第四节 跨时期选择、不确定性
跨时期选择和不确定这两章在以往的考试中出现
的频率较少，但是跨时期选择中的比较静态分析
法是非常经典的，在以后的考试中，完全有很大
的可能性以大题目或者小题目的形式来考察大家
的掌握情况。而不确定性这一章在今后的学习中，
尤其是博弈论、信息经济学等经济学前沿学科的
基础一环，为了使研究生入学考试更好地起到本
科阶段学习和研究生阶段学习的桥梁作用，也很
有可能纳入到研究生考试当中，而且大题目、小
题目的形式均有可能出现。
一、跨时期预算约束和跨时期偏好
二、跨时期选择的比较静态分析
三、名义利率和实际利率 税前利率和税后利
率
五、 不确定性下的预算约束
六、预期效用函数
七、风险规避、风险偏好、风险中性
八、不确定性下的最优选择
九、确定性等值与风险升水
1．（判断题）假设消费者在时期1和时期2拥
有的货币量为（m1,m2），并且假设消费者
将货币从时期1转到时期2的唯一途径是通
过不生息的储蓄，则他在时期2最多只能花
费m2。（ ）
分析：既然消费者可以通过不生息的储蓄来把时期1的货币转到时期2
，又因为消费者在时期2拥有的货币量为m2，因此消费者在时期2的花
费就完全可以大于m2。
这种情况下的预算线如图1所示。
图1
C2
C1
m2
m1
ω
2．（选择题）用（c1,c1）表示消费者在时期1和时期2的消
费量，并假设每个时期的消费价格为1，每个时期拥有的
货币量为（m1,m1），如果允许消费者按利率r借贷货币，
那么下列说法错误的是：（）。
A．此时消费者在时期2的消费为c1=m1+(1+r)(m1-c1)
B．当m1=c1时，消费者处于“波洛厄尼斯点”
C．当m1-c1<0时，消费者是贷款者，即储蓄者
D．此时消费者的预算线为c1+c1/(1+r)=m1+m1/(1+r)
• 分析：对于选项A，由于每个时期消费的价格为1， 所以
时期1储蓄的货币为(m1-c1)，在利率为r的情况下，这笔储
蓄到时期2就变成了(1+r)(m1-c1)，因此时期2的消费为m1+(1+r)
(m1-c1)。
对于选项B，当m1=c1时，消费者既不储蓄，也不借款，
这种情况下，消费者处于“波洛厄尼斯点”。
对于选项C，消费者在时期1的储蓄小于消费，因此消费者
有向别人借款，而不是贷款。
对于选项D，将选项A中的表达式调整变形即可得到该条
预算线。
3．（判断题）在跨时期选择下，消费者的偏好
同样有完全替代、完全互补以及良好性状的情况。
（ ）
• 分析：这是正确的。在跨时期选择下，如果消费
者的偏好为完全替代，这说明消费者并不在乎是
今天消费还是明天消费，此时边际替代率为-1；
如果消费者的偏好为完全互补，这说明消费者想
要使今天的消费量等于明天的消费量，他将不愿
意用一个时期的消费来替代另一个时期的消费，
而不管这样做对他是否值得；如果消费者的偏好
为良好性状，这说明消费者愿意将今天一部分的
消费来替代明天的消费，当究竟愿意替代多少，
这又取决于其特有的消费形式。
4．（论述题）在跨时期选择中，如果消费者
起初为一个贷款者，则利率上升，该消费
者仍然会做一个贷款者。
图2
C2
C1
ω(m1,m2)
E0
E1
B
A
C D
AD代表初始预算线，设为c1+c2/(1+r)=m1+m2/(1+r)。现
假设利率从r上升到rˊ，那么预算线变为：c1+c2/(1+
rˊ)=m1+m2/(1+ rˊ)。所以预算线将围绕禀赋点顺时针转动。
如图中BC所示。
由于原先消费者在时期1是贷款者，即时期1的消费小于时
期1的禀赋m1，也就是说均衡点在Aω线段上，不妨设为E0。
当利率上升时，预算线变为BC，根据显示偏好弱公理，
在初始状况下，消费者在选择E0点时能够支付得起ωD段
的消费束，当消费者却没有选择这些消费束。那么在新的
预算线的情况下，消费者也一定不会选择这些点。因此消
费者只会选择Bω段上的消费束，即最优点只会在禀赋点
的左侧，不妨设为E1。可见，在这种情况下，消费者在时
期1的消费仍然小于时期1的禀赋。所以消费者仍然是一个
贷款者。但同时，我们并不能判断消费者在利率上升时，
是否会减少时期1的消费量。
5．（选择题）关于跨时期选择的比较静态
分析，下列说法错误的是：（ ）。
A．如果用横轴代表时期1，纵轴代表时期2
，那么利率上升一定使消费者预算线变得
