向量自回归和自回归条件异方
差模型
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本章介绍时间序列的向量自回归和自回归条件
异方差模型。
向量自回归模型是自回归移动平均模型从单个
时间序列到多个时间序列的扩展。
自回归条件异方差模型主要考察时间序列数据
波动性的变化，在金融领域的风险分析中有重
要应用。
本章介绍这两种模型的意义和特征、参数估计、
检验和应用等。
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第一节 向量自回归模型
一、向量自回归模型概述
ARMA模型分析针对单个时间序列，存在忽略
经济变量之间内在联系的缺点。
克服这个缺点的方法是把ARMA模型扩展到针
对多个时间序列，把ARMA模型中的变量换成
向量。
因为自回归移动平均模型可相互转换，而且在
向量变量的情况下自回归模型比较方便，因此
一般主要考虑向量变量的自回归模型，称为“
向量自回归模型”（Vector autoregression
model，VAR）。
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(一)VAR模型的表示形式
把p阶自回归模型AR(p)中的变量和误差项都变
成向量，系数变成系数向量或矩阵，就得到一
个p阶向量自回归模型VAR(p)：
引进滞后算子，向量自回归模型可以写成
或者
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引进下列记号：
则p 阶向量自回归模型VAR(p)，也可写成
一阶自回归形式VAR(1)：
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其中 的协方差矩阵为
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为了分析的方便，也常常假设 服从多
元正态分布，即 ~ ，其中
可以包含一定自相关性，即 是对称正
定矩阵，但不一定是对角线矩阵。
当 满足该假设时，上述向量自回归模
型也称为“高斯向量自回归模型”。
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向量自回归模型VAR(p) 展开，可以写成
每个变量对常数项和向量中所有变量的1
-p阶滞后项回归的，n个方程构成的联立
方程组系统
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这个展开形式上与一般联立方程组模型相似，
但其实有本质差异：
1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，
模型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济
理论为依据，模型变量也不存在内生、外生之
分，每个方程都包含所有的变量；
2、VAR模型的主要作用是进行预测分析而不是
经济结构分析；
3、由于模型结构性质的差别，VAR模型的参数
估计和检验等与联立方程组模型也有差别。
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（二）平稳性分析
1、平稳性定义
如果向量自回归过程 的一阶矩 和
二阶矩 关于时期t都是独立的，
则称为“协方差平稳的”，或者直接称
“平稳的”。平稳意味着向量中包含的
各个时间序列都是平稳的。
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2、平稳性条件
利用一阶自回归形式 进行迭代
可得
因为平稳过程意味着随着时间的不断增
大，扰动的效应必须逐渐消失，因此上
述向量自回归过程的平稳性要求随着s
不断增大
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因此矩阵F的特征方程
的根都必须满足 ，也就是在单位圆
内。
另一种表达方法:
满足方程
的所有 值（根）都必须在单位圆之外。
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(三)性质
1、均值
对于平稳的向量自回归模型 ，两边求
数学期望得：
可得到其均值为：
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2、MA(∞)表示方法
一个平稳的向量自回归过程可以写成一个白噪
声向量的无限移动平均过程MA(∞)：
其中 是上述移动平均表达式的滞后算子
多项式， 与自回归形式的滞后算子多项式
之间的关系为 ，意味着
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二、向量自回归模型参数估计
普通最小二乘估计能得到一致估计。
因为不同方程的误差之间有相关性，因
此ML能得到更有效的估计
在模型误差项服从多元正态分布的前提
下，模型参数向量的最大似然估计与最
小二乘估计是相同的，只是误差方差的
估计不同。
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以误差向量服从多元高斯过程的高斯向
量自回归模型为例，说明最大似然估计。
一个p阶高斯向量自回归模型即
其中 ~ 。
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如果已经得到向量时间序列 的
个时期的观测值，那么
因为 在时期t为常
数，而 ~ ，因此
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引进记号:
上述 服从的条件分布可以写成下列紧凑形式
因此第t个观测值的条件密度为
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向量自回归模型的（条件）似然函数为:
对数似然函数则为
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可以证明其中的最大似然估计实际上与最小二
乘估计相同，为
其中 第j行就是 对 回归得到的回归系数
向量。
的最大似然估计则是
