露蕊2007／3
经济分析的随机动态系统方法
张 陶 新
摘 要：随机动态系统理论是经济系统分析的一种新方
法。它作为分析非线性随机 系统的方法在经济中的初步
应用，不仅丰富了人们对经济系统的具体认识，而且也将
为解释和说明我国经济快速发展提供新的方法，为我国政
府制定和实施经济政策等提供新的工具。
关键词：经济系统；随机动态系统；经济模型
中图分类号：F224．12 文献标识码：A
文章编号：1001—490X(2007)3—023—03
作 者：湖南工业大学副教授 ；湖南，株洲，412007
基金项目：湖南省教育厅资助科研项 目(06C088)
在过去的20年里，人们对非线性随机动态系统的动态特
性的认识有了显著的提高，尤其是随机动态系统理论在最近
几年得到了很快的发展，这就为随机经济模型的建立和以前
不能处理的非线性经济问题的研究开启了大门。本文首先论
述随机动态系统理论适宜于动态经济模型的分析，并引入随
机动态系统分析方法的基本框架，阐明非线性动态经济模型
如何公式化以适合这一基本框架，然后运用该方法简要分析
经济系统中的经济周期现象的长期行为和动态特性。
一 动态经济分析的随机动态系统方法
现实经济系统是一个动态的系统，经济主体之间的关系
瞬息万变，经济系统的组成元素、各组成元素之间的联系是动
态的，无法用固定结构来理解和研究。在经济周期现象分析
中，萨默尔森最早对凯恩斯静态经济周期理论动态化，建立了
一 个用数学形式表述的乘数一加速模型来解释经济周期现
象。后来希克斯又扩展了萨默尔森的乘数一加速模型，建立
了具有动态时滞的非线性结构的希克斯型乘数一加速模型
(Hicks，1950)。该模型的特点是当有一个初始的外生扰动
时，在不同的参数域下，动态系统可以产生增幅的发散震荡、
减幅的衰减震荡和等幅的周期性震荡。这就是说，在特定的
参数域内，经济系统将呈现持续性的周期波动。
几乎所有真实的经济系统都是开放经济系统，都同复杂
的、甚至是不可预料的环境联系在一起。经济系统不仅是动
态发展的而且经济系统中处处存在着不确定性，影响经济的
因素是多方面的，这些外在的因素形成所谓的噪声使得经济
变量呈现出随机性。确定性的经济模型已无法反映经济系统
演化的真实行为，也不能满足经济理论的发展。
经济系统是动态的充满随机性，同时也还存在着递归作
用。系统内各子系统之间的复杂的相互作用、竞争和协同，在
整体上是以递归的形式表现出来。随机动态系统理论从动力
系统的观点阐述了随机系统，并且已超越了纯粹通过随机过
程来描述随机模型，是动力系统理论与随机分析的有机结合
和共同拓展，它研究具有随机性的动态系统中的线性与非线
性、平衡与非平衡、突变、分岔、混沌、路径依赖等问题。一个
随机动态系统是通过一个基本的演化规则的反复迭代而形成
的系统，用简单函数进行反复的迭代，就可以描述非常复杂的
动力学行为。状态的演化规则描述了系统的实际状态或先前
状态的改变。随机动态系统理论认为，一个随机动态系统不
是简单的输入一输出变换，而是依赖于系统本身历史的实际
状态的演化。事实上，不需要连续不断地给经济系统一个输
入，只要这个输入是作为初始状态给出的就足够了，然后系统
将按照其迭代动态规则进行演化。一般地，系统的演化规则
依赖于某些参数，通过动态迭代把状态空间里的一个初始状
态演化到一个渐近的最终状态。人们希望了解这种演化并能
够知道从初始条件和演化规则出发的渐近最终状态，尽管计
算是非常复杂的，我们仍然可以推导出诸如稳定性等定性方
面的结果。我们可以把初始条件看成是系统的输入，那么系
统基于这种输入演化所达到的渐近最终状态就是系统的输
出。因此，随机动态系统理论不失为分析动态经济模型的一
种有效方法。
事实上，目前国外应用随机动态系统进行经济分析已取
得了极有价值的研究成果。斯琴克一霍普和斯杰麦尔夫思
(Schenk—Hoppe and Schmalfuss，2001)应用随机动态理论，分
析了索罗经济增长模型中的参数为遍历随机变量的情形，证
明了模型的长期行为由一个全局吸引稳态随机不动点唯一地
确定，同时也讨论了遍历马尔可夫均衡与经济随机动态系统
方法之间的关系。
随机动态系统理论在金融领域里也得到了很好的应用。
传统金融理论的一个基本假设就是理性预期理论，即市场参
与者采用了一些统一的、在统计意义上能为市场所证实的预
测模型。这些理论在最初都很适用。但它们无法解释金融市
场的异常波动、市场泡沫的成因以及市场崩溃等现象的发生。
汉斯(Hens)和斯琴克 一霍普(Hens and Schenk—Hoppe，
2001)在随机动态系统理论的框架下建立了一个关于市场份
额的回归公式，通过对最大李雅普罗夫指数的稳定性分析，得
到了最优投资策略的显示表达式。投资者采用显示表达式计