更为陡峭
B．如果消费者初为贷款者，那么在利率上
升时，消费者的状况会变差
C．如果消费者初为贷款者，那么在利率下
降时，他在时期2的消费肯定减少
D．如果消费者初为借款者，那么在利率下
降时，消费者的状况一定改善
分析：对于选项A，我们知道跨时期选择的
预算约束可以用下列表达式来表示：
c11+c2/(1+r)=m1+m2/(1+r)，与普通的预
算线p1x1+p2x2=m相比较，则就相当于
p1=1,p2=1/(1+r)，当利率上升时，显然p2会
下降。所以预算线会绕着禀赋点顺时针转
动，从而预算线变得更为陡峭。
对于选项B，通过第4题，可以看出消费者
状况变好了，而不是变差了。
图2
C2
C1
ω(m1,m2)
E0
E1
B
A
C D
对于选项C，见图3。在利率下降后，预算线绕着禀赋点逆时针转动，
消费者新的均衡点可以在Aω段，也可以在ωd段。如果在Aω段，说明
消费者仍然做一个贷款者，在这种情况下，消费者的状况会变差。但
如果消费者的均衡点在ωd段，则消费者改为做一个借款者，此时消费
者的状况是否变好，显示偏好并不能给我们进一步的回答。
图3
C2
C1
ω(m1,m2)
E0
E1
A
B
C D
对于选项D，在利率下降后，预算线绕着禀赋点逆时针转动，消费者
仍然会做一个借款者，而且状况一定变好。
图4
C2
C1
ω(m1,m2)
E0
E1
A
B
C D
6．（判断题）小明在利率为5%时是一个
净贷款者，在利率为2%时是一个净借款者，
则当利率从5%下降到2%时，小明的福利状
况变差了。（ ）
分析：这其实是对例5中相关知识点的应用。 同样，通过图3我们知
道，在利率下降时，如果消费者仍然做一个贷款者，那么消费者的状
况肯定会变差。
图3
C2
C1
ω(m1,m2)
E0
E1
A
B
C D
但是消费者也可能从一个贷款者变为一个借款者，此时，消费者状况
是否变差并不能确定。如图5所示，则就是消费者状况变好的一种情
况。
图5 变好
C2
C1
ω(m1,m2)
E0
E1
A
B
C D
7．假设某个消费者只活两个时期，在时期1他能
够获得收入400，000，在时期2他会退休，并靠
他的储蓄生活。该消费者具有柯布—道格拉斯形
式的效用函数，其中是他时期1的消费量，是他时
期2的消费量。实际利率是r。那么（ ）。
A．如果利率上升，该消费者在时期1将会储蓄更
多
B．如果利率上升，该消费者在时期1将会储蓄更
少
C．利率变化的影响是不确定的，但是消费者肯
定会根据利率的变化重新确定每一期的消费量
D．利率的变化不会影响他的储蓄量
解析：该消费者的效用最大化问题为：
解上述最大化问题：
写出拉格朗日函数：
一阶条件：
两式相除，则：
所以：
把c2代入预算约束，则
c1+c1/3=400000
所以c1=300000
可见c1与利率无关。
当然，也可以直接根据柯布—道格拉斯形式的效用函数的性质，
即：
从而可以得到：
同样，利率的变化并不会影响该消费者的消费量，自然也不会影响该
消费者的储蓄量。
8．（判断题）如果消费者现期和未来期的消
费都是正常商品，那么，作为一个贷款者，
如果利率上升，消费者一定会减少现期的
消费。（ ）
分析：此题需要用修正的斯勒茨基方程来解答。先回顾一
下跨时期选择的斯勒茨基方程。
跨时期的斯勒茨基方程：
其中始终有 ，即替代效应始终小于零，也就是说利
率上升，替代效应就会使时期1的消费减少。
假设时期1的消费是正常商品，则有 。则 的
符号就取决于 的符号。
如果某个消费者是一个借款者，即时期1的收入小于消费，
，那么 ，从而总效应 。也就是说，对于一个
借款者，利率的上升必定会使他减少现期的消费。
如果某个消费者是一个贷款者，即 ，那么 的符
号不确定。也就是说，对于一个贷款者，利率的上升对他
现期消费的影响是不确定的。
9．（选择题）如果名义利率为8%，通货
膨胀为3%，则实际利率是（）。
A．４．８５％ B．４．９５％ C
．５．１５％ D．４．７５％
分析：根据名义利率、实际利率、通货膨
胀三者之间的关系式：
反解出
其中，ρ代表实际利率，ｉ代表名义利率，
π代表通货膨胀率。
把已知条件一一代入上面的关系式中，则
10．（判断题）如果名义利率为8%，价格
每年在下降2%，那么实际利率接近10%。
（ ）
