矩阵的运算
第二章 矩阵的运算
一、矩阵相等
矩阵相等
两个矩阵的行数相等、列数也相等.
两个矩阵 为同型矩阵, 并且对应元素相等,即
则称矩阵 相等,记作
例如
为同型矩阵.
同型矩阵
例1 设
解
二、矩阵的加法
１、定义
设有两个 矩阵 那末矩阵
与 的和记作 ，规定为
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进
行加法运算.
例如
减法
负矩阵
2、 矩阵加法的运算规律
三、数与矩阵乘法
1、定义
例如：
-1 与 A 的数乘!
a 与 I 的数乘!
注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.
2、数乘矩阵的运算规律
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算.
（设 为 矩阵， 为数）
例
解
四、矩阵与矩阵相乘
１、定义
并把此乘积记作
设 是一个 矩阵， 是一个
矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积
是一个 矩阵 ，其中
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时，两个矩阵才能相乘.
例如
不存在.
例2
矩阵乘法不满足交换律
设
则
注意：
但也有例外
则有
例如
比如设
矩阵乘法不满足消去律
有
但是
例如
例如
例3 设
解
（其中 为数);
２、矩阵乘法的运算规律
例4
解 （待定系数法） 见课本 P49 例8
答案
若A是n 阶方阵，对于正整数 m，有
方阵的幂
方阵的幂运算
为A的 m 次幂.
注意
例
提示: 数学归纳法
例
结
论
例5
解
矩阵多项式
A 与 f (A) 都是2阶矩阵！
成立！
例
证明:
所以都不成立！
成立的充要条件为:
思考
解答
五、矩阵的转置运算
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .
例
１、转置矩阵定义
2、转置矩阵的运算性质
例6 已知
解法1
解法2
例8
例7
证
同理，
六、方阵的行列式
定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，
叫做方阵 的行列式，记作 或
运算性质
注：虽然
但
思考为什么？？？
例
(课本 P54 习题 , 题 11 ).
七、小结
矩阵运算
矩阵的加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘
转置矩阵
方阵的行列式
矩阵相等
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个
矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘
不满足交换律.
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能
进行加法运算.
注意
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.
作 业
课本 P53：题1、题4.(3)
题5.(1)(2)(3)(4)
题6
课本 P54: 题11
题1
证明:
题2
解
题3
证明:
