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第二章 远期类金融衍生工具之远期价
格
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一、准备知识
（一）连续复利
假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年
复利m次，当m趋近于无穷大时（即连续复利）
，其终值为：
如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式
贴现n年，其现值为：
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进而可以推导出连续复利和每年计m次复利
的利率之间相互转换的公式：
Rc是连续复利利率, Rm是每年计m次复利的利
率.
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同理，我们可以推算出任意两种复利方式下，
等价利率的相互转换。(如何推导出？？？)
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（二）卖空
投资者通过经纪人从其他客户处借证券来卖
掉，所得价款进入自己的帐户，同时在经纪
人处交纳一定的初始保证金。如果要平仓，
则用自己帐户中的资金购买相应数量的证券
归还原主。
最初卖出证券所得一般为初始保证金一部分，
可在市场上流通的证券（短期国债）可能存
放在经纪人处作为初始保证金。
借券期间，空头客户必须将该证券的任何收
入（如红利、利息）经经纪人转付给被借券
的客户。
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例：一投资者于4月底卖空了500股IBM股票，每股
价格$120,7月份，当股票价格为$100时，投资者买
回了这些股票，结清了这些头寸。假设5月份每股
股票支付了$4的红利。计算该投资者的收益。
解:投资者4月份建立空头头寸时，共收到：
500× $ 120＝ $60，000；
5月份红利使投资者需付出：
500 × $ 4＝ $ 2，000
7月份投资者轧平头寸时，需付出：
500 × $ 100= $50，000
投资者净收益为：
$60,000 － $ 2,000－ $ 50,000＝$8,000
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（三）假设 参见47页
假定对部分市场参与者，以下几条成立：
1、无交易费用；
2、所有的市场利润（减去交易损失后的净额）使用
同一税率；
3、市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出
资金；
4、有套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。
以上假设意味投资者一旦发现套利机会就进行套利，
从而使套利机会很快消失。因此市场价格是无套利
机会时的价格。
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（五）符号
本章中将要用到的符号如下：
T：远期合约到期的时刻(年)
t：现在的时刻(年)
S：远期合约标的资产在时刻t时的价格
ST：远期合约标的资产在时刻T时的价格(在t时刻这
个值是未知的)
K：远期合约中的交割价格
f：时刻t时，远期合约多头的价值
F：时刻t时的远期价格
r：对了时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续复
利计算的无风险利率
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注意：
1、各符号同样适用于期货
2、对于本章后面的讨论，T和t的绝对时刻点并不重
要，重要的是T-t，即两者中间间隔的时间段，它是
一个以年为单位的变量。
3、其中远期价格F，在上述（三）的假设下，即为
远期合约的合理价格。在远期合约刚订立时，F=K
，因而f=0。随着时间的推移，F会发生变动，而K
则固定不变，因此，f的值也会相应地发生变动。
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（六）持有成本理论及套利的概念
1、持有成本理论是一种确定远期、期货合理
价格（定价）的方法。该理论的简单表述为：
远期(期货)合理价格=现货价格+净持有成本
其中，净持有成本=现货的存储成本（对商品
期货而言）+购买现货占压资金的利息成本-
持有期收益（例如持有股票现货分得的红利，
或持有债券现货的利息收益等）
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2、所谓套利，是指在不同市场上同时买卖相
同或相似的证券而获取无风险收益的活动。
以期货为例，如果期货的价格高于合理价格，
就可以买进现货，同时卖出期货，将现货持
有到期再用来交割期货，就可以无风险地获
取上述等式两边的差价。反之，则做相反的
操作。
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3、无套利均衡定价：
无套利定价原则：在有效的金融市场上，任
何一项金融资产的定价，应当使得利用该项
金融资产进行套利的机会不复存在。
即如果某项金融资产的定价不合理，市场必
然出现以该项资产进行套利活动的机会，人
们的套利活动会促使该资产的价格趋向合理，
并最终使套利机会消失
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二、不支付收益证券远期（期货）合约的合理
价格及套利
不支付收益证券包括不支付红利的股票和
贴现债券等。短期利率期货的定价和套利
也适用于以下的方法。
最容易定价的远期合约就是基于不支付收
益证券的远期合约。
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（一）定价
1、持有成本理论下合理价格的确定
对不支付红利的证券，因为既无存储成本，
又无收益,持有成本就是r。
由于现货证券不支付收益，所以合理的远期
价格应该等于现货价格（本金）加上在T-t时
段内该本金应该产生的利息，即本利和。在
连续复利条件下：
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2、无套利定价
