基于差分的数量折扣条件下订货策略优化模型!
孙会君，高自友
（北京交通大学交通运输学院，北京 !"""##）
摘要：通过采用合适的数量折扣策略，供需双方都可以提高自己的利润。用双层规划模型描
述了供应链管理中供应商与订货商合作情况下确定数量折扣及订货量问题，并用基于差分的
算法进行了求解 $实例分析说明双方合作的双层规划模型能正确表示实际的供需关系，在平衡
点可以使双方利益均达到最大 $
关键词：数量折扣；订货策略；差分；双层规划
中图分类号：%#"&$’ 文献标识码：( 文章编号：!"") * +,")（’""#）"’ * ""!, * "#
! 引 言
以经济批量（-./）法原理为基础确定订货策
略，往往以数量折扣的形式反映出来，即购买不同
数量的产品其价格优惠程度不同 $对买方来说，通
过每次的订购批量，可以获得价格上的优惠，减少
订购费用；对于卖方来说，虽然价格的数量折扣导
致销售收入减少，却可以使企业的生产装配费用
和订单处理费用降低 $因此，制定合理的以折扣为
基础的订货策略无论对需求方还是供应方都是有
利的 $
传统的数量折扣订货模型是从买方的角度，
研究当卖方给定数量折扣后买方如何确定其最优
订货量，使总库存费用最小的问题 $ 0123432等人
首先从供应商立场研究如何确定其数量折扣的给
定方法，以吸引买方增大其订货量［!］，结果表明，
只要适当确定价格折扣，卖方就可以使自己的利
润增加 $ 566等扩展了其研究成果，在模型中加入
了价格折扣的相关约束［’］$尽管这些研究是从供
应商的角度考虑的，但大多数是从营销渠道协调
的方面进行的，未与生产决策相结合 $陈美霞等在
供应链背景下提出了一种生产批量与折扣定价的
联合决策模型［7］$邵晓峰等给出了供需双方合作
条件下价格折扣及订货批量的区间表示，但只能
得到折扣及订货量的大致范围，不能得到双方合
作的最佳结合点［#］$有些文献将此问题看作 56389
6:9%1;;1<6:问题，但都仅用一个单层规划表示供需
双方的总成本（收益），没有反映两者决策的相互
影响、相互作用的实质［= > !"］$可以看出，以往研究
的模型或者单独考虑买方利益，或者单独考虑卖
方利益，即使考虑双方利益，也没有表示出双方的
博弈关系 $而在供应链管理中，强调的是整个链上
所有成员的共同利益 $供需关系（买卖关系）在供
应链中是最普遍的，有必要采用先进的优化方法
来解决这个问题 $
本文从供需双方出发，建立了数量折扣条件
下最优订货策略的双层规划模型，同时考虑了买
方和卖方利益的协调，力求使二者均获利最大 $
" 数量折扣条件下确定订货策略的
双层规划模型
" $" 双层规划简介
在垄断市场环境中或订货商与供应商建立了
长期合作关系后，即订货商只在此供应商处订货
的情况下，假定供应商对订货商的需求函数、库存
第 )卷第 ’期
’""#年 #月
管 理 科 学 学 报
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! 收稿日期：’""’ * !’ * "=；修订日期：’""7 * "= * !=$
基金项目：国家杰出青年基金资助项目（)"’’=""=）；北京市自然科学基金资助项目（’""#）；北京交通大学科技基金资助项目（’""7AF"’+，’""#）$
作者简介：孙会君（!+)#—），女，河北衡水人，博士，讲师 $
维持费率、订货费率有充分的了解及供应商有优
先决策权的情况下，可以把供需双方确定价格折
扣及订货批量问题看作一个（!"#$"%&’(!!()"%）问题，
其中上游供应商是指导者（!"#$"%），订货商确定订
货批量的行为为跟随者（ ’(!!()"%）*上游供应商可
以通过管理和决策（价格折扣）来改变订货商的订
货成本，影响订货商选择订货量，但不能控制他们
的选择 *订货商则对现有的价格折扣进行比较，根
据自己的需求特点和行为习惯选择订货量 *这种
关系可以用双层规划（+,&!"-"! .%(/%#00,1/）描述，
其基本思想为下面的数学模型［22］
（34）0,1
!
"（!，!）
5 * 6 * #（!，!）! 4
其中，! $!（!），由下述规划求得
（74）0,1
!
%（!，!）
5 * 6 * &（!，!）! 4
双层规划模型是由两个子模型（34）和（74）
组成，其中（34）称为上层规划，（74）称为下层规
划 ’ " 是上层规划所确定的目标函数，! 为上层规
划的决策变量，# 是对变量的约束；% 为下层规划
所确定的目标函数，!为下层规划的决策变量，&
是对变量!的约束 ’上层决策者通过设置 ! 的值
影响下层决策者，因此限制了下层决策者的可行
约束集，而下层决策者的行为反过来又会通过!
