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中考数学专题——全等三角形
参考答案与试题解析
考点一:利用全等三角形的性质求解
1.第 14届国际数学教育大会(���� − 14)会标如图 1所示,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵
爽的“弦图”,如图 2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ ���,△ ���,△ ���,△���)和一个
小正方形����拼成的大正方形����.若��:�� = 1:3,则 sin∠��� =( )
A.
5
5
B.
3
5
C.
4
5
D.
2 5
5
【答案】C
【分析】设�� = �,则�� = 3�,根据全等三角形,正方形的性质可得�� = 4�,再根据勾股定理可得�� = 5�,
即可求出 sin∠���的值.
【详解】解:根据题意,设�� = �,则�� = 3�,
∵△ ��� ≌△ ���,四边形����为正方形,∴�� = �� = 3�,�� = �� = �,∴�� = 4�,
∵∠��� = 90°,∴�� = ��2 + ��2 = 5�,∴sin∠��� = ��
��
= 4�
5�
= 4
5
,
故选:C.
【点睛】本题考查了勾股定理,全等三角形,正方形的性质,三角函数值的知识,熟练掌握以上知识是解
题的关键.
2.如图,在△ ���中,点�的坐标为 0,1 ,点�的坐标为 4,1 ,点�的坐标为 3,4 ,点�在第一象限(不与
点�重合),且△ ���与△ ���全等,点�的坐标是 .
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【答案】 1,4
【分析】本题考查坐标与图形,三角形全等的性质.利用数形结合的思想是解题的关键.根据点�在第一象
限(不与点�重合),且△ ���与△ ���全等,画出图形,结合图形的对称性可直接得出� 1,4 .
【详解】解:∵点�在第一象限(不与点�重合),且△ ���与△ ���全等,
∴�� = ��,�� = ��,∴可画图形如下,
由图可知点 C、D 关于线段��的垂直平分线� = 2 对称,则� 1,4 .故答案为: 1,4 .
3.如图 1,△ ���与△ �1�1�1满足∠� = ∠�1,�� = �1�1,�� = �1�1,∠� ≠ ∠�1,我们称这样的两个三
角形为“伪全等三角形”如图 2,在△ ���中,�� = ��,点�, �在线段��上,且�� = ��,则图中共有“伪全
等三角形”( )
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
【答案】D
【分析】本题考查了新定义,等边对等角,根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等,一个角
相等,且这个角不是夹角,据此分析判断,即可求解.
【详解】解:∵�� = ��,
∴∠� = ∠�,
在△ ���和△ ���中,∠� = ∠�, �� = ��, �� = ��,在△ ���, △ ���中,∠� = ∠�, �� = ��, �� = ��,
在△ ���, △ ���中,∠� = ∠�, �� = ��, �� = ��,在△ ���, △ ���中,∠� = ∠�, �� = ��, �� = ��
综上所述,共有 4 对“伪全等三角形”,
故选:D.
考点二:全等三角形证明方法的合理选择
1.已知:如图,四边形����为正方形,点 E 在��的延长线上,连接��、��.
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(1)求证:△ ��� ≌△ ���;
(2)若∠��� = 45°,求证:�� = ��.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质,解题关键是正确识别图形,理解角与
角之间的关系,熟练找出△ ���和△ ���的全等条件.
(1)根据正方形的性质证明�� = ��,∠��� = ∠���,然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可;
(2)根据正方形的性质和全等三角形的性质,求出∠���和∠���,然后进行证明即可.
【详解】(1)证明:∵四边形����为正方形,
∴ �� = ��,∠��� = ∠��� = 45°,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS);
(2)∵四边形����为正方形,∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 45°,
∵△ ��� ≌△ ���,∠��� = 45°,∴ ∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = °,
∵ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 45°,∴ ∠��� = 45° − ° = °,
∴ ∠��� = ∠���,∴ �� = ��.
2.如图,▱����的对角线��,��相交于点�,点�,�在��上,且�� = ��.
(1)求证:�� ∥ ��;
(2)过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,交��于点�,若△ ���的周长为 12,求四边形����的周长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形����的周长为 24
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【分析】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的性质与判定,线段垂直平分线的性质及平行线的判
定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键.
(1)根据平行四边形的性质得到�� ∥ ��,�� = ��,求得∠��� = ∠���,根据全等三角形的性质得到
∠��� = ∠���,根据平行线的判定定理即可得到结论;
(2)由(1)知,△ ��� ≌△ ���,�� ∥ ��,求得�� = ��,根据线段垂直平分线的性质得到�� = ��,
于是得到结论.
【详解】(1)证明:∵四边形����是平行四边形,∴ �� ∥ ��,�� = ��,
∴ ∠��� = ∠���,在△ ���与△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,∴ ∠��� = ∠���,∴ ∠��� = ∠���,∴ �� ∥ ��;
(2)解:由(1)知,△ ��� ≌△ ���,�� ∥ ��,
∴ �� = ��,∴四边形����是平行四边形,∴ �� = ��,
∵ �� ⊥ ��,∴ �� = ��,
∵△ ���的周长为 12,∴ �� +�� + �� = �� +�� + �� = �� + �� = 12,
∴ �� + �� + �� + �� = 2 �� + �� = 2 × 12 = 24.∴四边形����的周长为 24.
3.如图,△ ���中,∠��� = 90°,点�为��边上一点,以点�为圆心,��为半径作圆与��相切于点�,连
接��.
(1)求证:∠��� = 2∠���;
(2)若�� = 8,�� = 6,求⊙�的半径.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】(1)连接��,根据题意可得∠��� = 90°,根据余角的性质可得∠��� = ∠���,根据圆周角定理
可得∠��� = 2∠���,等量代换即可得证;
(2)在 Rt △ ���中,勾股定理求得�� = 10,证明 Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,设⊙�的半径为 r,则�� =
�� = �,�� = 8 − �,在 Rt △ ���中,�2 + 42 = 8 − � 2,解方程即可求解.
【详解】(1)证明:如图,连接��,
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∵��为切线,∴�� ⊥ ��,∴∠��� = 90°,∴∠� + ∠��� = 90°,
∵∠��� = 90°,∴∠��� + ∠� = 90°∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = 2∠���,∴∠��� = 2∠���.
(2)解:在 Rt △ ���中,�� = ��2 + ��2 = 62 + 82 = 10,
∵∠��� = 90° = ∠���,
在 Rt △ ���和 Rt △ ���中,�� = ��,�� = ��,
∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL , ∴�� = �� = 6,∴�� = �� − �� = 4,
设⊙�的半径为 r,则�� = �� = �,�� = 8 − �,
在 Rt △ ���中,�2 + 42 = 8 − � 2,
解得� = 3,
∴⊙ �半径的长为 3
【点睛】本题考查了圆周角定理,切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,掌握以上知
识是解题的关键.
考点三:利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
1.如图,Rt △ ���中,∠��� = 90°,分别以顶点 A,�为圆心,大于1
2
��的长为半径画弧,两弧分别相交
于点�和点�,作直线��分别与��,��交于点�和点�;以点 A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交��,��
于点�和点�,再分别以点�,点�为圆心,大于1
2
��的长为半径画弧,两弧交于点�,作射线��,若射线��
恰好经过点�,则下列四个结论:
①∠� = 30°;②��垂直平分线段��;③�� = 2��;④�△��� =
1
6
�△���.
其中,正确结论的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,读懂图象信息,
灵活运用所学知识解决问题是解题的关键.
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由作图可知��垂直平分线段��、��平分∠���,进而证明∠� = ∠��� = ∠��� = 30°可判定①;再说明
�� = ��可得��垂直平分线段��可判定②;根据直角三角形的性质可得�� = 2��,�� = 2��可判定③,
根据三角形的面积公式即可判定④.
【详解】解:由作图可知��垂直平分线段��,
∴�� = ��,∴∠��� = ∠�,
由作图可知��平分∠���,∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = 90°,∴∠� = ∠��� = ∠��� = 30°,故①正确,∴�� = 2��,
∵�� = ��,∴�� = ��,∴��垂直平分线段��,故②正确,
∵�� = 2��,�� = ��,∴�� = 2��,故③正确,∴�△ ��� =
1
3
�△���,
∵�� = ��,∴�△ ��� =
1
2
�△���,∴�△��� =
1
6
�△���,故④正确.