由f与K、S的关系推出合理价格
组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为
Ke-r(T-t）的现金；
组合B：一单位标的证券
在时刻T，两种组合都可以获得一单位的证券，
因此在时刻t时，两个组合也必然等价。
当f=0时，F=K，代入上式，得：
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例 考虑一个6个月期的远期合约的多头状况，
标的证券是一年期贴现债券，远期合约交割
价格为$950。我们假设6个月期的无风险利
率(连续复利)为年利率6％，债券的现价为
$930。求远期合约的价值。
解：此时，T—t=，r=，K=950，
S=930，
远期合约多头头寸的价值f为：
f=930— × =
类似地，该远期合约空头的价值为—。
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（二）、不支付收益证券远期（期货）合约
的套利
以F*表示远期合约的实际市场价格
1、如果F*>F，即说明远期合约价格相对于现
货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现
货。因此，投资者以无风险利率借S美元，期
限为T-t，用来购买证券现货，同时卖出远期
合约。在时刻T，用购买的现货交割到期的远
期合约，得价款F*，同时归还借款本利和为
Ser(T-t）。因此，套利利润为
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例：期限为3个月的股票远期合约的价格为43
美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，
股票当前价格为40美元，不付红利。
①判断：
期货价格被高估
②套利：借40美元即期购入股票现货，同时
持有3个月后卖出股票的远期合约。3个月后，
交割股票得价款43美元，归还到期贷款
美元，因此，套利者在3个月后净盈利
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2、如果F*<F，即说明远期合约价格相对于现
货价格被低估，应该买进远期合约，卖出现
货。因此，投资者可以卖空现货，得价款S美
元，并将其按年利率r进行投资，期限为T-t。
同时购买远期合约。在时刻T，价款投资得本
利和为为Ser(T-t），用这笔资金交割远期合约，
但只需花费F*。再用交割中所得的证券冲抵
原来的现货空头部位。因此，套利净利润为
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例：期限为3个月的股票远期合约的价格为43
美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，
股票当前价格为40美元，不付红利。
①判断：
期货价格被低估
②套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月
的投资，同时持有3个月后买进股票的远期合
约。3个月后，收回投资，本利和为美
元，交割远期合约得股票并支付价款39美元，
将所得股票用于现货空头的平仓。因此，套
利者在3个月后净盈利
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三、支付已知现金收益证券远期（期货）合
约的合理价格和套利
支付已知现金收益证券:是指证券（远期合约
的标的资产）将为持有者提供可完全预测的
现金收益。
已知现金收益证券：在持有期内，可以为持
有者提供可完全预测的现金收益的证券（如
已知红利的股票或息票债券）。中长期国债
期货的定价和套利也即适用于以下方法。
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（一）定价
1、持有成本理论下合理价格的确定
设I为远期合约有效期内所得现金收益的现值，
贴现率为无风险利率。则
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2、 无套利定价
由f与K、S的关系推出合理价格
组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke
-r(T-t）的现金；
组合B：一单位标的证券加上以无风险的利率
借I数额的资金（即同时负债I）
（为什么要负债？P53）
在T时刻，两个组合都可以得到一单位的证券，
在当前它们也应具有相同的价值
当f=0时，F=K，代入上式，得：
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例：一个股价为$50的股票的10个月期远期
合约。假设对所有的到期日，无风险利率(连
续复利)都是年利率8％。同时假设在3个月、
6个月以及9个月后都会有每股$的红利付
出。求远期价格。
解：红利的现值I为：
I=×3／12+×6／12+×9／12=
变量T—t==10/12年，因此远期价格F
为：
F=(50—)×=
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例 一种五年期债券，价格为$900。假设这
种债券的一年期远期合约的交割价格为$910。
在6个月后和12个月后，预计都将收到$60的
利息。第二次付息日正好在远期合约交割日
之前。6个月期和12个月期的无风险复利利率
分别为年利率9％和10％。求远期合约的价值。
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解：
S=900，K=910，r=，T—t=1；
且有：
I=×+×=
所以远期合约多头的价值：
f=×=
远期合约空头的价值为+。
注意，在本例中，在合约的开始和结束都没
有应付利息。
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（二）支付已知现金收益证券远期（期货）
合约的套利
1、如果F*>F，即说明远期合约价格相对于现
货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现
货。
例：一年后交割的息票债券远期合约的价格
为930美元。债券的即期价格为900美元。预
期债券在6个月后以及12个月后各支付40美
元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利
