第四章 证券的收益与风险
一、单利与复利
持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收益率。
HPR=(投资的期末价值—期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值
投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，有
(5200—5000+0)/5000=200/5000==4%
[(19×500)-(20×500)+(4×500)]/(20×500)
==15%
二、年收益率的折算
不同期限的折合成年收益率，折算的公式为
年收益率=持有期收益率×[年(或365)÷持有期长度]
股票投资期限是5年，而银行储蓄的期限是17个月
股票投资的年收益率为15%×[1/5]=3%
银行储蓄的年收益率为4%×[12/17]=%
三、算术平均收益率
算术平均收益率R 的计算公式为
R (R1+R2+……+RN)/N
如果投资者一项投资4年的收益率分别为10%，-5%，0和23%，年算术平均收益率为
(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%
几何平均方法是计算复利的方法，几何平均收益率RG 的计算公式为
RG=[(1+ R1)(1+R2)……(1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1
如果将上例4期收益的数字代入几何平均收益率的公式，得到的结果为
RG=[(1+ )()(1+0)(1+)]1/4-1
=-1==%
四、几何平均收益率
五、时间权重收益率
时间权重收益率也是计算复利的一种收益率，计算公式为
RTW=[(1+ R1)(1+R2)……(1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1
它与几何平均收益率的计算公式相比较，只缺少对总收入开1/n次方。因此，也可以说，时间权重收益率是投资的考虑复利的总收益率。
第五章 投资基金
六、名义利率与实际利率
实际利率与名义利率的关系有下式：
Rreal =[(1+ Rnom)/(1+h)]-1
Rreal为实际利率，Rnom为名义利率，h是通货膨胀率。如果名义利率为8%，通货膨胀率为5%，其实际利率就是
[(1+)/(1+)]-1=-1==%
计算实际利率的公式可以近似地写成
Rreal≈Rnom—h
七、通货膨胀效应
年通 买1元物品20年 1000元20年 年实际
胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率
4% 元 元 %
6% 元 元 %
8% 元 元 %
10% 元 元 %
12% 元 元 %
八、连续复利
复利频率 n 复利水平(%)
年 1
半年 2
季 4
月 12
周 52
日 365
九、连续复利的计算
连续复利的计算公式为
R EFF=[1+(APR)/n] n –1
这里，APR为利息的年百分率，n为每年计算复利的期数。当n趋近于无穷大时，(1+APR/n)n会趋近于e APR，这里，e的值为。在上例中，e =，因此，我们可以说，利息为6%的债券的连续复利为每年%。
十、净现值的计算
贴现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如8年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为5%的情况下，现在要存入银行多少钱，8年后才会有30000元。计算现值PV的公式为
PV=1/(1+i)n
这是利率为i，持续期为n时的1元的现值系数，
PV=[1/(1+)8]×30000=×30000=
即家长现在需要储蓄元，就可以了。
PV=[1/(1+)8]×30000=×30000=， PV=[1/(1+)8]×30000=×30000=，利率提高或降低一个百分点，可以节省(=)元，或者多存(=)元。
十一、年金的计算
年金的现值 普通年金每期获得1元的现值计算公式为
PV=[1-(1+i)-n]/i
PV为普通年金的现值，i为利率，n为年金的期数。假定有一每年获得100元，利率为6%，可获得10期的普通年金，有
PV={[1-(1+006)10]/}×100=736元
永久年金 指没有到期日的年金，永久年金的计算公式为
永久年金的现值=C/I
C为定期支付的现金，I为以小数表示的利率。
十二、不同资产投资收益
投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均
(长期政府)债券 17% 4% -1% 8% 7%
商品指数 1 -6 15 -5 %
钻石(1克拉投资级) -4 8 79 15 %
黄金(金块) -8 -9 105 19 %
私人住宅 4 6 6 5 %
实物资产(商业) 9 13 18 6 %
白银(银块) 3 -6 94 4 %
股票(蓝筹) 14 7 -3 21 %
股票(小型增长公司)17 14 7 12 %
国库券(3个月期) 6 5 7 3 %
十三、长期投资的效果
年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率
26-97均值
十四、风险及测度
风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。
形势 概率 期末总价 总收益率
繁荣 13000元 30%
正常增长 11000元 10
萧条 9000元 -10
十五、期望收益与方差
E( r )=∑p(s)r(s)
E( r )=(×)+(×)+[×()]=+==10%
σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2
σ2=∑×(30-10)2+×(10-10)2+
(-10-10)2=200 或%
十六、26-99年美国
大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率
收益
风险
十七、彼得堡悖论
数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为
R(n)=2n
公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。
十七、彼得堡悖论
参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表
反面 概率 报酬 概率×报酬
0 1/2 1 1/2
1 1/4 2 1/2
2 1/8 4 1/2
3 1/16 8 1/2
. . . .
n (1/2)n+1 2n 1/2
十七、彼得堡悖论
如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为
E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。
由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。
十八、边际效用递减举例
假定有一公平游戏，即投资者投资10万元，获利5万元的概率为50%，亏损5万元的概率为50%，因此，这一投资的期望收益为0。
当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=增加到log(150000)=
，效用增加值为，期望效用增加值为×=。
如果由10万降到5万，由于log(100000)-log(50000)==，期望效用的减少值为×=，它大于期望效用的增加值。
十九、效用公式
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：
U=E(r)2
其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
