第七章 时间数列分析
统计数据的种类
截面数据（静态数据）——某一（些）现象在同一时间上的状态所形成的数据，反映现象在特定时间上的数量特征及现象之间的相互关系。如变量数列。
时间数列（动态数据）——某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间先后顺序排列而成的数列，用以分析现象的动态结构和动态规律性。也称为时间序列。
两类数据（数列）的区别 ：构成要素不同 ； 反映的问题不同；分析方法不同。
案例：营业额增长情况分析和预测
V饭店位于C岛上，是一个公众常去的场所。它由K女士拥有和经营，成为岛上最好的营业额增长最快的饭店之一。
K女士为确定饭店未来的增长计划，需要对过去的营业额情况进行分析，同时需要建立一个系统，使她可以提前一年预测今后每个月食品和饮料的营业额。K女士提供了三年的经营中有关食品和饮料的营业额(万元)数据：
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
第三年
第二年
第一年
235
230
206
173
167
152
148
130
130
126
122
110
174
161
152
166
157
145
160
149
140
210
193
184
205
193
178
265
247
232
255
238
235
282
263
242
这些年营业额的增长情况如何？
营业额各年的增长额？年平均增长额？同比增长额？营业额各年的发展速度？年平均发展速度？年平均增长速度？同比增长速度？
营业额的变化是否具有季节性规律？季节变化规律是什么？每个月的季节指数是多少？如何预测第四年各月的营业额？如果没有季节因素的影响，营业额是否具有一种基本变化趋势？其趋势变化规律是什么？
时间序列分析是指从时间发展变化的角度，研究事物在不同时间上的发展状况，探索事物随时间推移的演变趋势和规律，揭示其数量变化和时间的关系 ，预测事物在未来时间上所可能达到的数量和规模。
确定性时间序列分析方法
——发展水平分析、发展速度分析、趋势变动分析、周期波动分析。
随机性时间序列分析方法
——根据随机过程理论，对随机时间序列进行分析。如Box-Jenkins方法。
1700—1995年中国和世界其他主要国家（地区）GDP
（按1990年国际元计算，单位：亿元）
294213
14370
6487
61495
70048
24763
31963
1995
186831
6308
17152
40623
52209
14462
9359
1978
59161
2266
5126
16771
17582
2029
3057
1952
7064
1110
338
126
1880
209
2286
1820
3590
812
126
6
835
162
828
1700
全世界
印度
俄罗斯
美国
欧洲
日本
中国
时期
1、1820年，按1990年国际元计算，中国GDP为2286亿元，遥遥领先于其他国家；
美国只有126亿元，不足中国GDP的6%；
日本GDP为209亿元，只相当于中国GDP的9%。
2、1952年，按1990年国际元计算，美国GDP跃升到16771亿元，比1820年增加132倍；
中国为3057亿元，仅比1820年增加40%，被美国远远地抛在后面。
1700—1995年中国和世界其他主要国家GDP
占世界GDP的比重（%）
苏联/俄罗斯
美国
欧洲
日本
印度
中国
1995
1978
1952
1890
1820
1700
主要国家
1700—1995年中国和世界其他主要国家GDP增长率
（年均增长率，%）
全世界
苏联/俄罗斯
美国
欧洲
日本
印度
中国
1978— 1995
1952—1978
1820—1952
1700—1820
主要国家
1、1700—1820年，经济增长最快的国家是美国，年均增长%,其次是俄罗斯和中国，日本和印度经济增长较慢，大大低于世界平均水平。
2、1820—1952年，经济增长最快的国家仍是美国，年均增长%,其次是苏联/俄罗斯和日本，中国经济增长最慢，大大低于世界平均水平。
1700—1995年中国和世界其他主要国家人均GDP
（按1990年国际元计算）
5194
1568
4383
23377
13951
19720
2653
1995
4382
972
6565
18251
10860
12581
979
1978
2268
609
2928
10645
4374
2351
537
1952
673
531
751
1260
1129
675
600
1820
604
531
600
600
870
600
600
1700
全世界
印度
俄罗斯
美国
欧洲
日本
中国
时期
1、1700年，中国、美国和日本的人均GDP大体上处于相同的水平。
2、1820年，与1700年相比，中国人均GDP基本上没有发生变化，美国则增长了1倍以上，日本增长了%。
3、1952年，与1820年相比，美国人均GDP增长了83倍，日本人均GDP增长了倍，中国人均GDP却下降了10%以上。
——以上数据摘自国家统计局核算司司长许宪春《中国国内生产总值核算及其评论与分析》 的讲课提纲——2004年4月
第一节 时间序列及分析方法概述
第二节 时间序列的指标分析
第三节 时间序列的因素分析
第四节 EXCEL时间序列分析
第一节 时间序列及分析方法概述
时间序列是把反映某种现象（同一空间同类指标）在时间上变化、发展的一系列统计数据按时间先后顺序排列起来所形成的序列。
基本形式（基本要素）
时间
指标值
一、时间序列的概念和要素
803
896
1070
1331
1781
2311
2726
2944
3094
…
居民消费水平
(元)
…
人口自然增长率
(‰)
114333
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
…
…
