华中科技大学硕士学位论文扩展的CIR-CKLS利率模型姓名：杨娜申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：吴付科2010-04-27
华中科技大学硕士学位论文 摘 要 本文对利率期限结构的基本理论、研究的重要性，发展历程及取得的重要成果进行了概述，重点介绍了利用随机分析知识建立的连续时间利率期限结构模型，给出了这类模型的一个基本框架，并重点分析了经典CIR模型和CKLS模型的优点及模型解的相关性质，同时指出了一个扩散形式的随机微分方程，能否较好地模拟实际的利率，关键要看方程是不是具备“良好”的性质，这些性质通常包括回归性、非负解的存在唯一性、方程解的各种矩的有界性，及方程无显式解时能否用数值解逼近，及数值解是否收敛等。 本文在分析CIR模型和CKLS模型的基础上，得到了一个扩展的CIR-CKLS利率模型，这个CIR-CKLS模型把CIR模型和CKLS模型的波动率函数以线性形式结合起来，这样这个扩展模型不但包含了CIR模型和CKLS模型，而且由于CKLS模型的波动率和CIR模型的波动率相互之间进行了修正，这样得到的扩展模型更能够与实际复杂的利率变化相符合，也即是能够更准确地模拟和预测利率。 在给出扩展的CIR-CKLS模型后，本文利用随机微分方程的相关知识，对扩展模型的分析性质进行了讨论，证明了模型结构的随机微分方程非负解的存在唯一性，各界矩的有界性。并给出了Euler-Maruyama方法求数值解时的收敛性，最后以债权的定价为例，证明了对这个扩展方程用Euler-Maruyama方法得到的随机微分方程的解能够用来定价。 关键词：利率期限结构，随机微分方程，CIR模型，CKLS模型，CIR-CKLS模型. I
华中科技大学硕士学位论文 Abstract This thesis gives a framework on the term structure theory of interest rate, including the basic theory of term structure of interest rates, the importance of research, development process. Some important results are introduced on continuous-time models of interest rate term structure. This thesis also attaches importance to the ‘good’ properties of the stochastic differential equations managing the classical CIR model and CKLS model, which are desired for interest rate models, for example, reverting property, existence and uniqueness of the nonnegative solution, the moment boundedness and so on. When the equation has no explicit solution, this thesis also examines whether its numerical scheme may converge its exact solution. Based on the CIR model and CKLS model, this thesis investigates an extended model named as the CIR-CKLS model, which includes the CIR model and CKLS model as special cases. This model holds the advantages of these two classes of models, so it can simulate and predict changes of the interest rates model precisely. By the knowledge of stochastic differential equations, this thesis examines this CIR-CKLS model and this model admits a unique global nonnegative solution with probability one and reveals the moment boundedness of this nonnegative solution. This thesis also examines convergence of the Euler- -Maruyama scheme of this model. Finally, as an example, this thesis examines the bond and shows that the numerical solution can compute the expected payoffs. Key words: Term structure of interest rates, stochastic differential equations, CIR Model, CKLS Model, CIR-CKLS Model. II
独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除文中已经标明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担. 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅.本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文. 保密□ , 在________年解密后适用本授权书. 本论文属于 不保密□. （请在以上方框内打“√”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期：年 月 日
华中科技大学硕士学位论文 1 绪 论 利率期限结构基本理论介绍 在期限长短方面存在差异的证券的收益率和期限之间的关系，称为利率的期限[1]结构。若其他因素保持不变，只考虑期限长短，那么把相似的证券在某一个时点上的收益率与期限描绘出点，就可以得到期限结构的图形。也就是说利率期限结构是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线,也可以表示成某个时点不同期限的零息票债券的到期收益率形成的收益曲线。 [1]利率期限结构的理论发展大致分为两个阶段,定性描述和定量模型. [1]从20世纪的40年代到70年代末，这个时期主要是定性描述的研究阶段。在20世纪40年代，Hicks和Modigliani等人通过定性的分析给出了一些理论，对利率期限结构相关规律和特点进行了解释，开创了利率期限结构研究的先河。这一时期利率期限结构的研究，主要关注于从定性的角度出发，研究收益率曲线的形状及形状形成[2,3][4]的原因。这期间，主要的理论成果有纯预期理论，流动性偏好理论及市场分割[5][2,3]理论等，其中纯预期理论是利率期限结构理论中最基础的。纯预期理论认为，人们投资取得的单一时期的预期收益率都相同，跟所投资证券期限长短无关，期限结构中隐含的远期利率是对未来即期利率的无偏差估计。用f表示从第i段单位时ij间期初开始到第j段单位时间期初结束这段时间的远期利率，r表示距离现在的n期nn的即期利率，则 1+r=(1+f)+(+f)L(1+f). 0112n−1[4]流动性偏好理论认为，投资者做投资决策时都偏好于流动性比较强的证券，所以长期利率必须包含流动性补偿，因此应该高于短期利率， n即 1+r=(1+f)+(+f)L(1+f)+流动性溢价. 0112n−1这说明流动性偏好理论考虑到了风险和收益不是无关的，而是相关的。即存在风险溢价的可能。其中风险溢价又称风险报酬，是投资者冒风险投资而要求的超过 1
华中科技大学硕士学位论文 无风险报酬的额外报酬。而市场分割理论随着现今资本市场的高度发展和现代科学技术的发展，市场正逐渐形成一个统一的整体，所以市场分割理论越来越被忽略。 [1]20世纪70年代末以后，这一阶段叫定量模型阶段。主要原因是这一时期计算机技术取得了飞速的发展，同时统计、数学分析及随机过程理论的引入，使得经济学家提出了大量的经济计量的模型，特别是很多国外的学者利用随机过程原理建立了一些非常有用的利率期限结构模型。自从1977年Vasicek建立单因子期限结构的均衡[6]模型，可以说，利率期限结构模型和固定收益债券的定价研究进入了随机分析的时代。这期间模型主要是动态模型，研究主要沿着两个方向，一是均衡模型，另一个[7][8]是无套利机会模型。均衡模型以流动性偏好理论为基础，利用市场均衡要满足的条件，建立随机模型，求出利率变化要遵循的随机过程，它一般是先假设一些经济变量，进而推出短期无风险利率的一个随机过程。这类型的模型主要有Vasicek模型[6][9][10][11](1997)、Rendleman和Bartter模型(1980)、CIR模型(1985)、CKLS模型(1992)等；无套利模型以纯预期理论为基础，在无套利条件下进行分析，它是以观察到的当时的利率期限结构为模型的输入，以推出相应的金融工具的价格。这一类型的比 [12][13]较著名的模型有Ho和Lee模型(1986)、Black-Karasinski模型(1990)、Hull和White [14][15][16]模型(1990,1993)、HJM(Heath,Jarrow and Morton)模型(1992)等。这些利用随机分析知识建立的连续时间的利率期限模型，更符合现实世界瞬息万变的资本市场，能够更好地模拟利率的变化和预测其变化趋势，为投资者提供了更有价值的信息。在现今所提出的模型中，其中Vasicek模型和CIR模型是比较简单，应用较广的模型，很多学者在已有基本利率模型的基础上对这些模型进行扩展，得到了很多和实际更[17]相符，模拟预测效果更好的模型，主要有延迟模型、仿射模型，多因子模型等。[43,44]另外还有很多在动态模型基础上扩展的模型，如考虑跳的跳-扩散模型、机制转换模型等。 利率期限结构模型研究的重要性 对利率期限结构模型的研究，具有非常重要的现实意义。 2