故选:D.
2.如图,在菱形����中,∠��� = 60°,�为对角线的交点.将菱形����绕点�逆时针旋转 90°得到菱形
�'�'�'�',两个菱形的公共点为�,�,�,�.对八边形���'����'�给出下面四个结论:
①该八边形各边长都相等;
②该八边形各内角都相等;
③点�到该八边形各顶点的距离都相等;
④点�到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】B
【分析】根据菱形����,∠��� = 60°,则∠��� = ∠��� = 30°,∠��� = ∠��� = 90°,结合旋转的性质
得到点�', �', �', �'一定在对角线��, ��上,且�� = ��' = �� = ��',�� = ��' = �� = ��',继而得到��' =
�'�,∠�'�� = ∠��'� = 30°,结合∠�'�� = ∠���',继而得到△ ��'� ≌△ �'��,可证�'� = ��,�'� = ��,
同理可证�'� = ��, �� = �'�, �'� = ��,证△ �'�� ≌△ �'��,继而得到�� = ��,得到�� = �� = �'� =
�'� = �� = ��' = �'� = ��,可以判定该八边形各边长都相等,故①正确;根据角的平分线的性质定理,
得点�到该八边形各边所在直线的距离都相等,可以判定④正确;根据题意,得∠��'� = 120°,结合∠�'�� =
90°,∠��'� = ∠��� = 60°,得到∠�'�� = 150°,可判定②该八边形各内角不相等;判定②错误,证
△�'�� ≌△ ���,进一步可得�� ≠ ��,可判定点�到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误,解答
即可.
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本题考查了旋转的性质,菱形的性质,三角形全等判定和性质,角的平分线性质定理,熟练掌握旋转的性
质,菱形的性质,三角形全等判定和性质是解题的关键.
【详解】向两方分别延长��,连接��,
根据菱形����,∠��� = 60°,则∠��� = ∠��� = 30°,∠��� = ∠��� = 90°,
∵菱形����绕点�逆时针旋转 90°得到菱形�'�'�'�',
∴点�', �', �', �'一定在对角线��, ��上,且�� = ��' = �� = ��',�� = ��' = �� = ��',
∴��' = �'�,∠�'�� = ∠��'� = 30°,
∵∠�'�� = ∠���',∴△ ��'� ≌△ �'��,∴�'� = ��,�'� = ��,同理可证�'� = ��, �� = �'�, �'� = ��,
∵∠��'� = ∠��'� = 30°, �'� = �'�, ∠�'�� = ∠�'�� = 120°,∴△ �'�� ≌△ �'��,
∴�� = ��,∴�� = �� = �'� = �'� = �� = ��' = �'� = ��,
∴该八边形各边长都相等,故①正确;
根据角的平分线的性质定理,得点�到该八边形各边所在直线的距离都相等,∴④正确;
根据题意,得∠��'� = 120°,
∵∠�'�� = 90°,∠��'� = ∠��� = 60°,∴∠�'�� = 150°,
∴该八边形各内角不相等;∴②错误,
根据�� = ��', �'� = ��,�� = ��,
∴△ �'�� ≌△ ���,∴∠�'�� = ∠��� = 75°,
∵∠��� = 60°,故�� ≠ ��,∴点�到该八边形各顶点的距离都相等错误∴③错误,故选 B.
3.如图,△ ���和△ ���是以点�为直角顶点的等腰直角三角形,把△ ���以�为中心顺时针旋转,点�
为射线��、��的交点.若�� = 3,�� = 1.以下结论:
①�� = ��;②�� ⊥ ��;
③当点�在��的延长线上时,�� = 3− 3
2
;
④在旋转过程中,当线段��最短时,△���的面积为1
2
.
其中正确结论有( )
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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】D
【分析】证明△ ��� ≌△ ���即可判断①,根据三角形的外角的性质得出②,证明∠��� ∽ ∠���得出��
3
=
3−1
2
,即可判断③;以�为圆心,��为半径画圆,当��在⊙�的下方与⊙�相切时,��的值最小,可得四
边形����是正方形,在 Rt △���中�� = ��2 −��2 = 2 + 1,然后根据三角形的面积公式即可判断
④.
【详解】解:∵△ ���和△ ���是以点�为直角顶点的等腰直角三角形,
∴�� = ��,�� = ��, ∠��� = ∠��� = 90°,∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ���,∴∠��� = ∠���,�� = ��,故①正确;
设∠��� = ∠��� = �,
∴∠��� = 45° − �,∴∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� = 45° − � + 45° + � = 90°,
∴�� ⊥ ��,故②正确;
当点�在��的延长线上时,如图所示
∵∠��� = ∠���,∠��� = ∠��� = 90°,∴∠��� ∽ ∠���∴��
��
= ��
��
∵�� = 3,�� = 1.∴�� = �� − �� = 3 − 1,�� = ��2 + ��2 = 2∴��
3
= 3−1
2
∴�� = 3− 3
2
,故③正确;
④如图所示,以�为圆心,��为半径画圆,
∵∠��� = 90°, ∴当��在⊙�的下方与⊙�相切时,��的值最小, ∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°
∴四边形����是矩形,
又�� = ��,∴四边形����是正方形,∴�� = �� = 1,
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∵�� = �� = ��2 − ��2 = 2,∴�� = �� −�� = 2 − 1,
在 Rt △ ���中,�� = ��2 −��2
∴��取得最小值时,�� = ��2 + ��2 −��2 = 3+ 3 − 2 − 1
2
= 2 + 1
∴�△��� =
1
2
�� × �� = 1
2
2 − 1 2 + 1 = 1
2
故④正确,故选:D.
【点睛】本题考查了旋转的性质,相似三角形的性质,勾股定理,切线的性质,垂线段最短,全等三角形
的性质与判定,正方形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
考点四:利用全等三角形解决实际问题
1.【实践课题】测量湖边观测点�和湖心岛上鸟类栖息点�之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点�.测量�,�两点间的距离以及∠���
和∠���,测量三次取平均值,得到数据:�� = 60米,∠��� = 79°,∠��� = 64°.画出示意图,如图
【问题解决】(1)计算�,�两点间的距离.
(参考数据:sin64° ≈ ,sin79° ≈ ,cos79° ≈ ,sin37° ≈ ,tan37° ≈ )
【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案:
如图 2,选择合适的点�,�,�,使得�,�,�在同一条直线上,且�� = ��,∠��� = ∠���,当�,�,�
在同一条直线上时,只需测量��即可.
(2)乙小组的方案用到了________.(填写正确答案的序号)
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案.
【答案】(1)�,�两点间的距离为 米;(2)②
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【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用,解直角三角形的应用,灵活应用知识点是解本题
的关键;
(1)如图,过�作�� ⊥ ��于�,先求解�� = �� ⋅ cos79° ≈ 60 × = ,�� = �� ⋅ sin79° ≈ 60 ×
= ,再求解∠��� = 37°及��即可;
(2)由全等三角形的判定方法可得△ ��� ≌△ ��� ASA ,可得�� = ��,从而可得答案.
【详解】解:如图,过�作�� ⊥ ��于�,
∵�� = 60 米,∠��� = 79°,sin79° ≈ ,cos79° ≈ ,∴�� = �� ⋅ cos79° ≈ 60 × = ,
�� = �� ⋅ sin79° ≈ 60 × = ,
∵∠��� = 79°,∠��� = 64°,∴∠��� = 180° − 79° − 64° = 37°,∴tan∠��� = tan37° = ��
��
≈ ,
∴�� ≈
= ,∴�� = �� + �� = + = (米);
即�,�两点间的距离为 米;
(2)∵�� = ��,∠��� = ∠���,当�,�,�在同一条直线上时,
∴∠��� = ∠���,∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,∴�� = ��,∴只需测量��即可得到��长度;
∴乙小组的方案用到了②;
2.宜宾地标广场位于三江汇合口(如图 1,左侧是岷江,右侧是金沙江,正面是长江).某同学在数学实践
中测量长江口的宽度,他在长江口的两岸选择两个标点 C、D,在地标广场上选择两个观测点 A、B(点 A、
B、C、D 在同一水平面,且�� ∥ ��).如图 2 所示,在点 A 处测得点 C 在北偏西 °方向上,测得点 D
在北偏东°方向上;在B处测得点C在北偏西°方向上,测得点D在北偏东°方向上,测得�� =
100米.求长江口的宽度��的值(结果精确到 1 米).(参考数据:° ≈ ,° ≈ ,
° ≈ ,° ≈ ,° ≈ ,° ≈ )
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【答案】长江口的宽度��为 1200米.