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
…
年末总人口
(万人)
国内生产总值
(亿元)
年 份
国内生产总值等时间序列
二、时间序列的种类
时间序列
平均指标序列
总量指标序列
相对指标序列
时期序列
时点序列
803
896
1070
1331
1781
2311
2726
2944
3094
…
居民消费水平
(元)
…
人口自然增长率
(‰)
114333
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
…
…
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
…
年末总人口
(万人)
国内生产总值
(亿元)
年 份
国内生产总值等时间序列
时期序列和时点序列的不同特点：
时期序列：各时期上的数值分别反映现象在一段时期内所达到的总规模、总水平；
不同时期的时期数值可以相加，相加后的结果有独立意义；
时期数值的大小与时期的长短有直接关系；时期越长，数值越大。
时点序列：各时点上的数值反映现象在某一时点上所达到的总规模、总水平；
不同时点上的数据具有不可加性，即相加后的结果没有意义；
时点数值的大小与相邻两时点间的间隔长短没有必然联系。
三、时间序列的编制原则
----基本原则是保证可比性
1、时间可比
2、总体范围可比
3、计算口径可比
4、经济内容可比
四、时间序列分析方法
指标分析法、构成因素分析法
（一）时间序列指标分析法
是指通过计算一系列时间序列分析指标（发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量，发展速度、平均发展速度、增减速度、平均增减速度）来揭示现象的发展变化状况和发展变化程度。
（二）时间序列构成因素分析法
是将时间序列看作是由许多因素共同影响所至，任何一个时间序列都是由这些因素的全部或部分所构成，通过对这些构成因素的分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律；并在假定事物今后的发展也遵循这些规律的基础上， 对事物的未来发展做出预测。
一、时间序列水平分析指标
（一）发展水平
第二节 时间序列指标分析法
现象在不同时间上所达到的规模和水平的数量反映； 也就是时间数列中的各项指标数值。
从指标形式上看，分为总量水平、相对水平、平均水平；总量水平常用a 或b 表示，相对水平、平均水平常用c 表示。
从位置来看，分为最初水平、中间水平和最末水平；最初水平常用a0 （ b0 、c0 ）或 a1 （ b1 、c1 ） 表示，最末水平常用an. （ bn 、cn ）表示。
从在分析中的关系看，分为报告期水平、基期水平；
文字表述：“为”、 “（发展、增长…）到。”
例如，“经测算，2004年8月份，全国居民消费价格总水平比去年同月上涨％。 上涨％的简单解释就是，去年8月份平均销售价格为100元的商品，今年8月份的卖价已达到元。”
“相比十六大的要求，十七大报告的新要求明确提出要基本消除绝对贫困…截至２００６年底，我国农村没有解决温饱的贫困人口已从１９７８年的２.５亿人下降到２１４８万人．”
不同时间上发展水平的平均（又称为序列平均数）。
与一般平均数（静态平均数）的异同
相同点：
均能消除数量差异，反映一般水平。
不同点：
动态平均数消除的是现象在不同时间上的数量差异；综合说明现象在一段时间的一般水平。
静态平均数消除的是总体各单位的数量差异；综合说明总体各单位的一般水平。
（二）平均发展水平
1、总量指标发展水平（序列平均数）的计算
（1）由时期序列计算平均发展水平
例，我国2000—2003年的国内生产总值分别为亿元、亿元、102398亿元、116694亿元，则该期间我国国内生产总值年平均数为：
（2）由时点序列计算平均发展水平
①连续时点序列计算平均发展水平
例，某商业银行某年1月13日—17日的存款余额（万元）分别为：766、664、843、578、639，则这5天的平均余额为：
（766 + 664 + 843 + 578 + 639）/ 5 = 698（万元）
月份 3月末 4月末 5月末 6月末
库存量 66 72 64 68
（百件）
②间断时点序列计算平均发展水平
不连续时点数列计算序时平均数—
例，某商业企业某年第二季度某种商品的库存量如下，求该商品第二季度月平均库存量。
69 68 66
第二季度月平均库存=
（69+68+66）/ 3=（百件）
该公式形式上表现为首末两项数值折半，故称为“首末折半法”。
显然，首末折半法适用于间隔相等的时点序列求平均发展水平。
其假设条件是：
上期期末时点数据即为本期期初时点数据，
相邻两时点间现象的数量变动是均匀的。
14668
14845
14908
14849
14792
2003年
2002年
2001年
2000年
1999年
已知某地区1999—2003各年年末社会劳动者人数（万人）如下表所示，求2000—2003年的年平均社会劳动者人数。
例：某地区某年商业从业人数资料如下，计算该地区该年月平均商业从业人员数。
1月1日
4月30日
10月31日
12月31日
商业从业人数
231
216
268
247
某地区商业从业人员数 单位：万人
231
216
268
247
一般公式：
当时点间隔相等，上式简化为:
“首末折半法”—
先求分段平均数=相邻两点数据的简单算术平均
再求全期总平均数=分段平均数的加权算术平均
（权数f =时点间的间隔长度）
计算步骤和公式
对于间隔不等的时点序列，求平均发展水平时，是以间隔期数为其权数的加权平均。
“首末折半”公式和“间隔加权”公式并没有实质上的不同，前者不过是后者的特例而已。
无论间隔是否相等，间断时点序列计算的平均发展水平其结果都仅仅是一个近似值。一般地，间隔越短，结果越符合实际。
2.相对数序列或平均数序列平均发展水平的计算