华中科技大学硕士学位论文 资本社会化大发展，使得金融市场取得了前所未有的发展，其中债券市场是资本市场的重要组成部分，资本市场发展较完善的欧美国家，一般都有发达的债券市场。大部分亚洲的国家和地区，偏重股权融资，债券市场发展水平不高。但是，亚洲金融危机给亚洲的国家和地区敲响了警钟，在经历过金融危机，多数亚洲国家也开始认识到发展债券市场的重要性，把债券市场的发展放在首位，同时积极制定相关的政策，希望建立一个强大的债券市场，来提高资本市场抵抗风险的能力，而债[1]券对利率是非常敏感的，这就决定了利率期限结构在债券的定价、设计、发行、交易中的决定性作用。同时，随着国债和企业债券的飞速发展，使得各种隐含有某种期权特性的混合债券产品层出不穷，而利率期限结构研究将对混合债券组合设计的创新发展和定价起到重大作用。另外，利率期限结构对金融产品，包括股票，债券及其衍生债券的风险管理和定价产生重大的影响。特别的，自20世纪90年代以来，国际金融市场涌现出大量的利率衍生产品，因为利率期限结构是固定收益债券定价的核心因素，同时也是识别和管理个别固定收益的证券，资产组合及其他利率衍生产品利率风险的根本，只有对利率期限结构不断进行深入的研究，我们才能更准确地识别利率风险，才能根据需要设计出金融工具来规避利率风险，才能够保障金融资产的安全和正常流通。所以，为了能够对这些金融产品进行定价分析和风险管理，及分析它们变化发展趋势，对利率期限结构进行系统的研究非常重要。例如只有知道不同时刻的利率期限结构的变化，我们才有可能准确地为不同时刻的债权进行定[1]价。如果短期利率服从某些短期利率模型之一，我们就可以从利率模型出发，推导出债券定价公式，远期价格，期货价格，欧式期权，利率上限，利率下限，互换以及欧式互换期权等的定价公式。 我国的资本市场起步较晚，发展的不是很成熟，但是经过十几年的快速发展，也取得了巨大的成就。特别是进入新世纪以来，中国的资本市场以更快的速度向前发展，随着我国加入世界贸易组织和利率市场化进程的加快，其市场规模，投资品种，机构投资者数量和市场价值总值都得到了很大的扩展。国家除了对银行存贷款利率有一定限制，对其他商业性利率已经都放开，让其充分市场化，形成一种类似[1]美国联邦基金利率的基准利率，通过这个基准利率，从而形成各种各样的金融市场 3
华中科技大学硕士学位论文 利率。那么以基准率作为基础，通过市场交易形成的不同期限的国债收益率，就形成金融市场的基准利率期限结构，这个基准利率期限结构将对金融产品，包括股票，债券和衍生证券的定价产生重大影响。尤其是中长期的国债利率，它通过公开招标的方式产生，提供了一个市场化的，只以时间偏好作为标准的利率，为金融产品的推出和交易给出了明确的价格指导信号。同时，利率是影响金融市场变化最基本的因子，利率风险来源于利率的随机性，随着我国利率化进程的加快和国际国内金融市场的发展，我国金融机构和一些企业面临的利率风险也将越来越突出，所以对利率的研究也就显得更为重要。 2007-2009的金融危机，从美国开始，进而波及到全球，又称世界金融危机。这次金融危机造成了很多金融行业公司和银行的破产，进而对全球的经济产生很大破坏，具体到实际的生活中，使很多公司，小企业等破产，失业率增加，影响了人民的收入，进而加重了人民的生活负担，造成经济发展进程变慢和社会发展的不稳定。总之，金融市场在现今社会中起着关键性的作用，特别是随着经济全球一体化进程的加快，金融市场中的金融产品种类不断创新和丰富，这一方面说明金融市场发展的更为成熟，但另一方面也表明金融市场蕴含了更大的风险。因此，对各种各样金融产品进行定价，及其风险管理，是保证金融市场更快更好发展的基础。而利率是影响金融市场变化最基本的因子，也是金融产品定价和风险管理的基础，同时也是国家实行宏观调控的一个重要手段。所以，研究利率期限结构是整个金融市场健康快速发展的需要，更是社会稳定和国民经济发展的需要，意义十分重大。 国内外利率动态模型研究成果概述 利率期限结构模型随着研究的深入，取得了很大的成果，特别是国外，对这个理论的研究相对来说已经比较全面。 特别是随着连续时间动态模型的建立，利率期限结构理论进入了一个更广阔的[1]发展空间。我们可把动态模型按不同标准进行分类，根据随机微分方程中所含的因变量的数目，分为单因子和多因子模型；根据利率期限结构的推导过程，分为一般 4
华中科技大学硕士学位论文 均衡模型和无套利模型。利率期限结构的模型一般采用的是随机微分方程的形式。动态模型从20世纪70年代末开始发展，从这一时期开始国外的很多学者，对利率期限结构的理论和模型进行了大量的理论研究和实证分析。利率期限结构的均衡模型[18]最早是在Merton(1975)的一篇研究随机增长模型的文献中提出的，同时这篇文献还证明了无风险的瞬时利率服从非线性的扩散过程，这为均衡的利率期限模型奠定了[19]基础。随后，Merton,Sundaresan(1984)把模型扩展到两因子的模型，并讨论了模型在期限结构方面的用处。无套利利率期限模型的研究在20世纪70年代主要是下列学者的文献，Richard (1978), Dothan (1978), Brennan和Schwartz (1979)。比较著名的均[6][9]衡模型有Vasicek模型(1977)，Rendleman和Bartter模型(1980), Brennan和Schwartz[20][10][21]两因子模型(1982)，CIR模型(1985), Longstaff和Schwartz两因子模型(1992)、[11][12]CKlS模型(1992)等；无套利模型主要有，Ho和Lee模型(1986)、Black-Derman-Toy[22][14,15][16]模型(1990)、Hull和White模型(1990)、HJM模型(1992)等。 最早提出的模型,一般是单因子的扩散模型，这类模型一般假设短期利率服从扩散过程，即 dr=μ(r)dt+σ(r)dB(t)， μ(⋅)和σ(⋅)是该过程的漂移率和波动率。对漂移率和波动率进行不同的函数假设，就[1]得到了不同的参数化利率期限结构模型。主要的模型如下表所示， μ(r) σ(r) 模型 a(b−r) σ Vasicek(1977) ar(b−ln(r) σr Brennan-Schwartz(1979) μr σr Rendleman-Bartter(1980) a(b−r) σr Courtadon(1982) −(1−δ)δ/2Marsh-Rosenfeld(1983) ar+br σr a(b−r) CIR模型(1985) σr λa(b−r) CKLS模型(1992) σr 2σ+cr Constantinides(1992) a+br+cr a(b−r) Duffie-Kan(1993) σ+cr 5
华中科技大学硕士学位论文 这些模型中比较著名的是Vasicek 模型、CIR模型和CKLS模型。大部分的单因子参数模型能够很好地模拟利率的回归性，实际应用也比较简便，学者对它们的理论研究是比较多的。随后，一些学者在这些模型的基础上，把单因子模型拓展到两因子模型，多因子模型。近些年，利率期限结构的研究又出现了很多更复杂的模型，比较[23]著名的有Baz和Das(1996)提出的跳-扩散模型；Duffie和Kan(1996)提出的多因子仿射模型；Hamiltion(1989)提出的马尔科夫机制转换模型，Bernadel、Coche和Nyholm [45](2005)又对这个模型进行了拓展，得到了BCN机制转换模型；Heston、Anderson和Lund(1997)、Gallant和Tauchen(1998)等利用的随机波动模型；等等。而在2002年以后提出的利率期限结构模型主要基于无套利仿射模型和Nelson-Siegel模型，在它们基础上又得了很多融合两者优点的模型，如 Christensen, Diebold和Rudebusch 模型。而由于国内的金融市场开放不够完全，利率受一定的管制，债券市场的发展相对也较落后，债券品种和期限结构不够丰富，所以国内的关于期限结构的理论和实证研究都不多，近些年，随着市场利率化进程的加快，学者们对这方面的研究也逐渐增多。[24]如李仲飞和汪寿阳等利用无套利的方法，对有摩擦的金融市场期限结构进行了分[25][26]析；谢赤，吴雄伟对国外的一些研究成果作了一系列的总结和改进；陈典发从数理金融的方向出发,对广义的Vasucek，Flesaken和Hughston利率期限结构模型进行了研究；等等。 利率期限结构模型的发展，必将伴随着模型的实证检验。国外有很多的学者对[27]模型进行了实证检验，如Fernandez(2001)用非参数检验方法，利用智利的数据，对利率期限结构模型进行了实证分析，证明了智利的期限结构有向下的趋势；Ball[28]和Torous对欧元利率的随机波动模型进行了实证分析，证明了利率变动中，随机波动率是存在的。等等。在国内主要是利用国内的数据，对国外提出的利率模型进行[29]实证研究。如吴冲锋、王海成和吴文峰利用国债回购利率数据对Vasicek模型和CIR[26]模型进行了实证检验；陈典发(2002)对Vasicek模型的参数和实际市场的数据的一[30]致性进行了实证分析，并讨论了它在公司融资决策中的应用；杨大楷(1999)利用预[31]期理论定性地研究了我国国债利率期限结构；谢赤，吴雄伟(2002)利用国内货币市场数据，用广义矩(GMM)方法对Vasicek模型和CIR模型进行了实证分析。 6
华中科技大学硕士学位论文 这个理论的发展过程我们可以归纳为：利率期限结构的研究从简单发展到复杂，从单因子扩展到多因子，从静态模型向动态模型转变，这表明利率期限结构的研究越来越全面，在实际中的应用空间也必将越来越广阔。 本文主要内容和结构 前三节我们大致介绍了有关利率期限结构的理论，包括利率期限结构的基本知识、研究地位的重要性以及发展的历程及取得的重要成果。从这个理论的发展进程我们可以看到，现在利率期限结构的研究其中一个重要的基础是扩散形式的随机微分方程，但是并不是任何一个这种形式的微分方程都可以用来研究利率，也即是说要得到与实际拟合较好的模型，这个随机微分方程必须具备良好的性质，这些性质通常包括回归性，非负解的存在唯一性、方程解的各种矩的有界性，随机微分方程若无显式解时逼近解的收敛性，及逼近解能否用来定价等，这些性质都是微分方程能够用来模拟利率很自然的要求。 在第二章，我主要给出了一些记号，及本文中要用到的主要定义和定理；第三章主要介绍了经典了CIR模型和CKLS模型，重点介绍了它们的分析性质和模型的优点；第四章是全文的重点，首先给出了在CIR模型和CKLS模型基础上，结合两者优点得到的扩展CIR-CKLS利率模型，然后主要讨论了扩展模型的回归性，非负解得存在唯一性，方程解的各阶矩有界性，Euler-Maruyama方法逼近解的依概率收敛，最后以债券的定价为例，证明了对该扩展模型用Euler-Maruyama方法得到的数值解可以用来对金融产品进行定价，这些也是本文的目的所在。最后给出了本文的结论，扩展的CIR-CKLS模型在基本模型的波动率上进行了很好的改进，结合了CIR模型和CKLS模型的优点，且包含了CIR模型和CKLS模型，并且同样具有模拟利率很好的性质，因此能够更准确，更广泛地对实际的利率结构进行研究。 7