【分析】如图,过�作�� ⊥ ��于�,过�作�� ⊥ ��于�,过�作�� ⊥ ��于�,而��∥��,可得四边形����,
����都是矩形,由题意可得:∠��� = ∠��� = °,∠��� = ∠��� = °,证明△ ��� ≌△ ���,
可得�� = ��,设�� = �,�� = �,再利用三角函数建立方程组求解即可.
【详解】解:如图,过�作�� ⊥ ��于�,过�作�� ⊥ ��于�,过�作�� ⊥ ��于�,而��∥��,
∴四边形����,����都是矩形,
∴�� = �� = 100,�� = ��,�� = �� = ��,��∥��∥��,
∵由题意可得:∠��� = ∠��� = °,∠��� = ∠��� = °,
∴∠��� = ∠��� = °,∠��� = ∠��� = °,
∵∠��� = ∠��� = 90°,∴△ ��� ≌△ ���,∴�� = ��,
设�� = �,�� = �,∴��
��
= �
�
= tan∠��� = ° ≈ ,即� = �,
��
��
= �+100
�
= tan∠��� = ° ≈ ,即� + 100 = �,
∴� + 100 = �,∴� = 5000
3
,∴� = × 5000
3
= 550,
∴�� = �� = 550,∴�� = 550 × 2 + 100 = 1200 m ;∴长江口的宽度��为 1200米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用,矩形的判定于性质,全等三角形的判定与性质,作出合
适的辅助线是解本题的关键.
3.小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图 1 的测量方案:先在池塘外的空地上
任取一点 O,连接��,CO,并分别延长至点 B,点 D,使�� = ��,�� = ��,连接��.
(1)如图 1,①求证:�� = ��;②若∠� = 35°,∠���=90°,则∠� =______°.
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(2)如图 2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长 CO至点 D,使�� = ��,
过点 D作��的平行线��,延长��至点 F,连接��,测得∠��� = 120°,∠��� = 90°,�� = 5m,�� = 9m,
请求出池塘宽度��.
【答案】(1)①求证:�� = ��;②55.(2)23m
【分析】(1)①根据
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
证明△ ��� ≌△ ��� SAS 可得证�� = ��;②根据△ ��� ≌△
��� SAS 得到∠� = ∠�,结合∠� = 35°,∠���=90°,得∠� = 55°,解答即可.
(2)延长��,��,二线交于点 M,证明△ ��� ≌△��� SAS ,结合已知,解直角三角形即可.
本题考查了三角形全等的判定和性质,解直角三角形的相关计算,熟练掌握三角形全等的判定,灵活解直
角三角形是解题的关键.
【详解】(1)①∵
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,∴△ ��� ≌△ ��� SAS ∴�� = ��;
②根据△ ��� ≌△ ��� SAS ,∴∠� = ∠�,
∵∠� = 35°,∠���=90°,∴∠� = 55°,∴∠� = 55°,故答案为:55.
(2)延长��,��,二线交于点 M,∵�� ∥ ��,∴∠� = ∠�,
∵
∠� = ∠�
∠��� = ∠���
�� = ��
,∴△ ��� ≌△ ��� AAS ∴�� = ��;
∵∠��� = 120°,∠��� = 90°,∴∠��� = 90°,∠��� = 60°,
∵�� = 9m,∴�� = ��
cos60°
= 18 m ,∵�� = 5m, ∴�� = �� + �� = 23 m ,∴�� = 23 m .
考点五:全等三角形与相似三角形综合
1.如图,正方形����中,�� = 3,点 E 在边��上,�� = 2��, �是��的中点,点 H 在��边上,∠��� = 45°,
则��的长为( ).
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A.
3 10
4
B.
3 5
2
C.
5 5
4
D.
2 10
3
【答案】C
【分析】首先过点�作�� ∥ ��,连接数�� ��、,延长��到点�,使�� = ��,连接��,根据∠��� = 45°
可得∠��� = 45°,利用 SAS可证△ ���≅△ ���,再利用 SAS可证△ ���≅△ ���,从而可得�� = ��,
利用勾股定理可得�� = �� = 3
2
,利用梯形中位线定理可以求出�� = 5
2
,根据�� ∥ ��可证△ ���∽△ ���,
根据相似三角形对应边成比例可以求出��的值.
【详解】解:如下图所示,过点�作�� ∥ ��,连接数��、��,延长��到点�,使�� = ��,连接��,
∵四边形����是正方形,�� = 3,∴ �� = �� = �� = �� = 3,∠��� = 90°,
∵ �� = 2��,∴ �� = 2,�� = 1,∴ �� = ��2 + ��2 = 10,
∵ ∠��� = 45°,��∥��,∴ ∠��� = ∠��� = 45°,∴ ∠��� + ∠��� = 45°,
在△ ���和△ ���中
�� = ��
∠� = ∠��� = 90°
�� = ��
,∴△ ���≅△ ���,
∴ ∠��� = ���,�� = ��,∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� = 45°,∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,∴△ ���≅△ ���,∴ �� = ��,
设�� = �,则�� = 3 − �,�� = �� = � + 1,
在 Rt △ ���中,��2 + ��2 = ��2,∴ 22 + 3 − � 2 = 1 + � 2,
解得:� = 3
2
,∴ �� = �� = 3
2
,
∴ �� = ��2 + ��2 = 32 + 3
2
2
= 3
2
5,∴点�是��的中点,
∴ ��是梯形����的中位线,∴ �� = 1
2
�� + �� = 1
2
2 + 3 = 5
2
,∠��� = 90°,
∵ ��∥��,∴ ∠��� = ∠���,
又∵ ∠��� = ∠��� = 90°,∴△ ���∽△ ���,
∴ ��
��
= ��
��
,∴ ��3
2
5
=
5
2
3
,解得:�� = 5
4
5.故选:C.
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【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯
形的中位线定理等知识,掌握相关知识点是解题关键.
2.如图,在四边形����中,∠� = 90°,连接��,过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,��交��于点�,∠1 = ∠���.
(1)求证:∠2 = ∠3;
(2)若∠4 = 45°.
①请判断线段��,��的数量关系,并证明你的结论;
②若�� = 13,�� = 5,求��的长.
【答案】(1)见解析
(2)①�� = ��,理由见解析;②�� = 25
12
【分析】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定与性质,相似三角形
的判定和性质,勾股定理,直角三角形的性质等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
(1)由余角的性质可得∠1 + ∠3 = 90°,∠2 + ∠��� = 90°,根据∠1 = ∠���,可得∠2 = ∠3;
(2)①设∠2 = ∠3 = �,可求∠��� = 90° − � = ∠���,可求∠��� = ∠��� = 45° + �,根据等腰三角形
的判定可得�� = ��;
②由勾股定理可求�� = 12,由“AAS”可证△ ��� ≌△ ���,可得�� = �� = 5,通过证明△ ��� ∽△ ���,
可得
��
��
= ��
��
,即可求解.
【详解】(1)证明:∵ �� ⊥ ��,
∴ ∠��� = 90° = ∠�,∴ ∠1 + ∠3 = 90°,∠2 + ∠��� = 90°,
∵ ∠1 = ∠���,∴ ∠2 = ∠3;
(2)解:①�� = ��,理由如下:
设∠2 = ∠3 = �,∴ ∠��� = 90° − � = ∠���,
∵ ∠4 = 45°,∴ ∠��� = 180° − 45° − (90° − �) = 45° + �,
∵ ∠��� = ∠4 + ∠2 = 45° + �,∴ ∠��� = ∠���,∴ �� = ��;
②∵ �� = �� = 13,�� = 5,
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∴ �� = ��2 − ��2 = 169 − 25 = 12,
∵ �� = ��,∠� = ∠���,∠2 = ∠3,∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,∴ �� = �� = 5,
∵ ∠� = ∠���,∠3 = ∠3,∴△ ��� ∽△ ���,∴ ��
��
= ��
��
,
∴ ��
5
= 5
12
,∴ �� = 25
12
.