相对数 （这里仅指静态相对数）或平均数序列中的各项数值是根据两个有联系的总量数据对比而求得，用符号表示即 c = a/b。
因此，由相对数或平均数序列计算平均发展水平，应当符合该相对数或平均数本身的计算公式，即由 而得到，而不应当由 得到。
例，某公司最近三年销售额计划完成情况如下：
年度序号
计划销售额（百万元）
实际销售额（百万元）
销售额计划完成（%）
1
100
105
105
2
400
380
95
3
200
200
100
合计
700
685
该例中，公司销售额三年总的计划完成（也就是三年的平均计划完成）如果用简单平均公式，显见应当等于100%，但实际上为%。
这主要是由于销售额所占比重较大的第二年没有完成计划所至。可见，各年度的销售额（准确说是各年度销售额在全部销售额中的比重）在三年总的销售额计划完成（或称为平均计划完成）中起着权衡轻重的作用。
现假设已知各年计划销售额（设为b）和销售额计划完成百分数（设为c），而未知实际销售额，要求三年总的（平均的）计划完成百分数，根据计划完成百分数的公式有：
用符号表示即：
可见这是一个加权算术平均公式，各年度的计划销售额在这里充当了权数，对三年总的计划完成百分数的计算起着权衡轻重的作用。
又若假设已知各年度实际销售额（设为a）和计划完成百分数（c）而未知计划销售额，则有：
这是一个加权调和平均公式，各年度的实际销售额在这里充当了权数，对三年的计划完成起着权衡轻重的作用。
年序号
考察企业数(个)
实际销售额（万元）
计划销售额（万元）
计划完成
（％）
1
12
228
240
95
2
15
375
375
100
3
10
525
500
105
合计
37
1128
1115
例：有下表资料：
这样计算是否正确？为什么？
【例】已知下表数据，计算第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重。
国内生产总值(亿元)
其中∶第三产业(亿元)
第三产业所占比重(%)
5
4
3
2
1
年份序号
国内生产总值及其构成
解：第三产业国内生产总值的平均数
全部国内生产总值的平均数
第三产业国内生产总值所占平均比重
根据下表数据计算第三次产业从业人员在全国从业人员中所占比重的平均数。
年份序号
1
2
3
4
5
6
7
8
年末从业人数（万人）
年末第三次产业从业人数（万人）
第三次产业从业人数比重（%）
63909
64799
65554
66373
69600
67119
67947
11828
12979
12979
15456
16851
17901
18375
12247
68858
分子、分母均为时期序列：
分子、分母均为时点序列（间隔相等和间隔不等两种情况）：
分子是时期序列，分母是时点序列：
分子是时期序列，分母是序时平均数序列：
问题与思考
若要求某年平均资产数量，已知该年：
——年初、年末的资产总额；
——各季度初、年末的资产总额；
——各月初、年末的资产总额；
应该采用哪种数据来计算？
（三）增减量和平均增减量
1、增减量（增长量）
增减量=报告期水平－基期水平
说明现象在观察期内增减的绝对数量；
基期不同，有逐期增长量与累计增长量之分：
*逐期增减量＝报告期水平－上期水平
*累计增减量＝报告期水平－固定基期水平
逐期增减量说明现象逐期增减的数量。
累计增减量说明一段时期内总共增减的数量。
二者关系：
累计增减量＝相应时期的逐期增减量的总和。
（三）增减量和平均增减量
逐期增减量和累计增减量。
平均增长量
——逐期增减量的序时平均数；
——其方法是算术平均法。
实际工作中，为了消除季节因素的影响，对于月度或季度数据，也可以本月（季）发展水平与上年同月（季）发展水平相减，表示本月（季）较之上年同月（季）增减的绝对数量，称为年距增减量
1450
1300
1100
912
1020
800
GDP（亿元）
8
——
增长1%的绝对值
——
定基增减速度%
——
环比增减速度%
100
定基发展速度%
——
环比发展速度%
650
500
300
112
220
——
累计增减量
150
200
188
-108
220
——
逐期增减量
6
5
4
3
2
1
年度序号
二、 时间序列的速度分析指标
（一）发展速度
1. 发展速度＝报告期水平／基期水平
2. 说明现象在观察期内发展变化的相对程度；
3. 有环比发展速度与定基发展速度之分
*环比发展速度＝报告期水平／上期水平
*定基发展速度＝报告期水平／固定基期水平
两种速度之间的重要关系：
各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度；
相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度。
为了消除季节因素的影响，实际工作中，也可以本期（月或季）发展水平与上年同期（月或季）发展水平相比，表示本期较上年同期发展的相对程度（称为年距发展速度）。
（二） 增减速度
环比增减速度 = 环比发展速度-1
定基增减速度 = 定基发展速度-1
注意：
环比增减速度的连乘积并不等于相应时期的定基增减速度；两相邻定基增减速度之商也不等于相应时期的环比增减速度。
增减速度不能直接进行计算，若给的条件为增减速度，必须将增减速度加1变成发展速度才能进行计算；若求增减速度，必须先求发展速度，再通过发展速度减1而求得。
几个速度之间的关系
二者关系：总增减速度不等于相应各环比增减速度之和（积）。
相互关系如下所示：
环比增减速度
环比发展速度
定基增减速度
定基发展速度
乘or除
速度的表现形式和文字表述
一般表示用%、倍数，也有用‰、番数表示
从基期到报告期翻 m 番，则有：
报告期水平= 基期水平
发展速度—发展为、相当于、增长到、减少到、下降为…
报告期水平增长为基期水平的…%；
以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.
