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高墩稳定性分析的传递矩阵法#
尹俊红，李青宁**
基金项目：国家自然科学基金(51078306)；高等学校博士学科点专项科研基金(20106120110004)；高等陕西
省教育厅专项科研计划项目(12JK0916)
作者简介：尹俊红（1986—），女，博士研究生，桥梁病害机理与灾变预测
通信联系人：李青宁（1952—），男，教授，博导，主要从事桥梁工程结构分析及抗震研究
（西安建筑科技大学土木工程学院，西安 710055）
5 摘要：基于传递矩阵法，推导了考虑重力影响的单肢高墩稳定性总传递矩阵；对于双肢高墩，
根据突变点的静力平衡方程，推导了点矩阵的表达式，并利用坐标转换矩阵建立起双肢高墩
静力稳定性总传递矩阵。对高墩进行了稳定性分析，得到高墩的临界荷载。传递矩阵法力学
概念清晰，电算程序简单便捷，可用于高墩稳定性分析。算例表明，该方法准确、有效。
关键词：高墩；稳定性；传递矩阵法 10
中图分类号：U441；
Transfer Matrix Method for Stability Analysis of High Pier
YIN Junhong, LI Qingning
(Civil engineering School，Xi'an University of Architecture and Technology，Xi'an 710055) 15
Abstract: In this paper，based on transfer matrix method，total transfer matrix for stability of
single high pier that considering influence of gravity was double high pier, according to
the static equilibrium equations point mutations, deduced the point transfer matrix and coordinate
transformation matrix，then the total transfer matrix of the double super high pier which is on
static stability concept of transfer matrix method is clear、simple and 20
convenient，which could be used for stability analysis of high show that the method
is accurate and effective.
Key words: high pier;stability; transfer matrix method
0 引言 25
在一些地区，由于地势和道路形式的要求，很多桥梁采用高墩形式[1]，使得桥梁结构的
高墩稳定问题日渐突出。对于这些高墩，高强混凝土已经能满足其截面的强度要求，然而由
于构件长细比较大，很容易发生失稳破坏[2]。当高墩发生失稳破坏时，不仅墩身发生破坏，
桥梁上部结构势必受到威胁和损坏。所以，对高墩进行稳定性分析是极有必要的。目前现有
的分析高墩问题的方法计算结果不能很好反映结构性能和状态的传递特征。本文采用传递矩30
阵法[3]分别对单肢和双肢高墩进行稳定性分析，并通过算例验证了该方法的准确性与可靠
性。
1 单肢墩稳定性传递矩阵
传递矩阵的建立
裸墩在施工阶段，主要受自重和施工质量的作用，可认为向着抗弯刚度EI 较小的一侧35
发生弯曲，近似按照平面杆件结构计算。
对在施工阶段状态下的单裸墩，在传递矩阵法分析和计算中可将墩身简化为质量沿轴向
均匀分布的轴向受压杆件，将上部结构质量集中在墩顶，墩柱高为 L，抗弯刚度EI 取较小
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值， iG 是沿墩身分布的自重力，见图 1。在墩顶截面作用一轴向力 P。分析时，将高墩分
为 n个单元，每个单元长为
L
h
n
，将各单元自重按集中力等效作用于分段面处。第 i个单40
元自重为：
iG qh （1）
q为平均自重线密度。第 i个单元段承受的轴力为：
1 i
i
P i G
P
P
（ ）
1 ~ 1i n
i n
（ ）
（ ）
（2）
对第 i个单元段，其挠曲线近似微分方程为[4]： 45
2
2
d M
dy EI
（3）
y
x
G1
G 2
Gi
Gn
G n-1
.
.
.
.
.
.
.
.
