第28卷第9期控制与决策2013年9月文章编号:1001-0920(2013)09-1419-04两种需求模式下报童模型的最优定价-订购联合决策刘玉霜1;2,张纪会1,王丽丽1(1.青岛大学复杂性科学研究所，山东青岛266071；2.青岛科技大学数理学院，山东青岛266061)摘要:在加法和乘法两种需求模式下,研究了带有缺货惩罚的单周期报童模型的最优定价-订购联合决策问题,证明了最优决策的存在性及唯一性的充分条件,并具体给出了最优决策的解析表达式.通过数值算例,验证了结论的有效性,给出了价格敏感因子对最优决策和期望收益的影响.研究结果在理论上更具有一般性,而且为研究多零售商的价格竞争决策问题和供应链契约协调等问题提供了理论依据.关键词:报童模型；需求依赖价格；最优定价订购决策中图分类号:F274；文献标志码:AOptimaljointpricingandorderingdecisionsinnewsvendormodelwithtwodemandcasesLIUYu-shuang1;2,ZHANGJi-hui1,WANGLi-li1(,QingdaoUniversity,Qingdao266071,China;,QingdaoUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266061,:LIUYu-shuang,E-mail:qustlys@)Abstract:Inthestandardnewsvendormodel,thepriceisassumedtobefixedorexogenouslygiven,-salepenaltycostisconsidered,,:newsvendormodel；price-dependentdemand；optimalpricingandorderingdecisions0引言主要解决两个问题:1)如何描述依赖价格的随机需基于时间的竞争,产品生命周期不断缩短,很多求;2)如何获得联合最优的定价-订购决策.产品(如电子数码、时装、软件等)具有季节性产品的通常是把依赖价格的随机需求D(p;")分解成两特点,可以采用报童模型来管理这些产品.经典的报部分:1)与价格相关的均值需求y(p);2)与价格无关童模型主要集中于单个决策者在随机需求下,确定最的随机需求扰动项".优订购量的问题,没有考虑销售价格等因素对订购决一般地,假设均值需求y(p)是关于价格p的减函策的影响.Whitin[1]首次在构建报童问题时引入了销数,对于不同的产品,y(p)可以具有不同的表达形式,售价格,建立了具有价格相关的需求函数,价格成为同时"服从不同的分布.常用的两种需求函数是加性决策者的决策变量,在模型求解中他首先固定价格来需求函数和乘性需求函数.Mills[2-3]考虑需求是线性求得最优的订购量,然后再求得最优的销售价格.此加函数(D(p;")=y(p)+";y(p)=a bp),"服从均后,联合定价与订购问题便引起了学术界的广泛兴趣.匀分布;Lau等[4]同样考虑线性加函数模型,但"服从关于单周期下报童模型的联合定价-订购决策,正态分布;Ernst[5]和Thowsen[6]考虑的需求是线性加收稿日期:2012-04-20；修回日期:2012-05-25.基金项目:国家自然科学基金项目(70671057)；山东省自然科学基金项目(ZR2010GM006).作者简介:刘玉霜(1978 ),女,讲师,博士生,从事供应链管理、风险决策等研究；张纪会(1969 ),男,教授,博士生导师,从事运作管理、物流系统工程等研究.
1420控制与决策第28卷函数,"的累积分布函数属于PF2族.Karlin等[7]考虑2决策模型的需求函数是弹性乘函数(D(p;")=y(p)";y(p)=加法需求模式ap b);Nevins[8]考虑的需求是线性乘函数,"服从正态在加法需求模式下,D(p)=y(p)+",y(p)=a 分布.Polatoglu[9]同时考虑了加需求函数和乘需求函bp,a>0;b>0.令库存因子z=q y(p),则q=数,对于加需求函数,y(p)=a bp,"服从均匀分布;y(p)+z,(q D)+=(z ")+,(D q)+=(" z)+.对于乘需求函数,y(p)=a bp,"服从指数分布.式(1)的期望收益函数为Petruzzi等[10]考虑的是单一产品、单周期的报童模型,在随机需求下,单个决策者如何同时确定最优 (z;p)=的订购数量(p c)(y(p)+z) (p+h) (z) s (z):(2)q和销售价格p.他考虑了两种形式的与价格相关的需求函数,即加法需求模式D(p;")=y于是,确定最优零售价格p 和最优订购量q 的问题(p)+"和乘法需求模式D将转化为确定(p ;z ).(p;")=y(p)",对以前的结果给予了全面的综述并进行了推广.然后,分别在这两种定理1在加法需求模式下,D(p;")=a bp+",函数形式下考察了报童模型,并指出这两者之间的差对于任意z(A6z6B),存在唯一最优的零售价格别在于影响需求不确定性的方式的不同,加法模式下p =p(z)=a+bc+z (z);(3)的需求方差与价格p无关,而乘法模式下的需求的方2b而且,如果a bc+2bs+A>0,且"具有IFR,则z 差则是关于价格p的函数.可以由下式唯一确定:对于单周期报童模型的联合最优定价-订购决策F(z)=a bc+2bs+z (z)a+:(4)问题bc+2bh+2bs+z (z),缺货惩罚的存在将使模型更为复杂,在数学处理上存在着一定的困难.