增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）、…。报告期水平比基期水平增长（了）的…%； 以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。
环比
定基
环比
定基
—
—
增长速度
(%)
—
100
发展速度
(%)
26104. 3
5
4
3
国内生产总值(亿元)
2
1
年 份 序 号
第三产业国内生产总值速度计算表
（三）平均发展速度和平均增减速度
平均增减速度——表示逐期增减变动的平均程度，即各期环比增减速度的一般水平，但不能对各环比增减速度直接平均。
因为：算术平均法或几何平均法都不符合增减速度这种现象的性质。
现象总量=各变量值之总和——算术平均法
现象总量=各变量值之连乘积——几何平均法
计算方法： 平均增减速度=平均发展速度— 1
平均发展速度
各期环比发展速度的序时平均数，表明现象在一段时期内逐期发展变化的平均程度。
其值大于1，平均增减速度为正值，称为平均递增率；
其值小于1，平均增减速度为负值，称为平均递减率。
平均发展速度的计算方法
1、几何平均法（水平法）
以 xi 表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系，计算平均发展速度应该采用几何平均法：
同一种方法，资料不同，有三种计算形式——例见教材。
ｎ＝环比发展速度的个数
＝数列发展水平项数－１
几何平均法的特点
用所求平均发展速度代表各环比发展速度，
推算的最末一期的水平与实际相等，
推算的总速度（最末一期的定基速度）也与实际相等 。
从最初水平a0出发，每期按平均发展速度发展，经过 n 期后正好达到最末期水平an；
着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。
如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。
三个公式中的n都是指环比发展速度的个数，也即时间序列项数减1。
例1、十六大报告指出：全面建设小康社会最主要的目标之一，是国内生产总值2020年力争比2000年翻两番（2000年为89404亿元），(十七大报告提出实现人均国内生产总值到２０２０年比２０００年翻两番）那么年平均增长速度和年均增长额至少为多少才能达此目标？
例2、1982年末我国人口是亿人，若2000年要将人口控制在12亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？ 1982年人口净增长率为‰，如果按此速度增长，2000年末将有多少亿人？
例3、某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过多少年能实现翻2番？经过多少年能达到1000亿元？
例4、某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过20年能够翻几番？
平均发展速度
平均增长速度
几何平均法计算平均发展速度的特点：
各期计算水平与各期实际水平并不相等，即：
但最末一期计算水平与实际水平相等，即：
由于几何平均法着眼于末期水平，因而又常将其称为“水平法”。
几何平均法的重要理论性质
水平法的不足
水平法只考虑计算期内首尾两项的水平——
2、方程式法（累计法）
的基本思想
各期实际水平的总和为：
再用平均发展速度去代表各期环比发展速度，应满足：
用各期的环比发展速度xi去推算各期水平，则：
解上述方程，其正根=平均发展速度。
方程式法的特点
其出发点是，用所求的 代表各期的环比发展速度，则推算的各期水平之总和与实际相等。
侧重于考察全期总水平，计算结果取决于整个计算期各期水平的累计总和，故称为“累计法”。
适用于：关心整个考察期内的总量时。
几何平均法与方程式法的比较：
计算方法不同
着眼点不同
（三）应用平均速度应注意的问题
当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度，例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。
总平均速度与各环比速度、分段平均速度结合；
将速度与水平二者结合——常常用到增长1%的绝对值来补充说明增长速度（环比、定基）
增长1%的绝对值=
平均速度兼有相对数和平均数的性质。
表示：速度每增长一个百分点所对应的增加绝对量。
增长率(%)
增长率(%)
利润额
(万元)
利润额
(万元)
40
168
20
1200
2003
—
120
乙 企 业
—
1000
2002
甲 企 业
年 份
例：假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表：
甲企业：增长1%的绝对值=10（万元）
乙企业：增长1%的绝对值=（万元）
解读数据
2004年8月份CPI同比上涨％，涨幅与7月份持平。
中国人民银行9月13日公布的月度金融运行报告显示：8月份，人民币新增贷款1157亿元，同比少增1651亿元。8月末，全部金融机构本外币并表各项存款余额增幅同比下降个百分点。储蓄存款增幅连续下降，人民币储蓄存款余额万亿元，同比增长％，比上年同期低个百分点，比上月末低个百分点，增幅已连续7个月回落。 ——《成都商报》
第三节
时间序列构成因素分析
例
【例】
销售数据图（单位：百万元）
时间序列构成因素分析是将时间序列看作是由许多因素共同影响所至，任何一个时间序列都是由这些因素的全部或部分所构成。通过对这些构成因素的分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律；并在假定事物今后的发展也遵循这些规律的基础上，对事物的未来发展做出预测。