率分别为9%和10%。
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①判断：
期货价格被高估
②套利：借入900美元（其中美元以9%
的年利率借入6个月，另外美元以10%
的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时
建立一年后交割的远期合约的空头。债券现
货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月
期美元贷款的本利和。一年之后，收到
第二次利息支付40美元，执行远期合约，交
割现货得到价款930美元，同时支付美
元贷款的本利和
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该套利策略的净盈利为：
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2、如果F*<F，
即说明远期合约价格相对于现货价格被低估，
应该买进远期合约，卖出现货。
例：一年后交割的息票债券远期合约的价格
为905美元。债券的即期价格为900美元。预
期债券在6个月后以及12个月后各支付40美
元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利
率分别为9%和10%。
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①判断：
期货价格被 低估
②套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中
美元做6个月的无风险投资，美元做1
年期无风险投资。同时建立一份债券期货多头。此
策略在6个月和12个月后分别产生40美元和
美元的现金流入。前面40美元用来支付6个月后的
债券利息；后面美元中40美元用来支付一年
后的债券利息，905美元用来交割到期的远期合约，
所得的债券用来平仓现货空头。该套利策略的净盈
利为：
为什么卖空债券者需要支付利息呢？P53
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四、支付已知红利率证券远期（期货）合约
的合理价格和套利
已知红利率（资产的收益率）的证券：假定
在持有期内，该证券按照其价格的某个比率q
连续地支付红利。
如果将红利不断地再投资于该证券，则所持
有的证券资产的价值将按照q的比率连续增加。
货币和股票指数是提供已知红利收益率的证
券。
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（一）定价
1、持有成本理论下合理价格的确定
持有现货的收益就是持有期货的成本（机会
成本），而持有期货的总成本（期货价格与
机会成本之和）应该等于持有现货的成本。
否则就会导致套利。（为什么上述文字叙述
可以推出以下等式？P53）
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2、无套利定价
由f与K、S的关系推出合理价格
组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为
Ke-r(T-t）的现金；
组合B：e-q(T-t）个证券并且所有的收入都再投
资于该债券（为什么？P55）
在T时刻，两个组合都 可以得到一单位的证
券，在当前它们也应具有相同的价值
当f=0时，F=K，代入上式，得：
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一个6个月期远期合约，标的资产提供年率
为4％的连续红利收益率。无风险利率(连续
复利)为每年10％。股价为$25，交割价格为
$27。求远期合约的价值和远期价格。
解：S=25，K=27，r=，q=,T-t=。
远期合约多头的价值f为：
f=××=
远期价格F为:
F= × =
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五、远期合约价值的一般结论
对所有远期合约，远期合约多头的价值有个
一般结论。设合约签署初始的交割价格为K，
当前远期价格为F，则（为什么？P55）
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远期价格和期货价格
1、从利率角度：
（1）当无风险利率恒定，且对所有到期日都
不变时，两个交割日相同的远期合约和期货
合约有相同的价格。所以以下关于远期合约
定价和套利的结论同样适用于相应的期货合
约。 P54
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（2）当利率变化无法预测时(正如现实世界
中的一样)，远期价格和期货价格从理论上来
讲就不一样了。我们对两者之间的关系能有
一个感性认识。
①标的资产价格S与利率高度正相关。
期货：当S上升时，一个持有期货多头头寸的
投资者会因每日结算而立即获利。由于S的上
涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润
将会以高于平均利率的利率进行投资。
当S下跌时，投资者立即亏损。亏损将以低于
平均利率水平的利率融资。
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远期：持有远期多头头寸的投资者将不会因
利率的这种变动方式而受到与上面期货合约
同样的影响。
因此，在其它条件相同时，期货多头比远期
多头更具有吸引力。当S与利率正相关性很强
时，期货价格要比远期价格高。
②当S与利率的负相关性很强时，类似上面的
讨论可知远期价格比期货价格要高。
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2、从期限角度；
有效期仅为几个月的远期合约价格与期货合约价格
之间的理论差异在大多数情况下时小得可以忽略不
计的。因此在本书的大多数情况下，我们假定远期
和期货价格相等。符号F既可代表期货价格又可代
表远期价格。
随着期货合约期限的增加，远期合约与期货合约价
格之间的差别有可能变得较大，因此假设远期合约
价格与期货合约价格可以完全相互替代可能是危险
的。（为什么呢？P57）
谢 谢
六月-
2218:09:4018:091
8:09六月-22六月-
2218:09
18:0918:09:
40六月-22六
月-
2218:09:40
2022/6/27 18:09:40