P
P
L
M +dM
v
v+dv
M
dy
P
Q
Q+dQ
A
i单元
i
i
P i
P i
P i
i-1
图 1 高墩受力模型 图 2 i单元微段受力
Fig. 1 bearing model of high pier Fig. 2 i unit force
如图 2 所示，在 i单元中任取 dy段，对 A点建立力矩平衡方程，得 50
i
dM d
Q P
dy dy
（4）
将式（3）带入式（4），整理可得
4 2
2 2
0i
Pd d
dy EI dy
（5）
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令 2 i
P
EI
，式（5）可以表示为
4 2
2
2 2
0
d d
dy dy
（6） 55
式（6）的通解为
1 2 3 4sin cosy y y （7）
由材料力学知识知
d
dy
（8）
再由式（3）和式（4）得 60
2 3 4
2 2
3 4
2
2
cos sin
( sin cos
y y
M EI y y
Q EI
（9）
令 0y ，由式（8）和式（9）整理，得
0 0 0 02 3
0 0 02
0 0 0
0
sin 1 cos sin
sin 1 cos
cos
sin
sin cos
y y y y
M Q
EI EI
y y
y M Q
EI EI
y
M EI y yM Q
Q Q
（10）
由位移 ，转角 ，截面弯矩M 和剪力Q组成状态向量
1
T
S M Q ， ， ， ，
由式（10）得 i单元段的场传递矩阵 65
2 3
2
sin 1 cos sin
1 0
sin 1 cos
0 cos 0
sin
0 sin cos 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
i
y y y y
EI EI
y y
y
EI EI
U
y
EI y y
（11）
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式（11）中，
L
y
n
（12）
确定各单元传递矩阵之后，有：
1 2 1 0 0n n n iS U U U U U S US （13） 70
边界条件
高墩在很多情况下可简化为一端固定一端自由的构件，且高墩在 —x y面有四个状态
向量，边界条件状态向量中有四个向量是已知的。
即在固定端
0
0
（14） 75
在自由端
0
0
M
Q
（15）
根据式(13)可得临界荷载的特征方程[5]，并求解，得高墩临界荷载 P。
2 双肢墩稳定性传递矩阵
简化模型 80
双肢墩是桥墩由两个墩柱组成，主梁传递到墩顶的作用力由两个墩柱共同承担。墩的高
度较大时，两肢之间可设置横系梁。墩体两肢及横系梁构成了一个平面，这个平面有的垂直
于主梁，有的平行于主梁。
本文研究双肢墩在悬臂施工时的稳定性，墩体两肢构成的平面平行于于主梁，双肢超高
墩双肢之间无横系梁。对于大跨桥梁，在平衡施工过程中，必须考虑悬臂梁的重量、挂篮重85
量及施工荷载引起的弯矩作用。假这些荷载可以简化为作用在墩顶的两个竖向力与两个弯
矩，假定弯矩是对称的。桥墩即简化为一个单跨单层受力刚架模型[6]，以此来分析其平面内
稳定性，见图 3 所示。EI 和L分别为主墩的抗弯刚度和高度， 0 0E I 和 0L 分别为墩顶梁段
的抗弯刚度和长度。
场传递矩阵 90
对于 AB和 CD段高墩，也可将其分别分成 n段。由于构件的轴向变形对结构的屈曲荷
载几乎没有影响，在计算细长结构构件的屈曲荷载时不需考虑[7]。所以由横向位移 、转角
、截面弯矩M 和剪力Q组成状态向量： 1
T
S M Q ， ， ， ，
AB肢场传递矩阵与单肢墩一致，即
95
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P P
M M
xy
x L
L
EIEI
E0I0
A D
B C
y
x
y
图 3 双肢高墩简化模型
Fig. 3 reduced model of battened high pier
2 3
2
sin 1 cos sin
1 0
sin 1 cos
0 cos 0
sin
0 sin cos 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
i i i i
i i i
i i
i
i i
i
i
i i i
i
h h h h
EI EI
h h
h
EI
U
h
EI h h
（16）
式（16）中， 100
2 i
i
P
EI
L
h
n
（17）
对于 CD肢，场传递矩阵为 ,j jU ，
2 3
2
sin 1 cos sin