3.如图,在▱����中,∠���为锐角,点�在边��上,连接��, ��,且�△��� = �△���.
(1)如图 1,若�是边��的中点,连接��,对角线��分别与��, ��相交于点�, �.
①求证:�是��的中点;
②求��: ��:��;
(2)如图 2,��的延长线与��的延长线相交于点�,连接��, ��的延长线与��相交于点�.试探究线段��
与线段��之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)①见解析;②��: ��:�� = 2: 1: 3(2)�� = 3��,理由见解析
【分析】(1)①根据�△��� = �△���,得出�为��的中点,证明出△ ��� ≌△ ���即可;②先证明出△ ��� ∽△
���得到��
��
= ��
��
= 2,然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解;
(2)连接��交��于点�,证明△ ��� ≌△ ���(AAS),进一步证明出四边形����为平行四边形,得出��
为△ ���的中位线,得到�� = 1
2
��,再证明出△ ��� ≌△ ���得到�� = ��,再通过等量代换即可求解.
【详解】(1)解:①∵ �△��� = �△���,∴ �为��的中点,∴ �� = ��,
∵ �是边��的中点,∴ �� = ��,∴ �� = ��,
在▱����中,�� ∥ ��∴∠��� = ∠���,
又∵∠��� = ∠���,∴△ ��� ≌△ ���(AAS),∴ �� = ��,∴ �是��的中点;
②∵ �� = ��, ��∥��,∴四边形����为平行四边形,∴ ��∥��,
∴△ ��� ∽△ ���,∴ ��
��
= ��
��
,∵△ ��� ≌△ ���,∴ �� = ��,
∴ ��
��
= ��
��
= 2,∴ �� = 2��,∴ �� = 1
3
�� = 1
3
��,∴ ��: ��:�� = 2: 1: 3;
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(2)解:线段��与线段��之间的数量关系为:�� = 3��,理由如下:
连接��交��于点�,如下图:
由题意,��的延长线与��的延长线相交于点�,连接��, ��的延长线与��相交于点�,
∵ �� = ��, ∠��� = ∠���,
又∵ ��∥��,∴ ��∥��,∴ ∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS),∴ �� = ��,
∴四边形����为平行四边形,∴ �� = ��, �� = ��,
∵ �� = ��,∴ �� = ��,∴ �为��的中点,
∵ ��∥��,∴ ��
��
= ��
��
= 1
2
,
∴ �为��的中点,∴ ��为△ ���的中位线,∴ �� = 1
2
��,
∵ �� = ��, ∠��� = ∠���, ∠��� = ∠���,∴△ ��� ≌△ ���(ASA),∴ �� = ��,
∴ �� = �� = 1
2
��,∴ �� = 2��,
∴ �� = �� +�� = 3��,∴ �� = 3��.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,三角形全等的判定及性质,三角线相似的判定及性质,三角形的
中位线等知识,解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解.
重难点一:添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
1.【问题初探】
(1)数学课上,李老师出示了这样一个问题:如图 1,在△ ���中,�� = ��,点 F 是��上一点,点 E 是��
延长线上的一点,连接��,交��于点 D,若�� = ��,求证:�� = ��.
①如图 2,小乐同学从中点的角度,给出了如下解题思路:在线段��上截取��,使�� = ��,连接��,
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利用两个三角形全等和已知条件,得出结论;
②如图 3,小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路:过点 E 作�� ∥ ��交��的延长线于点 M,利
用两个三角形全等和已知条件,得出了结论;
请你选择一位同学的解题思路,写出证明过程;
【类比分析】
(2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙,为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法,李老师提出了
新的问题,请你解答,
如图 4,在△ ���中,点 E 在线段��上,D是��的中点,连接��,��,��与��相交于点 N,若∠��� + ∠��� =
180°,求证:�� = ��;
【学以致用】
(3)如图 5,在 Rt △ ���中,∠��� = 90°,∠� = 30°,��平分∠���,点 E 在线段��的延长线上运动,
过点 E作�� ∥ ��,交��于点 N,交��于点 D,且�� = ��,请直接写出线段��,��和��之间的数量关系.
【答案】(1)①选择小乐同学的做法:证明见解析;②选择小亮同学的做法:证明见解析;(2)证明见解
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析;(3)�� − �� = 1
2
��
【分析】(1)①证明△��� ≌△��� SAS ,得出�� = ��,∠� = ∠���,证明�� ∥ ��,得出∠��� = ∠���,
证明∠��� = ∠�,得出�� = ��,即可证明结论;
②证明△��� ≌△ ��� AAS ,得出�� = ��,根据等腰三角形的判定证明�� = ��,即可证明结论;
(2)延长��,取�� = ��,连接��,证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得出�� = ��,∠� = ∠���,根据等
腰三角形判定得出�� = ��,即可证明结论;
(3)延长��,使�� = ��,连接��,证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得出�� = ��,∠� = ∠���,证明∠��� =
∠�,得出�� = ��,根据直角三角形性质得出�� = 1
2
��,根据�� − �� = �� = 1
2
��,即可证明结论.
【详解】(1)证明:∵�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△��� SAS ,∴�� = ��,∠� = ∠���,∴�� ∥ ��,∴∠��� = ∠���,
∵�� = ��,∴∠��� = ∠�,∴∠��� = ∠�,∴�� = ��,∴�� = ��;
②∵�� ∥ ��,∴∠��� = ∠�,
∵�� = ��,∠��� = ∠���,∴△��� ≌△ ��� AAS ,∴�� = ��,
∵�� = ��,∴∠��� = ∠�,
∵∠��� = ∠���,∴∠��� = ∠���,∴�� = ��,∴�� = ��;
(2)延长��,取�� = ��,连接��,如图所示:
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∵D 是��的中点,∴�� = ��,
∵∠��� = ∠���,∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��,∠� = ∠���,
∵∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°,∴∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠�,∴�� = ��,∴�� = ��;
(3)延长��,使�� = ��,连接��,如图所示:
∵�� = ��,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,∴�� = ��,∠� = ∠���,
∴�� ∥ ��,∴∠��� = 180° − ∠��� = 90°,∵��平分∠���,∴∠��� = 1
2
∠��� = 45°,
∵�� ∥ ��,∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴∠� = 180° − ∠��� − ∠��� = 45°,∴∠��� = ∠�,∴�� = ��,∴�� = ��,
∵∠��� = 30°,∠��� = 90°,∴�� = 1
2
��,
∵�� − �� = �� = 1
2
��,∴�� − �� = 1
2
��.
【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,直角三角形的性质,平
行线的判定和性质,解题的关键是作出辅助线,构造全等三角形,熟练掌握三角形全等的判定方法.
2.【感知】(1)小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题:
如图①,在△ ���中,点 D是��的中点,点 E 是��的一个三等分点,且�� = 1
3
��.连结��,��交于点 G,
求
��
��
值.
小明发现,过点 D 作��的平行线或过 E作��的平行线,利用相似三角形的性质即可得到问题的答案.请你
根据小明的提示(或按自己的思路)写出求解过程
【尝试应用】
(2)如图②,在△ ���中,D为��上一点,�� = ��,连结��,若�� ⊥ ��,交��、��于点 E、F.若�� = 9,
�� = 3,�� = 8,则��的长为 .
【拓展提高】
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(3)如图③,在平行四边形����中,点 E为��的中点,点 F 为��上一点,��与��、��分别交于点 G、
M,若
��
��
= 2
5
,若△���的面积为 2,则△ ���的面积为 .