华中科技大学硕士学位论文 2 数学基础知识 主要记号 在本文中,如果没有特别说明,我们采用以下的记号: (Ω,ℜ,P)：一个概率空间. B(t)：一个标量布朗运动. a∨b：a和b的最大值. a∧b：a和b的最小值. R：所有非负实数的集合，R=[0,∞]. ++dR：d维的Euclidean空间. d×mR：d×m的实值矩阵空间. x：x的Euclidean范数. trace A：方阵A的迹，traceA=a. ∑ii1≤i≤dddC(D;R)：定义在D上的R实值连续函数族. mddC(D;R)：定义在D上的m次连续可微的R实值函数族. 2,1C(D×R;R)：定义在D×R上，并且满足在x∈D连续两次可微，在t∈R一次+++可微的所有实值函数V(x,t)的一个族. ppddL(Ω;R)：满足Eζ<∞的R-实值随机变量族. I(x)：集合A的示性函数，若x∈A，I(x)=1，否则I(x)=0. AAA在此文章中，除非有特殊的说明，那么都是在具有流ℜ满足一般条件的完备概{}tt≥0 8
华中科技大学硕士学位论文 率空间(Ω,ℜ,P)上考虑的，一般条件是指当ℜ包含所有的零测度集，流满足右连续。0B={B(t)}是一个定义在完备概率空间上，适应于流的标量的布朗运动。 t≥ 基本的定义和定理 定义 布朗运动 假设(Ω,ℜ,p)是有流{ℜ}的概率空间，一个一维的布朗运动是满足下列性质的实tt≥0值连续的{ℜ}适应过程{B}。 ttt≥0(i)B=； 0(ii)对于0≤s<t<∞,增量B−B是服从均值为0，方差为t−s的正态分布； ts(iii)对于0≤s<t<∞,增量B−B独立于ℜ。 tss定义 停时 一个随机变量τ：Ω→[0,∞](可能取到∞)，叫做一个{ℜ}-停时，或简称停时，假如t对任意的t≥0，有{ω:τ(ω)≤t}∈ℜ。 t定义ˆ Ito积分 (1)对于M([a,b];R)中的一个简单过程g，定义 0k−1bg(t)dB(t)ξ(B(t)−B(t)) ∑ii+1i∫ai=0这就叫做g的关于布朗运动{B(t)}的随机积分或叫做ˆIto积分。 其中简单过程g的定义为：一个实值随机过程g={g(t)}叫做简单过程假如存在一a≤t≤b个[a,b]的分割，a=t<t<L<t=b和有界随机变量ξ，0≤i≤k−1，使得ξ是ℜ-01kiiti可测的，且 9
华中科技大学硕士学位论文 k−1g(t)=ξI(t)+ξI(t). 0[∑t,t]i(t,t]01ii+1i=12用M([a,b];R)表示简单过程的族。显然M([a,b];R)⊂M([a,b];R). 002(2)假设f∈M([a,b];R)，f关于布朗运动{B(t)}的ˆIto积分定义为： b2在L(Ω;R)上， g(t)dB(t)=limg(t)dB(t). n∫∫an→∞a2b其中，{g}是使得limEf(t)−g(t)dt=0成立的一个简单过程的序列。 nn∫n→∞a定理ˆ Ito积分的几个重要性质： 2设f,g∈M([a,b];R)，α,β是两个实数，则有下面式子成立， b(i) f(t)dB(t)是ℜ-可测的； b∫ab(ii) Ef(t)dB(t)=0； ∫a22bb(iii)Ef(t)dB(t)=Ef(t)dt； ∫∫aab(iiii)[αf(t)+βg(t)]dB(t)=αf(t)dB(t)+βg(t)dB(t)。 ∫a定义ˆ Ito过程: 一个一维的ˆIto过程是定义在t≥0上的连续的适应过程x(t)，且x(t)具有以下的形式： ttx(t)=x(0)+f(s)ds+g(s)dB s∫∫0012其中f∈L(R;R)，g∈L(R;R) ++另外我们说在t≥0上，x(t)有随机微分dx(t)，且dx(t)=f(t)dt+g(t)dB. t定理ˆ Ito公式 一维的ˆIto公式： 令x(t)是定义在t≥0上的ˆIto过程，有下面随机微分的形式， dx(t)=f(t)dt+g(t)dB(t)， 10
华中科技大学硕士学位论文 122,1其中f∈L(R;R)，g∈L(R;R)，令V∈C(R×R;R)，则V(x(t),t)也是一个ˆIto过+++程，其随机微分形式由下式给出， 12dV(x(t),t)=[V(x(t),t)+V(x(t),t)f(t)+V(x(t),t)g(t)]dt txx2+ V(x(t),t)g(t)dB(t) . x多维的ˆIto公式： 令x(t)是定义在t≥0上的d-维的ˆIto过程，且具有下式随机微分形式： dx(t)=f(t)dt+g(t)dB(t). 12d×m其中f∈L(R;R)，g∈L(R;R)， ++2,1d令V∈C(R×R;R)，则V(x(t),t)也是一个ˆIto过程，且具有下式的随机微分形式： +1TdV(x(t),t)=[V(x(t),t)+V(x(t),t)f(t)+trace(g(t)V(x(t),t)g(t))]dt txx2 +V(x(t),t)g(t)dB(t) . x注：利用ˆIto公式的过程中，常用到的基本的乘法表： dtdt=0， dB(t)dt=0. idtdB(t)=0， dB(t)dB(t)=dt. iiidBdB=0,i≠j. ij定理 随机微分方程解的存在与唯一性定理 对于下面形式的随机微分方程 dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t)，t≤t≤T 02其中0≤t<T<∞，设初值x(t)=x，x是ℜ可测的随机变量，且使得Ex<∞，0000t00f,g都是博雷尔可测的。 −假设存在两个正常数κ，κ使得 11
华中科技大学硕士学位论文 d(1)(Lipschitz条件)对所有的x,y∈R,t∈t,T， []0−222f(x,t)−f(y,t)∨g(x,t)−g(y,t)≤kx−y； d(2)(线性增长条件)对所有的(x,t)∈R×t,T， []0222f(x,t)∨g(x,t)≤k(1+x) 若满足上面两个条件，则微分方程()存在唯一解x(t). 另外，若(2)的线性增长条件成立，(1)的Lipschitz条件被下面的局部Lipschitz条件代替：对任意的整数n≥1，存在一个正常数K使得，对所有的t∈[t,T]和所有n0d的x,y∈R，且x∨y≤n，有 222f(x,t)−f(y,t)∨g(x,t)−g(y,t)≤Kx−y， n2d则方程存在唯一的解x(t)∈M([t,T];R). 0定理&& Holder不等式 pq若p>1，1/p+1/q=1，X∈L,Y∈L， 则有 pqT1/1/E(XY)≤(EX)(EY). 定理 Doob鞅不等式 d{M}是一个R-实值鞅。令[a,b]是R上的有界区间， tt≥0+pd(i)若p≥1，M∈L(Ω;R)，则对所有的c>0，有 tpEMbP{ω:supM(ω)≥c}≤. tpa≤t≤bcpd(ii)若p>1，M∈L(Ω;R)，则有 t 12
华中科技大学硕士学位论文 pppE(supM)≤()EM. tba≤t≤bp−1定理 Fatou定理 1设{X}⊂L，由X≥0，可得 nnE(limX)≤limE(X). nnn→∞n→∞定理 Liapunov不等式 sd设0<r<s<∞，X∈L(Ω,R)，则有 rs1/1/(EX)≤(EX). 定理 Burkholder-Davis-Gundy不等式 2d×m令g∈LR;R，当t≥0时， ()+2ttxt=gsdBs且At=gsds ()()()()()∫∫00对于任意的p≥0，存在正常数c,C使得 ppp⎛p⎞22cEAt≤Esupxs≤CEAt ()()()⎜⎟⎝0≤s≤t⎠成立，其中t≥0。特别的，有时需要用到下面更精细的参数，即 p2pp⎛32⎞⎛⎞c=，C=，其中0<p<2； p⎜⎟p⎜⎟2p⎝⎠⎝⎠c=1，C=4，其中p=2； ppp2p2⎛1⎞p−1p+1⎡⎤c=，C=2p−1，其中p>2。 ()p⎜⎟p⎣⎦2p⎝⎠定理 Young不等式 对于任意的x,y≥0，α,β≥0，且α,β不同时为0，则有 α+βα+βαxβyαβxy≤. α+βα+β 13
뮪훐뿆벼듳톧쮶쪿톧캻싛컄 뚨샭 Gronwall늻뗈쪽 짨T>0ꎬc≥0ꎬu(g)쫇뚨틥퓚0,T짏뗄럇뢺폐뷧뗄늩샗뛻뿉닢몯쫽ꎬ쟒v(g)쫇뚨틥[]퓚0,T짏뗄럇뢺뿉믽몯쫽ꎬ죴뛔죎틢뗄0≤t≤Tꎬ폐 []tu(t)≤c+v(s)u(s)ds돉솢ꎬ ∫0퓲뛔죎틢뗄0≤t≤Tꎬ폐 tu(t)≤cexp(v(s)ds). ∫0뚨샭 벸룶믹놾뗄늻뗈쪽 (1)떱x,y>0ꎬθ∈(0,1]ꎬ퓲폐 θθθx−y≤x−y. 떱x≤j,y<j,θ>1ꎬ퓲폐 θθθx−y≤Cx−y. j웤훐ꎬC쫇맘폚j뗄뎣쫽ꆣ j(2)뛔죎틢뗄a,b,cꎬp≥1ꎬ폐 pp−1ppp(a+b+c)≤3(a+b+c). (3)죴a<0ꎬx≥0ꎬ퓲듦퓚튻룶뎣쫽Kꎬ쪹뗃 mmm−1ax+ax+L+ax+a≤K. mm−10 14
华中科技大学硕士学位论文 3 CIR模型和CKLS模型介绍 经典的CIR模型 在一篇重要的文章中，Cox,Ingersoll和Ross提出了一个连续时间的均衡模型，[10]这个模型被命名为CIR模型，用于利率期限结构的研究,主要用于模拟短期利率。[1]CIR模型由于它产生于经济中的内在实际变量和总体均衡，所以它包含了风险回避、时间消费偏好、财富限制、导致风险补偿的因素和众多的投资选择，因此能够比较好地反映实际市场的利率变化。CIR模型是学术界和实际应用中最著名的利率模型。现在，这个模型被发现除了在利率方面的应用，还可以应用于对波动和其他一些金融数量的研究。这个模型最简单形式可以表示成下面的随机微分方程的解, 均值回归的平方根过程 dR(t)=λ(μ−R(t))dt+σR(t)dB(t)， () 其中，λ,μ和σ是正的常数，B(t)是定义在概率空间(Ω,ℜ,P)上的标量布朗运动，我们假设初始条件R(0)是独立于布朗运动的，且二阶矩有界。同时假设R(0)≥0是以概率1成立。λ,μ和σ都是模型的估计参数。 这个模型在金融上之所以被广泛应用，是因为它有三个重要的性质。首先，虽[32,33]然CIR模型无显解，但是解的很多性质都可以被确定，很多文献讨论了它的分析性质,因为这个过程的扩散系数不满足全局的Lipschitz条件，可是它满足线性增长条件和局部Lipschitz的条件，根据随机微分方程解的存在唯一性定理，它的解是存2在且唯一的。而且在初始值以概率1大于0时方程有唯一非负解，特别是当2λμ≥σ时，对所有的t≥0，R(t)>0是几乎处处成立的，它的解可由Monte Carlo模拟方法[34]进行逼近，Higham和Mao又证明了Monte Carlo模拟估计的强收敛性，这一点是非常重要的，因此这个模型才能够经常被用来模拟利率和分析其数值解，才能在实 15
