文章编号：!""# $ %"&（%""#）"% $ ""’’ $ "(
指数效用下企业的风险投资策略
刘夏清!，李林!，杨招军%
（!) 湖南大学工商管理学院，长沙 (!""*%；%) 湖南大学数学与计量经济学院，长沙 (!""*%）
摘 要：本文在指数效用函数的假设条件下，讨论具有随机风险的企业，极大化期望终止效用的最优投资策略问
题。企业投资选择是储蓄、贷款及风险投资（如购买股票）交易。本文主要结果是：从贷款利率高于存款利率的实
际出发，运用随机最优控制理论，对于具有随机风险的企业，得到使企业期望终止效用取最大值的最优投资策略，
并对这些结果给出了应用举例。
关键词：随机控制；组合选择；受控扩散过程；不完备市场；存贷利率差；+,-./01234,
中图分类号：9*#" 文献标识码：:
收稿日期：%""% $ !;；修订日期：%""# $ "! $ "%
基金项目：国家电力公司软科学资助项目（<=［%""%］"%!((）；湖
南省教育厅科研资助项目（"!7"#!）
作者简介：刘夏清（!;’% $），男（汉族），湖南汉寿人，长沙电业局
副局长，高工，湖南大学管理科学与工程在职博士生，
研究方向：战略管理、企业管理 >
! 引言
市场经济条件下，企业、公司面临着各种不同的
风险，其中有些风险是可以完全规避的，另一些风险
是不可避免的。设某企业面临着无法通过市场交易
来消除的财富变化（减少）风险，记相应风险表现为
随机过程为｛!（ "），" ! "｝，例如，对保险公司 !（ "）
表示 " 时刻公司累积所得保险费减去累积财产赔偿
量的余额。此外，市场上有一种风险投资机会（如股
票），企业投资选择就是确定风险投资数量、贷款量
以及银行存款量。对于任何特定的投资选择，企业财
富表现为一个随机过程。
如何构造最优投资组合选择，使得反映企业满
意程度的效用函数取最大值，是一个很有实际应用
价值的具体问题。目前最好的研究成果当数文［!］，
该文在存款利率与贷款利率相同的条件下，分别得
到了企业具有指数效用函数时的最优组合投资策
略、以及企业破产概率最小化策略。其结论简洁易
于操作，但企业管理人员仍然无法将它直接用于实
践。这是因为，实际上存款利率与贷款利率存在着
较大的差异，这种差异对企业行为具有不可忽略的
影响。有鉴于此，本文假设贷款利率高于存款利率，
企业效用函数为指数型，寻求使企业极大化终止时
刻 ?期望效用函数值的最优投资策略。所谓脂数型
效用函数，具体来说就是效用函数
#（$）%! & "#
8@A（&#$），
其中"，# ’ "。该效用函数具有常值绝对风险回避
参数#（=B,00度量），它在保险数学与保险精算中具
有重要的作用。
下面我们首先建立贷款利率高于存款利率的风
险投资模型，随后利用随机最优控制方法得到了易
于操作的最优组合投资策略。最后，为便于实际工
作者使用，本文还给出了一个应用举例。
" 模型及结果
设风险资产 " 时价格 (（ "）服从几何布朗运动
)(（ "）%$(（ "）)" *%(（ "）)+
（!）（ "） （!）
又设随机风险过程 !（ "）满足
)!（ "）%&)" *’)+
（%）（ "） （%）
其中$、%、&、’ 为常量，且$、%、’ ’ "，,
（!） %
（+（!）（ "））及 ,（%） %（+（%）（ "））是定义在概率空间
（(，-，.）上 - 适应的标准 过程，- % ｛-"｝
是自然%域流｛-,（!），,（%）" ｝关于概率 . 的完备化。
设过程 ,（!）、,（%）是相关的，相关系数为)，即
/［+（!）（ "）·+（%）（ "）］%)"。由后面的讨论可知，当
)
% % !时，企业可通过购股量恒为’0%或 &’0%的
投资组合选择完全消除财富的不确定性。下设)
% 1
!，于是企业无法消除 !（ "）所带来的风险，从而市场
是不完备的。
设贷款利率为 2，存款利率为 3，对于均衡市
场，显然有 " 1 3 1 2 1 $。企业 " 时财富净额为
$（ "），贷款额（含利息）为 4（ "），存款额（含利息）为
第 !!卷 第 %期
%""#年 (月
中国管理科学
41GB2,/ 1H I,2,J8-820 <
K1/ >!!，L1>%
:AB>， %""#
万方数据
!（ "），购买风险资产数量为 #（ "），于是投资者一个
可行策略就是满足如下条件的随机过程｛$（ "），
!（ "），#（ "），" ! !｝：
（"）｛$（ "），!（ "），#（ "），" ! !｝是可测的 % 适应的过
程。
（""）
"
&
!