【答案】(1)3(2)7(3)10
【分析】(1)过点 D 作��∥��交��于 H,则∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,而�� = ��,所以��
��
= ��
��
= 1,
则�� = ��,所以�� = 1
2
��,由�� = 1
3
��,得�� = 1
2
��,所以�� = ��,可证明△ ���≌△ ���,得�� = ��,
可推导出�� = 3��,则��
��
= 3;
(2)取��的中点 H,连结��,由�� = �� = 9,�� ⊥ ��于点 E,得�� = ��,则��∥��,�� = 1
2
�� = 3
2
,
可证明△ ���∽△ ���,得��
��
= ��
��
= 1
8
,所以�� = 1
8
�� = 1,求得�� = �� − �� = 7,于是得到问题的答
案;
(3)设▱����的面积为�,求出�△��� =
1
4
�,�△��� =
1
5
�,过点�作��∥��交��于点�,证明△���∽△ ���,
得�△��� =
1
4
�△��� =
1
20
�,�△��� =
1
20
� − 2,再证明△���∽△ ���,得�△��� =
1
25
�△��� =
1
25
1
20
� − 2 ,
由�△��� + �△��� = �△���列式求出�的值即可得出△ ���的面积
【详解】解:解:如图①,过点 D 作��∥��交��于 H,则∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
图①
∵D 是��的中点,∴�� = ��= 1
2
��,
∵��∥��,∴△ ���∽△ ���,∴��
��
= ��
��
= ��
��
= 1
2
,∴�� = 1
2
��,�� = ��,
∵E 是��的一个三等分点,且�� = 1
3
��,∴�� = 1
2
��,∴�� = ��,
∴△ ���≌△ ��� ASA ,∴�� = ��,
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∴�� − �� = �� + ��,∴�� = 3��,∴��
��
= 3,∴��
��
的值为 3;
(2)如图②,取��的中点 H,连结��,则�� = ��,
∵�� = �� = 9,�� ⊥ ��于点 E,�� = 3,�� = 8,
∴�� = ��,�� = �� + �� = 9 + 3 = 12,∴�为��的中点,∴��为△���的中位线,
∴��∥��,�� = 1
2
�� = 3
2
∴△ ���∽ △ ���,∴��
��
= ��
��
=
3
2
12
= 1
8
,∴�� = 1
8
�� = 1
8
× 8 = 1,
∴�� = �� − �� = 8 − 1 = 7,∴故答案为:7.
(3)如图③,设▱����的面积为�,
∴�△��� =
1
2
�▱���� =
1
2
�,
∵�原来��的中点,∴�� = �� = 1
2
��,且�△��� =
1
2
�△��� =
1
4
�,
连接��,则�△��� =
1
2
�,
∵��
��
= 2
5
,∴�△��� =
2
5
�△��� =
2
5
× 1
2
�= 1
5
�,
过点�作��∥��交��于点�,
∴△ ���∽△ ���,∴��
��
= ��
��
= 1
2
,∴�△���
�△���
= ��
��
2
= 1
4
,
∴�△��� =
1
4
�△��� =
1
20
�,
∵�△��� = 2∴�△��� = �△��� − �△��� =
1
20
� − 2,
又�� = 1
2
�� = 1
5
�� = 1
5
��,∴��
��
= 1
5
,
∵��∥��∥��,∴△ ���∽ △ ���,∴�△���
�△���
= ��
��
2
= 1
25
,
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∴�△��� = 25�△��� = 25
1
20
� − 2 ,
∵�△��� + �△��� = �△���,∴25
1
20
� − 2 +2= 1
4
�,
解得:� = 48,∴�△��� = 25 ×
1
20
× 48 − 2 =10,
∴△ ���的面积为 10,故答案为:10
【点睛】本题主要考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质,平行线
分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识,正确地作出所需要的辅助线是
解题的关键.
重难点二:添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
1.如图,将正方形����先向右平移,使点 B 与原点 O 重合,再将所得正方形绕原点 O 顺时针方向旋转 90°,
得到四边形�'�'�'�',则点 A 的对应点�'的坐标是( )
A. −1, − 2 B. −2, − 1 C. 2,1 D. 1,2
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移,全等三角形的性质与判定,先根据题意得到平移方
式为向右平移 3 个单位长度,则可得平移后点 A 的对应点坐标为 2, − 1 ;如图所示,设� 2, − 1 绕原点 O
顺时针旋转 90 度后的对应点为 F,分别过 E、F 作 x 轴的垂线,垂足分别为 G、H,证明△��� ≌△ ��� AAS ,
得到�� = �� = 1,�� = �� = 2,则� −1, − 2 ,即点 A 的对应点�'的坐标是 −1, − 2 .
【详解】解:由题意得,平移前� −3,0 ,� −1, − 1 ,
∵将正方形����先向右平移,使点 B 与原点 O 重合,
∴平移方式为向右平移 3 个单位长度,
∴平移后点 A 的对应点坐标为 2, − 1 ,
如图所示,设� 2, − 1 绕原点 O 顺时针旋转 90 度后的对应点为 F,分别过 E、F 作 x 轴的垂线,垂足分别为
G、H,
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∴∠��� = ∠��� = 90°,
由旋转的性质可得∠��� = 90°,�� = ��,
∴∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���,∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,∴�� = ��,�� = ��,
∵� 2, − 1 ,∴�� = �� = 1,�� = �� = 2,
∴� −1, − 2 ,∴点 A 的对应点�'的坐标是 −1, − 2 ,
故选:A.
2.数学课上,老师给出以下条件,请同学们经过小组讨论,提出探究问题.如图 1,在△ ���中,�� = ��,
点 D 是��上的一个动点,过点 D 作�� ⊥ ��于点 E,延长��交��延长线于点 F.
请你解决下面各组提出的问题:
(1)求证:�� = ��;
(2)探究
��
��
与
��
��
的关系;
某小组探究发现,当
��
��
= 1
3
时,
��
��
= 2
3
;当
��
��
= 4
5
时,
��
��
= 8
5
.
请你继续探究:
①当��
��
= 7
6
时,直接写出
��
��
的值;
②当��
��
= �
�
时,猜想
��
��
的值(用含 m,n 的式子表示),并证明;
(3)拓展应用:在图 1 中,过点 F 作�� ⊥ ��,垂足为点 P,连接��,得到图 2,当点 D运动到使∠��� = ∠���
时,若
��
��
= �
�
,直接写出
��
��
的值(用含 m,n 的式子表示).
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【答案】(1)见解析(2)①��
��
= 7
3
②��
��
= 2�
�
,证明见解析(3)
��
��
= �
2�
【分析】(1)等边对等角,得到∠� = ∠�,等角的余角的相等,结合对顶角相等,得到∠� = ∠���,即可
得出结论;
(2)①根据给定的信息,得到��
��
是
��
��
的 2 倍,即可得出结果;
②猜想��
��
= 2�
�
,作�� ⊥ ��于点�,证明△ ��� ∽△ ���,得到��
��
= ��
��
= �
�
,三线合一得到�� = 2��,即
可得出结论;
(3)过点�作�� ⊥ ��,角平分线的性质,得到�� = ��,推出��
��
= �
2�
,等角的余角相等,得到∠��� = ∠���,
进而得到 sin∠��� = sin∠���,得到��
��
= ��
��
= �
2�
,根据�� = ��,即可得出结果.
【详解】(1)证明:∵�� = ��,∴∠� = ∠�,
∵�� ⊥ ��,∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠� = 90° − ∠�,∠��� = 90° − ∠�,且∠��� = ∠���,∴∠� = ∠���,
∴�� = ��;
(2)解:①当��
��
= 1
3
时,
��
��
= 2
3
;当
��
��
= 4
5
时,
��
��
= 8
5
,∴总结规律得:��
��
是
��
��
的 2 倍,
∴当��
��
= 7
6
时,
��
��
= 14
6
= 7
3
;
②当��
��
= �
�
时,猜想
��
��
= 2�
�
,
证明:作�� ⊥ ��于点�,
∵�� ⊥ ��,∴�� ∥ ��,
∴△ ��� ∽△ ���,
∵��
��
= �
�
,∴��
��
= ��
��
= �
�
,
由(1)知�� = ��,又�� ⊥ ��,
∴�� = ��,即�� = 2��,∴��
��
= 2��
��
= 2�
�
;
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(3)
��
��
= �
2�
,理由如下:
过点�作�� ⊥ ��,
∵∠��� = ∠���,�� ⊥ ��,∴�� = ��,
由(2)知,当
��
��
= �
�
时,
��
��
= 2�
�
,∴��
��
= �
2�
,∴��
��
= �
2�
,
∵�� ⊥ ��,∴∠��� + ∠��� = 90°,
∵�� ⊥ ��,∴∠� + ∠��� = 90°,
∵�� = ��,∴∠��� = ∠�,∴∠� = ∠���,∴∠��� = ∠���,
∴∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠���,∴∠��� = ∠���,∴sin∠��� = sin∠���,
∴��
��
= ��
��
= �
2�
,
由(1)知�� = ��,∴��
��
= ��
��
= �
2�
.