华中科技大学硕士学位论文 际中得到更好利用，更准确地模拟现实的利率变化；第二，它有均值回归性，μ表示利率的长期平均水平，λ表示均值回复到平均水平μ的速度，σR(t)表示利率变化的波动率，利用ˆIto公式可以计算出均值和方差，且可以看到R(t)的期望以速度λ[34]收敛到μ，即所说的远期价值；第三是它增量的方差和现值成比例。显然，CIR模型中的波动率不是常数，而是短期利率的增函数。所以，如果短期利率较低时，则波动率也较低，这个特点与现实中观察到的特点是比较一致的。当然，现实中的波动率不一定刚好等于σR(t)。在CIR模型下，短期利率不可能小于零，对于不同的参数，短期利率的取值范围是[0,+∞)或(0,+∞)。因为CIR模型是连续时间的模型，所以对任何到期日的零息票债券，这个模型都可以计算它的风险。 下面主要给出方程()解的期望和方差。 定理 对于随机微分方程(), λ,μ和σ是正的常数，B(t)是定义在概率空间 (Ω,ℜ,P)上的标量布朗运动，则 −λt−λtER(t)=eR(0)+μ(1e) 22σμσ−λt−2λt−λt2var(R(t))=r(0)(ee)+(1e) 2λ2μσ同时，我们可以看到当t→∞时，ER(t)→μ，var(R(t))→，这也说明了CIR2λ模型的回归性。 CKLS模型 CKLS模型是Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders提出的一个利率模型，模型的结构为： γdR(t)=λ(μ−R(t))dt+σR(t)dB(t) () 16
华中科技大学硕士学位论文 给模型系数加上一定的限制条件，令λ,μ和σ是正的常数。显然当γ=1/2时，就变[36]成了CIR模型。当γ∈(1/2,1)，方程不满足局部的Lipshitz条件，Mao等等讨论了随机微分方程()的分析性质，并且证明了方程数值解的强收敛。这个模型也具有均值回归性，且方程在给定初始值R(0)>0时，对所有的t≥0有唯一的非负解。一些实证研究表明，最成功的连续时间的短期利率模型，是那些允许波动率随着无风险2利率不同而变化的模型。对美国的短期国债的数据进行χ检验，则()式模型拒绝了γ<1的假设，而没有拒绝γ≥1。应用GMM (Generalized Method of Moments)方法，[37]Chan等得到γ=,对相同的数据，利用GEM(Gaussian Estimation methods)方[38]法，Nowman估计得到γ=。所以，很多的事实说明我们需要考虑γ≥1时方程()的相关性质。而当γ>1时，方程()不满足线性增长条件，所以我们在它的解的存在唯一性、矩的有界性、Euler-Maruyama估计解的收敛等方面不能应用已求得[32][39]的经典结果，而这些困难Wu等利用新的方法都给与了解决。得到了方程()在γ>1时的分析性质;在给定初始值R(0)>0时，方程()存在唯一正的全局解，这个性质是这个模型能够用来模拟利率的一个很自然的要求。另外这篇文章还给出了方程()解的各种有界性，包括矩的有界性、随机有界性及路径估计。另外介绍了方程解的Euler-Maruyama逼近，同时证明了近似解是依概率收敛的，方程的这些性质都是这个方程可以用来模拟利率及资产定价很自然的要求。 [32,39]下面给出CKLS模型的一些主要定理和结论： 1(1)γ≥时，方程在初始值R(0)>0条件下，有唯一的正解存在，且其数值解是以概2率收敛的。 −λt−λt(2)ER(t)=eR(0)+μ(1e)，显然当t→∞，ER(t)→μ。 3(3)当γ>，存在一个常数K>0，对于任意给定的初始值R(0)>0，方程()的解满2足下式的不等式， 17
华中科技大学硕士学位论文 t12limsupER(s)ds≤K. ∫∞0t→t(4)当γ∈(1,2)，对任意的ε∈(0,1)和R(0)>0，则存在一对正常数H=H(ε,R(0))和h=h(ε,R(0))，使得对任意的t≥0，有p(h≤R(t)≤H)≥1−ε成立。 结论(4)说明了方程()的解以一个大的概率落在一个带状区域内，这和实际中利率的变化情况也是相一致的。 CKLS模型的这些结论都说明了它有利率建模的很好性质，同时它相对于CIR模型，由于γ不是固定等于1/2的，所以它对实际利率的变化模拟更有优势，另外也可以对CIR模型进行实证检验，因此是一个非常重要和有用的利率期限结构模型。 18
华中科技大学硕士学位论文 4 扩展的CIR-CKLS利率模型 从第三章的CIR和CKLS利率模型的介绍，我们可以看到它们都具有模拟利率的良好性质，只是在现实中CIR模型的波动率不一定刚好就等于σR(t)，那么我们γ考虑用CKLS模型的波动率σR(t)来对其进行修正，这样综合了两个模型的优势，就能更好地和实际的利率波动率相拟合，从而能够更好地反映现实中利率的变化，更准确地对利率进行预测。基于这种思想，就得到了在CIR模型和CKLS模型基础上扩展的CIR-CKLS利率模型。模型结构为下式的随机微分方程的形式： rdR(t)=λ(μ−R(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t) () 12其中λ,μ,γ是正常数，σ≥0σ≥0 ，且σ，σ不同时为0，B(t)是定义在完备概1212率空间(Ω,ℜ,P)上的标量布朗运动。假设初始条件R(0)是独立于布朗运动的，且R(0)≥0。 1显然，当σ=0或γ=时，随机微分方程()变成了经典的CIR模型；当σ=0212时，随机微分方程()变成了CKLS模型(1992),它们的性质在前一章中已做了简单的介绍，所以，以下只分析当σ>0，σ>0时随机微分方程()的一些性质。 非负解的存在唯一性 要使一个随机微分方程在任意给定初始值时有一个全局解,也就是说解不会在有限的时间内爆炸。根据随机微分方程解的存在唯一性定理，方程的系数一般需要满足线性增长条件和局部Lipschitz条件, 但是方程()不满足线性增长条件, 尽管它是局部Lipschitz连续的.随机微分方程被用来模拟利率和其他的金融数量,关键的一点是微分方程的解永远不能为负. 所以我们先给出方程()非负解的存在唯一性，下面的三个定理即证明了方程()在给定初值R(0)≥0时,方程存在唯一非负解. 19
华中科技大学硕士学位论文 [40]引理 (Mao)设一维的随机微分方程有下面的形式 dx(t)=a(t,x(t))dt+b(t,x(t))dB(t). () 若对任意的x∈R,a(⋅,x),b(⋅,x)是ℜ适应过程。且对于任意的0≤t<∞，x,y∈R，有 ta(t,x)−a(t,y)≤Kx−y . b(t,x)−b(t,y)≤h(x−y) . 其中K是一个正常数，h:[0,∞)→[0,∞)的满足h(0)=0的严格递增的函数，且成立 −2h(u)du=∞,∀ε>0. ∫(0,ε)则随机微分方程()存在唯一解. 定理 当0<γ<1，对任意的t≥0，随机微分方程()存在唯一的解R(t). 证明：显然，我们只需证明和()对应的下式方程存在唯一解. rdR(t)=λ(μ−R(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t) () 12我们很容易可以得到 λ(μ−x)−λ(μ−y)=λx−y, 111γγγ222σx+σx−σy−σy≤σx−y+σx−y, 1212121γ2则 h(u)=σu+σu,显然h(u)是严格递增的，且h(0)=0. 121−2−1εγ−1ε2又h(u)du=h(u)|=−(σu+σu)|=∞， 0120∫(0,ε)根据引理，即证得定理成立。 1定理 当<γ<1，随机微分方程()在初值R(0)≥0时，解R(t)非负。 2证明：因为方程中有R(t)项，所以方程()有非负解就等价于下式的方程有非负解, 20
华中科技大学硕士学位论文 rdR(t)=λ(μ−R(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t) () 12故我们只需证明，方程()在初始值R(0)≥0时，方程的解非负。 −k(k+1)/2令 a=1,a=e， 0k则对任意的整数k≥1，有 ak−1du=−k(k−1)/2+k(k+1)/2=k. ∫aku2构造一个函数ψ(u)，它是满足定义在区间(a,a)上的连续函数，且0≤ψ(u)≤，kkk−1kkuak−1另外ψ(u)du=1成立，满足这些条件的函数显然是存在的。 k∫ak令 x≥0时，ϕ(x)=0 k−xyx<0时，ϕ(x)=dyψ(u)du， kk∫∫002由ϕ(x)的定义，显然有ϕ(x)∈C(R,R)，同时我们可以得到 kk−x′′x≥0时，ϕ(x)=0；x<0时ϕ(x)=−ψ(u)du， kkk∫0′′′′x≥0时，ϕ(x)=0；x<0时ϕ(x)=ψ(−x). kkk由ψ(u)的定义，则有 k′′−∞<x<−a时，−1≤ϕ(x)≤0；x≥−a时，ϕ(x)=0. kkkk2′′′′−a<x<−a时，ϕ(x)≤；x为其他值时，ϕ(x)=0. k−1kkkkx−−x<0时 ，令x=−x；x≥0时，x=0. −−则对任意的x∈R，有 xa≤ϕ(x)≤x. k−1k对任意的t≥0，根据ˆIto公式，我们可以得到 1′′dϕ(R(t)=ϕ(R(t)dt+ϕ(R(t)dR(t)+ϕ(R(t)dR(t)dR(t) kktkk2对上式两边求积分得 21
华中科技大学硕士学位论文 tt1′′′ϕ(R(t)=ϕ(R(0)+0+ϕ(R(l)dR(l)+ϕ(R(l)dR(l)dR(l) () kkkk∫∫002显然由ϕ(x)的定义，因为R(0)≥0，故ϕ(R(0)=0， kkr利用 dR(t)=λ(μ−R(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t) 12则得 ttr′′ϕ(R(l)dR(l)=ϕ(R(l))[λ(μ−R(l))dl+(σR(l)+σR(l))dB(l)] kk12∫∫00tt′ =λμϕ(R(l)dl+−λR(l)ϕ(R(l)dl k∫∫00tr′ +ϕ(R(l)(σR(l)+σR(l)dB(l) k12∫0tt−r′ ≤0+λR(l)dl+ϕ(R(l)(σR(l)+σR(l)dB(l) k12∫∫00tt−r′=λR(l)dl+ϕ(R(l)(σR(l)+σR(l)dB(l) () k12∫∫00tt11r′′′′ϕ(R(l)dR(l)dR(l)=ϕ(R(l))[λ(μ−R(l))dt+(σR(l)+σR(l))dB(l)] kk12∫∫0022r×[λ(μ−R(l))dt+(σR(l)+σR(l))dB(l)] 12t1r2′′ =ϕ(R(l)(σR(l)+σR(l)dl k12∫02t12r2r′′=ϕ(R(l))(σR(l)2σR(l) R(l)+σR(l))dl k112∫02t12rr≤[σR(l)+σ(R(l)+R(l))+σR(l)]dl 1122∫02kR(l)t12σ2σ2σ2σ2r−1112122=[++(+)R(l]dl ∫02kkkk2tσσσσσσ2r−111212=[++(+)R(l)]dl ∫0kkkk22tσ+σσσ+σσ2r−111212=t+R(l)dl () ∫0kk把()和()代入() , 则得 22