$#（ "）’" ( $，"
&
!
!#（ "）’" ( $，"
&
!
##（ "）’" ( $
) * ! *对所有 & ( $ 成立。
（"""）+（ "）, !（ "）- #（ "）. $（ "），$（ "）! !，!（ "）! !
记所有可行策略的集合为 /。
由（%）、（#）不难得到，对于可行策略｛$（ "），
!（ "），#（ "），" ! !｝，企业财富 +（ "）满足受控扩散过
程
’+（ "）,［0+（ "）- #（ "）（! . 0）. $（ "）（1 . 0）-"］’"
- #（ "）#’2（%）（ "）-$’2
（#）（ "） （&）
依分布（&）可等价地写成
’+（ "）,［0+（ "）- #（ "）（! . 0）. $（ "）（1 . 0）-"］’"
- ##（ "）## -$
# - #%#$#（ "# ）’2（ "） （’）
其中过程 3 ,（2（ "））为 % 适应的标准 (")*)+过
程。
于是在任意时刻 "（!$ " $ &），企业最优投资
策略问题为如下随机控制问题：
,-.
$，#%/
4"，+［5（+（&））］ （/）
其中 + 为企业初始财富，+（&）是以 + 为初始财富，
运用投资策略｛$（ "），!（ "），#（ "），" ! !｝，通过（’）式
计算确定的企业期末财富，为叙述方便，我们引入下
述记号：
6（ "，+）& ,-.
$，#%/
4"，+［5（+（&））］ （0）
&%&!
. 1
’##
)1.（. 1（& . "））.%$#
，
&#&!
. 0
’##
)1.（. 0（& . "））.%$#
， （2）
7（& . "，8）
&.’（" .%$
（! . 8）
#
）（)1.（8（& . "））. %8 ）
- %#’
#
$
#（% .%
#）（)1.（#8（& . "））. %#8 ） （3）
定理 在任意时刻 "（!$ "$ &），企业最优投资策
略是 " 时财富 + 的分段函数：
#’ ,
&%
+
&
{
#
+ (&%；
&%$ + $&#；
+ 9&#；
（4）
$’ , 561（!，#’ . +）； （%!）
!’ , $’ . #’ - +； （%%）
最优目标函数值：
（"）当 + (&%时
6（ "，+）,( . &’’
)1. .’+)1.（1（& . "））.
%
#
! . 1( )# #（& . "( ）
- 7（& . "，1 )） （%#）
（ ::）当&%$ +$&#时，最优目标函数值 6（ "，+）是
如下二阶偏微分方程
6" - 6+（!+ -"）-
%
#（+
### - #%#$+ -$
#）6++ , !
（%&）
满足终值条件 6（&，+）, 5（+）的解；（"""）当 +
9&#时
6（ "，+）,( . &’’
)1. .’+)1.（ 0（& . "））.
%
#
! . 0( )# #（& . "( ）
- 7（& . "，0 )） （%’）
注：%）当 1 , 0时，该定理得到文［%］定理 /的
结论。#）最优策略由决策时刻 " 及决策时的财富水
平 +决定，是财富水平 +的分段函数。&）结论的计算
看起来有些复杂，但易于编程计算，其中最优策略的
计算很简单，手算即可。
! 定理的证明
利用文［#］（768) %&）的结果，直接可得最优策略
满足如下 965":;<* = >6?<@" = A)::56*（9>A）方程
,-.
$，#%/
｛6" - 6+［ 0+ - #（! . 0）. $（1 . 0）-"］
-（ #### -$
# - #%#$#）6++ ; #｝, ! （%/）
显然，最优贷款额满足
$’ , 561（!，# . +） （%0）
记
<（ #）, 6" - 6+［ 0+ - #（! . 0）. 561（!，# . +）
（1 . 0）-"］-（ #### -$
# - #%#$#）6++ ; #
问题变为
,-.
#%/
｛<（ #）｝, !，
终值条件：6（&，+）, 5（+） （%2）
先设（%2）有解，使得 6+ 9 !，6++ ( !恒成立。
分情况讨论如下：
首先设 # 9 +，于是有
,-.
#%/
｛3｝, ! （%3）
其中
3 , 6" - 6+［1+ - #（! . 1）-"］
-（ #### -$
# - #%#$#）6++ ; #
·20·第 #期 刘夏清等：指数效用下企业的风险投资策略
万方数据
左边为 ! 的二次函数，易求最大值点
!! " #!"$# #［（$ # %）$#
!］·&’ $ &’’（"#）
将 !!代入（"$）并整理得，问题转化为求解如下非线
性 %&’()*问题
&( ) %’ )% #!"#
（$ # %( )） &’
# "!
$ # %( )# ! &
!