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,角平分线的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形
等知识点,熟练掌握相关知识点,添加辅助线构造特殊图形和相似三角形,是解题的关键.
3.如图,在矩形����中,�� = 4, �� = 8,点 E 是边��上的动点,连结��,以��为边作矩形����(点 D,
G 在��的同侧),且�� = 2��,连结��.
(1)如图 1,当点 E 为��边的中点时,点 B,E,F 在同一直线上,求��的长.
(2)如图 2,若∠��� = 30°,设��与��交于点 K.求证:�� = ��.
(3)在点 E 的运动过程中,��的长是否存在最大(小)值?若存在,求出��的最值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)6 2 (2)见解析 (3)存在,最小值18 5
5
,最大值 2 29
【分析】(1)当点 E 在��的中点时可得�� = �� = �� = �� = 4,则△ ���和△ ���是等腰直角三角形,
分别求出��和��的长,然后根据线段的和差即可解答;
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(2)如图:过 B 作�� ⊥ ��交��于 M,由∠��� = 30°可得�� = 1
2
�� = 4 = ��,即可得到 Rt △ ��� ≌ Rt △
��� HL 得到∠��� = ∠��� = ∠���,推出�� = ��,再由�� = 2��得到�� = ��,最后证明△��� ≌△
���,然后根据全等三角形的性质即可证明结论;
(3)如图:过点 F 作��的垂线,交��延长线于点 M,过点 E作��的平行线交��于点 N,交��于点 P.设
�� = �, �� = �.然后证明△ ��� ∽△ ���可得�� = 2, �� = 4 − 1
2
�,根据勾股定理可得��2 = ��2 +��2,
进而得到�2 = 5
4
� − 8
5
2
+ 324
5
,然后根据二次函数的性质求解即可.
【详解】(1)解:∵矩形����中,�� = 4, �� = 8,
∴�� = �� = 4,�� = �� = 8,∠� = ∠��� = 90°,��∥��,
∵点 E 在��的中点∴�� = �� = �� = �� = 4,
∴�� = �� = 4 2,∠��� = 45°,
∵点 B、E、F 在同一直线上,∴∠��� = ∠��� = 45°,
∵∠� = 90°∴�� = 4 = 2��,
∴�� = 2 2,∴�� = �� + �� = 6 2.
(2)证明:如图:过 B 作�� ⊥ ��交��于 H,
∵��∥��,∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∵∠��� = 30°,∴�� = 1
2
�� = 4 = ��,∠��� = ∠��� = 30°,
∵�� = ��∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,
∴∠��� = ∠���,∴∠��� = ∠��� = ∠���,∴�� = ��,
∵�� = 2��,∴�� = 1
2
�� = 1
2
�� = ��,
∵ ∠��� = ∠��� = 90°, ∠��� = ∠���,∴△ ��� ≌△ ���(AAS),∴�� = ��.
(3)解:存在,��的最小值18 5
5
,最大值 2 29.
如图:过点 F 作��的垂线,交��延长线于点 M,过点 E 作��的平行线交��于点 N,交��于点 P.则
设�� = �, �� = �.
∵四边形����和四边形����都是矩形,∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,
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∴∠��� + ∠��� = 90°, ∠��� + ∠��� = 90°,∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠��� = 90°,∴△ ��� ∽△ ���,
∴ ��
��
= ��
��
= ��
��
,即
1
2
= ��
4
= ��
8−�
,∴ �� = 2, �� = 4 − 1
2
�,
∴在 Rt △ ���中,��2 = ��2 +��2,
即�2 = 4 + 4 − 1
2
�
2
+ (2 + �)2 = 5
4
�2 − 4� + 68 = 5
4
� − 8
5
2
+ 324
5
,
当� = 8
5
时,y 有最小值为
18 5
5
.
∵ 0 ≤ � ≤ 8,∴当� = 8 时,y 有最大值为 2 29,
∴在点 E的运动过程中,��的长存在最小值18 5
5
,最大值 2 29.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、
二次函数的应用等知识点,正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
重难点三:添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
1.【发现问题】数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样的一个问题:
如图①,在△ ���中,�� = 6,�� = 8,第三边上的中线�� = �,则�的取值范围是____.
【探究方法】小明同学通过组内合作交流,得到了如下解决方法:
(1)如图②,延长��至点�',使得��' = ��,连结�'�,根据“SAS”可以判定△ ��� ≌__________,得出�'� =
�� = 6.在△ ��'�中,�'� = 6,�� = 8,��' = 2�,故中线��的长 x的取值范围是_______.
【活动经验】当条件中出现“中点”,“中线”等条件时,可以考虑将中线延长一倍,构造全等三角形,把分散
的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中,进而解决问题,这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法.
【问题解决】(2)如图③,已知�� = ��,�� = ��,∠��� + ∠��� = 180°,连接��和��,点�是��的
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中点,连接��.求证:�� = 2��.小明发现,如图④,延长��至点�',使��' = ��,连接�'�,通过证明
△ ���≌△ ��'�,可推得�� = ��' = 2��.
下面是小明的部分证明过程:
证明:延长��至点�',使��' = ��,连接�'�,
∵点�是��的中点,∴�� = ��.
∵�� = �'�,∠��� = ∠�'��,∴△ ��� ≌△ �'��(SAS),
∴�'� = ��,∠�'�� = ∠���,∴�'�∥��,∠�'�� + ∠��� = 180°.
请你补全余下的证明过程.
【问题拓展】(3)如图⑤,在△ ���和△ ���中, �� = ��,�� = ��,∠��� + ∠��� = 180°,点 M,N
分别是��和��的中点.若�� = 4,�� = 6,则 MN 的取值范围是 .
【答案】(1)△ �'��,1<�<7;(2)∵ ∠��� + ∠��� = 180°,∴ ∠��� = ∠�'��,又∵�� = ��,
∴�'� = ��.∵�� = ��,∴△ �'�� ≌△ ��� SAS ,∴�� = ��' = 2��(3)1 ≤ �� ≤ 5
【分析】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,三角形的三边关系,灵活运用这些性质
解决问题是解题的关键.
(1)由“SAS”可证△ ��� ≌ △ �'��,可得�'� = �� = 6,由三角形的三边关系可求解;
(2)由“SAS”可证△ ��� ≌△ �'��,可得�'� = ��,∠�'�� = ∠���,由“SAS”可证△ ��'� ≌△ ���,可得
�� = ��',即可求解;
(3)由(2)可知�� = 2��,�� = 2��,由三角形的三边关系可求解.
【详解】(1)解:如图②,∵ ��为△ ���的中线,∴ �� = ��,
又∵ �� = �'�,∠��� = ∠�'��,∴△ ��� ≌△ �'��(SAS),∴ �'� = �� = 6,
在△ ��'�中,�'� = 6,�� = 8,��' = 2�,
∴ 8 − 6 < 2� < 8 + 6,∴ 1 < � < 7,
故答案为:△ �'��,1 < � < 7;
(2)证明:如图④,延长��至点�',使��' = ��,连接�'�,
∵点�是��的中点,∴ �� = ��.
∵ �� = �'�,∠��� = ∠�'��,∴△ ��� ≌△ �'��(SAS),
∴ �'� = ��,∠�'�� = ∠���,∴ �'� ∥ ��,∴ ∠�'�� + ∠��� = 180°,
∵ ∠��� + ∠��� = 180°,∴ ∠��� = ∠�'��,
又∵�� = ��,∴�'� = ��.