华中科技大学硕士学位论文 tt−r′ϕ(R(t)≤λR(l)dl+ϕ(R(l)(σR(l)+σR(l)dB(l) kk12∫∫0022tσ+σσσ+σσ2r−111212+t+R(l)dl () ∫0kk1当<γ<1，由Young不等式，则得 22r−1R(l)≤(2γ−1)R(l)+(2−2γ) () 对()两边求期望，由ˆIto积分期望值为0，则得 22ttσ+σσσ+σσ2r−1−11212Eϕ(R(t)≤λER(l)dl+t+R(l)dl k∫∫00kk22ttσ+σσσ+σσ−11212≤λER(l)dl+t+[(2γ−1)R(l)+(2−2γ)]dl ∫∫00kk2tσ+σσ−112≤λER(l)dl+t ∫0k22t(σ+σσ)(−2γ)(σ+σσ)(γ−1)−1212+t+R(l)d ∫0kk22σ+σσ(σ+σσ)(−2γ)11212 ≤t+t kk2t(σ+σσ)(γ−1)−12 +λ+R(l)dl () ∫0k−且由于 Eϕ(R(t)≥ER(t)−a kk−122σ+σσ(σ+σσ)(−2γ)−11212故得 ER(t)−a≤t+t k−1kk2t(σ+σσ)(γ−1)−12+λ+R(l)dl ∫0k22σ+σσ(σ+σσ)(−2γ)−11212即 ER(t)≤a+t+t k−1kk 23
华中科技大学硕士学位论文 2t(σ+σσ)(γ−1)−12+λ+R(l)dl () ∫0k由Gronwall不等式，得到 2(σ+σσ)(γ−1)2212λ+tσ+σσ(σ+σσ)(−2γ)−11212kER(t)≤(a+t+t)e. () k−1kk令k→∞，则得到 −对任意的t≥0,t∈[0,T]，有ER(t)=0, 这表明对任意的t≥0，有p{R(t)<0}=0. 因为R(t)是连续的，我们因此得到对任意的t≥0，R(t)≥0是几乎处处成立的。 由定理和定理，我们证明了当1/2<γ<1时，随机微分方程()在初值 R(0)≥0时，方程存在唯一的非负解。下证在γ≥1时，结论仍然成立。 定理 对任意给定的初始值R(0)>0，随机微分方程()在γ≥1时，在t≥0上，方程存在在唯一的正的全局解。 证明：因为方程()的系数满足局部的Lipschitz条件，所以对任意给定的初始值R(0)>0，必然存在一个唯一的局部解，R(t)∈(0,τ)，其中τ是爆炸时间。 要证明ee这个解是全局解，我们需要证明τ=∞ .对一个充分大的整数k>0，则有e1/k<R(0)<k. 先定义一个停时τ=inf{t∈[0,τ]:R(t)∉[1/k,]，我们令infφ=∞，(φ表示空集)， ke显然，当k→∞，τ是递增的。令τ=limτ，因此τ≤τ。若我们可以证明k∞k→∞k∞e当k→∞时τ→∞ ，则有τ=∞ 和Ras(t)>0. 成立。为了证明这些成立，ke对于任意常数T，假如当k→∞，有p{τ≤T}→0，然后我们可以得到p{τ=∞}=1，k∞ 24
华中科技大学硕士学位论文 即证得定理成立。 2令θ∈(0,1),定义一个C-函数, V: (0,∞)→(0,∞), θV(R)=R−1−θlnR. () θxx−1θθθ因为e≥1+x,故得e≥1+x−1=x,两边取对数,则x−1≥θlnx, θ即 x−1−θlnx≥0,显然可以得到V(⋅)≥0,且当R→∞或R→0时, V(R)→∞. 利用伊藤公式我们可以得到， 1′′dV(R(t)=0⋅dt+V(R(t)dR(t)+V(R(t)dR(t)dR(t) () 2θ−1−1′V(R(t)dR(t)=(R(t)−θR(t)dR(t) θ−1−1r =[R(t)θR(t)][λ(μ−R(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t)] 12θ−1θ1 =λθ[μR(t)−R(t)−μR(t)+1]dt 11θ−−θ+γ−1γ−122 +[σθ(R(t)−R(t))+σθ(R(t)−R(t))]dB(t) () 211θ−2−2′′V(R(t))dR(t)dR(t)=[θ(θ−1)R(t)+θR(t)]dR(t)dR(t) 221θ−2−2 =[θ(θ−1)R(t)+θR(t)] 21γ+2r2×[σR(t)+2σR(t)σR(t)]dt 1123θ+γ−12θ−12θ+2(γ−1)2 =θ(θ−1)(σR(t)+2σσRσRdt 11223−12−122(γ−1)2+θ(σR(t)+2σσR+σRdt () 112把()和()代入()，则得 θ−1θ−1dV(R(t)=λθ(μR(t)−R(t)−μR(t)+1)dt 11θ−−θ+γ−1γ−122 +[σθ(R(t)−R(t))+σθ(R(t)−R(t))]dB(t) 2 25
华中科技大学硕士学位论文 3θ+γ−12θ−12θ+2(γ−1)2 +θ(θ−1)(σR(t)+2σσRσRdt 11223−12122(γ−1)2 +θ(σR(t)+2σσR(t)+σR(t)dt 112θ−1θ−1 ={λθ(μR(t)−R(t)−μR(t)+1) 3θ+γ−1212θ+2(γ−1)2+θ[(θ−1)(σR(t)+2σσR(t)+σR(t)) 11223−2122(γ−1)2+(σR(t)+2σR(t)+σR(t)]}dt 1111θ−−θ+γ−1γ−122 +[σθ(R(t)−R(t))+σθ(R(t)−R(t))]dB(t) () 2观察到当γ≥1时，上式大括号内关于R(t)的多项式最高次是θ+2(γ−1)，因为1θ+2(γ−1)2θ∈()，所以R前面的系数为θ(θ−1)σ是负的，所以根据多项式的有界性，22则存在一个常数k，使得 1θ−1θ−1λθ(μR(t)−R(t)−μR(t)+1) 3θ+γ−1212θ2(γ−1)2+θ[(θ−1)(σR(t)+2σσR(t)+σR(t)) 11223−2122(γ−1)2+(σR(t)+2σR(t)+σR(t))]≤k. () 111因此,根据()和()，及伊藤积分期望值为零，则对任意的t∈[0,T], EV(R(t∧τ)≤V(R(0)+kT, () k1所以, 1p(τ≤T)(V()∧V(k)≤EV(R(T∨τ)≤V(R(0)+kT. () kk1k1所以, 当k→∞,因为V()∧V(k)→∞, 故 p{τ≤T}→0, kk这也即表明p{τ=∞}=1. 即定理得证. ∞ 26
华中科技大学硕士学位论文 回归性与解的有界性 在实际的社会中,利率总是表现出均值回归的特点,当利率比较高时,经济的发展趋于缓慢,而投资人对资金的需求也会相应减少,这就导致利率下降.反之,当利率较低时侯,投资者投资的积极性被调动起来,这样市场对资金的需求量就会增加,使得利率提高。显然,随机微分方程()是具有均值回归性的特点,如果μ>R(t),则瞬时利率的漂移项大于零,则利率的变化有大于零的趋势，那么随着时间的变化,R(t)将逐步上升;反之,若μ<R(t),瞬时利率的漂移项小于零,则随着时间的变化,R(t)将会逐步减小.所以瞬时利率会一直趋向于朝μ运动,其中μ就是瞬时利率的长期水平,而λ描述的则是R(t)向μ调整的速度，下面给出了方程()的期望的求解，也进一步证实了方程()具有回归性。 对于利率和其他资产价格来说，有界性是一个很自然的要求，在这一部分，我们将给出方程()解的各阶矩的有界性。 定理 随机微分方程()的解的(1)期望存在，且满足当t趋向于∞时，ER(t)趋向于μ；(2)且对于任意的t≥0，有 ER(t)≤R(0)+μ ，limsupER(t)≤μ. t→∞证明：(1)令λμ=α,λ=β 则方程变成下面的形式： r dR(t)=(α−βR(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t) () 12βt令f(t,x)=ex， βtβt则f(t,x)=βex，f(t,x)=e,f(t,x)=0 txx由ˆIto公式，得到： βtd(eR(t))=d(f(t,R(t)) 27
华中科技大学硕士学位论文 1 =f(t,R(t))dt+f(t,R(t))dR(t)+f(t,R(t))dR(t)dR(t) txx2βtβt =βeR(t)dt+edR(t)+0 把()式代入上式，则上式 βtβtβtγ=βeR(t)dt+eR(t)dt+e[(α−βR(t))dt+σR(t)dB(t)+σR(t)dB(t) 12βtβtβtγ =αedt+σeR(t)dB(t)+σeR(t)dB(t) 12对上面等式两边同时取积分，则有 tttβtβlβlβlγeR(t)=R(0)+αedl+σeR(t)dB(l)+σeR(t)dB(l) () 12∫∫∫000因为ˆIto积分的期望值为0，则得到 ttβlγβlE(eR(t)dB(l)=0，E(eR(t)dB(l)=0. ∫∫00对()式两边求期望，则得 βtβtαeER(t)=R(0)+(e−1) β−βt−βtα即 ER(t)=eR(0)+(1e) β−λt−λt也即 ER(t)=eR(0)+μ(1e) 由上述证明，我们得到随机微分方程()的期望是存在的， −λt且当t→∞时，由于e→0， 故得 ER(t)→μ. βtλt(2)因为 d(eR(t))=d(eR(t)) λtλtλtγ=αedt+σeR(t)dB(t)+σeR(t)dB(t) () 12我们先定义一个停时，对于任意的正数m， τ=inf{t:R(t)>m}. mt∧τmλ(t∧τ)λsm则 E[eR(t∧τ)]=R(0)+αE(eds) m∫0 28
华中科技大学硕士学位论文 t∧τmλs =R(0)+λμE(ed) ∫0λt ≤R(0)+μ(e−1) 令m→∞，由Fatou定理，则可以得到， λtλteER(t)≤R(0)+μ(e−1)， −λt−λt即 ER(t)≤eR(0)+μ(1e), 显然，我们得到ER(t)≤R(0)+μ ，limsupER(t)≤μ. t→∞即定理得证。 定理 对任意的θ∈(0,1)，存在一个正常数K,使得对任意给定的初始值θR(0)>0，方程()的解满足下式的不等式成立， t1θ+2(γ−1)limsup[ER(l)dl]≤K. () θ∫→∞0tt证明:从定理.的证明中,我们显然可以得到，存在一个常数K，使得 2θ−1θ−1λθ(μR(t)−R(t)−μR(t)+1) 3θ+γ−212θ2(γ−1)2+θ[(θ−1)(σR(t)+2σσR(t)+σR(t)) 1123−2122(γ−1)2+(σR(t)+2σR(t)+σR(t)]≤K， 112从而可以得到， 2t∧τθ(1−θ)σkθ+2(γ−1)2ER(l)dl+EV(R(t∧τ)≤V(R(0)+Kt， k2∫04令k→∞，利用Fatou定理， 可以得到 2tθ(1−θ)σθ+2(γ−1)2ER(l)dl≤V(R(0))+Kt， 2∫04 29