本文考虑带有缺货惩罚的单证明给定z,将式(2)关于p分别求一阶和二阶周期报童模型,在两种需求模式下,利用随机需求扰导数,有动项@ (z;p)"具有增的失败率(IFR)这一条件=a bp+z b(p c) (z)=,给出最优决@p策存在性及唯一性的充分条件,并具体给出了库存因a+bc+z (z) 2bp;(5)子z 的解析表达式.同时,"服从均匀分布,结合具体的数值算例,给出了报童模型的最优定价和订购量@2 (z;p),@p2= 2b<0:以及价格敏感因子对最优决策和期望收益的影响.所以,对于任何z(A6z6B),供应链存在唯一最优1问题描述的零售价格,即考虑依赖价格的随机需求下的报童模型.在销售p =p(z)=a+bc+z (z);季节来临之前,报童要依据自身期望收益最大化的原2b将p 代入式(2),有则,同时决定最优的零售价格和订购数量.令c为单 (z;p(z))=位订购成本,h为销售季末的单位库存处理成本(h可能是负值,但(p c)(y(p )+z) (p +h) (z) s (z);h> c),s为销售季末缺货时的单位惩罚成本.于是,报童模型的收益函数为由链式求导法则,有d (z;p(z))=@ (z;p(z))dp (q;p)=@p +@ (z;p(z)):(6)dzdz@z由p(z)的最优性,可得式(6)中第1项为0,有pmin(q;D) cq h(q D+) s(D q+)=d (p(z);z)=(p c)q (p+h)(q D+) s(D q+):(1)dz令(p c) (p +h)F(z)+s(1 F(z))=w +z(z)=E1(z ")=(z u)f(u)du;Ag(z);wB2b (z)=E(" z+)=(u z)f(u)du:其中z"是定义在[A;B]上的随机变量g(z)=a bc+2bs+z (z) (a+bc+,其均值为 .设F( )和f( )分别是"的累积分布函数和概率密度函数,令2bh+2bs+z (z))F(z):h(x)=f(x)=[1 F(x)]表示随机变量"的失败率,如下面证明z 存在且唯一.果h(x)是x的增函数,则称"具有增的失败率(IFR).因为1=(2b)>0,所以z 满足g(z )=0,即得事实上很多分布都具有IFR,比如正态、均匀、伽玛和式(4).下面只需证明z 是唯一的,即证g(z)在[A;B]威布尔分布.上是单峰函数.
第9期刘玉霜等:两种需求模式下报童模型的最优定价-订购联合决策1421g(z)在[A;B]上是连续的,且g(A)=a bc+由链式求导法则,有2bs+Ad (p(z);z)=@ (p(z);z)dp +@ (p(z);z),g(B)= 2b(c+h)<0,有:(10)dz@p dz@zg0(z)=由p 的最优性,式(10)中第1项为0,即得[1 F(z)]f1 F(z) h(z)[a+bc+d (z;p(z))=dz2bh+2bs+z (z)]g;y(p )fp c (p +h)F(z)+s(1 F(z))g=g00(z)=y(p ) z);h(z)g0(z)+[1 F(z)]f f(z) h0(z)[a+bc+(b 1)(z g((z))2bh+2bs+z 其中(z)] h(z)[1 F(z)]g:一方面,若a bc+2bs+A>0,则g(z)在[A;B]上至少g(z)= (b 1)(c+h)[z (z)]+有一个零点;另一方面,若"具有IFR,即h0(z)>0,当[1 F(z)][b(cz+h (z)+s (z))+g0(z)=0时,则有g00(z)<0.这意味着g(z)在[A;B](b 1)(h+s)(z (z))]:上是单峰函数,所以存在唯一最优的z .2下面证明z 存在且唯一.因为y(p 乘法需求模式)在乘法模式下(b 1)(z >0,所以z 满足g(z )(z)),D(p;")=y(p)",y(p)=ap b,=0,即得式(9).下面只需证明z 是唯一的,即证g(z)a>0;b>1.令库存因子z=q=y(p),则q=y(p)z,在[A;B]上是单峰函数.(q D)+=y(p)(z ")+,(D q)+=y(p)(" z)+.g(z)在[A;B]上是连续的,且式(1)的期望收益函数为g(A)=s(b A)+cA>0;b>1; >A; (z;p)=y(p)f(p c)z (p+h) (z) s (z)g:(7)于是,确定最优零售价格p 和最优订购量q 的问题g(B)= (b 1)(h+c)(B (B))<0;将转化为确定g0(z)=(p ;z ).定理2在乘法需求模式下,D(p;")=ap b",对(1 F(z))f h(z)[b(cz+h (z)+s (z))+于任意z(A6z6B),存在唯一最优的零售价格(b 1)(h+s)(z (z))]+c s+(h+s)F(z)g;g00p =p(z)=b(cz+h (z)+s (z))(z)=(b 1)(z ;(8)(z))而且,如果b(c+h) 2(h+ h(z)g0(z)+(1 F(z))f h0(z)[b(cz+s)>0,且"具有IFR,则z 可以由下式唯一确定:h (z)+s (z))+(b 1)(h+s)(z (z))] F (z)=h(z)[b(c+h) 2(h+s)(1 F(z))]g:(b 1)(c+h)(z (z))当b(c+h) 2(h+s)>0时,有[b(c+h) 2(h+s)(1 b(cz+h (z)+s (z))+(b 1)(h+s)(z :(z))F(z))]>0和[b(cz+h (z)+s (z))+(b 1)(h+s)(z (9) (z))]>0.