1 0
sin 1 cos
0 cos 0
sin
0 sin cos 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
j j j j
j j j
j j
j
j j
j
j
j j j
j
h h h h
EI EI
h h
h
EI
U
h
EI h h
（18）
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式（18）中，
2 j
j
P
EI
L
h
n
（19） 105
由图 3 建立的坐标系，CD肢与 AB肢轴向力不同。
1 i
j
P j G
P
P
（ ） ( 1 ~ 1)
( )
j n
j n
（20）
对于 BC段梁体部分，状态向量 1
T
S M Q ， ， ， ，
根据杆件弯曲时初参数方程[8]，其场传递矩阵为：
2 3
0 0
0
0 0 0 0
2
0 0
0 0 0 0
0
1 0
6
0 1 0
2
0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
L L
L
E I E I
L L
F E I E I
L
（21）
110
点传递矩阵
在 B点和 C点处，出现集中力和弯矩，该处弯矩和内力发生突变，传递关系为：
=R LBB BS U S （22）
R L
CC CS U S （23）
点传递矩阵为： 115
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1
BU M
P
（24）
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1
CU M
P
（25）
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坐标转换矩阵
在 B点和 C点处发生转折，转角
0
270B C ，
故坐标转换矩阵为：
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
B CT T
（26） 120
总传递矩阵
当确定双肢墩的场矩阵、点矩阵和坐标转换矩阵后，双肢高墩初状态向量和末端状态向
量之间的关系为：
0n
S U S （27）
其中总传递矩阵U 可表示为： 125
, . 1 , ,2 ,1 , , 1 , ,2 ,1B Ci n i n i i i i B C j n j n j j j jU U U U U U U T FU T U U U U U （28）
高墩边界条件状态向量中有四个向量是已知的，故只需满足两固定端边界条件，即可获
得特征值方程，求解可得高墩临界荷载。
3 算例
（1）某连续刚构桥梁，主跨 200m。主墩采用钢筋混凝土空心薄壁式桥墩，墩高 80m，桥墩130
尺寸 *5m，顺桥向壁厚 50cm，横桥向壁厚 50cm。墩身采用 C55 混凝土，弹性模量
10E MPa ，
10G MPa ，泊松比 。上部为箱梁结构，采用 C55
混凝土。裸墩状态下，将超高墩分别分为为 1、5、8 段，计算结果与有限元分析软件 ANSYS
计算结果对比，列于表 1。
表 1 单墩临界荷载 135
Tab. 1 critical load of single pier
分段数/n 传递矩阵法/kN 有限元法/kN 误差/%
1 105
5
8
105
105
105
从算例可以看出，两种计算结果基本吻合，证明传递矩阵法的可靠性和准确性。且传
递矩阵法计算过程中，分段数越多，结果越精确。
（2）若采用双肢薄壁墩，顺桥向双肢间距离为 3m，将墩分为 8 段。上部梁段结构参数
4
0 10E MPa ，
4
0 m 。计算结果见表 2。 140
表 2 双肢墩临界荷载
critical load of double pier
传递矩阵法/kN 有限元法/kN 误差/%
104 104
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4 小结
将高墩简化为不同的力学模型，根据结构的平衡微分方程、几何方程和物理方程，分别
推导了单肢高墩和双肢高墩的场传递矩阵、点传递矩阵及坐标转换矩阵，建立起高墩整体稳145
定性传递矩阵。并根据边界条件，对高墩进行了静力稳定性分析。通过算例验证了传递矩阵
法的正确性和可靠性。同样尺寸双肢墩单个承载力小于独立单肢墩，在进行双肢墩设计时，
考虑将双肢墩设置多于一个的横系梁，以增加高墩整体性和稳定性。
[参考文献] (References)150
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