华中科技大学硕士学位论文 t4θ+2(γ−1)即得 ER(l)dl≤(V(R(0)/t)+K)， 22∫0tθ(1−θ)σ2对上式两边同时取上确界和极限，得到()式成立。即证得定理成立。 3推论 若γ>，则对于任意的初始值R(0)>0，存在一个常数K>0，使得 2t12limsupER(l)dl≤K. ∫→∞0tt证明：当γ>3/2，我们可以选择θ∈(0,1)，使得θ+2(γ−1)≥2， 根据Ho&&lder不等式，则得到 2tt11θ+2(γ−1)2θ+2(γ−1)ER(l)dl≤(ER(l)dl) ∫∫00t12令t→∞，利用定理()的结论，即得limsupER(l)dl≤K。 ∫→∞0tt推论得证。 定理 在γ∈(0,1)时，随机微分方程()解的二阶矩有界。 证明: 同样令λμ=α,λ=β，则α，β>0, 方程转化成下面的形式： rdR(t)=(α−βR(t))dt+(σR(t)+σR(t))dB(t) 12βt首先令X(t)=eR(t)，在定理1证明中我们已经得到 βtβtβtγdX(t)=αedt+σeR(t)dB(t)+σeR(t)dB(t) 12βtβt/2γβ(1−γ)t=αedt+σeX(t)dB(t)+σX(t)edB(t) () 12βtα EX(t)=R(0)+(e−1)。 () β2令′′ f(x)=x，则f(x)=2x,f(x)=2， 根据ˆIto公式，则 30
华中科技大学硕士学位论文 12d(X(t))=2X(t)dX(t)+×2dX(t)dX(t) 2 =2X(t)dX(t)+dX(t)dX(t) βtβt/2γβ(1−γ)t =2X(t)[αedt+σeX(t)dB(t)+σX(t)edB(t)] 12βtβt/2γβ(1−γ)t +[αedt+σeX(t)dB(t)+σX(t)edB(t)] 12βtβt/2γβ(1−γ)t×[αedt+σeX(t)dB(t)+σX(t)edB(t)] 123βtβt/2γ+1β(1−γ)t2 =2αeX(t)dt+2σeX(t)dB(t)+2σX(t)edB(t) 121γ+23/−β22β1γ2 +σeX(t)dt2σeX(t)dtσX(t)edt 1121γ+βt2βt(3/2−γ)βt22γ2β(1−γ)t2 =(2αeX(t)+σeX(t)+σσeX(t)+σX(t)e)dt 11223βt/2γ+1β(1−γ)t2 +(2σeX(t)+2σX(t)e)dB(t) () 12对等式两边同时积分 22X(t)=X(0) 1tγ+βl2βl(3/2−γ)βl22γ2β(1−γ)l2+(2αeX(l)+σeX(l)+σσeX(l)+σX(l)e)dl 1122∫03tβl/2γ+1β(1−γ)l2+(2σeX(l)+2σX(t)e)dB(l) () 12∫0113313当γ∈(0,1)，则γ+∈(,)，−γ∈(,)， 222222由Young不等式， 132113(γ+)X(t)(−γ)×1γ+γ+−γ22222X(t)=X(t)×1≤+ 2212≤X(t)+ () 222γX(t)2−2γ2γ2γ2−γ同理， X(t)=X(t)×1≤+ 222≤X(t)+1 () 把()和()代入()， 31
华中科技大学硕士学位论文 故可以得到 tt122βl2βl(3/2−γ)βl2X(t)≤X(0)+(2αe+σe)X(l)dl+2σσe(Xl)+)dl 112∫∫002t22β(1−γ)l2 +σe(X(l)+1)dl 2∫03tβl/2γ+1β(1−γ)l2+(2σeX(l)+2σX(t)e)dB(l) () 12∫0对上式两边求期望，由于ˆIto积分的期望值为零， t22βl2βl故得EX(t)≤X(0)+(2αe+σe)EX(l)dl 1∫0t(3/2−γ)βl22β(1−γ)l2 +(2σσe+σe)EX(l)d 122∫0tt(3/2−γ)βl22β(1−γ)l +σσed+σed () 122∫∫00tβl2βl令a(t)=(2αe+σe)EX(l)dl 1∫0tαβl2βlβl =(2αe+σe)(R(0)+(e−1))dl 1∫0β22tt2αα2ααβl2222βl =e(2αR(0)+σR(0)−−σ)dl+(+σ)edl 111∫∫00ββββttβl2βl =cedl+cedl 1∫∫00ccβt2βt1 =(e−1)+(e−1) 2β222αα2αα222其中，c=2αR(0)+σR(0)−−σ，c=+σ. 11121ββββt(3/2−γ)βl令b(t)=σσed 12∫0σσ(3/2−γ)βt1212=e−， (3/2−γ)β(3/2γ)βt22β(1−γ)l令c(t)=σed 2∫0 32
华中科技大学硕士学位论文 22σσ2β(1−γ)t=e−， 2β(1−γ)2β(1−γ)t(3/2−γ)βl22β(1−γ)l令d(t)=(2σσe+σe)d 122∫022σσσσ(3/2−γ)βt2β(1−γ)t1212 =2e−+e− (3/2−γ)β(3/2γ)β2β(1−γ)2β(1−γ)则()式可以写成 t22(3/2−γ)βl22β(1−γ)l2EX(t)≤X(0)+a(t)+b(t)+c(t)+(2σσe+σe)EX(l)d () 122∫0由Gronwall 不等式，对任意的0≤t≤T， 则得到 t22(3/2−γ)βl22β(1−γ)lEX(t)≤(X(0)+a(t)+b(t)+c(t))exp((2σσe+σe)d) 122∫02 ≤(X(0)+a(t)+b(t)+c(t))exp(d(t)) () 其中a(t)，b(t)，c(t)，d(t)是以上表示出的关于t的连续函数，故对于任意的0≤t≤T，它们都是有界的。 由此证得在γ∈(0,1)，随机微分方程()解的二阶矩有界。 定理 随机微分方程()在给定初始值R(0)≥0，当γ∈(0,1)，方程解的p(p>2)阶矩有界。即存在常数K使得方程的解满足 pE(supR(t))≤K. () 0≤t≤T证明：对任意的t∈[0,T]，方程()写成积分形式为， ttγR(t)=R(0)+λ(μ−R(l))dl+(σR(l)+σR(l))dB(l) 12∫∫00ttppγ则 R(t)=[R(0)+λ(μ−R(l))dl+(σR(l)+σR(l))dB(l)] 12∫∫00根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，则 ttppγR(t)=[R(0)+λ(μ−R(l))dl+(σR(l)+σR(l))dB(l)] 12∫∫00 33
华中科技大学硕士学位论文 ttp−1pppγp ≤3[R(0)+λ((μ−R(l))d)+((σR(l)+σR(l))dB(l))] 12∫∫00对不等式两边取期望，根据Ho&&lder不等式，则对任意的t∈[0,T]和p>2， 1可以得到 t1pp−1pppE(supR(t))≤3{ER(0)+λE(μ−R(l)dl) ∫00≤t≤t1t1γp +E[sup((σR(l)+σR(l))dB(l))]} 2∫00≤t≤t1pt−−1p1ppp ≤3[ER(0)+λTEμ−R(l)dl ∫0pt1γ22 +CE((σR(l)+σR(l)dl)] () p2∫0pp+1p−12其中 C=[/(2(p1))]. p再利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和Ho&&lder不等式 p1pttγ+11γ222γ222E((σR(l)+σR(l)dl)=E[(σR(l)+2σR(l)σR(l)dl] 212∫∫00pp1p−1ttγ+1122222 ≤3[E(σR(l)dl)+E(2σσR(l)d) 112∫∫00pt122γ2 +E(σR(l)dl] 2∫0pppp1p−1−1tt(γ+)11p22222 ≤3T[σ(ER(l)d)+(2σσ)(ER(l)dl) 112∫∫00t1pγp +σ(ER(l)dl)] () 2∫0pp又由于 μ−R(l)≤(μ+R(l) p−1pp≤2(μ+R(l)) ppp−1pp−1p故得 Eμ−R(l)≤E(μ+R(l)≤2μ+2ER(l) () 把()和()代入()， pp−1p−1p−1p−1p则得 E(supR(t))≤3R(0)+32λTμ 0≤t≤t1t1p−1p−1pp−1p+32λTER(l)dl ∫0 34
华中科技大学硕士学位论文 3pp−1t1p/2−1p22+C3T[σ(ER(l)dl) p1∫0p1pt(γ+)t11pγp22+(2σσ)(ER(l)dl)+σ(ER(l)dl)] 122∫∫00t1p =：a+bER(l)dl pp∫0pp1ptt(γ+)11p222 +d[σ(ER(l)dl)+(2σσ)(ER(l)dl) p112∫∫00t1pγp +σ(ER(l)dl)] () 2∫0其中a,b,d是依赖于p，R(0)，λ,T和μ的常数。 ppp当γ∈(0,1)，利用Young不等式，可以得到， pppp−11p222R(l)=R(l)⋅1≤R(l)+， 221p(γ+)113γp22R(l)≤(γ+)R(l)+−， 2442γppR(l)≤γR(l)+1−γ. ptt11ppp2则 σ(ER(l)dl)≤σ(ER(l)dl+t)， () 1∫∫0022p1ppt(γ+)t111131p222(2σσ)(ER(l)dl)≤(2σσ)((γ+)ER(l)dl+(−γ)t) () 12121∫∫002442tt11pγpppσ(ER(l)dl)≤σ(γER(l)dl+(1−γ)t () 221∫∫00 把()、()和()代入()，则， tt111ppppp E(supR(t))≤a+bER(l)dl+dσER(l)dl+dσt pp1∫∫000≤t≤t221t11131p +d(2σ)(γ+)ER(l)d+(2σ)(−γ)t 12121∫02442t1ppp +dσγER(l)d+dσ(1−γ)t 221∫0 35
华中科技大学硕士学位论文 p131pp2 =a+dσt+d(2σ)(−γ)t+dσ(1−γ)t pp11p121p21242pt1111ppp2+[b+dσ+d(2σσ)(γ+)+dσγ]ER(l)dl pp1p12p2∫0224t1p =：e+fER(l)dl pp∫0t1p ≤e+f(EsupR(l)dl) () pp∫00≤t≤t1其中，e和f是和p，R(0)，λ,T，σ，σ，t和μ有关的常数 pp121由Gronwall不等式，则得 t1pE(supR(t))≤eexp(fdl) pp∫00≤t≤t1p即 E(supR(t))≤eexp(ft)=K. pp10≤t≤t1定理得证。 Euler-Maruyama方法 由于方程()没有显式解，所以研究它的数值解成为研究它的有效方法。本部分内容，用Euler-Maruyama方法，考虑在固定的区间[0,T]，方程()的Euler-Maruyama逼近解依概率强收敛。 对于固定的时间步长Δ∈(0,1)和r=R(0)，我们定义方程()的离散的0Euler-Maruyama逼近解， γr=r+λ(μ−r)Δ+(σr+σr)ΔB () k+1kk1k2kk其中ΔB=B(t)−B(t)是布朗运动的增量。 kk+1k分析可以看到，我们用连续时间的逼近更方便。令[t/Δ]表示t/Δ的整数部分，因此过程步可以表示为， 36