一、 时间序列的分解与组合
（一） 时间序列的构成因素
（二） 时间序列的组合模型
二、 长期趋势的测定和分析
（一）研究长期趋势的目的和意义
（二）测定长期趋势的基本方法
三、 季节因素的测定与分析
（一） 研究季节变动的目的和意义
（二） 测定季节变动的常用方法
四、 循环周期的测定与分析
（一） 研究循环周期的目的和意义
（二） 测定循环周期的常用方法
学习目标
1.掌握时间数列的构成因素
2.掌握长期趋势分析方法及应用
移动平均法的特点
方程拟合法（最小平方法）的应用
3.掌握季节因素分析方法的原理
原资料平均法、趋势剔除或趋势—循环剔除法
4.掌握循环周期的分析方法
了解分解法、增长率法
一、 时间序列的分解与组合
（一）时间序列的构成要素
长期趋势 ( Secular Trend )
季节变动 ( Seasonal Fluctuation )
循环变动 ( Cyclical Variation)
不规则变动 ( Irregular Variations )
长期趋势（Secular Trend )
现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态；
由影响时间序列的基本因素作用形成；
时间序列的主要构成要素；
4. 有线性趋势和非线性趋势并分别有上升趋势、下降趋势以及 水平趋势。
线性趋势
现象随时间的推移呈现出围绕某一直线上下波动的变化规律；
t
y
2、测定方法有：移动平均法，线性方程拟合法。
非线性趋势
0
4
8
12
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
零售量
趋势值
零
售
量
（亿件）
针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
季节变动(Seasonal Fluctuation )
是一种使现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、下降交替运动的影响因素。通常使序列表现为一年内随着自然季节的更替而发生的较有规律的增减变化。
周期长度不超过一年；
有旺季和淡季之分；
形成原因—有自然因素，也有人为因素。
Fans风扇
In thousand
In thousand
In thousand
In thousand
Air Conditioner空调
In thousand
In thousand
In thousand
In thousand
这种因素的影响使现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、扩张与紧缩、波峰与波谷相交替的波动。
不同于季节变动：周期长度大于1 年；规律性（周期长度、波形、波幅等）不强；模型不易识别；形成原因错综复杂。
也不同于长期趋势：不是沿着某一方向的持续运动，而是一种兴衰交替的周期波动。在波动幅度不大及经济背景不是很明显时，和随机波动不易区分。
循环周期（循环变动）(Cyclical Variation)
循环变动 C
与长期趋势 T 的异同
同：都是现象在相当长时间内呈现出的规律性；
异：
T表现为单一方向的持续变动，
C表现为波浪式的涨落交替的变动。
循环变动C
与季节变动S的区别
不固定、错综复杂
较固定、直观
形成原因
困难（需要数据多）
容易
模型的识别
不稳定
（周期相似，近乎规律的变动）
稳定
规律性
（周期长度、波形、波幅等）
大于1 年
小于1年
周期长度
循环变动C
季节变动S
区别
不规则变动
(Irregular Variations )
包括随机变动和突然变动。
随机变动—现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的变动。它们难以把握、无法预测和控制，但在大量观察中其影响作用可能相互抵消。根据中心极限定理，通常认为随机波动近似服从正态分布（影响因素众多、相互独立、单个因素的影响作用很小时）。
突然变动—战争、自然灾害或其它社会因素等意外事件引起的变动。影响作用无法相互抵消，影响幅度很大。
一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。
时间数列——哪几种成分的共同作用？
销售额
季节调整后的销售额
趋势值
某商品销售量的变动
年份
销售量（万件）
100
80
60
40
2 0
0
（二）时间数列的组合模型
Y= T+S+C+I （加法模型）
Yi = Ti + Si + Ci + Ii
Y= T×S×C×I （乘法模型）
Yi = Ti × Si × Ci × Ii
在加法模型中
各种影响因素是相互独立的，均为与Y同计量单位的绝对量。
季节周期和循环周期的数值在各自的一个周期内总和（或平均）为零；不规则变动的数值从长时间来看，其总和（或平均）也应为零。
各因素的分解是根据减法进行
（如剔除趋势： Y – T = S + C + I）
在乘法模型中
只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，通常以百分数表示。
季节周期和循环周期的数值在各自的一个周期内平均为1（or 100%）；不规则变动的数值从长时间来看，其平均也应为1。
各因素的分解是根据除法进行
（如剔除趋势： Y / T = SCI）
趋势模式：Y = T×I
趋势季节模式：Y = T×S×I
趋势循环模式：Y = T×C×I
趋势季节循环模式：Y =T×S×C×I
时间序列的不同组合模式：
思考与判断