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最大似然估计肯定是一致估计，其渐近
分布是渐近正态分布
其中 ， 是克罗内克积。
第i个系数估计量 渐近分布
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如果 由其一致估计 代，
而 则由一致估计 代，则
可以将近似看作
当样本容量较大时，可以利用该渐近分
布进行统计推断检验。
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三、向量自回归模型检验
（一）需要通过模型检验加以确定的问题
包括：
滞后期长度的确定；
模型的参数是否显著，是否存在特定约
束关系等。
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（二）似然比检验
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和
无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上
述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约
束或者所对应的检验假设是否成立。
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：一组变量数据由 阶而不是
阶滞后的高斯向量自回归生成。
：这组变量数据是由 阶滞后的
高斯向量自回归生成。
分别在两个不同的假设下估计这个系统，
也就是分别求每个变量关于常数项和系
统中所有变量的 阶和 滞后的回归。
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分别代入上述似然函数公式得到
得到似然比统计量为
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Sims（1980）也提出了一种适应小样本情况的
修正的似然比检验统计量
在确定向量自回归模型的滞后期数等方面，进
行参数估计回归时的SIC和AIC信息数标准同样
也是重要的参考依据。一般来说，这两个指标
较小的选择是较好的。
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四、向量自回归模型的应用
（一）预测——向量自回归模型最重要的
应用
由于向量自回归模型没有当期外生变量，
因此在预测方面没有确定外生变量水平
的困难，预测比较容易。
向量自回归模型的最优预测就是条件期
望预测。
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基于 的 的预测如下：
作为一个动态系统，向量自回归模型很容易得
到多步、多期预测。
例如作基于 的 、 等预测时，
只要把前期预测作为变量值代入模型，就可以
得到多步预测 、 等。这种方法的缺点是
前期的预测误差会不断积累，导致长期预测的
较大偏差。
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（二）因果性分析
（三）脉冲——响应函数分析
把向量自回归模型表示为移动平均模型形式
时，等于把时间序列向量自身的惯性趋势，转
化成了一系列随机扰动、新生的白噪声扰动影
响的叠加，该移动平均模型的系数矩阵 满足
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它反映了t时期的扰动（创新）对时期t+s向量
或其中各个变量水平的影响。
如果已知 变化 ，那么对
的综合影响为
因此系数矩阵 称为“脉冲——响应函数”。
脉冲——响应函数是研究新生冲击的长期影响
的方法。
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在实际应用中，由于把向量自回归模型
变换成移动平均形式并不是很容易，因
此一般采用模拟的方法求向量自回归模
型的脉冲——响应函数。
令
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根据上述向量自回归模型模拟时期t、
t+1、t+2…的 向量，其中 即对应矩
阵 的第j列。让j取遍1,…,n，即可计算
出 中所有元素。
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第二节 自回归条件异方差模型
许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票
价格等金融时间序列时，都发现时间序
列模型扰动方差的稳定性比通常认为的
差，时间序列数据也存在异方差问题。
经济时间序列数据的这种方差变化也称
为波动集聚性（volatility clustering），
对于研究和控制金融风险等非常有用。
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恩格尔（Engle）1982年提出一种自回归
条件异方差模型（autoregressive
conditional hetroscedasticity model，
ARCH），来描述上述时间序列的方差波
动。后来该模型又被扩展到GARCH、
EGARCH、ARCH-M等模型。
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自回归条件异方差模型可以在一个自回
归模型的基础上引出
1、自回归模型
是p阶自回归过程AR(p)
其中 是白噪声：
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假定特征方程 的根都在
单位圆之外，则该过程是弱平稳的。
的无条件均值则是
对 的最优线性预测为
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2、自回归条件异方差模型
服从q阶自回归过程:
其中 服从独立同分布的白噪声过程
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给定 ， 的条件方差
随时间而变化，而且模型中包含 的q阶
自回归结构，因此称 服从q阶“自回归
条件异方差过程”，记作 ~ARCH(q)。