影响上层的决策 ’所以下层决策变量!是上层决
策变量!的函数，即! $!（!），这个函数一般称为
反应函数 ’
需求方只在此供应商处订货的情况下，供应
商有优先决策的权力，这时供应链管理中确定价
格折扣及订货策略涉及具有明显不同目标函数的
决策者———供应商和订货商 ’采用双层规划模型
描述这种关系是适宜的 ’
供应链中供需关系决策过程：上层供应方给
下层需求方一定的信息，下层需求方按自己的利
益或偏好做出反应（决策），上层根据这些反应，做
出符合全局利益的决策 ’上层给出的信息是以一
种可能的决策形式给出的，下层的反应实际上是
对上层决策的对策，这种对策在下层看来是最好
的，它显然与上层给出的信息有关 ’为了使整个系
统获得“最好的”利益，上层必须综合下层的决
策，调整自己的决策 ’这正好符合供应链要求其成
员尽量互相合作，促进信息共享，实现全局最优的
基本思想 ’
! ’" 供应链中供需双方确定折扣价格条件下的
批量模型
在建立模型之前，首先对模型的适用范围做
以下假设：
! 供应商面临许多订货商，各订货商所需产
品有差异，模型只研究供应商与一个订货商之间
的关系 ’
" 假定订货商的年需求量函数为 (（·），且
该需求为供应商所给价格的减函数 ’
# 假定运输费用与运输次数成正比，与每次
运输量无关，运输费用由订货商承担 ’
$ 供应商的生产能力为 )，且 ) " ( ’
假设!符合现实情况，在买方市场情况下，顾
客追求差异化的产品，供应商面临满足不同客户不
同需求的情况普遍存在，研究供应商与其单个订货
商之间的关系不失一般性和代表性 ’供应商面临许
多订货商，其生产能力远远大于单个订货商的需求
量，假设$符合实际情况 ’市场经济条件下，供应价
格高，需求就降低，反之需求就会增加，假设"与实
际情况一致 ’假设#是为了简化模型，其它类型的运
输费用不会影响模型的有效性［8］’
供应商在作决策时追求在订货商已作决策的
条件下自己利益最大。在订货商最优决策条件下，
供应商的决策模式采用按订单生产方式，这种生
产方式可以使供应商很好地服务于客户，并能减
少库存，逐步实现准时化生产方式（9:56&,1&6,0"）’
这时，供应商的生产次数等于订货商的订货次数，
供应商的生产批量等于订货商的订货批量 ’在 ;<=
生产方式下，供应商降低成本，提高服务水平的关
键在于提高机器设备的柔性，以最快的速度，最少
的费用对客户需求做出反应，达到零库存，零生产
准备时间和零生产准备费用 ’
上层规划从供应商的角度出发，确定合理的价
格折扣，以吸引更多的订货量，使其自身的费用最
小 ’下层规划从订货商的角度出发，在已知供应商价
格折扣的条件下确定最优订货批量 ’具体模型为
（3）0,1 * $（2 + ,）!-(（!-）.
(（!-）
/ 02 .
/
> 12 （2）
5 * 6 * 4 2!! 2 （>）
—?2—第 >
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期 孙会君等：基于差分的数量折扣条件下订货策略优化模型
（!）"#$ ! "!#$（!#）%
$（!#）
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&(%
% （&）
’ ( ) ( *! & ! ) （+）
其中：*为供应商的利润率；#为商品的价格；!为供
应商的价格折扣率；$（·）为订货商的年需求量函
数，它为价格的减函数，一般采用 $（#）""（#）+#的
形式（"、#为有关参数）；&为供应商的生产批量，也
是订货商的订货批量；’,为供应商每次生产准备及
订单处理成本 , (,为供应商的库存成本（!）；’%为订
货商每次的订单处理成本；(%为订货商的年库存费
率；)为订货商的库存能力 ,
上层规划的目标函数为使供货商的总成本 -
最小 ,式（,）中第 ,部分为生产成本，第 %部分为
生产准备成本和订单处理成本，第 &部分为库存
成本；约束保证价格折扣在合理的范围内 ,下层规
划的目标函数是使订货商总订货费用 ! 最小 ,式
（&）中第 ,部分为采购成本，第 %部分为订单处理
成本及运输成本，第 &部分为年库存费用；约束保
证订货商的订货量在其库存能力范围内 ,
! 求解算法
双层规划一般为 -./0123问题，很难求解 ,近
年来，随着对双层规划研究的深入，产生了许多有
效的求解算法 ,但多数算法只能求得某个局部极
小解，不一定能得到真正的最优解 ,尽管目前尚没
发现一种算法能十分严谨地保证所求得的解肯定
就是问题的最优解，但也发现了一些比较好的算
法，能在相当大的程度上求出双层规划问题的近
似最优解［,,］,
求解双层规划的关键是找到反应函数的表达
形式，即随折扣价格的变化，订货数量的变化 ,但
此函数一般是非线性函数，并且函数的形式未知，
所以不能直接预测需求方的订货数量随价格折扣
变化而发生的变化 ,一个自然的想法就是用线性
函数逼近非线性函数 &（!），进而找出平衡时订
货数量 &（!）与价格折扣!之间近似的线性关系 ,
灵敏度分析方法可以通过求订货数量对价格折扣
的导数得到近似的线性关系［,%］,但求解的前提条
件是：假设反应函数为严格递增的连续函数，并是
可导函数 ,而在实际的库存策略确定过程中，这个
前提条件有可能不满足，导数也就有可能不存在 ,
即使导数存在、可求，也只能利用灵敏度分析方法
求导数，而在求导数的过程中，必须计算、保存所
有的订货数量，在多种产品存在的条件下，计算难
度和工作量将大大增加 ,
导数是函数在自变量处的变化率，可以看作
是函数的微分与自变量的微分之商，即微商，而微
商是差商的极限定义 ,因此，一个很自然的想法就
是：求解订货量对折扣增加量的差商作为订货量
对折扣能力增加量的微商的近似值，所以，有如下
求解问题的基本思路：
首先进行初始化准备工作，考虑该产品价格
折扣的变化为!!时，下层规划问题的解 , 设定
!!，求解下层问题，可得到订货数量随之发生的
变化量!&（!），进而可得到作为微商$&（!）.$!