趋势模式：Y = T×I
趋势季节模式：Y = T×S×I
趋势循环模式：
Y=T×C×I
趋势季节循环模式：Y =T×S×C×I
二、 长期趋势的测定和分析
（一）研究长期趋势的目的和意义
（二）测定长期趋势的基本方法
移动平均法
方程拟合法
（一）研究长期趋势的目的和意义
认识和掌握现象随时间演变的趋势和规律，为制定相关政策和进行管理提供依据；
通过对现象过去变动规律的认识，对事物的未来发展趋势做出预计和推测；
测定出趋势因素后，便于从原时间数列中剔除趋势因素，更好地分解、研究其他因素。
（二）基本方法——
1. 移动平均法
(Moving Average Method)
移动平均，是选择一定的平均项数（常用 N 表示），采用逐项递移的方法对原时间数列计算一系列序时平均值；
这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。
例（季度数据
4
3
2
四/1
4
3
2
三/1
4
3
2
二/1
4
3
2
——
一/1
3 项 移动平均
商品零售量（万件）
季别
——
EXCEL链接
移动平均法的特点
(应注意的问题)
移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数（K）越大，对数列的平滑修匀作用越强； （见表7-6及下图）
移动平均法的特点 (续)
2。移动平均数应放在所平均时间的中间位置（作为中间一期的代表值或趋势值）；
当N为奇数，只需一次移动平均；
N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）（见表7-6及下表）。
例（季度数据的移动平均）
——
4
3
2
四/1
4
3
2
三/1
4
3
2
二/1
4
3
2
——
一/1
3 项
移动平均
商品零售量（万件）
季别
——
——
——
——
移正平均
（中心化）
4项
移动平均
（续）
需要说明的是，为了预测方便，也可以将移动平均值放在所平均时间的最末一期。
股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均曲线）就是采用这种方法。
EXCEL中移动平均即是这样处理的。
但当T有升降趋势时，须注意移动平均值的时滞性。N越大，平均值对实际变化的跟踪反映越迟钝，滞后越严重。
移动平均法的特点
3. 若数列包含周期性变动，为了消除周期变动而只反映T，应以周期长度作为移动间隔的长度，即：
K = 周期长度
若是季度资料，应采用4项移动平均；
若为月份资料，应采用12项移动平均。
EXCEL链接
◆移动平均是否能消除循环变动，取决于移动平均的项数是否能与序列中的循环周期长度一致。
◆如果数列中各循环周期长度能始终保持一致，则相同平均项数的移动平均也能消除循环波动。
◆但循环波动的周期长度远不如季节周期长度那么有规律，在同一数列中，各循环周期的长度是各不相同的。因而，固定平均项数的移动平均也就很难将数列中的循环波动完全消除。
移动平均是否能消除循环变动？
（续）
4. 新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。N越大，缺项越多。
N为奇数时，新数列首尾各少 （N-1）/2项；
N为偶数时，（移正后）新数列首尾各少 N/2 项。
（续）
5. 移动平均法可以呈现出现象的长期趋势（将平均值作为过去相应时间上的趋势值），但本身不能进行外推预测。
只有当 T 为水平趋势时，才可用移动平均值作为最近一期的预测值。
对于呈现增长（或下降）趋势的时间序列，若直接以本期移动平均值为下期预测值会产生滞后偏差。
2. 趋势方程拟合法
——利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示数列长期趋势的一种方法。
在只包含T、I中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。
趋势方程形式的选择
定性分析
根据有关理论、经验、结合现象变化特点；
绘制观测值散点图或折线图。
直观表现出数列的趋势类型；
根据数列的数据特征加以判断
若数列的逐期增长量（一次差）大致为一常数,该数列呈直线趋势；因为：
模型的数学特征
若数列的环比发展速度大致为一常数，可对该数列拟合指数曲线。因为：
若数列各项数据的 K次差（K级增长量）大致为一常数，可对该数列拟合K次曲线；
因为的K阶导数为常数
趋势模型的选择（续）
4.对混合趋势形式的数列，也可采取分段拟合的方法，分别考察各阶段的趋势变化。
但通常只能根据最后一阶段的趋势方程进行外推预测。
模型的选择（续）
5. 若有多种曲线形式可供选择，则应选择其中均方误差最小者为宜。
均方误差 MSE 的计算公式是：
m = 模型中参数的个数
用最小平方法估计方程参数(Least-Square Method）
按最小平方法（最小二乘法）估计方程参数，要求满足两个条件：
实际上，能满足离差平方和最小的条件，第一个条件自然能够满足。
直线趋势模型的参数估计
直线趋势方程为：
代表时间序列的趋势值
t 代表时间标号，常常取1、2、3、…n；
a 、b为直线趋势方程的待估计参数。
a 为趋势线在Y 轴上的截距；
b 是趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观察值的平均变动数量；
直线趋势模型的参数估计
（a 和b 的最小二乘估计）
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为：
即：
例，我国GDP的直线趋势方程计算表
计算结果
根据上表得 a 和 b 结果,并写出趋势方程如下：