∵�� = ��,∴△ �'�� ≌△ ��� SAS ,∴�� = ��' = 2��;
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(3)如图⑤,连接��,��,
由(2)可知:�� = 2��,�� = 2��,
∵ �� = 4,�� = 6,∴ �� = 2,�� = 3,
∴ �� − �� ≤ �� ≤ �� + ��,∴ 1 ≤ �� ≤ 5,
故答案为:1 ≤ �� ≤ 5.
重难点四:添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
1.问题背景:如图 1,在四边形����中,∠��� = 90°,∠��� = 90°,�� = ��,∠��� = 120°,∠��� = 60°,
∠���绕 B 点旋转,它的两边分别交��、��于 E、F.探究图中线段��,��,��之间的数量关系.小李同
学探究此问题的方法是:延长��到 G,使�� = ��,连接��,先证明△ ��� ≌△ ���,再证明△ ��� ≌△ ���,
可得出结论,他的结论就是_______________;
探究延伸 1:如图 2,在四边形����中,∠��� = 90°,∠��� = 90°,�� = ��,∠��� = 2∠���,∠���
绕 B 点旋转,它的两边分别交��、��于 E、F.上述结论是否仍然成立?请直接写出结论(直接写出“成立”
或者“不成立”),不要说明理由.
探究延伸 2:如图 3,在四边形����中,�� = ��,∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = 2∠���,∠���绕 B
点旋转,它的两边分别交��、��于 E、F.上述结论是否仍然成立?并说明理由.
实际应用:如图 4,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30°的 A 处舰艇乙在指挥中心南
偏东 70°的 B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 75 海里/小时的
速度前进,同时舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 100 海里/小时的速度前进, 小时后,指挥中心观测到甲、
乙两舰艇分别到达 E、F 处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 70°,试求此时两舰艇之间的距离.
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【答案】EF=AE+CF.探究延伸 1:结论 EF=AE+CF 成立.探究延伸 2:结论 EF=AE+CF 仍然成立.实际应用:
210 海里.
【分析】延长��到 G,使�� = ��,连接��,先证明△ ��� ≌△ ���,可得 BG=BE,∠CBG=∠ABE,再证明
△��� ≌△ ���,可得 GF=EF,即可解题;
探究延伸 1:延长��到 G,使�� = ��,连接��,先证明△��� ≌△ ���,可得 BG=BE,∠CBG=∠ABE,再
证明△��� ≌△ ���,可得 GF=EF,即可解题;
探究延伸 2:延长��到 G,使�� = ��,连接��,先证明△��� ≌△ ���,可得 BG=BE,∠CBG=∠ABE,再
证明△��� ≌△ ���,可得 GF=EF,即可解题;
实际应用:连接 EF,延长 AE,BF 相交于点 C,然后与探究延伸 2 同理可得 EF=AE+CF,将 AE 和 CF 的长代入
即可.
【详解】解:EF=AE+CF
理由:延长��到 G,使�� = ��,连接��,
在△BCG 和△BAE中,
�� = ��
∠��� = ∠��� = 90°
�� = ��
,∴△ ��� ≌△ ���(SAS),∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,∴∠ABE+∠CBF=60°,∴∠CBG+∠CBF=60°,
即∠GBF=60°,在△BGF 和△BEF 中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),∴GF=EF,∵GF=CG+CF=AE+CF,∴EF=AE+CF.
探究延伸 1:结论 EF=AE+CF 成立.
理由:延长��到 G,使�� = ��,连接��,
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在△BCG 和△BAE中,
�� = ��
∠��� = ∠��� = 90°
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=2∠MBN,∴∠ABE+∠CBF=1
2
∠ABC,
∴∠CBG+∠CBF=1
2
∠ABC,
即∠GBF=1
2
∠ABC,在△BGF 和△BEF 中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,∴EF=AE+CF.
探究延伸 2:结论 EF=AE+CF 仍然成立.
理由:延长��到 G,使�� = ��,连接��,
∵∠��� + ∠��� = 180°,∠BCG+∠BCD=180°,∴∠BCG=∠BAD
在△BCG 和△BAE中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,∴△ ��� ≌△ ���(SAS),∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=2∠MBN,∴∠ABE+∠CBF=1
2
∠ABC,∴∠CBG+∠CBF=1
2
∠ABC,
即∠GBF=1
2
∠ABC,在△BGF 和△BEF 中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,∴△BGF≌△BEF(SAS),∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,∴EF=AE+CF.
实际应用:连接 EF,延长 AE,BF 相交于点 C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,∴∠EOF=1
2
∠AOB
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∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的条件 ∴结论 EF= AE+CF 仍然成立
即 EF=75×+100×=210(海里) 答:此时两舰艇之间的距离为 210 海里.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.如图,在⊙�中,��是⊙�直径,�� = 8,过��的中点�作��的垂线交⊙�于点�和�,�是���上一动
点.连接��,��,��,��.
(1)求���的长度;
(2)延长��到点�,连接��,使得��2 = �� ⋅ ��.求证:��是⊙�的切线;
(3)猜想��,��,��间的数量关系,并证明.
【答案】(1)
4�
3
(2)见解析(3)�� + �� = 3��,见解析
【分析】(1)由��垂直平分��,证明△ ���是等边三角形,求出���的圆心角度数,进而根据弧长公式求出
���的长度,
(2)由��2 = �� ⋅ ��证明△ ��� ∽△ ���,进而可得∠��� = ∠��� = 90°,即可得出结论;
(3)利用补短法,连接��,延长��到�'使�'� = ��,连接��',证明△ �'�� ≌△ ���(SAS),从而可得�� = ��',
∠���' = ∠�' = 30°,在 Rt △ ���中,求出�� = 3
2
��,同理,�'� = 3
2
��,进而证明结论.也可利用旋
转法作辅助线,构造直角三角形求解.
【详解】(1)解:连接��,��,
∵ ��垂直平分��,∴ �� = ��,
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又∵ �� = ��,∴ △ ���是等边三角形,∴ ∠��� = 60°,
又∵ �� = 8,∴ �� = 1
2
�� = 4,∴ ���� =
60π⋅4
180
= 4�
3
.
(2)∵ ��是⊙�的直径,∴ ∠��� = 90°,∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 90°,
∵ ��2 = �� ⋅ �� ∴ ��
��
= ��
��
,
∵ ∠� = ∠�,∴△ ��� ∽△ ���
∴ ∠��� = ∠��� = 90°,∴ �� ⊥ ��于�点,且��是⊙�的半径,∴ ��是⊙�的切线.
(3)�� + �� = 3��,理由如下:
法一:补短法
连接��,延长��到�'使�'� = ��,连接��'
∵ ��是⊙�的直径,�� ⊥ �� ∴ ��� = ���, ∴ �� = ��,
∵四边形����是圆内接四边形,∴ ∠��� + ∠��� = 180°
又∵ ∠���' + ∠��� = 180°,∴ ∠��� = ∠���'
在△ ���和△ ���'中∵
�� = ��
∠��� = ∠���'
�� = ��'
,∴△ �'�� ≌△ ���(SAS),
∴ �� = ��' ∴ ∠���' = ∠�' = 30°
过�作�� ⊥ ��于�点, ∴ ∠�'�� = ∠��� = 60°
∴在△ ���中,∠��� = 90°, ∠��� = 60°由 sin∠��� = ��
��
,得�� = 3
2
��
同理,�'� = 3
2
�� ∴ ��' = 2�� = 3�� = �� + �'� = �� + ��
即:�� + �� = 3��
法二:旋转法
连接��,��,
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由(1)知∠��� = 60°,
∵ �� = ��,∴△ ���是等边三角形
同理,可得△ AOD也是等边三角形,∴ ∠��� = 120°
将△ ���绕�点顺时针旋转 120°得到△ ���'
∴ ∠���' = ∠���,∠���' = ∠��� = 120°,��' = ��,
四边形����是圆内接四边形 ∴ ∠��� + ∠��� = 180° ∴ ∠���' + ∠��� = 180°
�,�,�'三点共线 ,过�作�� ⊥ ��于�点,∴ ∠�'�� = ∠��� = 60°
∴在△ ���中, ∠��� = 90°,∠��� = 60°
由 sin∠��� = ��
��
,得�� = 3
2
��同理,�'� = 3
2
��
∴ ��' = 2�� = 3�� = �� + �'� = �� + ��即:�� + �� = 3��
【点睛】此题主要考查圆切线的综合,解题的关键是熟知切线的性质及三角函数的应用.证明直线是圆的
切线常用的方法:(1)若已知直线与圆有公共点,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可
简述为:有切点,连圆心,证垂直,(2)在已知条件中,未给出直线与圆有公共点时,那么就应从圆心向
这条直线作垂线,再证明垂线段的长度与半径相等即可,即“无切点,作垂直,证半径”.