算最优投资策略，只需要获得各项资产的相对收益值即可，计
算简单，容易操作。当投资者采用该最优策略时，他将获得最
大的财富增长率，在无限时间水平上最终拥有全部的市场总
财富，从而支配市场每个资产的价格。这在一定程度上回答
了投资者们最为关心的如何投资的问题。波姆和杰尔丽拉
(Bohm and Chiarella，2000)研究了内生随机资产定价的动态
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行为。通过分析有限个异质的世代交叠的消费者组成的经济
中，有限个资产的显示随机价格过程的动态，得到了预期准则
和外生的生产方红利价格过程。厄弗斯惕季尼夫(Evstigi—
neev)、汉斯和斯琴克 一霍普(Evmigineev，Hens and Schenk—
Hoppe，2006)运用随机动态系统理论通过建立时间演化金融
动态模型，说明了阿尔钦(Alehian)、弗里德曼(Friedman)和珐
玛(Fama)等的“市场或自然选择导致有效市场”这一著名猜
想成立的条件，论证了股票市场是演化稳定的充分必要条件
为股票(相对)价格等于未来(相对)股息收益流的贴现值的数
学期望，从而为现代金融理论提供了新的理论依据。
综上所述，在随机动态系统理论框架下分析经济系统，讨
论经济演化规律已成为经济理论研究发展的必然趋势。
下面我们考虑在经济系统中具有如下形式的演化规则：
xt+1=f(g(t)， t((o)，x ) (1)
其中，f是一个可测映射，g是一个确定性的函数，它可看
作是经济系统中与状态演化有关的诸如刻画效用和生产函数
的参数，这些参数随时间而变化。对任意整数t， 。是一个随
机过程，是对经济的随机扰动向量，可以为一般的遍历过程。
X．是经济系统在t时刻的状态，它可以是投资决策或相应的资
本存量的水平等内生状态变量的向量，或生产率指数、人口密
度等外生状态变量的向量。
许多宏观经济模型，尤其是来自于经济增长理论的模型
都具有(1)这样的形式。例如宾德(Binder，1999)等关于 AK
模型和索罗增长模型的研究，以及米尔曼(Mirman，1973)关
于新古典随机增长模型的开创性研究。确定性模型也可扩展
到随机情形，这包括具有外部性生产的国际贸易的动态系统，
这种扩展已由德塔(Datta)和米尔曼(Datta and Mirman，2000)
等人进行了研究。
我们假没函数g和随机过程11。外生于随机系统，即它们
不依赖于系统的状态。从这个角度来说，演化规则耦合于噪
声过程，即使 。是稳定的，依赖于时间的函数g也会导致所驱
动的过程是非稳定的。函数g(g)将经济政策模拟为经济系统
演化过程中的一个依赖于时间的干预，它是一个随机演化规
则的时间变量的改变。例如在具有生产冲击1 的单部门增
长模型中，运动演化规则x 1=fc( ((o)，x。)=(1—8)x。+
。((o)f(x。+e)，e≥0，是外来资本的常量供应。这样的模型
在 。是马尔可夫过程的情形下已经得到了研究(Mirman，
1972，1973)。如果外来资本的供应只是暂时的或为时间变量
(例如发展援助)，我们就必须借助于这样的模型，在模型中常
数e用依赖于时间的函数g(t)代替。类似地可以模拟资本输
出或暂时地增加先进技术。
接下来我们简要介绍研究具有随机扰动的非线性动态系
统的数学框架。详细的随机动态系统理论可参阅阿诺德的专
著(Arnold，1998)。首先，我们给出随机动态系统的定义。
定义1．具有时问T(双边或单边时间)，状态空问x的随
机动态系统由下面两部分组成：
(i)一个把(n，F)映射到它本身里的可测动力系统(n，
F，P，(0(t))。 T，它满足下面三个性质：①((o，t)l一0(t)(o是
可测的；②0(0)=idn，这里idn表示n上的单位元；③ (半)
流性质：0(S+t)=0(S)·0(t)对所有s，t∈T成立。
(ii)可测空间(x，B)上的一个映射‘P，‘P：T×n×x—x，
(t，(o，x)l一‘P(t，(o，x)该映射具有下面两个性质：① 可测性：‘P
Fl，(0i) )和(n2，F2，(0 ) )分别模拟函数了g(t)和随
xt+l=h(0t(o，xt) (2)
rh(0 (o)⋯ ··h((o)x， t≥1
‘P(t，(o，x)={x， t=0
【h(0 (o)～⋯．·h(0一(o) x，t≤一I
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的随机动态系统在to所确定的扰动下，从初始状态X开始后
在t时刻的状态。容易验证映射族‘p(t，tI，．X)是一个随机动态