用以推测2000年的GDP，则预测值为：
EXCEL的主要输出结果：
EXCEL链接——1978-2003年GDP的直线趋势拟合
二次曲线（抛物线）
现象的发展趋势为二次曲线（抛物线）形态
一般形式为 ：
a、b、c 为未知常数
根据最小二乘法求得
（2）指数曲线(Exponential curve)
用于描述以几何级数递增或递减的现象，
趋势方程形式为：
式中， 、a及t的意义同直线趋势方程；
但b指时间每增加一个单位现象的发展速率。也就是说，直线方程反映的是等量增长的现象，而指数曲线方程反映的是等速增长的现象。
若a>1，增长率随着时间t的增加而增加
若a<1，增长率随着时间t的增加而降低
若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，
根据最小二乘法，得到求解 loga、logb 的标准方程为：
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
1994
1993
1992
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
1979
1978
1977
1976
116694
102398
7171
我国1976—2003年国内生产总值（亿元）：
拟合直线方程的EXCEL的主要输出结果：
用以推测2004年的GDP，则预测值为：
拟合指数曲线的EXCEL的主要输出结果：
1978-2003 GDP的两种趋势线
三、 季节变动分析
（一） 研究季节变动的目的和意义
（二） 测定季节变动的常用方法
原资料平均法
趋势剔除法
一、季节变动及其测定目的
季节变动
现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动
测定目的
确定现象过去的季节变化规律；
消除时间序列中的季节因素（更好地研究时间数列中的其它成分）。
（二）测定季节变动的基本方法
假定：Y= 即假定时间数列为水平趋势（T=a，为常数） 且无循环波动。
计算 季节比率 S （或称为指数季节）
根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素
1. 原资料平均法（也可称为同期平均法）
原资料平均法的计算步骤：
1. 计算同期平均数
各年（或各季节周期）第 期数据的平均；
通过平均，消除（或减弱）了不同年份同一季节上 I 的影响，相当于 （趋势值和该季节的季节比率）.
原资料平均法的计算步骤(续)
2.计算全部数据的总平均数 （相当于a）；
3.计算各期（季节）的季节比率：
(季节比率计算表)
1
2
3
4
5
6
四季度
三季度
二季度
一季度
销售额(万元)
年 份
某企业近几年的销售额数据
同季平均
合计
全年平均
季节比率(%)
原资料平均法的应用前提
注意：原资料平均法的应用前提
——数列无明显的升降趋势。否则，趋势值客观上起着权数（隐含权数）的作用，既不能反映出趋势增长量，不能正确测定季节变动。
思考
例：某企业产品销售量一月份季节比率=150%，2001全年的销售目标是24000件。一月份实际销售了2800件。试问，一月份的销售情况是否满意？
一月份销售量预测值=月平均值×一月份季节比率
＝2000件×
＝3000件
季节比率的应用
用于估计或预测：
即：预测值= 趋势值X预测期所在季节的季节比率
在
模式下，
在
模式下，
见教材例题
2. 用于季节变动的调整，将季节变动从时间数列中予以剔除，以便观察和分析时间数列其他特征。
消除季节变动的方法是将原时间数列除以相应的季节指数，计算公式为：
季节调整后的数据
2. 趋势剔除法
假定：Y=
基本思想：先将数列中的趋势予以消除，再计算季节指数 。
具体步骤：
计算长期趋势值 T
——常用移动平均值作为T（平均项数N=季节变动的周期长度，所以平均值中不含S、I）
——也可用方程拟合法计算长期趋势值。
趋势剔除法（续）
从原数列中剔除趋势值，得季节变动和不规则变动相对数——Y/T=
消除不规则变动I，得季节比率S——
S=各年同期的（）的平均。
调整季节比率，使季节比率的平均=1。否则，计算一个调整系数（=1/季节比率的平均数），各期的季节比率乘以该调整系数，即得调整后的季节比率。
【思考题】为什么季节比率通常需要调整？
趋势_循环剔除法
假定：Y=
计算趋势-循环值（TC）
常用移动平均值作为TC（平均项数K=季节周期长度，所以平均值中不含S、I，只含 TC ）
从原数列中剔除趋势-循环值 TC，得季节变动和不规则变动相对数——Y/（TC）=
消除不规则变动I，得季节比率S——
S=各年同期的（）的平均
调整季节比率，使季节比率的平均=1
1
2
3
4
5
6
四季度
三季度
二季度
一季度
商品零售量（万件）
年 序
某商品零售量数据
例、已知某地最近6年各季度某种商品零售量数据如表。试计算各季的季节指数
季节指数(%)
同季平均
合计
全年合计
—
—
—
—
1
2
3
4
5
6
四季度
三季度
二季度
一季度
剔除趋势后的比率（%）
年 序
某商品零售量季节指数计算表
某商品零售量实际数据及4X2移动平均值图示
某商品零售量剔除趋势后的季节数据
某商品零售量剔除趋势及不规则变动以后的标准季节模式
季节变动（小结）
将季节变动规律用一系列季节比率（季节指数）来反映；月份（季度）数据，由12个（4个）指数组成。
季节比率的平均数等于100%；
月(或季)的指数之和等于1200%(或400%)
根据季节比率与其平均数(100%)的偏差程度来测定季节变动的程度；
如果现象没有季节变动，各期的季节比率等于100%；
比率越远离其平均数(100%) 季节变动程度越大.