分析：名义利率、实际利率、通货膨胀三
者之间的关系可以用精确表示外，还有一
个近似表达式，即。
在该题中，价格下降意味着通货膨胀为负
值，因此根据题意有
i=8%， π=-2%
代入上述近似式，因此ρ=8%-（-
2%）=10%
11．（选择题）已知某消费者只生活两期，
在这两期中，他的消费束为（600，800），
他两期的收入为（400，1100），则该消费
者的现值收入为：（ ）。
A．1060 B．1500
C．1067 D．1400
分析：在该题中，我们假设消费是可行的，
因此必有消费的现值等于收入的现值。假
设利率为r，那么则有： ，解上述
方程，得到利率r=。所以该消费收入的
现值
12．（上财2006年）
投资A的第一年收益为
100元，第二年的收入
为50元。假设利率为
百分之十，下列哪一
项的现值比投资A高？
（ ）
第一年 第二年
A 120 0
B 50 100
C 80 70
D 70 100
分析：由贴现公式 ，
在这里n=2，因此我们可以得到投资A的收
益现值为 ，同理我们可以算出各选
项的贴现值：
B的收益现值为
C的收益现值为
D的收益现值为
经过比较得出，答案为D。
13．（论述题）证明：对于表示一个偏好
的预期效用函数，如果对其进行正仿射变
换，其表示的偏好不变。
分析：先说明一下什么是预期效用函数。
预期效用函数：
其中g代表一种不确定性情况，如一个赌博
或是买一张彩票的行为等，ai代表在各种可
能情况下的结果，u(ai)代表在各种情况下
分别会给消费者带来多少效用，pi代表每种
可能情况会出现的概率，且预期效用函数
的经济意义表示：不确性情况下的效用函
数等于每个状态下的某种效用函数u(ai)的
加权和，其权数由概率给定。
这种预期效用函数又被称作冯·诺依曼—
摩根斯坦效用函数。
在证明该题前，先假设u(g)代表一个冯·诺
依曼—摩根斯坦效用函数，且g具备连续性，
v(g)是对u(g)进行正仿射变化后得到的效用
函数，即v(g)=α+βu(g)。
下面分两步来证明。
• 第一步：证明如果u(g)具有预期效用函数的
性质，那么v(g)=α+βu(g)也具有预期效用函
数的性质。
• 第二步：证明如果u(g)和v(g)代表相同的偏
好，那么一定存在这样的α、β>0,使得二者
具有相同的偏好。
第一步：
假设A（a1,……,an）代表一组可能的结果，且，
且因为g具备连续性特征，所以g～（pa1,(1-p)an
）
因为u(g)具有预期效用函数的性质，所以
u(g)=pu(a1)+(1-p)u(an)
把v(g)= α+βu(g)展开，因此
可见，进行正仿射变换后，v(g)= α+βu(g)仍然具
有期望效用函数的性质。
第二步：
因为g具备连续性，所以
同理，
所以
整理可得
所以我们可以找到这样的α、β>0,
即，只需令 ，
从而本题得证。
14．（判断题）如果一个消费者的效用函
数具有如下形式：u(w)=lnw+100，则该消
费者为风险爱好者。（ ）
对于风险种类，大家需要牢牢掌握以下知
识点。
假设有一赌博可以以 的概率使自己的财
富为 ，以 的概率使自己的财富为 ，我
们以符号 表示这个赌博。
定义该赌博的期望值效用为，
赌博的期望效用函数为
如果对于一个人的预期效用函数有：（如图6所示）
，即认为在无风险条件下可以持有的确定的货币财富量的效用大于在
风险条件下赌博的预期效用，则称这个人为风险规避者；
，即认为在无风险条件下可以持有的确定的货币财富量的效用小于在
风险条件下赌博的预期效用，则称这个人为风险爱好者；风险规避风险爱好
风险中性图6 风险态度
，则在无风险条件下可以持有的确定的货币财富量的效用等于在风险
条件下赌博的预期效用，称这个人为风险中性者。一般效用函数为线性的。
风险规避 风险爱好 风险中性
图6 风险态度
对于风险态度的定义还有另外一种表达方式：
• 如果一个人的效用函数是凹的，则称这个人为风
险规避者；
• 如果一个人的效用函数是凸的，则称这个人为风
险爱好者；
• 如果一个人的效用函数是线性的，则称这个人为
风险中性者。
因为消费者的效用函数是u(w)=lnw+100，从图形
中可以看出是风险规避者，也可以对其求一阶导
为1/w，这是大于0的，而二阶导数为-1/w2,小于0
，可知该函数是凹的，因此是风险规避者。