近似值的差商!&（!）.!!,
设!/ 为产品价格折扣增加的初始值，&（!/）
为相应的订货数量（从下层问题中求出），则
&（!）" &（!/）%!
&（!）
!!
（! +!/） （4）
将式（4）代入到上层目标函数中，则上层问
题就变为一个以价格折扣为变量的普通的非线性
优化问题，可以用已有的方法求解 ,对于从上层问
题求出的最优解（即新的价格折扣率），再一次求
解下层问题，就可得到新的订货数量 ,重复上述基
本思路，又可得到新的价格折扣率 ,如此重复计
算，最后有望收敛于原来的双层规划模型的最优
解，具体算法步骤如下：
第 "步 设定一个价格折扣率的初始解!*，
令迭代次数 0 " * ,
第 #步 对于给定的!0，求解下层问题，得
到订货数量 &0 ,
第 !步 计算第 0次迭代!0的变化为!!0时
相应 的 &0 的 变 化 !&0（!0），并 计 算 差 商
!&0（!0）.!!0 ,
第 $步 利用上述结果计算式（4），并将其代
入到上层目标函数中，求解上层问题，得到新的订
货数量 &0%, ,
第 %步 如果"15 1!0%, +!0 1!%，则停止，
其中，%为迭代精度；否则，令 0 " 0 % ,，转
第 ,步 ,
一般 称 此 算 法 为 6!768（9#/:;<;: :#$;12
1==2>5#"1)#>$ 91’;3 >$ 3#??;2;$@;）算法 ,
—*%— 管 理 科 学 学 报 %**+年 +
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月
! 算例分析
以一个简单的数值例子说明文中的模型和算
法，其中的参数均为假定的，在实际应用时需要用
统计方法进行估计 !
假定需求函数 "（!#）$ !" """（!#）%# & $"，
其中，# $ $ !买卖双方的单位存贮费率 ’%和 ’!分
别为 ! !$和 % !"，(! $ ! !&，(% $ ! !!，) $ " !’，" $
" !"!，* $ !$" !在不同初始点（!"，+"）下的迭代结
果如表 !所示 !
表 ! 不同初始点下的迭代结果
()*+, ! -.,/).012 /,34+.3 7088,/,2. )+
初始点
!" $ " !’ !" $ " !: !" $ " !&
!! +! !! +! !! +!
+"
!" " !;"’ $ :# !##" ! "<;"’ ’ :# !##" ! " !;"’ : :# !#%; ;
%" " !;"’ $ :# !##" " " !;"’ $ :# !##" ! " !;"’ : :# !##" "
#" " !;"’ : :# !#%; ; " !;"’ : :# !#%; & " !;"’ $ :# !##" "
’" " !;"’ $ :# !##" ! " !;"’ $ :# !##" ! " !;"’ ’ :# !##" !
在不实行数量折扣的条件下，供应方和需求
方分别单独决策时，假定订货量采用经济批量模
型，得到 +! $ !$ !%#，可见实行数量折扣，能增大
订货量和需求量 !如果双层规划模型考虑的是供
需双方的总收益，则可以看出通过数量折扣能使
供需双方的年收益均比不合作时有所上升，即数
量折扣对双方都是有益的 !
" 结论
本文利用双层规划模型描述了供应链管理中
供需双方的订货关系，既考虑了供货商的利益，又
兼顾了订货商的利益，同时还考虑了双方合作达
到“双赢”的目标要求 !并用基于差分的算法求解
了此双层规划模型 !可以看出，通过采用合适的折
扣策略，双方都可以提高自己的利润 !
参 考 文 献：
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18 ,)3. S20G,/，%"""，#"（:）：I$—&"@（02 N602,3,）
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（上接第 E9页）
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期 黎 实：企业投资行为不确定性与实物期权的实证分析