华中科技大学硕士学位论文 [T/Δ]−1r(t)=rI(t)， () ∑k[kΔ,(k+1)Δ)k=0因此对应的连续逼近可以定义为， ttγr(t)=r+λ(μ−r(l))dl+(σr(l)+σr(l))dB(l) () 012∫∫00因为我们仅仅知道布朗运动的增量，而不知道整个布朗运动的路径，所以r(t)是不能计算出来的。但是因为r=r(t)，我们立刻可以得到对于r(t)的误差限是含有关于kk{r}的误差限的，所以我们主要研究r(t)的误差限。 kk≥0定理 对于方程()中的R(t)和()的r(t)，在1/2<γ<1时， 2lim(supR(t)−r(t))=0 依概率成立. () Δ→00≤t≤T证明：我们把定理的证明过程分为四步。 (1)我们采用和定理证明时一样的记号，在定理中我们已经证得，对于停时τ， k1p(τ≤T)(V()∧V(k)≤EV(R(T∨τ)≤V(R(0)+kT. kk1k1 即 p(τ≤T)[V(R(0)kT] () k11V()∧V(k)k(2)我们先定义一个和τ相似的停时， k1ξ=inf{t∈[0,T]:r(t)∉[,k]}. kk1下证ξ和τ有相同性质，我们选择()式中的θ=，利用定理()中的函数V( )，kk2对()利用ˆIto公式，并求期望，得到 −1−1t∧ξkλμλ−1−122 EV(r(t∧ξ))=V(R(0))+E[(r(l)−r(l)−(r(l)r(l)r(l) k∫0223313−−γ+−111222γ2222 −σr(l)r(l)−σσr(l)r(l)−σr(l)r(l) 1122848 37
华中科技大学硕士学位论文 1γ+1112−2−22−22γ2 +σr(l)r(l)+σσr(l)r(l)+σr(l)r(l)]dl. 1122424−1t∧ξkλμ−12 =V(R(0))+E{(r(l)−r(l) ∫02−1−3λ2−2−122 +[σr(l)−(r(l)r(l))−σr(l)]r(l) 1428−31γ+1−222 +[σσ(r(l)−r(l))]r(l) 122−3112−222γ2 +(σr(l)−σr(l)r(l)}dl () 481γ+112γ2因为当 γ>时，r(l)≤r(l)+ () 22把()代入)，则得， −1−3t∧ξkλμ1−1−22EV(r(t∧ξ))≤V(R(0))+E{(r(l)−r(l)+σσ(r(l)−r(l) k12∫04−1−3λ2−2−122 +[σr(l)−(r(l)r(l))−r(l)]r(l) 14283−31122222γ +[σr(l)−σr(l)+σr(l)−σr(l)]r(l)}dl 2212124824−t∧ξkλμ1−1−2 =V(R(0))+E{(r(l)−r(l))+σσ(r(l)−r(l)) 12∫024−1−3λ2−2−122 +[−σr(l)+(r(l)+r(l))+r(l)](r(l)−r(l)) 14283311222−22γ2γ +[−σr(l)+σr(l)−σr(l)+σr(l)](r(l)−r(l)) 112482411−λ1122−12 −[(1−r(l)+σr(l)−σr(l)] 284 38
华中科技大学硕士学位论文 332γ−2γ−1122γ−222γ−2−[σr(l)σr(l)+σσr(l)σσr(l)]}dl () 2212124824由多项式的有界性，可以推得存在一个常数c，使得 1−1−3λμ1−1−22(r(l)−r(l))+σσ(r(l)−r(l)) 12411−λ1122−12−[(1−r(l)+σr(l)−σr(l)] 28433γ2γ−1122γ222γ2−[σr(l)−σr(l)+σσr(l)−σσr(l)]≤c () 22121214824同时存在一个常数c(k)，使得 22γ2γ2γ r−r≤c(k)r−r () 211当r∈[,k]时，这表明r∈[,k]，由()和()我们可以得到 kkEV(r(t∧ξ))≤V(R(0))+cT k1t∧ξ−1−3kλ2−2−122+E[−σr(l)+(r(l)+r(l))+σr(l)(r(l)−r(l)) ∫428033112γ222−22 +c(k)−σr(l)+σr(l)−σσr(l)+σσr(l)r(l)−r(l)]dl 2114824 ≤V(R(0))+cT 1t∧ξ13kλkλ2222+[σk++k+σk]Er(l)−r(l)d 1∫42802γt∧ξ33k1122222+c(k)[σk+σk+σk+σk]Er(l)−r(l)dl () 2221212∫482401对于γ>， 22γ2γ−12γ−1r(l)−r(l)≤r(l)−r(l)r(l)+r(l)≤(2k)r(l)−r(l) () 39
뮪훐뿆벼듳톧쮶쪿톧캻싛컄 냑()듺죫()ꎬ뫜쿔좻뿉틔뗃떽듦퓚튻룶뎣쫽c(k)ꎬ쪹뗃 3t∧ξkEV(r(t∧ξ))≤V(R(0))+cT+c(k)Er(l)−r(l)dl () k13∫0t∧ξk컒쏇쿖퓚볆쯣Er(l)−r(l)dl. ∫0뛔죎틢뗄l∈[0,t∧ξ]ꎬ룹뻝뚨틥(), k1γ2r(l)−r(l)=λ(µ−r)(l−[l/V]V)+(σr+σr)(B(l)−B([l/∆]∆) [l/V]1[l/V]2[l/V]1γ2≤λ(µ+k)∆+(σk+σk)B(l)−B([l/∆]∆, () 12틲듋ꎬ힢틢떽∆∈(0,1)ꎬ뿉틔뗃떽ꎬ t∧ξt∧ξ1kkγ2Er(l)−r(l)dl≤λ(µ+k)T∆+(σk+σk)EB(l)−B([l/∆]∆dl 12∫∫001Tγ2 ≤λ(µ+k)T∆+(σk+σk)EB(l)−B([l/∆]∆dl 12∫01Tγ2 ≤λ(µ+k)T∆+(σk+σk)EB(l)−B([l/∆]∆)dl 12∫011γ22 ≤λ(µ+k)T∆+(σk+σk)T∆ 121γ22 ≤[λ(µ+k)+σk+σk]T∆ 1212 =ꎺM∆ () 냑()듺죫()ꎬ퓲뗃ꎬ 12EV(r(t∧ξ))≤V(R(0))+cT+c(k)M∆ꎬ () k13쯹틔ꎬ컒쏇뿉틔횤뗃ꎬ 112p(ξ≤T)[V(R(0)+cTc(k)M∆]. () k13V(1/k)∧V(k) 40
华中科技大学硕士学位论文 (3),令θ=τ∧ξ，我们现在证明存在充分小的ε，使得 kkk2εE[supR(t)−r(t)]≤ () 0≤t≤θ∧T2k证明：对任意的0≤t≤T， 令e(t)=R(t∧θ)−r(t∧θ)， kk利用定理中定义的函数ϕ(x)，对ϕ(e(t))应用ˆIto公式，则得 kk1′′dϕ(e(t))=ϕ(e(t))de(t)+ϕk(e(t))de(t)de(t)， kk2对上式写成积分的形式，又由于e(0)=R(0)−r(0)=0， t∧θt∧θkk故得Eϕ(e(t))≤λER(l)−r(l)dl+λEr(l)−r(l)dl k∫∫00t∧θk1γγ2′′+Eϕ(e(l))[σR(l)+σR(l)−σr(l)−σr(l)]dl () k1212∫20t∧θ1k2由()式 Er(l)−r(l)dl≤MΔ. () ∫0且由于 t∧θkγγ222[σR(l)+σR(l)−σr(l)−σr(l)]≤2[σ(R(l)−r(l) 12121∫02γγ2+σ(R(l)−r(l)] () 2把()()代入() 则得 t∧θ1k2Eϕ(e(t))≤λEe(l)dl+λTMΔ k∫0t∧θk222γγ2′′ +Eϕ(e(l))[σ(R(l)−r(l))+σ(R(l)−r(l))]dl () k1∫02因为′′ϕ(e(t))≤， kke(t) 41
华中科技大学硕士学位论文 2(R(l)−r(l))≤R(l)−r(l)=e(l) 2γ2γγγ2(R(l)−r(l))≤R(l)−r(l)=e(l). 把上面三个不等式代入()，得到 t∧θt∧θ1kk22γ−1222Eϕ(e(t))≤λEe(l)dl+λTMΔ+E(σ+σe(l))dl () k1∫∫k002γ−1在γ∈(0,1)时，有e(l)≤(2γ−1)e(l)+2(1−γ) 代入上式， t∧θ1k2Eϕ(e(t))≤λEe(l)dl+λTMΔ k∫0t∧θk2k22σ(γ−1)22+E(σ+2(γ−1)dl+Ee(l)d 1∫0t∧θ1k22T[σ+2(1−γ)]212 ≤[λ+2σ(2γ−1)]Ee(l)dl+λTMΔ+ () 2∫k0又由于x≤ϕ(x)+a，则得 kk−1Ee(t)≤Eϕ(e(t))+a. kk−1t∧θ12k2T[σ+2(1−γ)]212 ≤[λTMΔ++a+[λ+σ(γ−1)]Ee(ldl k−1∫k0利用Gronwall不等式，即得 122T[σ+2(1−γ)]212Ee(t)≤[λTMΔ++a]exp[Tλ+2Tσ(2γ−1)]， k−1k取充分大的k，同时令Δ充分小，则得 limsupER(t∧θ)−r(t∧θ)=0. () kkΔ→0由Burkholder-Davis-Gundy不等式，Doob鞅的不等式和Ho&&lder不等式， t∧θt∧θ11kk2222222E(supR(t∧θ)−r(t∧θ)≤3λtE(R(l)−r(l)dl)+12σE((R(l)−r(l)))dl kk1∫∫0≤t≤t100 42
华中科技大学硕士学位论文 t∧θk2γγ2 +12σE((R(l)−r(l)))dl () 2∫011222由于 (R(l)−r(l))≤R(l)−r(l)≤R(l)−r(l)+r(l)−r(l) () 1γ且函数h(x)=x，对任意的x>0,γ≥，是局部Lipschitz连续的，所以对2r(l)∈[1/k,k]，存在一个常数c(k)，使得 522γγγR(l)−r(l)≤c(k)R(l)−r(l) 512γ−1 ≤c(k)R(l)−r(l)R(l)−r(l) 52γ−1 2c(k)(2k){R(l)r(l)+r(l)−r(l)} () 52R(l)−r(l)≤2k(R(l)−r(l)+r(l)−r(l)) () 把()，()和()代入() 且因为()和()成立，故可以得到，当k充分大，Δ充分小时, 2εE[supR(t)−r(t)]≤. 0≤t≤θ∧T2k2(4)，令ε,δ∈(0,1)任意小，设Ω={ω:supR(t)−r(t)≥δ}。 0≤t≤T利用()，则得δp(Ω∩{θ≥T})=δE[II] k{θ≥T}{Ω}k2 ≤E[IsupR(t)−r(t)] {θ≥T}k0≤t≤T∧θk2 E[supR(t)−r(t)] 0≤t≤T∧θkε ≤ 2利用()和()，得到 P(Ω)≤P(Ω∩{θ≥T})+p(θ≤T) kk ≤P(Ω∩{θ≥T})+p(τ≤T)+p(ξ≤T) kkk 43
