卖出股票的时候收取千分之一的印花税，这样交易费用所能占用的资金最大权重只有在小于千分之一的时候才有意义，本文这里设置为千分之一，相当于放宽了对交易费用的约束；新投入资金这里设置的为0，前文说明了这里追踪组合的建立实际上是一个重建的过程，假设开始已经有一个投资组合，这个组合的总资金量为1000000，平均分配在L只股票上；关于每支股票最大投资比例和最小投资比例的选择没有过多的考虑，只是保证了在这两个约束条件下可以构建组合，比如，最小投资比例过大，可能与L值的选择形成矛盾，从而导致不能构建跟踪组合，我们也尝试了改变每支股票最大投资比例和最小投资比例的组合，证明对追踪组合跟踪效果没有显著影响；回溯区间就是指模型建立时使用的样本内区间，在这里指2010年1月12日到2010年2月22日；要求的期望回报即约束中的r；要求的标准差即约束中的s；线性化时区间的等分分数在已经做了详细说明。在计算过程中，主 要改变要求的期望回报，要求的标准差。下面给出相关结果，以及L值改变的影响。表4-2K值改变对复制效果影响跟踪误差偏差均跟踪误差偏差均L的取值值值绝对值跟踪偏离度计算时间（秒）关注表4-2中给出的跟踪偏离度，简单的从数值来看跟踪效果并不好，但是应该注意，在这个模型中更多关注的是复制组合回报具有最大偏度。关注跟踪误差偏差，在各个L不同的情况下基本为正值，均值为，最高为，基本符合模型设计的想法。关注计算时间，我们发现该模型的计算时间远远长于前文提到的模型，甚至达到前文模型时间的18-20倍，但是在可以接受范围内。考虑到该模型关注复制组合指数对沪深300指数正向偏移，下文给出一个偏移量图。 36003500340033003200310030001357911131517192123252729复制组合沪深300图4-1L=15时沪深300复制效果图1401201008060402001357911131517192123252729偏移量图4-2偏移量图图4-1给出的是复制组合与沪深300指数的比较，图4-2给出的是复制组合相对于沪深300指数值的偏移。在30个交易日中复制组合点位与沪深300指数点位差值的最大值为，最小值为，均值为。5、结论本文指数复制选择的方法是优化指数复制，即选择成分股的一部分股票，采取一定的优化方法，构造复制组合来追踪指数。本文在目标函数的选择过程中，更多的考虑了投资人的风险偏好，依据投资人的风险偏好程度设计目标函数构造追踪组合。在模型求解中，利用一些线性化的手段将非线性混合整数规划问题转化为线性混合整数规划问题求解，这样大大简化了求解过程，提高了算法效率， 并利用Cplex这个比较成熟的软件实现算法的求解。本文在详细介绍了指数复制模型和算法实现后，进行了实验研究。考虑到目前中国资本市场推出了沪深300股指期货，因此选择沪深300指数作为主要追踪指数。在对谨慎风险厌恶投资者构建追踪模型中，追求的是复制指数相对于目标指数正向的偏移，这个在样本外的数据结果中有明显的体现，文章中分别给出了图表进行说明。另外一点，本文利用的混合整数规划构建指数复制模型的效率比较高，最长的时间都没有超过40秒。参考文献[1],,,,2005,163:115–131.[2]Baptista,.,,2008,32:977-985.[3],,Indexing,,2005,10:213–231.[4],,Indexingandstatisticalarbitrage:Trackingerrororcointegration?JournalofPortfolioManagement,2005,31:50–63.[5],,–StatisticalMechanicsandItsApplications,2005,355:145–151.[6]ChiakiHara,JamesHuang,andChristophKuzmices,,2010.[7]ChonghuiJiang,YongkaiMaandYunbiAn,&Finance,2010,34:3055-3060.[8],-Hassan,,,2007,31:2135–2151.[9],,,,2006,54:232–246. [10],,,2006,30:2215–2233.[11]HiroshiKonno,Amean-variance-skewnessmodel:,2005.[12],,,ResearchonapplicationofSteinruleestimationforindextrackingproblem,in:Proceedingsofthe2005InternationalConferenceonManagementScienceandEngineering,2005,12(1–3):434–439.[13],,,,200528:371–379.[14],,,,,2007,33(3):49–56.[15],,,Adownsideriskanalysisbasedonfinancialindextrackingmodels,in:,,,(Eds.),StochasticFinance,Springer,2006,–236.[16],S.-Y,Wang,Afuzzyindextrackingportfolioselectionmodel,LectureNotesinComputerScience,2005,3516:554–561.[17]陈伟忠，李健飞，陈春锋，指数优化复制中流动性改进.系统工程，2005，23（2）：55-61.[18]李俭富，基于我国证券市场的指数跟踪管理方法及应用研究：博士论文，电子科技大学：西安，2006.[19]沈双生，郭子忠，指数型基金的发展优势和投资风险分析.金融教学与研究，2003，88（2）：35-36.[20]雍开伏，差分进化算法及其在指数复制中的应用：硕士论文，华中科技大学：武汉，2008.[21]张帆，优化指数基金实证研究——动态构建增强指数基金：硕士论文，厦门大学：厦门，2007.[22]赵陵，现代资产组合理论研究：博士论文，中国社会科学院：北京，2001.[23]赵文娟，我国交易型开放式指数基金（ETF）跟踪误差研究：硕士论文，对 外经贸大学，2006.作者简介：龚朴，华中科技大学管理学院会计与财务金融系教授，博导，系主任通讯地址：华中科技大学管理学院会计与财务金融系，430074电话：13995681197电子邮件：gongpu11@