主要方法有原资料平均法和趋势（-循环）剔除法
四、循环周期的测定和分析
（一） 研究循环周期的目的、意义
（二）循环周期的测定方法
（一）研究循环周期的目的和意义
循环周期——人口周期、产品寿命周期、经济周期（经济危机）…，就属于一种循环变动分析
探索现象循环周期的变动规律性；
预测周期变动的影响、作好应对准备…
1、有助于认识和掌握事物循环周期的变动规律，对制定政策、安排经济活动、有效遏制循环变动的不良影响提供科学依据
2、有助于预见下一个循环周期可能产生的各种影响，对其有利部分做好准备予以充分利用，对其不利部分事先采取措施以制止其发生或减少其影响。
（一）研究循环周期的目的和意义
【补充】 循环周期的类型
1. 按经济活动的绝对水平是否下降，循环周期可分为古典型周期和增长型周期
古典型周期
指绝对水平上表现出涨落（峰谷）相间或扩张与紧缩相交替的波动。
要被认定为一个古典型周期，经济活动的绝对量上应具有深度和振幅，即应表现出明显的峰和谷，周期的持续性（由扩张转为衰退，由紧缩到复苏）也很明显（至少一年）。
增长型周期
在经济活动的绝对水平上不一定下降，但增长率上有明显的涨落（峰谷）相间或扩张与紧缩相交替的波动
也就是增长率上表现出明显的峰、谷和周期的连续性
又称为离差型周期，是指增长率的趋势上有明显的离差。
例（GDP）
2. 按周期持续时间长短的不同，循环周期可分为短周期、中周期、中长周期及长周期几种类型：
（1）2—5年左右的短周期（小循环）
—基钦周期，20世纪20年代英国统计学家Joseph Kitchin对这种周期首次系统地进行了研究。
——通常认为其原因是固定资产更新和周期性的技术革命。
——有人也称“存货周期”。存货波动会引起经济周期，但它是经济周期的原因还是结果？
（2）8—10年左右的中周期
——朱格拉周期（固定投资周期）
法国经济学家Clement Juglar于1860年对这种周期首次进行了研究。熊彼特认为这种周期往往是由三个短周期组成。但伯恩斯和米切尔对此持反对意见（他们观察到的周期峰谷及长度也有差异）。西方资本主义国家的周期性经济衰退就是典型的中循环周期波动。造成这种波动的社会原因通常认为是资本主义生产的相对过剩和固定资产的大规模更新。
（3）15—25年左右的中长周期（中长循环）——“建筑业周期”或“库兹涅茨周期”。
这种周期的形成一般由房屋建筑业的波动和固定资产的更新引起。美国经济学家Simon Kuznets于1930年首次对这种周期进行了研究。但也有人认为这种周期既是一种长期的现象，也是一种短期的现象。其短期波动与信贷市场相联系，而长期波动则主要由人口变动所引起。
（4）50年左右的长周期（大循环）
——“长期波动”（简称长波）或“康德拉季耶夫周期”。由俄国调查统计学家Nikolai Kondratieff于1925年首次进行研究。解释：“在长波的衰退中，就生产技术和交通通讯作出了特别大数目的重大发现和发明，然而只有在下一个长波的上升开始时，它们才回被大规模地采用”
1、分解法（剩余法）
分解法又称为剩余法，是测定古典型周期的一种较为有效的常用方法。这种方法的原理，是先从数列中分解出长期趋势和季节变动，以原数列数值除以趋势和季节，剩余循环和不规则变动；再通过平均的方法消除不规则变动，最后分离出循环因素。
二、循环变动的测定方法
对于Y=TCI数列
（1）用适当的方法求出趋势估计值；
（2）从原数列中剔除趋势
（相当于TCI/T= CI）；
（3）对剔除趋势后的剩余值CI计算三期移动平均值（必要时可重复进行）以消除不规则变动的影响，分离出循环因素
（相当于CI / I = C）。
按数列的组合因素不同，分解法的步骤可分述如下：
对于Y= TSCI数列
（1）计算平均项数k与季节周期长度L相一致的移动平均值，该移动平均值相当于趋势—循环值TC；
（2）以原数列除以移动平均值，剔除趋势—循环（相当于TSCI / TC = SI）；
（3）用前述求季节比率的方法，对已剔除趋势—循环的剩余值SI，通过平均去掉不规则变动，分离出季节因素（相当于SI / I=S）；
（4）以原数列数值除以季节比率以消除季节影响（相当于Y / S = TSCI / S = TCI）；
（5）重复1中（1）—（3）步骤，分离出循环因素
2、增长率法
主要适合于增长型循环周期。
增长率即 “环比增减速度” 或“年距增减速度” 。实质上反映的是各年同月（或季）或逐年的一种相对增减变化。
增长率法简便易行，能比较直观的反映现象增长率的波动特点。
但由于其计算依据前一年或前一年同月（季）的数值，因而易受随机波动的影响。
我国GDP的波动特征
周期波动的特征分类
低振幅型 中振幅型 强振幅型
峰谷落差(百分点）
<=5 (5,10) >=10
低峰型 中峰型 高峰型
波峰年份的增长率(%)
<=10 (10，15) >=15
一般认为：
本章小结
时间数列的因素的分解与组合
长期趋势分析
季节变动分析
循环波动分析
用Excel 进行长期趋势分析、季节变动分析