’
&’’
) "!"
!（" #!
!）&’’ " +
( * +，&（+，’）" ,（’） （!+）
对于此类偏微分方程，一般不存在解析解，即使存在
也很难找到它。为计算（!+）的解，这里采用猜测试
探法。猜想（!+）的解具有形式
&（ (，’）"& # ’(
,-. #(’,-.（%（+ # (( ））
# "!
$ # %( )# !（+ # (）) -（+ # (，% )） （!"）
其中 -（+ # (，%）时待定函数。将此代入（!+），可得
-."（+ # (，%）"
"
!(
!
"
!（" #!
!）,-.（!%（+ # (））
#(% #!"
（$ # /）( )# ,-.（%（+ # (）），
注意到 -（+）" +，积分得
-（+ # (，%）"
#(% #!"
（$ # %）( )# ,-.（%（+ # (））# "( )%
) "!(
!
"
!（" #!
!） ,-.（!%（+ # (））# "!( )% （!!）
（!!）代入（!"）得（"!）。又将（!"）代入（"#）得
!! " $ # %
(#!
,-.（# %（+ # (））#!"#
（!/）
考虑到
!! 0 ’#’ *’" （!0）
故当 ’ *’"时的结论得证。同理可证当 ’ 0’!时的
结论。
最后剩下当’"$ ’$’!时，最优策略的确定。
设’"$ ’$’!。注意到 1（ !）是变量 !的分段二
次函数，不难看出，此时 1（ !）的最小值点 !! " ’。将
!! " ’代入（"1）得最优目标函数值 &（ (，’）是二阶
偏微分方程（"/）满足终值条件 &（+，’）" ,（’）的
解。
最后，利用上述计算结果，不难验证：（ 2）&!’（ (，
’）$ &’’（ (，’）及 &（ (，’）在 有 界 区 间 上 有 界；
（22）&’（ (，’）$ &’’（ (，’）是局部 ()256 连续的。于
是，仿文［/］中定理 !7"的证明，可证上述定理中 !!
及 &（’）确为所求最优策略和最大目标函数值，定
理证毕。
注："）本文讨论了只有一种风险资产（股票）时，
企业的最优投资策略问题，但在一定条件下，各种资
产单位风险成本趋于相等（参见文［0］），故可认为市
场只有一种风险资产；!）另一方面，我们也可以将这
些结果推广到有任意 8种风险资产时情形，但较繁
琐，又这种差别不是本质的，故略去了这些讨论；/）
不同的效用函数，反映了投资者不同的风险态度，在
这种不同的风险态度下的投资策略的比较，也许是
一个有趣的问题。
! 应用举例
本文讨论的问题在经济实践中有着广泛的应
用。例如，某供电企业由于固定资产折旧、员工工资
支出等因素的影响，面临着不可抗拒的资产减少的
随机风险，平均每年减少 1（万元），即% " # 1，年标
准差" " "；今有一风险投资项目，其价格服从几何
布朗运动，平均年增长率为 "!3，波动率为每年
!+3，即$ " +7"!，# " +7!，风险资产与随机风险因
素存在正相关，其相关系数! " +71；企业风险投资
部可以选择将其所有资产，甚至贷款，投资于风险投
资项目，也可全部用于银行储蓄，或一部分投资于风
图 " 最优投资策略函数图
险投资项目，一部分用于银行储蓄，贷款年利率 %
" +7"，存款年利率 / " +7+1，企业投资目标是 "+年
后期望效用最大，其效用函数具有指数型，即
,（’）"& # ’(
,-.（#(’）
其中参数& " $，’ " "，( " 1。将这些参数代入（9），
容易算出对于当前时刻 ( " +，’" " "17$#0，’! "
"+/7:0!#。根据定理容易算出最优策略是：若企业当
前财富（ ( " +）为 !++ 万元，则风险投资额为
"+/7:0!#万元，其余 !++ # "+/7:0!# " #:7/19"（万
元）用于银行储蓄；若企业当前财富（ ( " +）为 "+万
元，则需贷款 "17$#0 ; "+ < 17$#0（万元），并将贷款
·$:· 中国管理科学 !++/年
万方数据
与当前财富全部用来购买风险资产。容易看出，最
优投资策略的确定关键在于计算风险投资额，对于
上述参数，其计算结果见下述图 !。
参考文献：
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D) M$00’=’ $4 @/,5’./,-32 /&6 83$&$.’,#-32，T:./& U&-1’#2-,;，M5/&=25/ R!EEID，M5-&/）
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·BS·第 D期 刘夏清等：指数效用下企业的风险投资策略
万方数据