又由于假设"具有IFR,即h0(z)>0,则证明给定z,对式(7)关于p求一阶导数,有当g0(z)=0时,有g00(z)<0,意味着g(z)在[A;B]上d (z;p)=y(p)fbcz+bh (z)+bs (z) 是单峰函数,所以存在唯一最优的z .2dpp3数值分析(b 1)p[z (z)]g;d 下面通过数值例子给出两种需求模式下最优定(z;p)=0;dp价、最优的订购量,以及价格敏感因子b对最优决策当且仅当和期望收益的影响.p =p(z)=b(cz+h (z)+s (z))1)加法需求模式.(b ;1)(z (z))假设"服从[ 2;2]上的均匀分布,其他参数设置而且,当p < (z;p)p(z)时d,>0;当p >p(z)时,dp如下:a=100,b=2,c=5,h= 2,s=3,满足d (z;p)<0a bc+2bs+A>0.则分别由式(4)和(3)计算可得,.所以,给定z,p 是最大化 (z;p)的唯dp一最优解,即存在唯一最优的零售价格最优的库存因子z =1:5789,最优的零售价格p .将=27:4945,进而最优的订购量q =46:59,最优的期p 代入式(7),有望收益 =1007:1. (z;p(z))=y(p )f(p c)z (p +h) (z) s (z)g:2)乘法需求模式.
1422控制与决策第28卷假设"服从[0:5;1:5]上的均匀分布,其他参数设决策的存在性和唯一性.张菊亮[11]和Kocabiyikog˘lu置如下:a=10000,b=1:5,c=5,h= 2,s=3,等[12]提出的缺货损失率弹性将是一个很好的研究方满足b(c+h) 2(h+s)>0.则分别由式(9)和(8)计向.算可得,最优的库存因子z =1:3451,最优的零售价格参考文献(References)p =18:3622,进而最优的订购量q =170:9496,最优的期望收益 =[1][J].1537:1.当价格敏感因子b取不同的数值时,其他参数保ManagementScience,1955,2(1):61-80.持不变[2][J].QuartlyJof.从表1和表2中可以看出,两种需求模式下报童模型的最优决策和期望收益均是关于价格敏感因Economics,1959,73(1):116-130.子[3],outputandinventorypolicy[M].Newb的减函数.York:JohnWiley,1962.表[4]L1加法需求模式auH,-指标dependentdemanddistribution[J].IIETrans,1988,20(2):z p q =[5]==[D].UniversityofCaliforniaBerkeley,1970.[6],nonstationaryinventoryproblem表2乘法需求模式foraprice/quantitysettingfirm[J].NavalResearch指标z p q LogisticsQuarterly,1975,22(3):=1:[7]KarlinS,[C].b=1:=:StanfordUniversityPress,=[8]:Simulation[J].4结论QuarterlyJournalofEconomics,1966,80(1):73-87.在加法和乘法两种需求模式下,研究了带有缺[9]货惩罚的单周期报童模型的联合最优定价-订购决策decisionsinsingleperiodinventorysystems[J].IntJof问题ProductionEconomics,1991,23(1/2/3):175-185.,给出了最优决策的存在性及唯一性的充分条件.与文献[10]中的结论有3点不同:1)唯一性的充[10]PetruzziNC,分条件problem:Areviewwithextensions[J].Operations,由"的失败率r( )满足2r2( )+r0( )>0,简化为"具有IFR;2)文献[10]在乘法需求模式中,还要,47(2):183-194.求产品具有足够的价格弹性(即[11]张菊亮,章祥荪,王耀球.一般需求函数下报童模型的b>2),而本文中的定理2不要求具有这一点;3)在两种需求模式下,本定价与库存控制[J].系统工程理论与实践,2008,28(9):文均具体地给出了最优的库存因子z 的解析表达式20-28.,(ZhangJL,ZhangXS,为数值计算带来很大的方便.因此,本文结论在理论inventorycontrolinnewsboy’smodelwithgeneraldemand上更具有一般性,而且为研究多零售商的价格竞争决function[J].SystemsEngineering-Theory&Practice,策问题和供应链契约协调等问题提供了理论依据.2008,28(9):20-28.)本文是在加法和乘法两种需求模式下,以IFR为[12]Kocabiyikog˘luA,条件来研究报童模型的联合最优决策,能否考虑一般Newsvendorwithprice-sensitivedemand[J].Operations的需求函数,给出较为简单的条件来保证联合最优Research,2011,59(2):301-312.