系统，称这个随机动态系统为由(2)式生成的随机动态系统，
x =‘P(t，tI，，x)是该随机动态系统的轨道。
二 经济周期现象的随机动态系统分析
这一部分我们将希克斯型乘数一加速模型扩展到随机情
形，然后用随机动态系统理论分析其动态行为。
希克斯型乘数一加速模型是由下面三个方程定义的
(Hicks，1950)：
C=m0+mY
— I，I=v0+v(Y—I—Y一2)，Y=C+I (3)
这里0<m<1，m0，v0≥0，v>0；I表示弓l致投资，即由收
入变动和消费变动所引致的投资；v0为自发投资，包括固定资
本折旧和外生的政府投资等；Y—I—Y一2表示两个时期的收入
变化；v为加速数，表示收入或消费变动对投资的加速作用；m
是乘数。由(3)，封闭经济系统中的总真实收入如果采用形式
f(YI，Y2)：(mo+v0)+(m+v)Y2一vyI，那么由映射f我们有
F(YI，Y2)=(Y2，f(YI，Y2))
：f 0 1f Yl 1+f 0 1 (4)
、一V in十V， Y2， 、mO十 o，
映射族F： — 称为f的相伴二维仿射动态系统。F
有唯一不动点(平稳状态)Y=(ⅡIo+ 0)／(1一in)，(in0+ 0)／
(1一in)。加速数v对稳定状态Y没有影响，而总需求in0+v0
不影响稳定状态的稳定性。Y远远大于0要求乘数in小于1。
Y是渐近稳定的当且仅当乘数in和加速数v都大于等于零且
小于1。当乘数in和加速数v都大于等于零且小于1时，映射
F是线性压缩映射，具有唯一的稳定状态。上述描述表明希克
斯型乘数一加速模型由具有参数 =(mo，in，v)e 的仿射
参数化映射族F ： — 组成。不失经济的一般性，我们
假设自发投资v。恒为零，用大于等于零的参数in0表示总需
求的所有效应，而将分析限定于非负参数值的情形，即限定总
需求、乘数和加速数为非负的情形。一般地，进一步限定乘数
在0与l之间取值，加速数在0和4之间取值是符合通常的经
济实际的。因此，可能的参数值的集合M为
{(mo，in，v)∈ij l0≤in0≤mo，0≤in≤1，0≤v≤4} (5)
设(n，F，P，P0)为遍历动态系统，它模拟了遍历过程
(in0I，inl，vt)。遍历过程in0(0ttI，)，in(0ttI，)和v(0t∞)分别表
示消费或投资中的随机外生需求、随机乘数与随机加速数。
随机仿射映射族F ： — 称为随机乘数一加速模型。
n 1 n
令，A(tI，)一
一
tI，)in(tI，) (tI，))，b(tI，)=(mOn tI，))，
一 vltI，J ltI，J十vltI，J ltI，J
则有非线性随机差分方程X。+I=A(0ttI，)X +b(0ttI，)，由随机
动态系统理论可知它可以生成一个随机动态系统，对于由(4)
与(5)式确定的随机乘数一加速模型F ，我们假设随机参数
由一个定义在概率空间(n，F，P)上并在紧集M={(mo，in，v)
∈Mlin<1，v<1l}CM中取值的平稳遍历过程{ 。}描述。那
么由随机动态系统理论可知：①存在唯一的随机不动点；②随
机不动点是渐近稳定的，并且在i 上诱导一个唯一(平稳)不
变分布；③此外，轨道的演化规则是完好定义的，且渐近地等
于随机不动点诱导的 (平稳)不变分布。已给的噪声过程可
以表示为随机动态系统意义上的实噪声过程，由乘数与加速
数严格小于1的假定可知映射族F 是压缩映射。因此，由随
机动态系统理论可得随机不动点的存在性、唯一性和渐近稳
定性。这里的结果阐述了简单的二维乘数一加速模型，但运
用的方法带有普遍性。它不仅含盖了延滞系统，而且含盖了
整个有限维的仿射随机压缩映射类。这样的随机模型具有唯
一 全局吸弓l随机不动点(平稳解)。然而最重要的是，对非常
一 般的平稳遍历扰动不管是光滑的还是离散的，尤其包括
MarkOV过程，这些性质都成立。
三 结 语
经济系统中，既存在着线性与非线性关系，也处处存在着
不确定性与随机性。现实经济系统中的变量和参量之间相互
联系，相互作用，受到各种随机因素的扰动。因而建立在线性
系统、稳态状态和均衡基础上的确定性经济理论，存在着难以
克服的缺陷和不足，无法解释和解决经济过程中出现的一些
复杂的现象和问题。近年发展起来的随机动态系统理论作为
分析非线性随机系统的方法在经济中的初步应用，不仅丰富
了人们对经济系统的具体认识，而且也将为解释和说明我国
经济快速发展提供新的方法，为我国政府制定和实施经济政
策等提供新的工具。
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(责任编辑：余小平)
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