华中科技大学硕士学位论文 12ε2V(R(0)+kT+cT+Mc(k)Δ113 ≤+. () δV(/k)∧V(k)由函数V(x)的定义，我们可以得到当k→∞,V(1/k)∧V(k)→∞，因此，可以选取足够大的k，使得 2V(R(0)+kT+cTε11<, V(1/k)∧V(k)2同样，我们可以选择足够小的Δ，使得 12εMc(k)Δε3+<, 2δV(1/k)∧V(k)2故可得 2p(Ω)=p(supR(t)−r(t)≥δ)<ε () 0≤t≤T即证得定理成立。 债券的定价 这一部分，证明EM方法可以用来计算金融相关量，我们选择债券来证明我们的定理成立。 [41]其中R(t)是动态利率模型()的解，在到期日，债券的价格由下式给出， TY(t)=E[exp(−R(t)dt)]， () ∫0利用()定义的步函数r(t)，则对Y(t)的一个很自然的估计为 TY(t)=E[exp(−r(t)dt)] () Δ∫0下面证明这个估计是收敛的。我们仍采用上面的记号。 定理 Y(t)，Y(t)如上所示，则 Δ 44
华中科技大学硕士学位论文 limY(t)−Y(t)=0 () ΔΔ→0在证明这个定理之前，我们先证明下面的两个引理成立。 引理 对于()中的r(t)和()中的r(t)， 2lim(supr(t)−r(t))=0依概率成立. Δ→00≤t≤T证明：我们先证 limE(supr(t)−r(t))=0. Δ→00≤t≤T∧ξk根据()，对于任意的t∈[0,T∧ξ]，得到 k122222γ22E(supr(t)−r(t))≤2λ(μ+k)Δ+2(σk+σk)EsupB(t)−B([t/Δ]) 120≤t≤T∧ξ0≤t≤T∧ξkk12222γ22 ≤2λ(μ+k)Δ+2(σk+σk)EsupB(t)−B([t/Δ]) () 120≤t≤T利用Doob鞅的不等式， 44E(supB(t)−B([t/Δ])=E(supsupB(t)−B(kΔ)) 0≤t≤T0≤k≤[T/Δ]−1kΔ≤t≤(k+)Δ[T/Δ]−14≤E(supB(t)−B(kΔ)) ∑kΔ≤t≤(k+1)Δk=0[T/Δ]−14≤EB((k+1)Δ)−B(kΔ) ∑k=0[T/Δ]−12≤3Δ=3TΔ. ∑k=0利用Lyapunov不等式，则得到 1242E(supB(t)−B([t/Δ])≤[E(supB(t)−B([t/Δ]))] 0≤t≤T0≤t≤T1122 ≤(3T)Δ. () 把()代入()式，又因为Δ∈(0,1)，故得到存在一个常数c(k)，使得 6 45
华中科技大学硕士学位论文 122E(supr(t)−r(t))≤c(k)Δ () 60≤t≤T∧ξk对任意小的ε,δ∈(0,1)，令 2Ω={ω:supr(t)−r(t)≥δ}. 0≤t≤T则得δp(Ω∩{ξ≥T})=δE[II] k{ξ≥T}{Ω}k2 ≤E[Isupr(t)−r(t)] {ξ≥T}k0≤t≤T∧ζk2 ≤E[supr(t)−r(t)] 0≤t≤T∧ξk12 ≤c(k)Δ. () 6结合()式，得到 P(Ω)≤P(Ω∩{ξ≥T})+p(ξ≤T) kk112c(k)V(r(0))+cT+Mc(k)Δ6132≤Δ+ () δV(1/k)∧V(k)同样，我们可以选择足够大的k和充分小的Δ，使得 112c(k)Mc(k)ΔεV(r(0))+cTε6312Δ+<， <， δV(1/k)∧V(k)2V(1/k)∧V(k)2因此，我们可以得到 2p(supr(t)−r(t)≥δ)<ε. () 0≤t≤T即证得此引理成立。 引理 对于()的R(t)和()的r(t)， limsupR(t)−r(t))=0 依概率成立。 () Δ→00≤t≤T证明：对充分小的ε,δ∈(0,1)， p(supR(t)−r(t)≥δ)≤p(supR(t)−r(t)+supr(t)−r(t)≥δ) 0≤t≤T≤t≤T0≤t≤T 46
华中科技大学硕士学位论文 ≤p(supR(t)−r(t)+supr(t)−r(t)≥δ,supr(t)−r(t)≥δ/2) 0≤t≤T0≤t≤T0≤t≤T +p(supR(t)−r(t)+supr(t)−r(t)≥,supr(t)−r(t)≤/2) 0≤t≤T0≤t≤T0≤t≤T ≤p(supR(t)−r(t)≥δ/2)+p(supr(t)−r(t)≥δ/2). 0≤t≤T0≤t≤T由定理和引理，即可以证得此结论成立。 下面给出定理的证明。 要证明定理成立，显然我们只需要证明， TTpexp(−r(t))⎯→exp(−R(t)). ∫∫00也即是说需要证明对任意小的常数ε,δ∈(0,1)， TTp[exp(−R(t)d−exp(−r(t)dt≥δ]<ε. () ∫∫00−x−y由于R(t)非负，利用e−e≤x−y，得到 TTTexp(−R(t)dt−exp(−r(t)dt≤[R(t)−r(t)]dt ∫∫∫000 ≤TsupR(t)−r(t) 0≤t≤T利用引理,即得定理成立。 47
华中科技大学硕士学位论文 结 语 从上文的概述我们可以看到，随着经济社会的发展，金融市场也得到了前所未有的发展，它在整个国民经济中起着举足轻重的地位。特别是随着全球经济一体化进程的加快，金融市场对整个世界的影响都是巨大的，而利率是影响金融市场变化最基本的因子，国家可以通过调节利率对整个国民经济进行调控，同时利率对金融产品，如股票、债券的定价起着重要的作用。另外，随着金融衍生品的种类的不断增多，对衍生品的定价也关系着整个金融市场的健康发展，而利率对金融产品的定价将会产生重大的影响，特别是对利率反应比较敏感的债权，利率期限结构对其价格是起决定作用的。总之，利率在金融产品的定价，新型金融产品的创新，发展债券市场，管理金融风险等方面都起着重要作用，所以对利率进行研究意义是重大的。特别是近年不断爆发金融危机，更提醒我们不能只注重金融市场发展的速度，同时也应该加大对利率期限结构研究的力度。利率就是金融市场这座大厦的地基，所以只有把利率相关模型的地基打好，我们才能建立起更高、更坚固的大厦。 从本文中利率期限结构理论发展的历程可以得出，利率期限结构理论已取得了很大的成果，特别是连续时间利率模型的建立，更是把利率期限结构的理论推向了新的高度，而这些理论其中一个重要的基础就是随机微分方程的应用，特别是扩散形式的随机微分方程的应用为利率模型新的发展奠定了基础，利率期限结构的一些最新的研究都是基于这些微分方程利率模型的基础之上的。所以，对这些对利率建模的随机微分方程性质的研究也是十分重要的， 本文首先介绍了利率期限结构的基本理论，研究的重要性及重要的研究成果，然后重点学习了经典的CIR模型和CKLS模型，并且结合两者模型的优点，提出了一个扩展的CIR-CKLS模型，并证明了这个模型满足对利率建模的良好性质，包括非负解的存在唯一性，解的有界性，数值解的收敛等，且以债权定价为例，证明利用这个新模型得到的数值解可以进行定价。这些内容是本文的重点和研究目的。这样得到的CIR-CKLS利率模型，包含了CIR模型和CKLS模型，因此能更好地模拟和预测实际中复杂的利率变化，更好地为金融市场健康快速的发展服务。 48
华中科技大学硕士学位论文 致 谢 两年的学习时间虽然很短暂，但是在这短暂的时间里，我却收获了很多。 在学习上，特别要感谢我的导师吴付科副教授，他认真负责，悉心的教导，让我对我的专业更多了一份热爱，他在专业上不断进取，也是我十分敬佩的，时刻激励着我不管在什么时候都努力奋进。另外，他对我的生活也十分的关心，遇到困难也尽力帮我解决。特别是论文的完成，倾注了老师很多的时间和精力，有了老师的指导我才能顺利地完成论文的写作，真的十分的感谢。 同时我要感谢全院的老师和领导们，正是你们的辛勤工作，才有了我们今天的成果，我代表我们08级的研究生向你们道一声辛苦了。我还要感谢我的家人对我的支持，有了你们的支持我才能取得更大的成就。 我还要感谢我们概率班的所有同学，两年的共同学习，让我们建立了深厚的友谊，彼此的相互支持，才让我们有了更大的成绩和更多的笑容。特别要感谢我宿舍的赵明、朱会娜，李顺萍，她们在学习和生活上都给与了我很大的帮助，还有基础的杜玉坤同学在这两年里也给了我很大的帮助。 都说时光如梭，我们好像才昨天刚刚相识，而今天又将要道离别。不管以后我会在那里，我都会怀着一份感恩的心，感谢你们所有帮助过我的人。 49
华中科技大学硕士学位论文 参考文献 [1] 李和金，胡文伟，肖林，程鹏，李湛．利率期限结构与固定收益证券定价．中国金融出版社，2005，2． [2] ．Appreciation and Interest．Publication of American Economic Association,1896,11,23-29,91-92. [3] Lutz,．The Structure of interest Rates．Quarterly Journal of Economics,1940,55,36-63． nd[4] . Hicks．Value and Capital(2)．London,Oxford Press,1946． [5] ．The Term Structure of Interest Rates．Quarterly Journal of Economics,1957,71,487-504． [6] Vasicek．An Equilibrium Characterization of the Term Structure．Journal of Financial Economics,1977,5,177-188． [7] [美]布鲁斯·塔克曼．《固定收益证券》．北京，宇航出版社，1999，中文版，105-134． [8] [美]约翰·赫尔．《期权，期货和其他衍生产品》．北京，北京华夏出版社，2000，中文版，377-410． [9] R. Rendleman, and Bartter B.．The Pricing of Option on Debt Securities．Journal Of Financial and Quantitaatuve Analysis,1980,15(3),11-24． [10] ，Ingersoll Jr. ., ，A theory of the term structure of interest rates．Econometrica，53(1985)385-407 ． [11] K. C. Chan.，G. A Karolyi., F. ., and ．An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate．Journal of Finance, 1992,47,1209-1227． [12] . Ho, and ．Term Structure Movements and Pricing of Interest Rate Claims．Journal of Finance ,1986,41,1011-1029． [13] .，and ．Bonds and Option Pricing When Short Rates Are 50
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