第五章 解释变量包含虚拟变量
的回归模型
一、虚拟变量的基本含义
二、虚拟变量的引入
三、虚拟变量的设置原则
一、虚拟变量的基本含义
• 许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需
求量、价格、收入、产量等。
• 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量，
如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾
害对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）
销售的影响等等。
• 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提
高模型的精度，需要将它们“量化”。
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量
”来完成的。根据这些因素的属性类型，构造只
取“0”或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量
（dummy variables），记为D。
• 例如，反映文化程度的虚拟变量可取为：
1， 本科学历
D=
0， 非本科学历
• 一般地，在虚拟变量的设置中：
• 基础类型、肯定类型取值为1；
• 比较类型，否定类型取值为0。
概念：
同时含有一般解释变量与虚拟变量的模
型 称 为 虚 拟 变 量 模 型 或 者 方 差 分 析
（analysis-of variance: ANOVA）模型。
一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪
金的模型：
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄，
Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。
二、虚拟变量的引入
虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基
本方式：加法方式和乘法方式。
上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的
引入采取了加法方式。
在该模型中，如果仍假定E(i)=0，则
企业女职工的平均薪金为：
1. 加法方式
企业男职工的平均薪金为：
几何意义：
• 假定2>0，则两个函数有相同的斜率，
但有不同的截距。意即，男女职工平均薪金对
工龄的变化率是一样的，但两者的平均薪金水
平相差2。
• 可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性
进行检验，以判断企业男女职工的平均薪金
水平是否有显著差异。
0
2
又例：在横截面数据基础上，考虑个人保
健支出对个人收入和教育水平的回归。
教育水平考虑三个层次：高中以下，
高中，
大学及其以上。
这时需要引入两个虚拟变量：
模型可设定如下：
在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、
高中、大学及其以上教育水平下个人保健支出
的函数：
• 高中以下：
• 高中：
• 大学及其以上：
假定3>2，其几何意义：
• 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“
定性”因素的影响。
如在上述职工薪金的例中，再引入代表
学历的虚拟变量D2：
本科及以上学历
本科以下学历
职工薪金的回归模型可设计为：
•女职工本科以下学历的平均薪金：
•女职工本科以上学历的平均薪金：
于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为：
•男职工本科以下学历的平均薪金：
•男职工本科以上学历的平均薪金：
2. 乘法方式
• 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同。
• 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、
截距同时发生变化。
• 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量
来测度。
例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收
入水平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾
向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常
年份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的
变化可通过在收入的系数中引入虚拟变量来考察。
如，设 消费模型可建立如下：
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中，
从而可用来考察消费倾向的变化。
• 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
正常年份：
反常年份：
当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入
加法与乘法形式的虚拟变量。
• 例，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收
入关系是否已发生变化。
表中给出了中国1979~2001年以城乡储
蓄存款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的
居民收入的数据。
以Y为储蓄，X为收入，可令：
• 1990年前： Yi=1+2Xi+1i
i=1,2…,n1
• 1990年后： Yi=1+2Xi+2i
i=1,2…,n2
则有可能出现下述四种情况中的一种：
(1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为
重合回归（Coincident Regressions）；
(2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其
截距，称为平行回归（Parallel Regressions）;
(3) 1=1 ，但22 ，即两个回归的差异仅在其
斜率，称为汇合回归(Concurrent Regressions)
；
(4) 11，且22 ，即两个回归完全不同，称
为相异回归（Dissimilar Regressions）。
平行回归
汇合回归
相异回归
可以运用邹氏结构变化的检验。这一问题
也可通过引入乘法形式的虚拟变量来解决。
将n1与n2次观察值合并，并用以估计以下回归：
Di为引入的虚拟变量：
于是有：
可分别表示1990年后期与前期的储蓄函数。
在统计检验中，如果3=0的假设被拒绝，则
说明两个时期中储蓄函数的截距不同，如果4=0
的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的斜
率不同。
• 具体的回归结果为：
() () () ()
由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0
，强烈示出两个时期的回归是相异的，储蓄函
数分别为：
1990年前：
1990年后：
=
邹氏结构变化的检验和虚拟变量法的比较
• 邹检验只是告诉我们结构是否已经变化，而不能
告诉我们当有变化时候是因为只是斜率相异或只
是截距相异，或两者均相异。但是虚拟变量法不
仅告诉我们两个回归是否有差异，而且落实到差
异的起因——由于截距或由于斜率或由于两者。
• 我们只要做一个回归，因为其他的回归可以方便
地由它导出。
• 这个单一的回归可以用来做各种假设检验。
• 由于合并而增加了自由度，参数估计的相对精度
也有所改进。
3. 临界指标的虚拟变量的引入（分段回归）
在经济发生转折时期，可通过建立临界指
标的虚拟变量模型来反映。
例如，进口消费品数量Y主要取决于国民
收入X的多少，中国在改革开放前后，Y对X的
回归关系明显不同。
则进口消费品的回归模型可建立如下：
这时，可以t*=1979年为转折期，以1979
年的国民收入Xt*为临界值，设如下虚拟变量：
OLS法得到该模型的回归方程为：
则两时期进口消费品函数分别为：
当t<t*=1979年，
当tt*=1979年，
三、虚拟变量的设置原则
虚拟变量的个数须按以下原则确定：
每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定
性变量的类别数少1，即如果有m个定性变量，只
在模型中引入m-1个虚拟变量。
例 已知冷饮的销售量Y除受k种定量变量Xk
的影响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响，
要考察该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即
可：
则冷饮销售量的模型为：
在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量：
则冷饮销售模型变量为：
其矩阵形式为：
如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了
两次，秋、冬各取到一次观测值，则式中的：
显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线
性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。
这就是所谓的“虚拟变量陷阱”，应避免。