重难点五:与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
1.如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数� =− 4
3
� + 4与坐标轴交于�、�两点,若△ ���是等腰直角
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三角形,求点�的坐标.
【答案】点�的坐标是 7, 3 .
【分析】通过一次函数解析式能求出�、�两点的坐标,也就是��,��的长,由等腰直角△ ���可以得出�� =
��,作��垂直于�轴,构造△ ��� ≌△ ���,从而求出��、��的长,得到点�的坐标,本题考查了一次函
数求交点坐标,全等三角形的判定和性质,解题的关键是作辅助线构造全等三角形.
【详解】解:当� = 0 时,0 =− 4
3
� + 4,解得� = 3,即点�坐标为 3,0 ,
当� = 0 时,� = 4,则点�坐标为 0,4 ,
作��垂直于�轴,
∴∠��� = 90°,
∵△ ���是等腰直角三角形,∴ �� = ��,∠��� = 90°,∴ ∠��� + ∠��� = 90°,
∵ ∠��� + ∠��� = 90°,∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,∴ �� = ��,�� = ��,
∴ �� = �� + �� = 3 + 4 = 7,∴ �� = �� = 3,
∴点�的坐标是 7, 3
2.(1)问题发现:如图 1,在△ ���中,∠��� = �,将边��绕点 C 顺时针旋转�得到线段��,在射线��
上取点 D,使得∠��� = �,线段��与��的数量关系是______;
(2)类比探究:如图 2,若� = 90°,作∠��� = 90°,且�� = 1
2
��,其他条件不变,写出变化后线段��
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与��的数量关系,并给出证明;
(3)拓展延伸:如图 3,正方形����的边长为 6,点 E 是边��上一点,且�� = 2,把线段��逆时针旋转
90°得到线段��,连接��,直接写出线段��的长.
【答案】(1)�� = ��;(2)�� = 2��,证明见解析;(3)2 41
【分析】(1)结合“一线三等角”推出△ ���≌△ ���,从而证得结论即可;
(2)利用条件证明△ ���∽△ ���,然后根据相似三角形的性质证明即可;
(3)作�� ⊥ ��延长线于�点,过�点作�� ⊥ ��,交��于�点,交��于�点,结合“一线三垂直”证明△ ���≌△
���,从而利用全等三角形的性质求出��和��,最后利用勾股定理计算即可.
【详解】(1)解:∵将边��绕点 C 顺时针旋转�得到线段��,
∴�� = ��, ∠��� = �,
∵∠��� = ∠��� = ∠��� = �,∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���,
∴∠� = ∠���.
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
∠� = ∠���
�� = ��
∴△ ���≌ △ ��� AAS ,∴�� = ��.故答案为:�� = ��
(2)�� = 2��.
证明:同(1)可得,∠� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴△ ���∽ △ ���,∴��
��
= ��
��
,∵�� = 1
2
��,∴��
��
= ��
��
= 2,
∴�� = 2��.
(3)如图所示,作�� ⊥ ��延长线于�点,过�点作�� ⊥ ��,交��于�点,交��于�点,
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则�� = �� = �� = 2,�� = �� = 6,�� = ��,
由(1)同理可证,△ ���≌△ ��� AAS ,
∴�� = �� = 6,�� = �� = �� = 6 − 2 = 4,
∴�� = �� + �� = 6 + 2 = 8,�� = �� + �� = 6 + 4 = 10,
∴�� = ��2 + ��2 = 82 + 102 = 2 41.
【点睛】本题考查旋转的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,
掌握一线三等角全等和相似模型,并熟练运用是解题关键.
重难点六:与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
1.(2023·吉林长春·模拟预测)两个大小不同的等腰直角三角板按图 1 所示摆放,将两个三角板抽象成如图
2 所示的△ ���和△ ���,其中∠��� = ∠��� = 90°,点�、�、�依次在同一条直线上,连结��.若�� = 4,
�� = 2,则△���的面积是 .
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识,根据 SAS证明△ ��� ≌△
���,由全等三角形的性质得出∠��� = ∠�,�� = ��,则可得出答案.
【详解】解:∵ ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠���,即∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,∴ ∠��� = ∠�,�� = ��,
∵ ∠� = 45°,∴ ∠��� = 45°,∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 90°,
∵ �� = 4,�� = 2,∴ �� = 6,∴ �� = 6,∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 2 × 6 = 6,
故答案为:6.
2.等腰直角Δ���与等腰直角Δ���的直角顶点�重合.��与��相交于�,��的延长线交��于�,连接��.
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(1)如图 1,求证:�� ⋅ �� = �� ⋅ ��;
(2)如图 2,�,�,�在同一条直线上,取��的中点�,分别连接��,��,求证:�� = ��;
(3)如图 3,过�作��的平行线,过�作��的平行线,两线相交于�,且点�在��的延长线上,若�� = 2��,
求
��
��
的值.
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)
��
��
= 2
【分析】(1)通过证明Δ��� ∽ Δ���,得到��
��
= ��
��
,再利用�� = ��等量代换即可;
(2)连接��,由 SAS 证明Δ��� ≌ Δ���,得到∠��� = ∠���,从而证明∠��� = 90°,再利用直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论;
(3)延长��与��交于点�,得到四边形����为平行四边形,从而得到�� = ��,�� = ��,通过等量代
换可得四边形����为矩形,得到�� = ��,再设�� = �,可得�� = �� = �� = 2�,�� = 2�,即可得
到
��
��
的值.
【详解】(1)证明:∵Δ���、Δ���均为等腰直角三角形,∠��� = ∠��� = 90° ,
∴∠� = ∠��� = 45°,�� = ��, �� = �� ∵∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� = 90°,∴∠��� = ∠���,
在Δ���和Δ���中, ∠� = ∠���
∠��� = ∠���
∴Δ��� ∽ Δ���∴��
��
= ��
��
又∵�� = ��∴��
��
= ��
��
,即�� ⋅ �� = �� ⋅ ��
(2)连接��,
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在Δ���和Δ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴Δ��� ≌ Δ���(SAS)∴∠��� = ∠���,
∵∠��� + ∠��� = 90° ,∠��� = ∠��� ,∴∠��� + ∠��� = 90°,即∠��� = 90° ,
在��Δ���中,∵点�为��中点, ∴�� = 1
2
��,
又∵�� = 1
2
��,∴�� = ��;
(3)延长��与��交于点�,连接��,
∵�� ∥ ��,�� ∥ ��,∴四边形����为平行四边形,
∴�� = ��,�� = �� ;
又∵�� = 2��,�� = ��,∴�� = 2��,即点�为��中点,
∵�� = ��,�� ∥ ��,∴四边形����为平行四边形,
又∵∠��� = 90°,∴▱����为矩形,∴�� = ��,点�为对角线交点,
设�� = �,则�� = �� = �� = 2�,�� = 2�,
∴��
��
= 2�
2�
= 2.
【点睛】本题是三角形与四边形的综合题目,考查了相似三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,
等腰直角三角形的性质,平行四边形及矩形的判定性质,综合性较强,熟练掌握相关的性质及判定,构造
合理的辅助线是解决本题的关键.
考点一:利用全等三角形的性质求解
考点二:全等三角形证明方法的合理选择
考点三:利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
考点四:利用全等三角形解决实际问题
考点五:全等三角形与相似三角形综合
重难点一:添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
重难点二:添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
重难点三:添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
重难点四:添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
重难点五:与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
重难点六:与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型