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的分布是受限制的，上述自回归过
程中的系数必须满足
； 对 都必须成立。
平稳性条件
特征方程 的根
必须都在单位圆之外。
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因为 ， ， ，该平
稳条件等价于
上述平稳性条件成立时， 的无条件方
差仍然为常数。
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3、可以用另一种更方便的方法表示 服从
ARCH(q)过程。
假设
其中 是独立同分布序列，并假设
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此时 的条件期望为
条件方差为
与前一种表示方法完全是相同的。
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自回归条件异方差模型的特点就是可以计算时
间序列的条件方差，从而可以评价相关经济指
标的风险。
如果自回归条件异方差模型的参数已知，那么
可以根据前期的数据和公式
估计预测未来的条件方差。
不过一般来说，自回归条件异方差模型的参数
是需要估计的。
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二、自回归条件异方差模型参数估计
(一)一般的OLS方法
其实在误差项服从ARCH过程的情况下，
如果模型仍然服从基本假设，例如线性
回归模型的5条假设或平稳自回归模型的
条件，那么一般的OLS仍然是有效的。
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ARCH过程最常用的模型是在回归模型
其中 是已知的回归变量构成的向量，可
以包括滞后 ， 是回归参数向量。
误差项 服从ARCH(q)，即 ，
是白噪声，而 。
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由于 的无条件均值和方差都满足古典
线性回归模型的假设，因此理论上可以
用OLS法估计线性回归模型的参数，得到
的参数估计量是有效线性估计量（BLUE
估计）。
即使 不是正态分布的，通常的OLS检
验统计量也是渐近有效的。
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但由于存在自回归条件异方差性，因此
用加权最小二乘估计有可能获得比OLS估
计更有效，但不是无偏的估计量。
在误差项正态分布的条件下，最大似然
估计也可以得到更有效的非线性估计量。
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（二）最大似然估计
假设 服从正态分布。根据模型（8-3）
的假设， 与 ，以及滞后 相互独立。
因此随机变量 服从正态分布，条件密
度函数为：
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模型的条件对数似然函数为
在此基础上可以根据非线性优化的数值算法，
通过搜索或者迭代运算的方法，求出模型参数
的最大似然估计。
对于 不服从正态分布而服从其他分布，只要
能够得到 的分布密度函数，也可以用同样的
方法进行最大似然估计。
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三、广义自回归条件异方差模型
许多金融时间序列ARCH模型的仍然必须取很
大值。这意味着参数的数量较大，估计较困难，
而且模型所有系数都要求也有问题。
解决这些问题的方法是用一个类似ARMA的“
自回归移动平均条件异方差模型”，也称为“
广义条件异方差模型”（GARCH）进行分析。
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GARCH表现为误差项 ，其中 是
独立同分布序列，并假设
其中 和 都大于0，且
这种模型记GARCH(p,q)。
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在实际应用中，GARCH(p,q)中的q一般
比较小，比ARCH(q)中的q可以小得多，
事实上最常用的是GARCH(1,1)模型。
GARCH(1,1)模型就可以描述大量的金融
时间序列数据。
很显然，GARCH(1,1)需要估计的参数数
量就比较少，对于估计和分析等都有很
大好处。
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四、自回归条件异方差模型检验和预测
（一）检验
检验GARCH效应
1、简单的方法是估计最小二乘残差的平方。
残差平方的自回归提供了关于GARCH效
应的证据。
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2、博拉斯莱夫提出的拉格朗日统计量。
可以用于进行相对于ARCH(q)的没有ARCH效应
的ARCH(0)检验，相对于GARCH(p,q)的关于
GARCH(p,0)的LM检验。
具体是通过在 对常数和q个滞后变量的线性
回归，得到的 的T倍 服从自由度为
q的极限卡方分布，因此可以用具有q个自由度
的卡方分布进行检验。
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当此统计量的值大于临界值表明ARCH或
GARCH效应存在，否则认为ARCH或
GARCH效应不存在。
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（二）预测
这里的预测是指自回归条件异方差模型，
有自回归条件异方差的线性回归、自回
归模型的误差项条件方差的预测。
该条件方差的预测可以用迭代的方法进
行多步预测。
记 为条件方差超前s预测期的线性
预测
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可以得到线性预测的迭代公式
其中 ，当 时 。
假定 有有限方差，而
那么当 时，超前s期预测
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